Chapitre 4 : Le potentiel électrique

Transcription

1 Chapite 4 : Le potentiel électique Execices E1. On donne q =30Cet V =10 8 V. (a) Dans cet execice, oute la éféence à l éclai, on ne founit aucun détail su la façon de déplace la chage ente le nuage et le sol, c est-à-die libement ou en subissant la containte d un agent extéieu. Toutefois, les équations 4.1 et 4.4 montent que le poduit d une difféence de potentiel et d une chage coespond à une quantité d énegie. Comme sa fome est inconnue, on la epésente pa E et sa valeu est, en joules : E = q V = (30) =3, J Expimée en électonvolt, cette quantité d énegie est E =3, J = 1, ev 1 ev 1, J (b) À la section 7.4 du tome 1, on définit la puissance, expimée en watt, comme le appot ente une quantité d énegie, expimée en joules, et un délai en temps, expimé en secondes, P = E t. On modifie cette elation et on calcule le délai en temps nécessaie pou écoule la quantité d énegie E calculée à la patie (a) : t = E P = 3,0 109 J 60 W = 5, s E. On donne V =1V. 1 a 3, s (a) q =(80A h) 3600 C 1 A h =, C (b) À pati de l équation 4.1 du manuel, on obtient = 1,58 a U = q V =, (1) = 3, J E3. On donne W EXT = J, q = 5 nc et V B = 0 V. Selon l équation 4.4 du manuel, W EXT = q (V B V A ) V A = V B W EXT q = = 60,0 V E4. On donne E = 180 k N/C et s =(z B z A ) k =0,10 k m. On appelle que le poduit scalaie de deux vecteus peut ête calculé en utilisant l une ou l aute des équations.9 et.11 du tome 1 : A B = AB cos θ = Ax B x + A y B y + A z B z (a) À pati de l équation 4.6a du manuel, on écit V = V B V A = E s = E z s z = ( 180) (0,10) = 18,0 V v4 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique 1

2 (b) Toujous à pati de l équation 4.6a et étant donné V =7V, on obtient V = E s = E z s z s z = E V z = 7 ( 180) = 0,150 m E5. On donne E =x i 3y j, i A = j met B = i + j +3 k m. On se set de l équation 4.5b du manuel,en tenant compte de la définition du poduit scalaie (équation.11 du tome 1) : R V B V A = B E d BR R s = (E x dx + E y dy) = B R E x dx B E y dy A A A A R 1R V B V A = xdx + 3y dy (i) 1 On constate que le déplacement selon z n a aucune influence su la difféence de potentiel. L équation (i) donne V B V A = x 1 + y 3 1 = (4 1) + (1 ( 8)) = 6,00 V E6. On adapte l équation 4.5b du manuel. On pose V A =0et V B = V, le potentiel en un pointquelconquedel axedesx. (a) On donne E = A x i et V =0en x = x0. À pati de l équation 4.5b, ontouve R V B V A = B E d xr R s V = E x dx = A x 1 x dx = A [ln (x) x x 0 = A ln x x 0 A x 0 x 0 (b) On donne E = Ae Bx i et V =0en x =0. À pati de l équation 4.5b, onobtient BR V B V A = E d xr xr s V = E x dx = A e Bx dx = A 1 e Bx x B 0 A 0 0 V = B A e Bx e 0 = B A e Bx 1 E7. On donne q = e, m =9, kg et v i =0. Dans les tois cas, on utilise l équation 4.7 du manuel. (a) Si v f =330m/s, K = q V 1 mv f 1 mv i = q V V = mv f ( q) = (9, )(330) = 3, V (1, ) (b) Si v f =11, 10 3 m/s, V = mv f ( q) = (9, )(11, 10 3 ) (1, ) = 3, V (c) Si v f =0,1c =3, m/s, V = mv f ( q) = (9, )(3, ) (1, ) =, V E8. On donne q = e, m =1, kg et v i =0. Dans les tois cas, on utilise l équation 4.7 du manuel. (a) Si v f = 330 m/s, K = q V 1 mv f 1 mv i = q V Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique v4

3 V = mv f ( q) = (1, )(330) ( 1, ) = 5, V (b) Si v f =11, 10 3 m/s, V = mv f ( q) = (1, )(11, 10 3 ) ( 1, ) = 0,655 V (c) Si v f =0,1c =3, m/s, V = mv f ( q) = (1, )(3, ) ( 1, ) = 4, V E9. On donne V =1Vetv i =0. On suppose que la batteie d automobile est banchée à deux conducteus de manièe à cée une difféence de potentiel dans l espace où on souhaite accélée l électon ou le poton. Il n est pas nécessaie d utilise un système de plaques paallèles, il suffit que les paticules accéléées subissent une difféence de potentiel de ±1 V. Dans les deux cas, on utilise l équation 4.7 du manuel. (a) Si q = e et m =9, kg, K = q V 1 mv f = q V v f = q q V m Pou que l électon accélèe, la difféence de potentiel doit ête positive ( V =1V) : q v f = ( 1, )(1) =, m/s 9, (b) On a plutôt q = e et m =1, kg. Pou que le poton accélèe, la difféence de potentiel doit ête négative ( V = 1 V) dans l équation (i) : q v f = (1, )( 1) = 4, m/s 1, E10. On donne E = V/m et d =0,001 m. À pati de la valeu absolue de l équation 4.6c, onobtient (i) V = Ed = (0,001) = 3, V E11. On donne q = µc, V A = 5 VetV B = 15 V. Comme la chage est déplacée à vitesse constante, on peut utilise l équation 4.4 du manuel : W EXT = q (V B V A )= 10 6 ( 15 ( 5)) =, J Le tavail est positif pace qu on déplace une chage négative ves un potentiel décoissant. E1. On donne E =600 i V/m et, si un axe des x pointe ves la doite dans la figue 4.34, le vecteu déplacement qui va du point A au point B est s = 0,04 i m. On appelle que le poduit scalaie de deux vecteus peut ête calculé en utilisant l une ou l aute des équations.9 et.11 du tome 1 : E s = Escos θ = Ex s x + E y s y + E z s z (a) À pati de l équation 4.6a du manuel, on calcule v4 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique 3

4 V = V B V A = E s = E x s x = (600) ( 0,04) = 4,0 V (b) On donne q = 3 µc. À pati de l équation 4.1 du manuel, on obtient U = q V = (4,0) = 7, J Il y a diminution de l énegie potentielle pace qu une chage négative se déplace ves un potentiel coissant. Dans cet execice, la façon dont la chage q est déplacée du point A au point B n a pas d impotance. En effet, que la chage se déplace à vitesse constante ou en accéléant, l équation 4.6a du manuel s applique toujous. E13. On donne d =0,05 m, q =8µC et F E =,4 10 i N. Comme la foce est oientée selon l axe des x positifs, les deux plaques doivent ête selon y pou que le champ électique et la difféence de potentiel soient dans le bon sens. De plus, comme F E = q E et que la chage est positive, le champ électique est selon l axe des x positifs. La figue monte les plaques, le champ électique, le déplacement total et la chage à un instant quelconque duant le déplacement : On calcule le champ électique : E = F E q =,4 10 i =3, i V/m Ensuite, à pati de la valeu absolue de l équation 4.6c, on touve V = Ed = 3, (0,05) = 150 V Commeonpeutlevoidanslafigue, le potentiel diminue de 150 Vdanslesensdu déplacement et V B V A = 150 V. E14. On donne v i =0, v f =0,1c =3, m/s et u =1, kg. Dans les deux cas, 4 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique v4

5 on utilise l équation 4.7 du manuel. (a) Si q =e = 1, =3, Cet m =4u =4 1, =6, kg, alos K = q V 1 mv f 1 mv i = q V V = mv f ( q) = (6, )(3, ) ( 3, ) = 9, V (b) Si q =9e =9 1, =1, Cet m = 35u = 35 1, =3, kg : K = q V 1 mv f 1 mv i = q V V = mv f ( q) = (3, )(3, ) ( 1, ) = 1, V E15. On donne E = 10 j V/m. On appelle que le poduit scalaie de deux vecteus peut ête calculé en utilisant l une ou l aute des équations.9 et.11 du tome 1 : E s = Escos θ = Ex s x + E y s y + E z s z Pou les deux questions, le point A coespondausoletlepointb est à la hauteu spécifiée. (a) On donne s =1,8 j m. À pati de l équation 4.6a du manuel, on calcule V = V B V A = E s = E y s y = ( 10) (1,8) = 16 V (b) Avec s = 433 j m, on obtient V = V B V A = E s = E y s y = ( 10) (433) = 5,0 kv E16. On donne d =0,03 m, v i =0,q= e, m =9, m. Comme l électon se déplace à pati du point de potentiel le plus bas, on peut pose que V A =0VetV B = 10 V. (a) À pati de la valeu absolue de l équation 4.6c, ontouve V = Ed E = V d = 10 0,03 = 4, V/m (b) Pa définition (équation 8.4 du tome 1), le tavail d une foce consevative et l énegie potentielle qui lui est associée sont eliés pa W c = U. Dans le cas de la foce électique, cette équation devient W E = U. Si on utilise aussi l équation 4.1, on obtient W E = U = q V = q (V B V A )= (10) = 1, J Il est natuel que ce tavail soit positif, étant donné que l électon accélèe. (c) L énoncé du poblème pécise que l électon va ves le potentiel le plus élevé; ainsi, V = V B V A = 10 V (d) À pati de l équation 4.1, on touve v4 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique 5

6 U = q V = 1, (10) = 1, J E17. On donne q = 15 µc, m = 10 5 kg, v i =0, v f =400m/s et V = V B V A = 6000 V. La vaiation d énegie cinétique de la paticule est K = 1 mv f 1 mv i = 1 mv f = (400) =1,60 J La vaiation d énegie potentielle est calculée à pati de l équation 4.1 du manuel : U = q V = ( 6000) = 0,0900 J On touve le tavail extéieu à pati de l équation 4.3 : W EXT = K + U =1,60 + 0,0900 = 1,69 J E18. (a) On adapte l équation 4.5b du manuel. On pose V A =0et V B = V, le potentiel en un pointquelconquedel axedesx. On donne E = σ ε 0 i et V =0en x = x0. À pati de l équation 4.5b, onobtient R V B V A = B E d xr xr s V = E x dx = σ ε 0 dx = σ ε 0 [x x x 0 = σ(x 0 x) ε 0 A x 0 x 0 (b) On donne V =0Vetσ =7nC/m. On cheche x = x x 0. À pati du ésultat de la patie (a), on obtient x = ε 0 V σ = (8, )(0) 7 10 =0,0506 m x = ±5,06 cm 9 Dans un sens ou dans l aute, le potentiel vaie de 0 V. E19. Àpatidelafigue 4.35, si E = 400 V/m, on obtient E = E cos (37 ) i E sin (37 ) j = 319 i 41 j V/m Dans les deux cas, on utilise l équation 4.6a du manuel. On appelle que le poduit scalaie de deux vecteus peut ête calculé en utilisant l une ou l aute des équations.9 et.11 du tome 1 : A B = AB cos θ = Ax B x + A y B y + A z B z (a) Comme on désie calcule V B V A, on évalue la difféence de potentiel du point A au point B, et s =0,03 i m: V = E s = E x s x = (319) (0,03) = 9,57 V (b) Comme on désie calcule V B V C, on évalue la difféence de potentiel du point C au point B, et s = 0,03 j m: V = E s = E y s y = ( 41) ( 0,03) = 7,3 V E0. On donne q = e, m =9, kg, v i = m/s, v f = m/s et 6 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique v4

7 s =0,003 i m. Le champ électique ne possède qu une composante selon x, E = Ex i. (a) Selon l équation 4.7, K = 1 mv f 1 mv i = q V V = m q v f vi 3 V = 9, = 156 V ( 1, ) (b) À pati de l équation 4.6a et de l équation.11 du tome 1, on touve V = E s = E x s x E = 5, V/m E x = V s x = 156 0,003 =5,0 104 V/m E1. (a) On donne q 1 = q = e et 1 = m. Selon l équation 4.1b : U = kq 1q 1 = (9 109 )(1, ) =, J (b) On donne v i =0pou les deux potons et m =1, kg. Du ésultat (a), on tie U i =, J. L énegie potentielle finale, calculée comme à l étape (a), donne U f =5, J. Pou obteni la vitesse finale, on étude la consevation de l énegie mécanique. En l absence de foces non consevatives, selon l équation 8.9 du tome 1, on obtient K + U =0 (K f K i )+(U f U i )=0 K f = (U f U i )= 5, , =1, J Ce ésultat coespond à l énegie cinétique gagnée pa chacun des potons. Pou touve la vitesse finale de l un ou de l aute, puisque l énegie sea patagée également, on pose, pou un poton, 1 mv f = K f v f = K f m v f = q K f m = q 1, , = 1, m/s E. On donne q 1 =48e, q =44e, 1 = metk i =0. Selon l équation 4.1b, U i = kq 1q 1 = (9 109 )(48)(44)e 7 10 =6, J 15 Puisqu à la fin les fagments sont sépaés pa une distance infinie, U f =0. Comme à l execice 1, on utilise le pincipe de consevation de l énegie mécanique : K + U =0 (K f K i )+(U f U i )=0 K f = ( U i )= 6, = 6, J E3. Pou facilite l écitue, on numéote les chages : q 1 =µc, q =4µC, q 3 = 3 µc. (a) En obsevant la figue 4.36, on note que 1 =0,04 m q = (0,04) +(0,04) =0,0566 m v4 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique 7

8 3 =0,04 m On insèe ces valeus dans l équation 4.10 et on calcule V = P kq i i = kq kq + kq 3 3 = k q1 1 + q + q 3 3 V = , , ,04 = 4, V (b) Avec q 4 = µc, du ésultat de la patie (a) et de l équation 4.11, on calcule U = q 4 V = , = 0,8 J (c) Avec 1 = 3 = 34 = 14 =0,04 met 13 = 4 =0,0566 dans l équation 4.1b, on calcule U = P kq i q j ij = kq 1q 1 + kq 1q kq 1q kq q kq q kq 3q 4 34 U = k q1 q 1 + q 1q q 1q q q q q q 3q 4 34 U = ()(4) 0,04 + ()( 3) 0, ()( ) 0,04 + (4)( 3) 0,04 + (4)( ) 0, ( 3)( ) 0,04 U =,68 J E4. On donne q 1 =0,6 µc, q =, µc, q 3 = 3,6 µc etq 4 =4,8 µc. La distance ente chacune de ces chages et le cente du caé d aête L =0,10 mest = L =0,0707 m. On calcule le potentiel total de ces quates chages au cente du caé avec l équation 4.10 : V cente = P kq i i = kq 1 + kq + kq 3 + kq 3 = k (q 1 + q + q 3 + q 4 ) V cente = (9 109 ) 0,0707 (0,6+, 3,6+4,8) 10 6 =5, V Si on tanspote la chage q 5 = 5 µc del infini (V =0)jusqu au cente du caé, la vaiation de potentiel subie pa la chage duant ce déplacement coespond à V = V cente V =5, V À pati de l équation 4.4 du manuel, on obtient W ext = q 5 V = , =,55 J La chage négative subit une augmentation de potentiel et le tavail fait pa l agent extéieu set à eteni la chage pou mainteni constante sa vitesse pendant le déplacement. E5. On donne q 1 = Q =5µC etq = Q = 5 µc. À pati de la figue 4.37, on touve la distance ente chaque chage et les points A et B : 1A = A =m, 1B =3m, B =1m. (a) On calcule le potentiel total en chaque point à pati de l équation 4.10 : V A = kq 1 1A + kq A = k q1 1A + q A = =0 8 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique v4

9 V B = kq 1 1B + kq B Finalement, = k q1 1B + q B = = 30,0 kv V B V A = 30,0 kv (b) On donne m =0, kg, q = 10 6 C, la masse et la chage d une paticule qui se déplace de A à B et subit le potentiel des deux autes chages. On donne v i =0. À pati de l équation 4.7 du manuel, on touve q K = q V = q (V B V A ) 1 mv q(v f = q (V B V A ) v f = B V A ) m q v f = ( 10 6 )( 30, ) = 0,0 m/s 0, E6. On donne q 1 =5µC, la chage en ( 3 m; 0) et q =5µC, la chage en (3 m; 0). À pati de la figue 4.38, on touve la distance ente chaque chage et les points A et B : 1A = A = 3 +4 =5m, 1B = B =3m. (a) On calcule le potentiel total en chaque point à pati de l équation 4.10 : V A = kq 1 1A + kq A = k q1 1A + q A = =18, V V B = kq 1 1B + kq B = k q1 1B + q B = =30, V Finalement, V B V A = 1,0 kv (b) On donne m = kg, q = C, la masse et la chage d une paticule qui se déplace de A à B et subit le potentiel des deux autes chages. On donne v i =0. À pati de l équation 4.7 du manuel, on obtient q K = q V = q (V B V A ) 1 mv q(v f = q (V B V A ) v f = B V A ) m q v f = ( )(1, ) =,00 km/s E7. On donne E =00V/m et V = 600 V. Comme le potentiel est positif, on peut affime que Q>0. Selon les équations. et 4.9 du manuel, E = kq V = kq (i) (ii) Si on divise l équation (ii) pa l équation (i), on touve = V E =3,00 m En intepolant cette valeu dans l équation (ii), on touve Q = V k = 600(3,00) Q =, C 9 E8. (a) Pou facilite l écitue, on numéote les chages q 1 =4Q et q = Q. Comme on le voit dans l équation 4.10, le potentiel total en un point dépend de la distance de chaque v4 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique 9

10 chage et aussi de son signe. Ici, on a deux chages de signes contaies; le potentiel total peut donc ête nul. Toutefois, pou compense le fait que q 1 < q, on doit se touve plus pès de q.lafigue monte les deux points P et S su l axe des x où cette condition est obtenue : Au point P,ona 1P = x et P =1 x. Avec ces deux valeus intoduites dans l équation 4.10, on obtient V P = kq 1 1P + kq P =0 4Q x + Q 1 x =0 x 4 = 1 x 1 4 4x = x 4=5x x =0,800 m Au point S, ona 1S = x et S = x 1, et V S = kq 1 1S + kq S =0 4Q x + Q x 1 =0 4 x = 1 x 1 4x 4=x 3x =4 x =1,33 m En ésumé, les points P et S sont aux coodonnées x =0,800 met1,33 m (b) On donne plutôt q 1 =4Q et q = 9Q. Comme q 1 < q, ondoitsetouvepluspèsde q 1 pou que le potentiel total soit nul. La figue monte les deux points P et S su l axe des x où cette condition est obtenue : Au point P,ona 1P = x et P =1 x. Avec ces deux valeus intoduites dans l équation 4.10, on obtient V P = kq 1 1P + kq P =0 4Q x + 9Q 1 x =0 4 x = 9 1 x 4 4x =9x 4=13x x =0,308 m Au point S, commex<0, on a 1S = x et S =1 x, et V S = kq 1 1S + kq S =0 4Q x + 9Q 4 1 x =0 x = 9 1 x 10 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique v4

11 4 4x = 9x 4= 5x x = 0,800 m En ésumé, les points P et S sont aux coodonnées x =0,308 met 0,800 m E9. On donne Q 1 =3µC, Q = µc, Q 3 =5µC et la chage qui sea déplacée de A à B, q = 4 µc. Le caé a une aête L =0,10 m. En obsevant la figue 4.39, on note que 1A = A = 3A = L, 1B = 3B = L et B = L. On calcule le potentiel total en chaque point à pati de l équation 4.10 : = k q1 1A + q A + q 3 3A = k (q L 1 + q + q 3 ) V A = kq 1 1A + kq A + kq 3 3A V A = (9 109 ) =7, V (0,10) V B = kq 1 1B + kq B + kq 3 = k q1 1B + q B + q 3 3B = k L q 1 + q + q 3 V B = (9 109 ) 0,10 3B =5, V Comme la chage est déplacée à vitesse constante, on peut utilise l équation 4.4 du manuel : W EXT = q (V B V A )= , , = 0,684 J Comme on tanspote une chage négative ves un potentiel plus faible, il faut la pousse pou mainteni constante la vitesse, ce qui entaîne un tavail positif. E30. On donne q = C. On utilise l équation 4.9 en se sevant de la figue 4.40 pou détemine. (a) Pou A =0,0150 m: V A = kq A = (9 109 )( ) 0,0150 = 3, V q (b) Pou B = (0,0) +(0,01) =0,04 m: V B = kq B = (9 109 )( ) 0,04 =, V (c) Pou C =0,05 m: V C = kq C = (9 109 )( ) 0,05 = 1, V E31. (a) Pou facilite l écitue, on numéote les chages : q 1 = 4 µc etq =6µC. On note à la figue 4.41 que 1 =0,07 met =0,05 m. On calcule le potentiel à l oigine à l aide de l équation 4.10 : V = kq kq = k q1 1 + q = ,07 + 0,05 6 = 0,566 MV (b) Comme le point A est à l infini, V A =0et V B =0,566 MV. Comme la chage q =µc est déplacée à vitesse constante, on peut utilise l équation 4.4 du manuel : v4 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique 11

12 W EXT = q (V B V A )= , = 1,13 J E3. Pou facilite l écitue, on epend la figue 1.5 en numéotant les chages : On donne d =1, m. La distance ente chaque paie de chages est =d cos (30 )=d 3 = 3d =, À pati de l équation 4.1b, on touve U = P kq i q j U = k ij = kq 1q + kq 1q 3 + kq q 3 e 3 + e e e 3 e 3 = k (q 1q + q 1 q 3 + q q 3 ) e 3 = k e 3 + 4e 3 e 3 = 0 J E33. On donne q 1 = 4 µc en(0,03 m; 0) et q =3, µc en(0 ; 0,05 m). En se sevant de la q position des deux chages, on calcule que 1 = 1 = (0,03) +(0,05) =0,0583 m. (a) À pati de l équation 4.9, on touve V 1 = kq 1 = (9 109 )(3, 10 6 ) 0,0583 = 4, V (b) De la même façon, V 1 = kq 1 1 = (9 109 )( ) 0,0583 = 6, V (c) À pati de l équation 4.1a, on obtient U = kq 1q 1 = (9 109 )(3, 10 6 )( ) 0,0583 = 1,98 J E34. On donne q 1 =6µC, q = µc etq 3 qui est inconnue. On note à la figue 4.4 que la distance ente chacune de ces tois chages et l oigine du système d axes est 1 =0,03 m, =0,05 met 3 =0,05 m. (a) À pati de l équation 4.10, on expime le potentiel total à l oigine et on en extait la valeu de q 3 : V = kq kq + kq 3 3 =0 q q + q 3 3 =0 q 3 3 = q 1 1 q q 3 = 3 q 1 1 q q 3 =(0,05) , ,05 = 3,00 µc (b) De la même façon, 1 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique v4

13 V = kq kq + kq 3 3 = V q q + q 3 3 = k q q + q 3 q 3 =(0,05) 3 = = 4, q = 4, q 1 4, , ,05 = 4,11 µc 1 q E35. On donne q 1 = 10 µc en(0 ; 0,03 m) et q =6µC en(0,04 m ;0). Le point A (0 ; 0), le point B (0,04 m ;0,03 m) et le point C qui coespond à l infini. On calcule la distance ente les deux chages et les points A et B : 1A = B =0,03 m, 1B = A =0,04 m. (a) On calcule d abod le potentiel total aux points A et B à pati de l équation 4.10 : V A = kq 1 1A + kq A = k q1 1A + q A = , ,04 = 1, V V B = kq 1 1B + kq B = k q1 1B + q B = , ,03 = 4, V Finalement, V B V A = 4, , = 1,0 MV (b) On donne q = µc,quel onveutdéplacedupointc, l infini, au point A. Pou V C =0 et à pati de l équation 4.4, on obtient W EXT = q (V C V A )= , = 3,30 J E36. On donne q 1 = q =46e, 1 =7, metk i =0. (a) Selon l équation 4.1b, U i = kq 1q 1 = (9 109 )(46e) 7, = 6, J (b) Puisqu à la fin les fagments sont sépaés pa une distance infinie, U f =0. Comme à l execice 1, on utilise le pincipe de consevation de l énegie mécanique : K + U =0 (K f K i )+(U f U i )=0 K f = ( U i )= 6, = 6, J (c) Si 30 % de l énegie cinétique des fagments est écupéable dans un éacteu, alos le nombe N de fissions nécessaies pa seconde pou poduie une puissance de 1 MW est N(0,30)(6, J) 1 s = W N = 6 (0,30)(6, ) = 5, fissions/s E37. Pou facilite l écitue, la figue ci-dessous epend la figue 4.43 en pécisant le nom donné à chacune des chages connues : v4 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique 13

14 (a) À pati de la figue, on note que 1A = A = a + x, 3A = x. On calcule le potentiel total au moyen de l équation 4.10 : V A = kq 1 1A + kq A + kq 3 3A = kq a +x + kq + k(q) a +x x = kq 1 x 1 a +x On éécit le ésultat avant deã le modifie! losque À a, c est-à-die losque x À a : µ V A = kq x 1 x a = kq +x x = kq x 1 (i) 1+ a x 1/ 1 q 1 a x +1 Selon l appoximation du binôme, si dans (1 + z) n on a 1 À z, alos (1 + z) n 1+nz. C est ce qui se poduit avec l équation (i) puisque 1 À a.donc, µ x V A = kq 1/ x 1 1+ a x kq x a = kq 1 x x a ce qui confime que V 1 x 3 CQFD x = kqa x 3 (b) À pati de la figue, on note que 1B = y a, B = y + a, 3B = y. Donc, V B = kq 1 1B + kq B + kq 3 3B = kq y a + kq y+a + k(q) y = kqa y(y a ) Losque À a, c est-à-die losque y À a, on peut simplement néglige le a dans le teme au dénominateu V B = kqa y(y a ) kqa y 3 ce qui confime que V 1 y 3 CQFD (c) On donne une valeu aux difféentes vaiables, on définit l expession selon les deux axes du potentiel total et on tace le gaphe demandé. Afin de supepose les gaphes, la même vaiable de distance est utilisée. La bone inféieue du gaphe est supéieue à a afin de este dans le domaine d application du ésultat de la patie (b) : > estat: > a:=1.0; > q:=1.0; > k:=1.0; > Vx:=*k*q*(1/x-1/sqt(a^+x^)); > Vy:=-*k*q*a^/(x*(x^-a^)); 14 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique v4

15 > plot([vx,abs(vy)],x=1.*a..3*a,colo=[ed,blue]); (d)onemplacelavaiablex pa b dans les deux expessions de potentiel et on cée une équation à pati de la containte : > x:=b; > eq:=abs(vy)=*vx; > solve(eq,b); Le ésultat obtenu, b =0,44, n est pas acceptable pace qu il est inféieu à valeu de a fixée pou faie le gaphe. On en conclut que le seul ésultat acceptable est b,ce que confime le calcul suivant: > limit(abs(vy)-*vx,b=infinity); E38. (a) On donne q 1 =nc, placée à l oigine. On calcule la distance entelachageetles valeus founies d équipotentielle avec l équation 4.9, = kq 1 V : V (V) 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 (m) , 6 5,14 (b) On epend le même calcul avec q = nc : V (V) 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 (m) , 6 5,14 (c) La figue qui suit especte les consignes de l execice : On laisse le soin à l élève de découvi à quelle valeu de potentiel sont associés les points d intesection des équipotentielles de la figue. v4 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique 15

16 E39. On donne q =nc et 0 =1m. À cette distance, selon l équation 4.9, V 0 = kq 0 = (9 109 )( 10 9 ) 1 =18V. On cheche, le déplacement dans la diection adiale qui entaîne une modification V de cette valeu de potentiel. (a) Si V =1V, alos V = V 0 + V = kq 0 + = kq V 0 + V 0 = (9 109 )( 10 9 ) = 5,6 10 m Donc, on doit se déplace de 5,6 cm ves la chage. (b) Si V = 1 V, alos = kq V 0 + V 0 = (9 109 )( 10 9 ) =5,88 10 m Donc, on doit se déplace de 5,88 cm ves l extéieu. E40. On donne m α =6, kg, q α =e, K a =4, MeV et la chage du noyau d o, q Au =79e. Il s agit d une situation similaie à celle de l execice 36, où il était question de la sépaation des deux fagments d un noyau d uanium. Ici, c est le contaie : initialement, la paticule alpha et le noyau d o peuvent ête considéés comme éloignés à l infini l un de l aute, mais seule la paticule alpha possède de l énegie cinétique. En se appochant, la paticule alpha alentit et ped cette énegie au pofit de l énegie potentielle électique existant ente elle et le noyau d o. Au point le plus poche, il ne este que de l énegie potentielle, et la paticule alpha s aête momentanément. La paticule alpha s éloigne ensuite à l infini et écupèe son énegie cinétique. On peut donc pose que U i =0 K i = K α =(4, MeV) K f =0 U f = kq αq Au f = (9 109 )()(79)(1, ) f 1, J 1 ev =6, J = 3, f En l absence de foces non consevatives, selon l équation 8.9 du tome 1, K + U =0 (K f K i )+(U f U i )=0 U f = ( K i )=K i 3, f =6, f = 5, m E41. On donne q α =e, q Th =90e, m α =4u, m α = 34u, i =7, metk i =0,siles deux paticules sont à peu pès au epos initialement. On note aussi que u =1, kg. 16 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique v4

17 (a) Selon l équation 4.1b, U i = kq αq Th i = (9 109 )(e)(90e) 7, = 5, J (b) Comme à l execice 36, toute l énegie potentielle devient de l énegie cinétique losque les paticules sont sépaés pa une distance infinie (U f =0). Comme on considèe que le thoium este au epos, l énegie cinétique finale est celle de la paticule alpha. À pati de l équation 8.9 du tome 1, on touve K + U =0 (K f K i )+(U f U i )=0 K f = ( U i )=U i = 5, J E4. Selon l exemple 4.8, le potentiel d une sphèe chagée de ayon R est le même que celui d une chage ponctuelle en tout point pou lequel R. (a) Pou = metq = e dans l équation 4.9, on obtient V = kq = (9 109 )(1, ) = 1, V 15 (b) Pou =5, m, on touve V = kq = (9 109 )(1, ) = 7, V 15, (c) Il suffit que la chage soit distibuée selon une symétie sphéique pou que les conclusions de l exemple 4.8 estent valables; donc dans ce cas il n y a aucune modification. E43. À pati de la figue suivante : (a) Comme il s agit d un objet chagé de dimensions finies, on peut obteni le potentiel de l anneau au point P à pati de l équation On note, à pati de la figue, que = p a + y ; donc, V = k R dq = k R dq a +y (i) Dans ce type de poblème, l intégale set à balaye l objet chagé pou teni compte de v4 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique 17

18 tous les éléments de chage. Étant donné que tous les dq sont à la même distance du point P, l équation (i) devient V = R k dq = a +y kq a +y où Q = R dq, la chage totale su l anneau. Si y À a, on peut néglige a dans le dénominateu et on obtient V kq V kq y y (b) Selon l équation 4.17, étant donné que le potentiel ne dépend que de y, µ E = dv dy j = d kq j dy = kq 1 1 a +y dy a + y j E = kqy (a +y ) 3/ j (a +y ) 3/ d Si y À a, on peut néglige a dans le dénominateu et on touve E kqy j E kq (y ) 3/ y j Ce ésultat est logique : à une gande distance de l anneau le long de son axe, le champ électique se compote comme s il s agissait d une chage ponctuelle. E44. À la suface d un conducteu sphéique de ayon R potant une chage Q, le module du champ électique et le potentiel électique sont donnés pa les équations. et 4.9 : E = k Q R V = kq R (i) (ii) Si on divise l équation (i) pa l équation (ii) enespectantlefaitquelesignedelachage est inconnu, on touve V = ±ER. On donne E = V/m, le module du champ électique disuptif. (a) Pou R = m V = ± = ±30,0 V (b) Pou R =1 10 m V = ± = ±30,0 kv (c) Pou R =1m V = ± (1) = ±3,00 MV E45. (a) Selon l exemple 4.8, le potentiel à la suface de la sphèe de ayon R =0,01 m est décit pa l équation 4.9. La chage que pote la sphèe est donc V = kq VR R Q = k = (1 104 )(0,01) =1, C Pa définition,ladensitésufaciquedechageestleappotentelachageetl aiesu 18 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique v4

19 laquelle on la etouve : σ = Q 4πR = 1, π(0,01) = 8, C/m (b) Le nombe N d électons de chages e enlevés est donné pa Ne = Q N = Q e = 1, = 6, , électons enlevés 19 (c) Selon l execice 44, la elation ente le module du champ électique à la suface d un conducteu sphéique de ayon R et son potentiel est V = ±ER. Comme la sphèe est chagée positivement, E = V R = ,01 = 1, V/m E46. On donne q 1 = Q, la chage su la coquille intéieue mince de ayon a et q = Q, la chage su la coquille extéieue de ayon b. Pou chaque égion, la méthode consiste à touve la composante adiale de champ électique et ensuite à calcule la vaiation de potentiel. Pou b : Selon l exemple 3., le champ électique est celui d une chage ponctuelle de valeu q = q 1 + q = Q; donc, E = k q u = kq u. De même, selon l exemple 4.8, le potentiel est aussi décit pa l expession qui s applique dans le cas d une chage ponctuelle, V () = kq = kq. Pou a b : SelonlethéoèmedeGauss,seulecomptelachagequisetouveàl intéieud une suface de Gauss de ayon. Ainsi, le champ électique ne dépend que de la chage q 1 su la coquille intéieue; il est adial et diigé ves l extéieu pace que q 1 > 0 : E = k q 1 u = kq u v4 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique 19

20 En = b, le potentiel électique est calculé à pati du ésultat obtenu pou la égion pécédente, V b = kq b. OncalculelepotentielV su l ensemble de la égion qui va de = a à = b à l aide de l équation Comme on connaît la valeu du potentiel en b, on calcule l intégale d une valeu quelconque de à b. Sid s = d u, R V b b V () = E d Rb s V () = E d R b s + Vb = kq u d u + Vb V () = R b Pou a : kq d kq b = kq 1 b kq b = kq b + kq kq b = kq 1 b À l intéieu de la coquille de ayon a, E =0selon l exemple 3. du manuel. Le potentiel électique conseve la valeu calculée pou la égion pécédente : V () =V a = kq 1 a b En ésumé, (a) Pou a : V () =kq 1 a b (b) Pou a b : V () =kq 1 b (c) Pou b : V () = kq E = kq E =0 E = kq (d) On donne une valeu aux difféentes vaiables, on définit l expession de la composante adiale du champ et du potentiel électique pou les tois égions et on cée les deux gaphes demandés : > estat: > a:=1; > b:=3; > Q:=1e-9; > k:=9e9; > V:= piecewise(<a,k*q*(1/a-/b),<b,k*q*(1/-/b),-k*q/) ; > E:= piecewise(<a,0,<b,k*q/^,-k*q/^) ; > plot(v,=0..1.5*b); > plot(e,=0..1.5*b,discont=tue); 0 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique v4

21 E47. (a) On donne la figue suivante, où les chages ont été numéotées pou facilite l écitue : Le potentiel total en un point P situésul axedesx est donné pa l équation 4.10, dans laquelle 1 = = a + x : V = kq kq = kq a +x + kq = kq a +x a +x (b) Selon l équation 4.17, étant donné que le potentiel ne dépend que de x, E = dv dx i = d kq i dx a +x = kq 1 1 d (a +x ) 3/ dx a + x i E = kqx i (a +x ) 3/ (c) On donne une valeu aux difféentes vaiables, on définit l expession du potentiel et on v4 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique 1

22 tace le gaphe demandé : > estat: > a:=1.0; > Q:=1.0; > k:=1.0; > V:= *k*q/sqt(a^+x^) ; > plot(v,x=-3*a..3*a); E48. (a) On donne la figue suivante, où les chages ont été numéotées pou facilite l écitue : Le potentiel total en un point P situé su l axe des y est donné pa l équation 4.10, dans laquelle 1 = y a et = y + a : V = kq kq = kq y a + kq y+a = kq (y+a)+(y a) (y a)(y+a) V = kq y (y a)(y+a) = kqy y a (b) Selon l équation 4.17, étant donné que le potentiel ne dépend que de y, E = dv µ dy j = d kqy j d dy y a = kq dy (y)(y a ) y d dy (y a ) j (y a ) µ (y E = kq a ) y(y) j kq(y (y a ) = +a ) (y a ) j Cette expession n est valable que pou y>a. (c) Pou éponde à la question, on doit d abod touve l expession du potentiel dans la égion 0 <y<apou laquelle 1 = a y et = y + a : V = kq kq = kq a y + kq y+a = kq (y+a)+(a y) (a y)(y+a) V = kq a (a y)(y+a) = kqa a y Puis, on donne une valeu aux difféentes vaiables, on définit l expession du potentiel pou les potions y>a,y<aet, en ajustant le signe, losque y<0. On tace ensuite le gaphe demandé : Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique v4

23 > estat; > a:=1.0; > Q:=1.0; > k:=1.0; > V:= piecewise(y<-a,*k*q*abs(y)/(y^-a^),y<a,*k*q*a/(a^-y^),*k*q*y/(y^-a^)) ; > plot(v,y=-3*a..3*a,view=[-3*a..3*a,0..10],discont=tue); E49. (a) On donne la figue suivante, où les chages ont été numéotées pou facilite l écitue : Le potentiel total en un point P situésul axedesx est donné pa l équation 4.10, dans laquelle 1 = x + a et = x a : V = kq 1 V = kq 1 + kq = k( Q) x+a a (x+a)(x a) + kq x a = kq (x a)+(x+a) (x+a)(x a) = kqa x a (b) Selon l équation 4.17, étant donné que le potentiel ne dépend que de x, E = dv dx i = d kqa i dx x a = kqa d x dx a 1 i E = kqa 1 i (x) (x a ) = 4kQax (x a ) i (c) Pou éponde à la question, on doit d abod touve l expession du potentiel dans la égion 0 <x<apou laquelle 1 = x + a et = a x : V = kq kq = k( Q) x+a + kq a x = kq (a x)+(x+a) (x+a)(a x) V = kq a (x+a)(a x) = kqx a x Puis, on donne une valeu aux difféentes vaiables, on définit l expession du potentiel pou les potions x>a,x<aet, en ajustant le signe, losque x<0. On tace ensuite le gaphe demandé : > estat; > a:=1.0; > Q:=1.0; > k:=1.0; > V:= piecewise(x<-a,-*k*q*a/(x^-a^),x<a,*k*q*x/(a^-x^),*k*q*a/(x^-a^)) ; > plot(v,x=-3*a..3*a,view=[-3*a..3*a, ],discont=tue); E50. À pati de l équation 4.17, appliquée dans la diection adiale, on touve v4 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique 3

24 µ E = dv d = d d kq(3r ) R = kq d 3 R 3 d 3R = kq R 3 E51. On donne 0 et V ( 0 ), qui sont des constantes. À pati de l équation 4.17, appliquée dans la diection adiale, on obtient E = dv d u = d d V ( 0 ) kλ ln u 0 E = d d (V ( 0 ) kλ ln ()+kλ ln ( 0 )) u E = d d ( kλ ln ()) u =kλd d (ln()) u = E5. Selon l exemple 4.6, p V =πkσ a + y y kλ u Selon l équation 4.17, étant donné que le potentiel ne dépend que de y, E = dv p dy j = d j p dy πkσ a + y y = πkσ d j dy a + y y µ µ E = πkσ 1 1 d dy a + y j 1 = πkσ 1 y j 1 a +y E =πkσ µ 1 a +y y a +y j E = πkσ µ1 y a +y E53. (a) On donne V =x 3 y 3xy z +5yz 3. À pati de l équation 4.18, dans laquelle l utilisation de la déivée patielle est nécessaie puisqu on a une fonction de plusieus vaiables, on touve E = V x i V y j V z k E = 6x y 3y z i x 3 6xyz +5z 3 j 3xy +15yz k E = 3y z 6x y i + 6xyz x 3 5z 3 j + 3xy 15yz k (b) Dans le logiciel Maple, on définit l expession du potentiel, on cée ensuite l équipotentielle V = 1000 V et on tace cette équipotentielle : > estat; > V:=*x^3*y-3*x*y^*z+5*y*z^3; > eq:=v=1000; > plots[implicitplot3d](eq,x= ,y= ,z= ,numpoints=000, scaling=constained,axes=nomal); E54. On donne E = i +3 j 5 k V/m, A = i + j +3 k met B = 3 i j +7 k m. On calcule d abod le déplacement : s = B A = 3 i j +7 k i + j +3 k = 4 i 3 j +4 k m Selon l équation 4.6a du manuel, V = V B V A = E s = i +3 j 5 k 4 i 3 j +4 k 4 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique v4

25 V B V A = ( (4)+3( 3) 5(4))= 37,0 V E55. On donne Q 1 =5µC, Q =µc, 1 = i +3 j 5 k met = i +4 j + k m. La distance ente les deux chages est donnée pa = 1 = i +4 j + k i +3 j 5 3 k = i + j +7k q = ( 3) +1+7 =7,68 m L énegie potentielle est donnée pa l équation 4.1a : U = kq 1Q = (9 109 )( )( 10 6 ) 7,68 = 11,7 mj E56. On donne Q 1 =3nC, Q = nc, 1 = i = j +6k m. 3 i j + k met (a) Le module du vecteu donnant la position de chacune des chages epésente la distance q q à l oigine; donc, 1 = 3 +( ) +1=3,74 met = 1+( ) +6 =6,40 m. À pati de l équation 4.10, on touve V = kq kq = k Q1 1 + Q = , ,40 = 4,41 V (b) On donne q = 5 nc. L énegie potentielle de q associée à Q 1 et Q est, selon l équation 4.11, U q(q1 Q ) = qv = (4,41) =, J. À cette valeu, on doit ajoute l énegie potentielle du couple fomé des chages Q 1 et Q. La distance 1 vaut 1 = 1 i = j +6k q 1 = ( ) +5 =5,39 m U 1 = kq 1Q 1 = (9 109 )( )( 10 9 ) 5,39 = 1, J L énegie potentielle totale est 3 i j + k = i +5 k U = U q(q1 Q ) + U 1 =, , = 3,1 nj E57. On donne Q 1 àl oigineetq en x =m. Le champ électique et le potentiel en x =1msont E = 7 i N/C et V =63V. Avec 1 = =1m, le potentiel total est donné pa V = kq kq =63V Q 1 + Q = 63 =7, C (i) 9 Compte tenu de la position elative des chages et de leu signe inconnu, l unique composante du champ est E x = kq 1 kq 1 = 7 N/C Q 1 Q = 7 =3, C (ii) 9 Si on ésout les équations (i) et (ii), on touve Q 1 =,00 nc et Q =5,00 nc v4 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique 5

26 E58. On donne q 1 = q = q 3 = q 4 = q =nc, que l on doit amene aux quates coins d un caé d aête L = 0,14 m. Le tavail extéieu nécessaie pou amene ces chages aux quate coins du caé coespond diectement à l énegie potentielle électique du système. À l aide de l équation 4.1b, si on considèe quate couples sépaés pa une distance L et deux couples sépaés pa L, on touve W ext = U = P kq i q j ij =4 kq L + kq L = kq L W ext = (9 109 )( 10 9 ) 0,14 4+ = 1,39 µj 4+ E59. On donne λ =, nc/m. Comme il s agit d un objet chagé de dimensions finies, on obtient le potentiel au cente de l anneau à pati de l équation On note que la distance ente chaque pacelle de chage dq et le cente de l anneau est R, son ayon, qui est une quantité inconnue. La chage totale su la moitié de l anneau est R dq = λ(πr). Ainsi, V = k R dq = k R dq R = k R R dq = k R λ(πr) =πkλ = π , 10 9 = 6, V E60. On donne a =0,03 m, le ayon de l anneau, λ =1,5 nc/m, la densité linéique de chage qu il pote et q =nc, la chage placée au cente de l anneau. (a) Le potentiel céé pa l anneau en son cente est calculé à pati du ésultat de l execice 43, pou y =0: V = kq a =πkλ L énegie potentielle de la chage q placée au cente est donnée ensuite pa l équation 4.11 : = kλ(πa) a U = qv = q (πkλ) =πkqλ =π , = 0,170 µj (b) Si on déplace légèement la chage q, l équilibe est ompu et la chage subit une foce qui l éloigne en l accéléant jusqu à une distance infinie pou laquelle U f =0. En l absence de foce non consevative, l énegie mécanique est consevée : K + U =0 (K f K i )+(U f U i )=0 K f = (U f U i )=U i =0,170 µj L énegie cinétique finale n appatient qu à la chage q de masse m = kg : q q K f = 1 mv K f v f = f m = (1, ) = 18,4 cm/s E61. Le point A est à l infini, donc V A =0, et le point B est à y =0,10 m au-dessus d un disque de ayon a =0,0 m potant une densité sufacique de chage σ =nc/m.à 6 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique v4

27 pati du ésultat de l exemple 4.6, on touve p V =πkσ a + y y =π µ q (0,0) +(0,10) 0,10 V =14,0 V Le tavail extéieu pou amene q =5nC de A à B est W EXT = q (V B V A )= (14,0 0) = 70,0 nj E6. À une distance =(0,15 m) +(0,10 m) =0,5 m du cente d une sphèe chagée de ayon R =0,10 m, le potentiel est V =3,8 kv. La chage Q su la sphèe est donnée pa l équation 4.9 : V = kq Q = V k = (3, )(0,5) 9 10 =1, C 9 La densité sufacique de chage su la sphèe est σ = Q 4πR = 1, π(0,10) = 0,844 µc/m E63. On donne R 1 =0,4 m, R =0,5 metσ 1 =8, nc/m. Le aisonnement suivi à la section 4.5 conduit à l équation 4.16 du manuel : σ 1 σ = R R 1 σ = R 1 R σ 1 Mais σ = Q, donc 4πR Q 4πR = R 1 R σ 1 Q =4πσ 1 R 1 R = 0,103 nc E64. La chage initiale Q i et le ayon initial R i de chaque goutte sont inconnus. Le potentiel à la suface de chaque goutte est V i =1000V; donc V i = kq i R i Q i R i = =1, C/m (i) On sait que la chage finale Q f =Q i et le ayon final de l unique sphèe fomée des deux gouttes sont obtenus en compaant les volumes : 4 3 πr3 f = 4 3 πr3 i R 3 f =Ri 3 R f =() 1/3 R i Le potentiel à la suface de la sphèe finale est obtenu pa l équation 4.9 et en faisant appel à l équation (i) : V f = kq f R f = k(q i) = k Q i () 1/3 R i () 1/3 R i = (9 109 ) 1, = 1,59 kv () 1/3 E65. On donne R 1 =0,03 metr =0,07 m. On sait que Q 1 + Q =30nC (i) et on peut utilise l équation 4.15 : Q 1 R 1 = Q R (ii) Onésoutleséquations(i)et(ii)etontouve v4 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique 7

28 Q 1 =9,00 nc et Q =1,0 nc E66. On donne V (x) =3x 15x +7. Comme cette fonction potentiel ne dépend que de la vaiable x, le champ électique ne possède qu une composante dans cette diection. À pati de l équation 4.17 appliquée dans la diection x, ontouve dv (x) E x = dx = dx d 3x 15x +7 = 6x +15 (a) Cette composante de champ sea nulle losque 6x +15=0 x =,50 m (b) On définit la fonction potentiel et on tace le gaphe demandé : > estat; > V:=3*x^-15*x+7; > plot(v,x=0..5); Le gaphe confime la éponse (a) ca en x =,50 m, la pente est nulle. Poblèmes P1. On donne q α =e, q Th =90e, m α =4u, m α = 34u, i =7, metk i =0,siles deux paticules sont à peu pès au epos initialement. On note aussi que u =1, kg. Selon l équation 4.1b, U i = kq αq Th i = (9 109 )(e)(90e) 7, =5, J Toute l énegie potentielle devient de l énegie cinétique losque les paticules sont sépaées pa une distance infinie (U f =0). D apès l équation 8.9 du tome 1, K + U =0 (K f K i )+(U f U i )=0 K f = ( U i )=U i =5, J Ils agitdel énegiecinétiquetotale des deux paticules. Si v α et v Th sont les modules de leus vitesses à l infini, alos 1 m αvα + 1 m ThvTh =5, J (i) Il y a deux inconnues. Pou ésoude le poblème, on doit faie appel au pincipe de consevation de la quantité de mouvement (voi le chapite 9 du tome 1). Comme on peut suppose qu il n y aucune foce extéieue su les deux paticules, alos la quantité m α v α + m Th v Th este constante duant tout le pocessus. Comme elle était nulle avant 8 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique v4

29 la désintégation, alos, en supposant que les paticules se déplacent le long de l axe des x et que le noyau de thoium ecule, m α v αx + m Th v Thx =0 m α v α m Th v Th =0 (ii) En fonction de l unité de masse atomique, les deux équations deviennent 1 (4u) v α + 1 (34u) v Th =5, vα + 117vTh = 5, u et = 5, , v α + 117v Th = (iii) 4uv α 34uv Th =0 v α 117v Th =0 (iv) Si on ésout les équations (iii) et (iv), on touve v α =4, m/s et v Th =6, m/s; les énegies cinétiques finales sont K α = 1 m αvα = 1 4(1, ) 4, K α =5, J K Th = 1 m ThvTh = 1 34(1, ) 6, K Th =9, J P. Cette situation est similaie à celle de l exemple 4.6. Toutefois, comme le disque est pecé, on doit calcule l intégale de la bone intéieue a à la bone extéieue a : R b h xdx x V =πkσ (x +y ) =πkσ + y 1/ b a a b V = πkσ + y 1/ a + y 1/ P3. On donne q Na = e, q Cl = e et d =, m, le pas du éseau. On doit visualise le éseau cistallin. On peut y aive en epoduisant dans les tois diections la figue On peut aussi, avec le logiciel Maple, dessine une patie du éseau : > estat; > Na:=[[0,0,0],[0,d,-d],[0,d,d],[0,-d,-d],[0,-d,d],[d,d,0],[d,-d,0],[-d,d,0],[-d,-d,0],[d,0,d], [d,0,-d],[-d,0,d],[-d,0,-d]]; > Cl:=[[d,0,0],[-d,0,0],[0,d,0],[0,-d,0],[0,0,d],[0,0,-d],[d,d,d],[-d,d,d],[d,-d,d],[-d,-d,d], [d,d,-d],[-d,d,-d],[d,-d,-d],[-d,-d,-d]]; > d:=.8e-10; > with(plots): with(plottools): > fo i to 13 do nag i:=sphee(na[i],3e-11,colo=plum): end: > fo i to 14 do clg i:=sphee(cl[i],6e-11,colo=yellow): end: v4 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique 9

30 > display({seq(nag i,i=1..13),seq(clg i,i=1..14)}, scaling=constained); (a) Une nouvelle figue pemet de confime que les six voisins immédiats sont des atomes de chloe : > fo i to 6 do cll i:=line([0,0,0],cl[i],colo=ed,thickness=3): end: > display({seq(nag i,i=1..13),seq(clg i,i=1..14),seq(cll i,i=1..6)}, scaling=constained); Les six segments ouges, de longueu d, elient l ion sodium à ses voisins. Le potentiel total de ces six ions chloe à l oigine est V 6Cl =6 kqcl d = 6(9 109 )( 1, ) = 3, V, L énegie potentielle associée à ces ions et à l ion sodium à l oigine est U Na(6Cl) = q Na V 6Cl = 4, J (b) Une aute figue monte que les douze voisins qui suivent sont des atomes de sodium : > fo i to 1 do nal i:=line([0,0,0],na[i+1],colo=blue,thickness=3): end: > display({seq(nag i,i=1..13),seq(clg i,i=1..14),seq(nal i,i=1..1)}, scaling=constained); Les douze segments bleus, de longueu d, elient l ion sodium à ses voisins. Le potentiel total de six de ces douze ions sodium à l oigine est V 6Na =6 kqna d = 6(9 109 )(1, ) (,8 10 =, V 10 ) L énegie potentielle associée à ces ions et à l ion sodium à l oigine est U Na(6Na) = q Na V 6Na =3, J L énegie potentielle totale de l ion sodium avec les douze ions est U = U Na(6Cl) + U Na(6Na) = 4, , = 1, J P4. L énegie libéée pa un électon coespond au poduit de la valeu absolue de sa chage avec la difféence de potentiel V = V. Le débit d électons est de électons/s. Si on considèe que 30 % de cette énegie peut sevi à chauffe la cible en tungstène, alos la puissance associée à cet appot de chaleu est P = e V électons 1 s (0,30) P = 1, C V électons 1 s (0,30) = 38,4 W 30 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique v4

31 Selon l équation 17.1 du tome 1, la chaleu Q nécessaie pou éleve de T =10 Cla tempéatue d une masse m = 0,500 kg de tungstène est Q = mc T où c = 134 J/(K kg), la chaleu spécifique du tungstène. Comme P = Q t, on touve P t = Q = mc T t = mc T P = 0,500(134)(10) 38,4 = 17,4 s P5. Ce poblème pésente une situation identique à celle de l execice 46. Nous suggéons la lectue de la solution de cet execice pou compende comment le potentiel aux deux endoits demandés a déjà été calculé. La sphèe métallique de ayon R 1 pote une chage Q 1 dont le signe est inconnu. La coquille conductice de ayon R pote une chage Q négative. On adapte simplement les ésultats de l execice 46 à ces vaiables. (a) V 1 = k Q1 R 1 + Q R (b) V = k R (Q 1 + Q ) (c) La difféence est obtenue à pati des deux pemies ésultats : V 1 V = k Q1 R 1 + Q R k R (Q 1 + Q )= k Q 1 1 R 1 1 R (d) À pati du ésultat de la patie (c), on voit que cette difféence peut ête nulle si R 1 = R, ce qui élimine l existence de l un ou l aute des objets chagés, ou encoe si Q 1 =0. P6. Dans l exemple 4.9, on monte que l énegie potentielle d une sphèe conductice de ayon R potant une chage Q équivaut à U = kq R. On suggèe de calcule la déivée de l énegie potentielle pou obteni la composante adiale de foce. Ce calcul est possible dans la mesue où l on considèe que R est la vaiable epésentant la distance adiale : F = du d = du dr = d kq dr R = kq 1 R = kq R La foce subie pa unité d aie est le appot ente cette composante de foce et l aie A =4πR de la sphèe. Si Q = σa, alos F A = kq R A = k(σa) R A = k(σa) R A = kσ A R = kσ (4πR ) R =πkσ F A = σ ε 0 CQFD P7. On donne a, le ayon du fil intéieu d un câble coaxial d une densité linéique de chage λ>0 et b, le ayon de la gaine extéieue potant une densité linéique de chage λ. Selon l execice 0 du chapite 3 et pace que la chage intéieue est positive, le champ électique dans l espace qui sépae le fil de la gaine est donné pa E = kλ u. v4 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique 31

32 (a) On utilise l équation 4.14 avec d s = d u : R V b V a = b E d Rb s = u d Rb u = kλ a a kλ a d V b V a = kλ [ln () b a V b V a = kλ ln b a CQFD (b) On donne a = m, b =,5 10 met V = 800 V. On calcule d abod le poduit kλ avec le ésultat de la patie (a), en se appelant que le potentiel diminue ves l extéieu, donc V b V a = 800 V: V b V a = kλ ln b a kλ = V b V a ln( a b ) = 800 6,73 =1,19 10 V Le module du champ électique losque = a est E a = kλ a = 1, = 3, V/m P8. (a) La figue ci-dessous epend la figue 4.46 du manuel en montant la vaiable utilisée pou décie la position d un élément de chage su la tige. On utilise l équation 4.13 avec dq = λd et = x la distance ente un élément de chage et le point P V = k R / dq = k R / / λd x = kλ R / V = kλ ln x +ln x + d x = kλ [ ln (x ) / = kλ ln µ x+ L x L / Comme λ = Q µ, V = kq L ln x+ L x L (b) Le potentiel en un point situé à une distance y du cente de la tige peut ête calculé à pati du ésultat du poblème 9. Comme la tige est deux fois plus longue, on multiplie le ésultat pa deux et on emplace la longueu L du ésultat pa L en appelant que λ = Q : V = kq L ln Ã! L + ( L ) +y 1/ y (c) On donne une valeu aux difféentes vaiables, on définit l expession selon les deux axes du potentiel total et on tace le gaphe demandé. Pou este dans le domaine d application du ésultat (a), la bone inféieue est fixée à L : 3 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique v4

33 > estat; > Q:=1; > L:=1; > k:=1; > Vx:= (k*q/l)*ln((x+l/)/(x-l/)) ; > Vy:= (*k*q/l)*ln((l/+sqt((l/)^+x^))/x) ; > plot([vx,vy],x=l/..*l,colo=[ed,blue]); Le gaphe confime que la décoissance est plus apide dans la diection x. P9. La figue ci-dessous epend la figue 4.47 du manuel en montant la vaiable utilisée pou décie la position d un élément de chage su la tige. On utilise l équation 4.13 avec dq = λd et = p + y, la distance ente un élément de chage et le point P V = k R dq = k R L λd hln = kλ + p + y L 0 +y 0 V = kλ ln L + p µ L L+ L + y ln (y) kλ ln +y y P10. Selon l exemple 3.3 du manuel, le champ électique mesué à l intéieu d une sphèe chagée unifomément est E = kq R u 3, où R est le ayon de la sphèe et Q, lachage totale su la sphèe. On sait aussi que le potentiel à la suface de la sphèe V (R) est donné pa l équation 4.9, soit V (R) = kq R. Pou touve la valeu du potentiel en tout point à l intéieu de la sphèe, on applique l équation 4.14 de à R. Commed s = d u, R V (R) V () = E d RR s = kq R u d RR u 3 = R V () = kq RR h d + V (R) = kq d + kq R 3 R 3 R = kq R 3 R + kq R V () = kq R R 3 + kq R = kq R R +R = 3 kq R 3 d kq R 3R CQFD 3 P11. L énegie potentielle de la sphèe U coespond au tavail extéieu qu on doit accompli v4 Électicité et magnétisme, Chapite 4 : Le potentiel électique 33