Problème I : quartz et électronique (ENSTIM 2004)

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1 MSI 11 déebe h 1 h Devoi en teps liité n 5 Toute éponse non justifiée ne donne ps lieu à ttibution de points L utilistion des lulties est utoisée oblèe I : qutz et életonique (ENSTIM 004) NB : Auune onnissne su les qutz et l piézo-életiité n'est equise pou tite e poblèe dns lequel les ndidts sont guidés p de nobeuses questions indépendntes et pogessives Le qutz est une foe ptiulièe de istl de silie Il pésente des popiétés physiques tès intéessntes : l piézo-életiité Qund on opie un oeu de qutz dns une dietion ptiulièe, une tension ppît ux bones du istl ('est l'effet piézo-életique) Réipoqueent, qund on pplique une tension ux bones d'un qutz, e denie se défoe popotionnelleent à l tension ppliquée ('est l'effet piézoéletique invese) Ainsi, le qutz est tès intéessnt pou l'életonique on pvient à élise des iuits osillnts, à bse de ésonteu à qutz, tès stbles dns le teps Atuelleent, le qutz est eplé p etines éiques piézo-életiques A) Modélistion d'un ésonteu à qutz A-1) Modèles énique et életique du ésonteu à qutz Un istl de qutz est tillé sous foe de pstille ylindique ine L bse iulie pésente un diète d = 1 et l'épisseu de l pstille est e = 0, Des életodes étlliques (en o généleent) sont déposées su hune des fes iulies du qutz (on suppose que es fes sont totleent étllisées) (figue 1) On ple d'életodes de onnexion On insi élisé un ondensteu pln D'un point de vue énique, losque l'on souet le disque piézo-életique à une tension sinusoïdle V(t) = V os(t), il v ête, dns le de d'une ppoxition linéie, le siège d'une vibtion énique sinusoïdle sous l'effet d'une foe extéieue popotionnelle à ette tension Modélistion poposée : un éléent de sse du ops piézo-életique, plé à une distne x de son point de epos, est souis ux foes suivntes, toutes oientées selon un xe (Ox) que l'on ne péise ps ii : une foe de ppel type élstique kx (k > 0) qui pou oigine l igidité du téiu, dx des fotteents supposés popotionnels à l vitesse et de l foe h (h > 0), une foe due à l'effet piézo-életique βv(t) (β >0), le poids est négligé A-l-) En ppliqunt le pinipe fondentl de l dynique u petit éléent de sse dns le éféentiel du lbotoie supposé gliléen, étbli l'éqution difféentielle véifiée p x(t) en supposnt que le ouveent se fsse selon l'xe (Ox) dt 1/5

2 MSI 11 déebe h 1 h D'un point de vue életique, l hge totle q ppissnt su les életodes plnes deux oigines : les deux fes plnes du disque foent un ondensteu de pité C p, d'où une hge q 1 (t), l'effet piézo-életique povoque l'ppition d'une hge q popotionnelle à x : q (t) = γx(t) ε 0ε S A-l-b) On onte que l pité d'un ondensteu pln vut C = où S est l sufe d'une életode, e e l'épisseu du ondensteu, ε 0 l peittivité du vide (s vleu est ε 0 = 8, F -1 ) et ε une onstnte vlnt pou le qutz ε =,3 Estie los l pité C p ppelée pité de onnexion Quelle est l eltion ente l hge q 1, l pité C p et l tension V(t)? A-l-) En epennt l'éqution difféentielle obtenue pou x(t), éie l'éqution difféentielle véifiée p l hge q (t) A-l-d) Considéons le iuit epésenté su l figue ionte Monte que l hge q (t) est équivlente à l hge d'un ondensteu de pité C s dns le iuit séie R, L, C s dont l tension ux bones est V(t) On donne los les expessions de R, L et C s en fontion de, h, β, γ et k A-) Etude de l'ipédne équivlente du qutz Dns ette ptie, on néglige l ésistne R du qutz Le shé életique siplifié est los donné su l figue 3 ou les pplitions nuéiques, on pend : L = 500 H, C s = 0,08 pf et C p = 8 pf On se ple toujous en égie sinusoïdl foé (les gndeus dépendont de l pulstion ) A--) Clule los l'ipédne oplexe du qutz, vue ente les 1 j bones A et B On l éi sous l foe Z = où j α 1 est le nobe iginie pu tel que j² = -1 On donne, en fontion de L, C p et C s les expessions de α, Monte ussi que > On pou dette les ésultts de ette question pou pousuive l ésolution du poblèe A--b) Donne les vleus nuéiques des féquenes f et f oespondnt espetiveent ux pulstions et et A--) Etudie le opoteent indutif ou pitif du qutz en fontion de l féquene On ppelle qu'un dipôle un opoteent indutif (espetiveent pitif) si l ptie iginie de son ipédne est positive (espetiveent négtive) /5

3 MSI 11 déebe 004 A--d) Te l'llue de 8 h 1 h Z = Z odule de l'ipédne oplexe du qutz, en fontion de l féquene A-3) Etude expéientle de l ésonne d'un qutz On veut te expéientleent l oube donnnt l'ipédne du qutz en fontion de l féquene d'exittion On dispose d'un généteu bsses féquenes pouvnt délive une tension sinusoïdle d'plitude églble Le GBF possède une ésistne intene R g On dispose d'une ésistne R v vible, d'un qutz et d'un osillosope Dns ette question, on néglige toujous l ésistne du qutz suf dns l question I-A-3- On élise los le ontge de l figue 4 suivnte A-3-) Clule le ppot de l tension de VS sotie V S, à elle d'entée V E : H = en V fontion de R v et de Z A-3-b) On hoisit, pou hque féquene, l 1 ésistne R v, de telle fçon que H = Que vut los le odule de l'ipédne du qutz en fontion de R v? E A-3-) Autou du pi de ésonne d'intensité situé ves 796 khz, on esue une bnde pssnte de 50 Hz Quelle est l vleu nuéique du fteu de qulité Q du qutz défini oe le ppot de l féquene de ésonne à l lgeu de l bnde pssnte? Coente ette vleu En supposnt que le fteu de qulité L soit donné p l eltion Q = 0 ( 0 étnt l pulstion de ésonne), estie l vleu de l ésistne R du R qutz B) inipe d'une onte à qutz : Une hologe est oposée d'un osillteu plus ou oins stble dns le teps et d'un systèe de optge des osilltions Le qutz utilisé pésente une féquene de ésonne de 3768 Hz Cel signifie que 3768 fois p seonde une ipulsion életique est éise p le iuit osillnt Un dispositif életique doit opte les ipulsions Ces opteus fontionnent dns l tehnologie binie (suite de 0 et de 1) Une ipulsion életique oespond à l vleu 1 L vleu 0 oespond à uun signl életique B-1) Copteu odulo Un tel opteu délive une ipulsion de sotie dès qu'il opté ipulsions à son entée Si en entée d'un tel opteu on envoie le signl à 3768 Hz délivé p le iuit à qutz, quelle est l féquene du signl de sotie du opteu odulo? B-) Suession de opteus odulo Eie le nobe 3768 sous l foe k où k est un entie ntuel Cobien de opteus odulo fut-il los ette en sde pou onde le hiffe des seondes? 3/5

4 MSI 11 déebe h 1 h Exeie II : ésonne en puissne et ount (inspié de ICNA 004) Un iuit onstitué de l ssoition en pllèle d un onduteu ohique de ésistne R = 100 Ω, d un ondensteu de pité C = 100 µf et d une bobine de oeffiient d indutne pope L = 10 H est onneté à une soue de ount sinusoïdl de ount életooteu instntné i(t) = I 0 os(t) dont l pulstion peut vie de fçon ontinue L quntité I 0 vut 100 A 1) On désigne p 0 l vleu de l pulstion pou lquelle l puissne oyenne founie u iuit p l soue psse p une vleu xile x On pose x =, x ppelée pulstion éduite Monte que l on peut éie = expession dns lquelle Q Q x x désigne une onstnte éelle Déteine les expessions littéles de Q, 0 et x en fontion de R, L, C et I 0 ) Clule les vleus nuéiques de Q, 0 et x 3) L bnde pssnte du iuit est définie p l difféene des pulstions de oupue pou lesquelles l puissne vut l oitié de l puissne xile x Clule les vleus littéles (en fontion de 0 et Q) et nuéiques des pulstions de oupue En déduie les vleus littéle (en fontion de 0 et Q) et nuéique de l bnde pssnte 4) L intensité du ount dns l bobine peut s éie : i L (t) = I L os(t + φ L ) Expie I L en fontion de R, L, C, et I 0 puis en fontion de I 0, Q et x pou une pulstion donnée 5) Monte que I L psse p une vleu xile I Lx pou une vleu 1 de l pulstion si Q > Q in On déteine les expessions littéles et nuéiques de I Lx, Q in et 1 Exeie III : dipôle (inspié de ENAC pilote 004) Les ésultts nuéiques seont donnés ve deux hiffes signifitifs Le dipôle epésenté su l figue i-onte est lienté p une soue de tension pfite de foe életootie instntnée e(t) = E 0 os(t) 1) Déteine l expession de l ipédne Z du dipôle ) Expie L en fontion de R, C et pou que le dipôle soit équivlent à une ésistne pue R eq 3) Clule nuéiqueent L shnt que R = 100 Ω, C = 33 µf et = 400 ds -1 4) Shnt que E 0 = 180 V, déteine littéleent puis nuéiqueent l vleu effie de l intensité du ount I tvesnt l bobine 5) Déteine littéleent puis nuéiqueent les vleus effies des difféenes de potentiel u AD et u DB 6) Déteine nuéiqueent les vleus effies des intensités des ounts I 1 et I tvesnt espetiveent l ésistne et le ondensteu 7) En déduie l vleu nuéique de l puissne oyenne onsoée p le dipôle Exeie IV : odèle d un oteu (Bnque T 004) Un oteu ultsonoe est lienté p une tension sinusoïdle d'plitude oplexe V ; on note I l'plitude oplexe de l'intensité du ount pssnt dns le iuit Le shé életique équivlent est epésenté figue 1 i-dessous L soue de tension lientnt le oteu 0 4/5

5 MSI 11 déebe 004 est supposée pfite 8 h 1 h Y epésente l'dittne életique oplexe intinsèque du oteu Les phénoènes életoéniques pésents dns le oteu sont pis en opte, su e shé, p l'ipédne oplexe Z (dite «otionnelle» du oteu) et p Z, dont l vleu est fontion de l hge énique du oteu Figue 1 Le dipôle d'dittne életique oplexe Y est onstitué d'une ésistne R o en pllèle ve un ondensteu C o L'ipédne otionnelle oplexe Z oespond à un iuit R, L, C séie L'ipédne de hge oplexe Z oespond à une ésistne R 1 Repésente l figue 1 en eplçnt les éléents Y, Z et Z p les ésistnes, indutnes et ondensteus qui leus oespondent Déteine l pulstion de ésonne en ount s du iuit séie onstitué de Z et Z ou l suite, on pend les vleus nuéiques : R o = 18 kω, C o = 8 nf, R = 50 Ω, L = 0,1 H, C = 0, nf et R = 50 Ω 3 On note Y l'dittne oplexe du iuit onstitué de l'enseble des éléents Z, Z et Y Les figues et b epésentent l'évolution du odule Y p de l'dittne oplexe Y en fontion de l pulstion éduite x = 1 x = L figue b est un gndisseent de l figue utou de l pulstion éduite unitie, soit s Figue Figue b A pti des figues et b, déteine l vleu nuéique de l féquene (en Hetz) qui peet d'obteni une ésonne en ount 1 4 Cope Y = Y et le odule de l'dittne oplexe Y' = losque = s et intepéte le Z + Z ésultt obtenu à l question péédente 5 Une odifition du poids de l hge tnspotée, povoque une vition de l ésistne R, qui este toutefois de l'ode de gndeu de l dizine d'ohs ; ette odifition -t-elle un effet signifitif su l vleu de l ésonne en ount? Justifie l éponse 5/5