Cours : Vecteurs repérage dans le plan

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1 Cors : Vecters repérage dans le plan I. Repères et coordonnées a) repérage sr ne droite Choisir n repère sr ne droite, c est se donner dex points distincts O et I de, pris dans cet ordre. O est l origine d repère. Posons alors OI = i. Le ecter i est appelé ecter de base. Le repère sera noté (O ; i ). Définition : L abscisse d point M de dans le repère (O ; i ) est le réel x tel qe OM =x i. Exemple : OM = 7 i signifie qe M a por abscisse 7 dans le repère (O ; i ). N a por abscisse -, dans le repère (O ; i ) signifie qe ON = -, i. b) repérage dans le plan N -, O I M 0 i 1 7 Définition : (O ;I,J) est n repère d plan. Il est constité d n triplet de points non alignés. O est appelé origine d repère La droite gradée (O ;I) est l axe des abscisses. La droite gradée (O ;J) est l axe des odonnées. types de repères (selon le maillage) : Repère orthonormal Repère orthogonal Repère qelconqe La maille est n carré. Les axes sont perpendiclaires en O et OI = OJ. La maille est n rectangle. Les axes sont perpendiclaires en O. La maille est n parallélogramme Coordonnées d n point dans n repère Soit M n point d plan mni d repère (O ;I,J). M est repéré par n niqe cople de réels (x ;y). On dit qe (x ; y) est le cople des coordonnées d point M dans ce repère. x est appelé l abscisse et y l ordonnée. 1

2 Cors : Vecters repérage dans le plan Notion de dimension Sr ne droite gradée mnie d n repère (O ;I), n point est repéré par n niqe réel ; son abscisse. On dit qe la droite est de dimension 1. Dans le plan mni d n repère (O ;I ;J), n point est repéré par son cople de coordonnées. On dit qe le plan est de dimension. II. Vecters a) égalité de ecters Lorsqe et sont distincts, le ecter est caractérisé par : sa direction (celle de la droite ()) son sens (de ers ) sa longer. Définition : On dit qe dex ecters sont égax lorsq ils ont même direction, même sens et même longer. On note = = CD = EF Vecters particliers : Le ecter nl 0 : por tot point M, MM = 0 Le ecter opposé à est le ecter qi a la même direction, la même longer qe mais n sens opposé. C est donc le ecter. On note : = - Propriété : Dire qe qatre points,, C et D sont tels qe = DC éqiat à dire qe les segments [C] et [D] ont le même milie. En particlier, si les points ne sont pas alignés, c est éqialent à dire qe CD est n parallélogramme. I est le milie de [C] et celi de [D] I est le milie de [C] et de [D] et CD est n parallélogramme. b) somme et différence de ecters Définition : La somme de dex ecters et est le ecter, noté +, défini ainsi : étant n point qelconqe, on place le point tel qe =, pis le point C tel qe C = ;

3 Cors : Vecters repérage dans le plan alors + = C. L égalité + C = C est appelée relation de Chasles. + Remarqe : si = OM et = ON, alors + = OR où OMRN est n parallélogramme. On en dédit la règle d parallélogramme :, et C étant donnés, + C = D éqiat à DC est n parallélogramme. Définition : La différence d ecter et d ecter s obtient en ajotant a ecter l opposé d ecter : = + (- ). Milie d n segment : - - Le milie de [] est le point I tel qe : = I o I = 1. tres tradctions : I = I ; I = - I ; I + I = 0. Exercice : 1. Démontrer qe por tos points O, et, O O =., et C sont trois points ; I est le milie de [C]. Démontrer qe I = + C. Soltion : 1. O O = O + O = O + O = d après la relation de Chasles.. + C = I + I + I + IC d après la relation de Chasles = I + I + IC Or I est le milie de [C], d où I + IC = 0 Donc on a bien I = + C. III. Mltiplication d n ecter par n réel a) Définition désigne n ecter non nl et k n nombre réel non nl. Le prodit d ecter par le réel k est le ecter k tel qe : k et ont même direction Lorsqe k > 0 Lorsqe k < 0 k a le même sens qe k est de sens opposé à celi de la longer de k est le prodit de k la longer de k est le prodit de l opposé par la longer de. de k par la longer de. C k C k Les égalités de longer peent être résmées par : C = k. Exemples : centre de graité d n triangle :

4 Cors : Vecters repérage dans le plan Le centre de graité d triangle C est le point G tel qe G = I o G = - GI, lorsqe I est le milie de [C] (c est à dire qe (I) est la médiane isse de ). tres tradctions : IG = 1 le théorème des miliex C est n triangle. I ; GI = - 1 G. Si M est le milie de [] et N celi de [C] alors MN = 1 En effet : MN = M + N d après la relation de Chasles = C car M est le milie de [] et N celi de [C] = 1 ( + C ) = 1 C. C d après la relation de Chasles b) règles de calcl Propriétés : k = 0 éqiat à k = 0 o = 0 Por tos réels k, k et tos ecters, : k( + ) = k + k (k + k ) = k + k k(k ) = (kk ) 1. = Exemples : + = ( + ) = 5 - = - = - M = 0 éqiat à M = 0, c est à dire = M. IV. Colinéarité de dex ecters a) ecters colinéaires Définition : Dire qe dex ecters non nls = et = CD sont colinéaires signifie q ils ont la même direction. D C Cela signifie qe les droites () et (CD) sont parallèles o confondes. Propriété : Dire qe les ecters non nls et sont colinéaires éqiat à dire q il existe n nombre réel k non nl tel qe = k. Remarqe : Par conention, on dit qe le ecter nl est colinéaire à tot ecter. b) parallélisme et alignement c) Dire qe les droites () et (CD) sont parallèles éqiat à dire q il existe n nombre réel k non nl tel qe CD = k. Dire qe les points distincts, et C sont alignés éqiat à dire q il existe n nombre réel k non nl tel qe = kc. 4

5 Cors : Vecters repérage dans le plan Exercice 1 : Dans la figre ci-contre : CD est n parallélogramme de centre I, est le milie d segment [E], G est le centre de graité d triangle CE, et F = + D. Déterminer les relations reliant E et CD, CG et C, pis EI et EG. Calcler IE + IF, pis montrer qe E, G et F sont alignés. Soltion : E = car est le milie de [E] = DC = -CD car CD est n parallélogramme. CG = C car G est le centre de graité d triangle CE. EG = IE + IF = I + EI car G est le centre de graité d triangle CE, donc EI = E + I + F d après la relation de Chasles EG. = I + E + + D = ( I + ) + + D ( E = car est le milie de [E]) = I + C ( + D = C car CD est n parallélogramme) = C + C = 0 ( I = C car I est le milie de [C]) On en dédit qe I est le milie de [EF]. On a alors EF = EI et de pls EI = EG donc EF = EG et les points E, F et G sont alignés. Exercice : C est n triangle, les points I et J sont tels qe I = 1 et J = C 1. Exprimer IC et J en fonction de et C.. En dédire qe les droites (IC) et (J) sont parallèles. Soltion : 1. IC = I + C d après la relation de Chasles = C J = + J d après la relation de Chasles J = - + C. D après les égalités précédentes, on obtient : J = IC Donc les ecters J et IC sont colinéaires et les droites (J) et (IC) sont parallèles. 5

6 Cors : Vecters repérage dans le plan V. Coordonnées de ecters Dans ce paragraphe, n repère (O ;I,J) d plan est fixé. On note i = OI et j = OJ. Le repère (O,I,J) se note assi (O ; i ; j ). a) Généralités est n ecter donné ; M est le point tel qe OM =. Notons (x ; y) les coordonnées d point M. lors OM = x i + y j. Donc = x i + y j. insi tot ecter d plan pet s écrire sos la forme : = x i + y j. Définition : Dire qe le ecter a por coordonnées x y dans le repère (O ; i, j ) signifie qe = x i + y j. On note x. Propriété : Dire qe les ecters x y et x' y' sont égax éqiat à dire qe lers coordonnées respecties sont égales: x = x et y = y. b) règles de calcl sr les coordonnées Propriétés : x y et x' y' sont dex ecters et k est n réel qelconqe, Le ecter + a por coordonnées x + x' y + y' ; Le ecter k a por coordonnées kx ky. En effet = x i + y j et = x i + y j, on a alors + = (x + x ) i + (y + y ) j. Calcl des coordonnées de : (x ; y ) et (x ; y ) sont dex points. Le ecter a por coordonnées x x y. Démonstration : D après la relation de Chasles, = O + O et O = - O. De pls O = x i + y j et O = x i + y j. On obtient alors = (x x ) i + (y y ) j. Exercice : Dans n repère (O ; i, j ), on donne le point (-1 ; ) et le ecter -1. La translation de ecter transforme en. Calcler les coordonnées de. Soltion : On note (x ; y ) les coordonnées d point. 6

7 Cors : Vecters repérage dans le plan La translation de ecter transforme en signifie qe =. Les coordonnées de ces dex ecters sont donc égales. On en dédit : x (-1) = et y = -1 d où x = et y = 1 Donc ( ; 1). Coordonnées d milie d n segment Soient (x ; y ) et (x ; y ) dex points d plan mni d n repère (O ; i, j ), alors le milie I d segment [] a por coordonnées x + x y + y ;. En effet, I est le milie de [] se tradit par I = 1 I x I x I y et ; x x y. On obtient alors les égalités : x I x = 1 (x x ) d où x I = x + x et y I y = 1 (y y ) d où y I = y + y. Exercice : Dans la figre ci-contre : CD est n parallélogramme, le point P est le milie d segment [D], le point R est le symétriqe de par rapport à D et le point Q est tel qe Q = 1. On et montrer qe les points P, Q et R sont alignés. Soltion : On pose i = et j = D Dans le repère ( ; i, j ), (1 ; 0), D(0 ; 1), Q( 1 ; 0) car Q = 1 et P(0 ; 1 ) car P est le milie de [D]. R(x R ; y R ) est le symétriqe de par rapport à D, D est alors le milie de [R]. On obtient alors x D = x + x R et y D = y + y R. D où x D = x + x R c est à dire 0 = 1 + x R et x R = -1 y D = y + y R c est à dire = 0 + y R et y R = donc R(-1 ; ). On obtient alors QP 0 x P x Q 1 - P y ; QP 1 Q 1 ; QP 0 1 et QR x R x Q R y ; QR -1 1 Q ; QR - 4 On a alors QR = 4 QP. 0 Les ecters QR et QP sont colinéaires, donc les points Q, P et R sont alignés. c) condition de colinéarité Propriété : Dans n repère (O ; i, j ) fixé, x dire qe les ecters non nls y et x' y' sont colinéaires éqiat à dire qe xy x y = 0. 7

8 Cors : Vecters repérage dans le plan exemples : 1 5 si - 1 et -, alors xy x y = = = 0 5 Donc et sont colinéaires si et - 4, alors xy x y = = = Donc et ne sont pas colinéaires. Exercice : Le plan est mni d n repère (O ; i, j ). On considère les points (- ; ), (4 ; -1) et C(1 ; 4). Déterminer les points D(4 ; y) et M(x ; ) tels qe : CD est n trapèze, de bases parallèles [] et [CD], et M est n point de la droite (). Soltion : () et (CD) sont parallèles signifie qe les ecters et CD sont colinéaires. x x y ; 4 (-) -1 ; 6-4 et CD x D x C D y ; CD 4 1 C y 4 ; CD y 4 et CD sont colinéaires signifie qe 6 (y 4) (-4) = 0 6y 1 = 0 donc y = et D(4 ; ). M est n point de () signifie qe les points M, et sont alignés et donc qe les ecters et M sont colinéaires. 6-4 et M x M x M y ; M x (-) ; M x + -1 et M sont colinéaires signifie qe 6 (-1) (-4) (x + ) = 0 + 4x = 0 donc x = - 1 et M(-1 ; ). d) Distance entre dex points Propriété : (x ; y ) et (x ; y ) sont dex points d n repère orthonormal (O ; i, j ). La distance de à est donnée par : = (x x )² + (y y )² j O i (x -x )i (y -y )j M 8

9 Cors : Vecters repérage dans le plan VI Eqations de droites m, p, m, p et c désignent des réels. a) Caractérisation analytiqe d ne droite Propriété : Dans n repère, l ensemble d des points M(x ;y) tels qe : (1) y = mx + p o bien tels qe () x = c est ne droite. Démonstration : () d est l ensemble des points d abscisse c et (1) d est la représentation graphiqe de la d ordonnée qelconqe. fonction affine f : x mx + p. Donc (d) est ne droite parallèle à l axe Donc d est ne droite qi cope l axe des des ordonnées. ordonnées a point (0 ;p) Propriété réciproqe : Dans n repère, tote droite d a ne éqation soit de la forme y = mx + p, soit de la forme x = c. Démonstration : On note (x ;y ) et (x ;y ) dex points distincts de la droite d. Le point M(x ;y) appartient à la droite d, si et selement si les ecters (x x ; y y ) et M(x x ; y y ) sont colinéaires, c'est-à-dire : (y y )(x x ) = (y y )(x x ) (E) Si x x, l éqation (E) s écrit : y = y y x + x y x y ; éqation x x x - x de la forme y = mx + p Si x = x, alors y y (car et sont distincts) et l éqation (E) s écrit x = x, soit sos la forme x = c b) Droites parallèles Propriété Dans n repère, dex droites d et d d éqations y = mx + p et y = m x+p sont parallèles si, et selement si, elles ont le même coefficient directer. (c'est-à-dire m = m ) Démonstration : (0 ;p) et (1 ;m+p) sont dex points de la droite d. (0 ;p ) et (1 ;m +p ) sont dex points de la droite d. Les droites d et d sont parallèles ssi les ecters (1 ;m) et (1 ;m ) sont colinéaires, c'est-à-dire : 1 m = 1 m, soit m = m. 9