Page 1. Diagramme de décision binaire (BDD) Diagramme de décision binaire (BDD) Diagramme de décision binaire. Représentation informatique des BDD

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1 Digrmms éision inirs Digrmm éision inir (BDD) Grph-s Algorithms for Booln Funtion Mnipultion R.E. BRYANT IEEE Trnstion on Computrs 978, pp Eol Polythniqu Univrsitir Montpllir Univrsité Montpllir II Pl Eugèn Btillon, 495 Montpllir x 5, FRANCE Binry Dision Digrms S.B. AKERS IEEE Trnstion on Computrs 986, pp Lortoir 'Informtiqu, Rootiqu t Miroéltroniqu Montpllir UMR 556 Univrsité Montpllir II / CNRS 6 ru A, 49 Montpllir x 5, FRANCE Copyright 4 Epum/Lirmm Copyright 4 Epum/Lirmm Digrmm éision inir Digrmm éision inir (BDD) Théorèm Shnnon: F(x,x,..., x i,...,x n ) = x i. F(x,x,...,,...,x n ) + x i. F(x,x,...,,...,x n ) C théorèm étnt ppliqué à F pour x, puis ux ux sous-fontions otnus pour x, t insi suit jusqu à xn, on pux rélisr un rr éision inir x i F(,,) =.. +. F(,,) =.F(,.) +.F(,,) F(,,) =. F(,,) = F(,,) =.F(,.) +.F(,,) F(,,) = F(,,) = F()= F(,,).F(,,) F()+F().F(,,) F(,,) = F(,,) = F(,,) =.F(,.) +.F(,,) F(,,) = F(,,) = F(,,) =.F(,,) +.F(,,) F(,,) = F(,,) = F(,,) =.F(,,) +.F(,,) F(,,) = F(,,) = Copyright 4 Epum/Lirmm 4 Copyright 4 Epum/Lirmm Digrmm éision inir réuit (RBDD) Rprésnttion informtiqu s BDD 5 Réution pr élimintion s fuills t sous-grphs intiqus s sommts ronnts Propriété : Pour un oronnnmnt onné l BDD réuit (RBDD) st uniqu. Copyright 4 Epum/Lirmm Copyright 4 Epum/Lirmm Pg

2 Proéur réution s BDD Influn l orr s vrils Complxité : O(nlogn) Copyright 4 Epum/Lirmm 8 F(,,) =.. +. Orr: Orr: Copyright 4 Epum/Lirmm Orr s vrils Constrution s BDD Règls priorité: - Vrils pprissnt sous l mêm form ns tous ls monôms - Vrils onstitunt un monôm à lls suls - Vrils ourrn mximl strtégis prinipls onstrution s BDDs : l rin vrs ls fuills (top-own). Ctt métho st utilisé lorsqu on prt un formul lgériqu s fuills vrs l rin (ottom-up) lorsqu l on prt un sription struturll u iruit. - Vrils x minimisnt l xprssion O(x) - O(x ) (O(x): Nomr ourrns l vril x) 9 Copyright 4 Epum/Lirmm Copyright 4 Epum/Lirmm Constrution s BDD - Métho top-own Constrution s BDD - Métho Bottom-up On utilis l formul Shnnon. Exmpl: soit f(,,)= + v or()<or()<or() Si l on fit l xpnsion pr rpport à on otint l Fig. En fisnt l xpnsion pr rpport à on otint l Fig. En fisnt l xpnsion pr rpport à on otint l Fig. ' ' ' ' ) ) ) Définition: l nivu un formul st éfini pr : ls vrils ntré sont nivu hqu sous-formul f = g <Op> h un nivu égl à Mx (niv(g),niv(h)) + Métho pour onstruir l BDD un fontion f n vrils : ) onstruir ls BDD s vrils ) onstruir ls BDDs s formuls nivu i répétr l étp pour tous ls nivux (i =, n) Exmpl : f = xy + z : On onstruit ls BDD x, y t z puis lui x.y puis lui x.y + z. Copyright 4 Epum/Lirmm Copyright 4 Epum/Lirmm Pg

3 Opértions logiqus ntr BDD Opértions logiqus ntr BDD L BDD résultnt un opértion logiqu ntr fontions put êtr onçu à prtir s BDD originux n ppliqunt l proéur suivnt: Consiérr ls sommts rins s BDD En fontion l ntur s sommts ppliqur un s règls (R,R,R) Itérr l prossus jusqu à l génértion s sommts trminux x <Op> y R: Si ls sommts Sf t Sg sont s sommts trminux => L sommt résultnt st un sommt trminl vlur Vlur(Sf) <Op> Vlur(Sg) <Op> => <Op> R: Si l sommt Sf st un sommt trminl mis ps Sg => Crér l sommt Sg n lui ssoint omm fils roit l résultt l omprison (Sf, fils roit Sg) omm fils guh l résultt l omprison (Sf, fils guh Sg) <Op> Copyright 4 Epum/Lirmm 4 Copyright 4 Epum/Lirmm Opértions logiqus ntr BDD Opértions logiqus ntr BDD R: Si ni l sommt Sf ni l sommt Sg n sont s sommts trminux R.: Si Sf t Sg rprésntnt l mêm vril => Crér un sommt rprésntnt l vril n lui ssoint omm fils roit l résultt l omprison (fils roit Sf, fils roit Sg) omm fils guh l résultt l omprison (fils guh Sf, fils guh Sg) <Op> R: Si ni l sommt Sf ni l sommt Sg n sont s sommts trminux R. : Si Sf t Sg n rprésntnt ps l mêm vril => Crér un sommt S rprésntnt l vril intrvnnt l èr ns l oronnnmnt onsiéré (S=min(Or(Sf),Or(Sg)) n lui ssoint : omm fils roit l résultt l omprison (fils roit min(or(sf),or(sg)) (Sf) O (S )), mx(or(sf),or(sg))) (Sf) O (S ))) omm fils guh l résultt l omprison (fils guh min(or(sf),or(sg)), mx(or(sf),or(sg))) <Op> f 5 Copyright 4 Epum/Lirmm 6 Copyright 4 Epum/Lirmm Opértions logiqus ntr BDD Opértions logiqus ntr BDD R: <Op> => <Op> n n m m R: <Op> n n4 f(,,) = '+' m m4 g(,,) =. R.: R.: <Op> <Op> f (n,m) (n,m) (n,m) (n,m) (n,m) (n,m) (n,m) (n,m) (n,m4) (n,m) (n4,m) (n,m) (n4,m4) 7 Copyright 4 Epum/Lirmm 8 h(,,) = f(,,) + g(,g,) Copyright 4 Epum/Lirmm Pg

4 Digrmm éision inir Applition: Evlution fontions Complxité l proéur réution: O(nlogn) Strutur u BDD épn l orr ns lqul sont onsiérés ls vrils (OBDD) L rprésnttion un fontion F sous form BDD prmt trouvr rpimnt l vlur l fontion pour un ominison ntrés onné. Opértions logiqus ntr fontions => irtmnt sur ls OBDD ROBDD -> forms noniqus Applitions Evlution fontions Equivln fontion Clul ofturs Pruv tutologi Tst inlusion... L rprésnttion un fontion F sous form BDD prmt trouvr rpimnt un ominison s ntrés tlls qu F= ou tll qu F=. L omplxité s ux proéurs st n O(n) (L nomr rnhs ntr l rin t un fuill st u plus égl à n). 9 Copyright 4 Epum/Lirmm Copyright 4 Epum/Lirmm Applition: Equivln fontions Applition: Pruv tutologi Si l un s s suivnt st étté, l fontion n st ps un tutologi Pour un orr onné l ROBDD st uniqu. Pour svoir si fontions sont intiqus, il suffit voir si ls ROBBDs sont isomorphs. Touts ls vrils F sont monoforms Un vril monoform st présnt ns tous ls monôms L somm s tills (ns l sns nr points ouvrts) s monôms st infériur à n Si uun s onitions préént n st rmpli, rélisr l BDD. Un onition néssir t suffisnt pour qu un fontion soit un tutologi st qu tous ls sommts trminux (fuills) u BDD villnt (ou qu l RBDD soit rstrint à l fuill ) Exmpl: F(,,) = BDD RBDD Copyright 4 Epum/Lirmm Copyright 4 Epum/Lirmm Applition: Pruv tutologi L grph (BDD) put êtr simplifié n ppliqunt ls règls suivnts: Si un vril x pprît toujours sous l form irt, n ps ontinur l grph sur l rnh (F= <=> Fx =) Si un vril x pprît toujours sous l form omplémnté, n ps ontinur l grph sur l rnh (F= <=> Fx=) Applition: Evlution s ofturs F(x,x,..., x i,...,x n ) = x i. F(x,x,...,,...,x n ) + x i. F(x,x,...,,...,x n ) Pour otnir l oftur pr rpport à xi il suffit supprimr l sommt xi t lir ls sommts pointnt sur xi u fils roit xi Pour otnir l oftur pr rpport à xi il suffit supprimr l sommt xi t lir ls sommts pointnt sur xi u fils guh xi F = + F F' Copyright 4 Epum/Lirmm 4 Copyright 4 Epum/Lirmm Pg 4 4

5 Applition: Tst inlusion Applition: Tst inlusion 5 L prolèm st svoir si un monôm st inlus ns l xprssion l fontion, st à ir ouvrt pr un fontion. C prolèm put êtr réuit à un prolèm vérifition tutologi n utilisnt l théorèm suivnt. Théorèm : Un xprssion F ontint un monôm m si t sulmnt si F m st un tutologi. Rppl : F = m. F m + m F m m F <=> Fm = Copyright 4 Epum/Lirmm 6 Théorèm : m F <=> Fm = Pruv : Rmrquons qu α F <=> F α= α Supposons qu α F => F α = α Consiérons ls ofturs pr rpport à α s trms. Ls trms étnt égux, ls ofturs sont égux. => (F α) ) α = α α α α = => (F α) α = => F α α α = => F α = => F α st un tutologi Réiproqumnt, supposons qu F α soit un tutologi => F α = => F α α = α => F α = [ (α F α ) (α' F α ') ] α = F α α = α => α F Copyright 4 Epum/Lirmm Applition: Tst inlusion Rprésnttion s multi-fontions m F <=> F m = Soit l fontion f = '. Chrhons à svoir si l monôm st ouvrt pr tt xprssion. Soit un BDD pr fontion, soit on prtg s sous-rrs => gin pl Exmpl : F = x. x', F = x x, F = x', F4 = x + x' F F F F F F4 x x x x x 7 Copyright 4 Epum/Lirmm 8 Copyright 4 Epum/Lirmm Pg 5 5

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