RESISTANCE DES MATERIAUX

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1 ETANCE DE MATEAUX Mécanique éféence au pogamme.t. éféence au module 4- ésistance de matéiaux. Module 4 : :ésistance des matéiaux 4-1 Hypothèses de la DM 4-2 Etude d une poute 4-3 dentification de la natue des sollicitations 4-4 Etude des sollicitations simples 1- Objectifs de la séquence : Défini les effots de cohésion, Défini la natue de sollicitations simples, Défini la démache de dimensionnement, Modélise les effots de cohésion. 2- ituation pédagogique : péequis connaissances visées natue de la démache à savoi Modélisation des AM. Modélisation des effots de cohésion. Acquisition de connaissances. Modélise les actions subies pa le système. 1- A quoi ça set? La ésistance Des Matéiaux (DM) pemet de détemine les fomes, les dimensions et les matéiaux de pièces mécaniques de façon à maîtise leu ésistance et leu défomation afin de éponde aux exigences du cahie des chages. Cette science met en elation la statique, la cinématique (défomation) et les caactéistiques intinsèques du matéiau. Lycée Jean JAUE AENTEUL ETANCE DE MATEAUX Contenu du Dossie : 8 pages B.PEEZ M_4.Doc (wodxp) ETANCE DE MATEAUX Vesion 1

2 2- Hypothèses Matéiaux. Les matéiaux seont considéés comme : - continus : la stuctue fibeuse ou moléculaie des matéiaux étant tès petite devant les dimensions des pièces étudiées, on peut alos considée le matéiau comme continu. - homogènes : on dit qu un matéiau est homogène, s il possède les mêmes caactéistiques en tous ses points (hypothèse gossièe pou des matéiaux tels que le bois ou le béton). - isotopes : on dit qu un matéiau est isotope, losqu il possède les mêmes caactéistiques dans toutes les diections (hypothèse non applicable pou des matéiaux tels que le bois ou les matéiaux composites) éométie des pièces étudiées. La DM est l étude de pièces dont les fomes sont elativement simples. On les appelle des poutes. - poute : on appelle poute un solide engendé pa une suface plane ( ) dont le cente de suface décit une coube plane (C ) appelée ligne moyenne. Les caactéistiques d une poute sont : - ligne moyenne doite ou à gand ayon de coubue, - suface plane ( ) constante ou vaiant pogessivement, - gande longueu pa appot aux dimensions tansvesales, - existence d un plan de symétie. Hypothèses et sollicitations simples Page 2 / 1 B.PEEZ M_4(wodXP) ésistance Des Matéiaux Vesion 2

3 3- Toseu des effots de cohésion Définition : oit une poute () en équilibe sous l'action de n actions mécaniques extéieues. On associe à cette poute un epèe (,, ) dont l'axe coïncide avec la ligne moyenne de la poute. Coupons la poute () pa un plan (π) othogonal à sa ligne moyenne, situé à l'abscisse x. On définit ainsi deux potions de poute (-) et (+). () étant en équilibe, nous pouvons écie : { } { } (-) étant en équilibe, nous pouvons écie : { } + { + } { } (+) étant en équilibe, nous pouvons écie : { } + { } { } + + On en déduit que : { } { } { } + + { + } est le toseu qui taduit l'action de contact de (+) su (-). Cette action est due aux effots de cohésion qui pemettent à la poute de ne pas se "disloque" sous l'effet d'actions extéieues. La DM vise en paticulie à véifie qu'en aucun point de la poute les effots de cohésion à "tansmette" ne soient supéieus aux capacités du matéiau. On note : { } { } { } T coh Composantes du toseu de cohésion : La ésultante et le moment du toseu de cohésion dépendent alos de la position de la coupue et donc de l abscisse x. coh (x) M(x) coh N(x) Ty (x) Tz (x) M t(x) Mfy(x) Mfz(x) Composantes Dénominations ollicitations N Effot nomal Taction - compession T y Effot tanchant su T z Effot tanchant su Cisaillement M t Moment de tosion Tosion M fy Moment fléchissant su M fz Moment fléchissant su Flexion emaques : - Les difféentes sollicitations dépendant de l abscisse x, nous pouvons les epésente gaphiquement à l aide de diagammes. - Losque l on a une seule de ces sollicitation on pale de sollicitation simple, sinon on pale de sollicitations composées. Hypothèses et sollicitations simples Page 3 / 1 B.PEEZ M_4(wodXP) ésistance Des Matéiaux Vesion 2

4 3-3- Exemple d application : oit une poute cylindique, de 2 mm de long et de 5 mm de diamète, soumise à une action mécanique modélisable pa un glisseu avec dan. E 3 d'intensité 1 x Σ 3 AC a. x ; a 15 mm AB l. x ; l 2 mm L étude s effectuea dans la plan de symétie (, ). a l 1 Objectif : détemine le toseu de cohésion en fonction de x et tace les diagammes epésentants les effots de cohésion. Détemination des actions mécaniques en A et en B. solons (). Bilan des Actions Mécaniques Extéieues. PF appliqué à () en A. Conclusion. Hypothèses et sollicitations simples Page 4 / 1 B.PEEZ M_4(wodXP) ésistance Des Matéiaux Vesion 2

5 Détemination du toseu de cohésion. l faut étudie chaque potion de poute compise ente deux noeuds. Pou x [ ; a]. Pou x [a ; l]. écapitulatif et diagammes. ollicitation <x<a a<x<l N Ty Tz Mt Mfy Mfz 25.x 75(l-x) Tace ci-dessous les diagammes epésentants l effot tanchant et le moment de flexion. Effot tanchant Moment de flexion 75 Ty (dan) Mfz (dan.mm) -25 A C B x (mm) A C B x (mm) Hypothèses et sollicitations simples Page 5 / 1 B.PEEZ M_4(wodXP) ésistance Des Matéiaux Vesion 2

6 4- Les difféents types de sollicitation. Taction ou Extension / Compession N Cisaillement Ty Tz Tosion Mt Flexion pue Mfz Flexion simple Ty Mfz Flexion + taction Ty N Mfz Flexion + tosion Ty Mt Mfz Flambage N Mfz Flexion déviée Ty Mfz Mfy Tz Hypothèses et sollicitations simples Page 6 / 1 B.PEEZ M_4(wodXP) ésistance Des Matéiaux Vesion 2

7 5- Containte en un point M d une section Σ. La containte caactéise les liaisons mécaniques intenes au matéiau (epésentées pa le toseu de cohésion { } Tcoh ) su chaque élément de suface dσ de la section Σ quelconque. La détemination des containtes nous pemetta le dimensionnement des pièces mécaniques étudiées. Unité : le N/mm 2 soit le Mpa appel : 1 Mpa 1 6 Pa 1 N/mm² envion 1 bas 5-1- Définition. Le vecteu containte C est le appot ente l'action mécanique df, qui s'exece su l'élément de suface dσ de la section Σ, su la suface dσ. tel que C df dσ σm. x + τ M σ : containte nomale τ M : containte tangentielle C df dσ σ M.x + τ y.y + τ z.z 5-2- Détemination des containtes suivant le type de sollicitation. TACTON Définition : - - coh N ection Σ Containte nomale : d Chaque élément de suface Σ suppote un effot de taction d paallèle à la ligne moyenne. l y a épatition unifome des containtes dans la section doite. D où : N σ σ : containte nomale en Mpa ou en N/mm 2 N : effot nomal en N : aie de la section doite en mm 2 Condition de ésistance : e la ésistance élastique du matéiau (en Mpa) ; s un coefficient de sécuité (s>1); pe la ésistance patique à l extension, avec pe e s ; Alos, la condition de ésistance s écit : σ pe Hypothèses et sollicitations simples Page 7 / 1 B.PEEZ M_4(wodXP) ésistance Des Matéiaux Vesion 2

8 Phénomène de concentation de containte. Losque les poutes étudiées pésentent de busques vaiations de sections (tous, goges, épaulements ), la elation N σ n est plus applicable. En effet, au voisinage du changement de section, la épatition des containtes n est plus unifome et pésente des extemums. Le maximum est atteint pou les points situés à poximité des vaiations : on dit qu il y a concentation de containtes en ces points. La valeu de la containte est alos donnée pa : σ avec max K t σ N σ K t est appelé le coefficient de concentation de containtes. K t dépend de la fome de la section et du type de la vaiation (voi tableaux suivants). Hypothèses et sollicitations simples Page 8 / 1 B.PEEZ M_4(wodXP) ésistance Des Matéiaux Vesion 2

9 CALLEMENT Définition : ection Σ + coh Ty Tz Dans nos poblèmes, nous auons souvent soit T y ou soit T z. Containte de cisaillement : Chaque élément de suface Σ suppote un effot de cisaillement contenu dans le plan (Σ). l y a épatition unifome des containtes dans la section doite. D où : τ T τ : containte tangentielle en Mpa ou N/mm 2 T : effot tanchant en N : aie de la section doite cisaillée en mm 2 Condition de ésistance : eg la ésistance élastique au cisaillement du matéiau (en Mpa) ; s un coefficient de sécuité ; τ adm pg la ésistance patique au cisaillement, avec τ adm pg eg s ; Alos, la condition de ésistance s écit : adm TOON Définition : - x A L Lm α x B coh Mt Containte tangentielle : M ρ τ maxi M τ τ maxi () Σ Mt τ Tableau des moments quadatiques des sections les plus couantes. bh (b 12 b h 2 + h 2 ) 4 a 6 a ρ M t : Moment de tosion en N.mm ρ : ayon M en mm : moment quadatique de la section Σ pa appot au point en mm 4 d 4 πd π 4 4 (D d ) D d Condition de ésistance : eg la ésistance élastique au cisaillement du matéiau (en Mpa) ; s un coefficient de sécuité ; pg la ésistance patique au cisaillement, avec pg eg s ; Alos, la condition de ésistance s écit : max pg Hypothèses et sollicitations simples Page 9 / 1 B.PEEZ M_4(wodXP) ésistance Des Matéiaux Vesion 2

10 FLEXON PUE Définition : ection Σ + fz coh Mfy Mfz Dans nos poblèmes nous auons souvent M fy ou M fz nul. Containte nomale : M σ M fz z y σ : containte nomale en Mpa M fz : Moment fléchissant en N.mm y : odonnée du point M en mm z : moment quadatique de la section pa appot à l axe (, ) en mm 4 Tableau des moments quadatiques des sections les plus couantes. d D d h a b z 3 bh 12 z 4 a 12 z 4 πd π 4 4 z (D d ) Condition de ésistance : e la ésistance élastique du matéiau (en Mpa) ; s un coefficient de sécuité (s>1); pe la ésistance patique à l extension, avec pe e s ; Alos, la condition de ésistance s écit : σ max pe Notions su les coefficients de sécuité Pou qu une stuctue (machine, véhicule ) puisse suppote en toute sécuité les chages qui nomalement la sollicitent, il suffit qu elle puisse ésiste à des chages plus élevées. La capacité à suppote ces chages constitue la ésistance de la stuctue. Le coefficient de sécuité s est chage admissible s chages execées ésistance éelle ésistance nécéssaie La sécuité est obtenu si, sous chage - les défomations du matéiau estent élastiques - la uptue du matéiau n est pas atteinte donc ésistance élastique s e p ésistance patique ou ésistance à la uptue s p ésistance patique Hypothèses et sollicitations simples Page 1 / 1 B.PEEZ M_4(wodXP) ésistance Des Matéiaux Vesion 2