Etude du système de positionnement d un appareil d'imagerie médicale Corrigé

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1 TD 8 - Systèes utoatiques Etude du systèe de positionneent d un appareil d'iagerie édiale Corrigé Q.. 3 ouveents de rotation ayant pour paraètres α, β et γ. Q.. Vitesse de rotation de l effeteur : /s 6 /in Soit une vitesse de rotation en tour/in du oteur de N 93tour/in. 36 Chaîne d énergie ENTER MODLER Préationneur alientation tionneur Moteur életrique CONVERTIR Eléent de transission de puissane Réduteur r /558 TRNSMETTRE ET DPTER Effeteur GIR xe éléentaire /s en phase de esure (t) Q.3. S ( ω ω (t) ω t) r 558 ω (t) S 558 Q.4. Shéa blo du systèe : Consigne angulaire ε a - T.p Ω r Ω S p θ S C Fontion de transfert en haîne direte : FTCD Fontion de transfert en boule ouvert : FTBO a r p.( T.p) a r p.( T.p) Fontion de transfert en boule ferée : FTBF Q.5. FTBF a r p.( T.p). a r p.( T.p) a r a r a r. p.( T.p) FTBF T.z.p.p ( p ω a r p.( T.p). a r p.( T.p) a ω. r p ) Florestan MTHRIN Page sur

2 TD 8 - Systèes utoatiques ve : ω T a r..z ω a r. ω z. a r T a. T r Q.6. Réponse indiielle d un systèe du er ordre à une entrée en éhelon de tension. t T u (t).u(t).u(t) ( t).. e.u(t) ω voir ours réponse indiielle er ordre Q.7. Valeur asyptotique : ωs ( ) rad/s r / r 6 rad.s -.V - Teps de réponse à 5% : t 5% 3.T Teps de réponse à,63.s( ) : t T Pente à l origine τ Graphiqueent on lit : T,3s ω S (t) (rad/s),95.ω S ( ),63.ω S ( ) T 3.T t (s) Q.8. FTBO. p Soit intégrateur de onstante un er ordre de onstante p..p.p 3 3 de teps T s (ω 3 rad/s). 3 jω T.jω Florestan MTHRIN Page sur

3 TD 8 - Systèes utoatiques G (db) - db/déade ω (rad/s) -4 db/déade 3 φ ( ) ω (rad/s) 3 Q.9. Rappels de ours : Le odule de FTBO(jω) est le produit des odules de haque fontion de transfert éléentaire et l arguent, la soe des arguents de haque fontion de transfert éléentaire : Intégrateur : H soit : H(jω) p jω Gain en db : G db.log.log ().log(ω) j.ω Phase en degrés : ϕ (ω) 9 Soit : er ordre : H soit : H(jω) T.p T.jω Gain en db : G db log H(jω ) log log T. Phase : ϕ arg( H(jω)) arg( T.jω) artan(t. ω) ω Florestan MTHRIN Page 3 sur

4 TD 8 - Systèes utoatiques G db.log FTBO(jω).log.log H(jω) jω jω T.jω ϕ arg( FTBO(jω)) arg arg( ) 9 arg( T. jω) Pour ω 3 rad/s on a alors : G db.log FTBO(3.j).log ().log(3) log log.3 3 G db 9,5 3 G db,5 db ϕ arg( FTBO(3.j)) 9 arg( ) 9 arg( j) 9 artan() j. 3 ϕ 35 Courbes réelles : Q.. ω oupure 9,5 rad/s on a alors : 9 artan(,3).9,5j. 3 ϕ arg( FTBO(9,5.j)) 9 arg( ) 9 arg(,3.j) ϕ Mφ > 45 C.d.C.F. ok. Florestan MTHRIN Page 4 sur

5 TD 8 - Systèes utoatiques ppliation du ritère du revers Corrigé Q.. et Q.. ω o INSTBLE ω o STBLE M G M φ ω o STBLE STBLE M G ω o M G M φ M φ ω o INSTBLE Florestan MTHRIN Page 5 sur

6 TD 8 - Systèes utoatiques Plate-fore d exploration tout terrain : RobuROC 6 - Corrigé Q.. La ondition de RSG peret d obtenir V(t) R.k. Ω (t) R R.k en /rad..n : R /5,9 R,9 /rad G V (t) en /s et Ω CMot (t) en rad/s G en rad. - et G.N : G rad V/(rad/s) (onnu) onv Ω CMot (t) en rad/s et (t) en V onv en V.s.rad - On a ε V G onv Ω Mot. V G onv V ( p) Si V V ε V G onv. onv onv R Mot R V. R R. G. Q.. C equ V Ω CMot ε G onv C I C Ω Mot Mot k 6 r L.p J. p equ R V E k e Etude des perforanes sans orretion : C Q.3. C equ H C V C - ε - Ω Mot C H /G G. V Calul de la FTBF en poursuite (C equ ) : F.C.H ave C.C.H Florestan MTHRIN Page 6 sur

7 TD 8 - Systèes utoatiques F. (Tp )(Tp ) (Tp )(Tp ). (Tp )(Tp ) F T.T p (T T ).p (Tp )(T p ) T.T (T T) p.p Soit une fontion de transfert d un systèe du nd ordre le systèe est don stable par définition. Q.4. Calul de la FTBF du systèe ulti variables : La FTBF en poursuite a été alulée question 8 : F Calul de la FTBF en régulation :.C.C.H.H ave C - C equ H C Ω Mot / G V - H C G. - C equ H C /G.C.H V.C.H /G.H D où V.V.C.H.C.H.C L éart ε vaut alors : ε V V.C.H /G.H ε V.V.Cequ.C.H.C.H /G.H ε.v.c.h.c.h.c Calul de l erreur en poursuite : V(t) V CO.u(t) et C equ ε li ε t li p. ε p Par définition l erreur statique est ( ( )) ( ( )) s t p ε s li p..v ve V p.c.h VCO p VCO VCO ε s li p. li p.c p.c (Tp )(Tp ) (Tp )(Tp ) Calul de l erreur en régulation : V(t) et C equ C.u(t) equ equ V CO et H p (T p )(T p ) Florestan MTHRIN Page 7 sur

8 TD 8 - Systèes utoatiques Par définition l erreur statique est ε li( ε ( t) ) li( p. ε ( p) ) s t /G.H C ε s li p..c equ ve C equ ; H p.c.h p (Tp )(Tp ) et L C( p) H r C (T p )(T p ) L C( p) r C /G..C.C C /.H G (Tp )(T p ) li p.. li G ε s p p.c.h p.c. (Tp )(Tp ) VCO Le ahier des harges n est pas respeté ar les erreurs en poursuite ( ε s ( ε s G C.C ) ne sont pas nulles..(. ) p ) et en régulation Etude des perforanes ave un orreteur de fontion de transfert : C i /p Q.5. En reprenant les résultats de la question préédente on obtient : Pour l erreur en poursuite : V(t) V CO.u(t) et C equ VCO p VCO ε li p. li p.c p. (Tp )(Tp ) p (Tp )(Tp ) s Calul de l erreur en régulation : V(t) et C equ C.u(t) L C( p) /. r.c C /.H G G (Tp )(T p ) li p.. li ε p p.c.h p. p (Tp )(Tp ) s Le ahier des harges est respeté ar les erreurs en poursuite et en régulation sont désorais nulles (noral il y a un ajout d un intégrateur en aont de la perturbation). Florestan MTHRIN Page 8 sur

9 TD 8 - Systèes utoatiques Q.6. C - db/de ω CO,8rd/s C -9 Q.7. Graphiqueent on a ω CO,8 rad/s Q.8. Graphiqueent on lit un gain à -5dB pour la FTBO non orrigée. Pour C ave I, on a GdB.log I.log,8-9 db Soit un gain de -4 db pour la FTBO orrigée ave s. I Q.9. 4 Il faut un gain Iax tel que.log Iax 4 Iax 5 Iax 5 a été déteriné afin d obtenir une arge de phase de 45. Il faut ependant vérifier la arge de gain que l on obtient ave e orreteur. On a FTBO.C.H Iax arg(ftbo(jω ϕ8)) arg arg arg 8 jωϕ8 T.jω ϕ8 T.jω ϕ8 arg( FTBO(jω )) 9 artan(t. ω 8) artan(t. ω 8) 8 ω 4 rad/s ϕ8 ϕ ϕ Calul du gain pour 8 ϕ ω :.log FTBO(jω φ8 ) gain FTBO non orrigé ave T >> T gain orreteur ϕ8 Florestan MTHRIN Page 9 sur

10 TD 8 - Systèes utoatiques.log FTBO(jω φ8 ).log,83.log 3 4,6 db 4,36..log 5.log 4,6 3 4 Marge de gain 4,6 db >> arge de gain du ahier des harges. Q.. H (T p )(T p ) ave T, s << T,36 s H T p Calul de la FTBF du systèe : F.C.C.H.H ave C 5% I et H p T p F.. p (Tp ). Tp. p (T p ) p F T p.p Systèe du nd ordre ave : ω T. ω T.z ω. z. T. On herhe à iniiser le teps de réponse à 5% z,7 4.z T T.4.z.N. :,7,36,5 4,7 8,3 ω T,5,7 8,3,97 rad/s, T 5%ini.ω 3 T 5%ini, 5 s >,5 s du ahier des harges. ω,97 Florestan MTHRIN Page sur

11 TD 8 - Systèes utoatiques Etude des perforanes ave un orreteur proportionnel intégral : C P TIp Q.. T I. s T I. 3s T I. s p Pari les différentes valeurs de T I, T I, s assure le teps de réponse à 5% le plus faible. Q.. 5 grandisseent T I fixé 3 k P 4 assure un teps de réponse à 5% au plus près de la valeur fournie dans le ahier des harges Q.3. C 4. est le orreteur réglé dans les questions préédentes pour, en aord ave le ahier des,. p harges : annuler les erreurs statiques en poursuite oe en régulation (effet intégrateur du orreteur) ajuster le teps de réponse à 5 pourents à,5 seondes De plus, on observe sur le diagrae de Bode du systèe orrigé que : le déphasage étant toujours supérieur à -8 degrés, la arge de gain est infinie ; elle est don supérieure aux 6 db attendus la pulsation de oupure à db est de rad/s ; à ette valeur, le déphasage est de -5 degrés. La arge de phase est don de 75 degrés, valeur supérieure aux 45 degrés exigés. En onséquene, le orreteur ahier des harges. C 4. peret de onilier le systèe à toutes les ontraintes du,. p Florestan MTHRIN Page sur

12 TD 8 - Systèes utoatiques Mφ Florestan MTHRIN Page sur