Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives

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1 MPSI - Mécanique II - Mouvement dans un champ de foces centales consevatives page /5 Mouvement dans un champ de foces centales consevatives Table des matièes Foces centales consevatives. Exemple de la foce de gavitation Exemple de la foce électostatique Généalisation Lois généales de consevation 2 2. Consevation du moment cinétique Planéité du mouvement Intégale pemièe du mouvement Loi des aies Consevation de l énegie (mécanique) Intégale pemièe du mouvement Énegie potentielle effective États de diffusion, états liés Mouvement dans un champ de foce centales newtonien 3 3. Équation généale de la tajectoie Inteaction épulsive Inteaction attactive État de diffusion État lié Mouvements des planètes - Lois de Képle Lois de Képle Vitesses cosmiques Foces centales consevatives. Exemple de la foce de gavitation Soient M de masse m et M 2 de masse m 2 avec G = 6, 67.0 kg. m 3. s 2 F 2 = F 2 = G m m 2 (M M 2 ) 2 M M 2 M M 2 On supposea que M de masse m est attié pa un cente de foce fixe O de masse m m F = G m m 2 e δw = F.dOM = A 2 e.(d e + de ) = A d 2 = de p avec E p = A en penant E p( ) = 0.2 Exemple de la foce électostatique Soient M de chage q et M 2 de chage q 2 avec = S.I. F 2 = F 2 = q q 2 (M M 2 ) 2 M M 2 M M 2 On supposea que M de chage q et de masse m est attié ou epoussé pa un cente de foce fixe O de chage q et de masse m m F = q q 2 e δw = F.dOM = B 2 e.(d e + de ) = B d 2 = de p avec E p = B en penant E p( ) = 0

2 MPSI - Mécanique II - Mouvement dans un champ de foces centales consevatives page 2/5 emaque : si l on compae les foces de gavitation et électostatique qui s execent pa exemple ente deux électons F ( e e ) ( ) 2 = = 4, F g m G D une manièe généale, à l échelle micoscopique, les foces de gavitation sont négligeables devant les foces électostatique..3 Généalisation Foce centale si consevative si F = F()e δw = de p Pou les foces de gavitation et électostatique que l on appelle inteactions newtoniennes F() = k 2 et E p = k avec E p ( ) = 0 k = Gm m < 0 pou l inteaction gavitationnelle; 2..2 Intégale pemièe du mouvement Dans ce plan, choisissons les coodonnées polaies (, θ) OM = e v = ṙ e + θ e θ L O = OM mv = m 2 θ ez comme L O = cte 2 θ = cte = C appelé intégale pemièe du mouvement, C constante des aies 2..3 Loi des aies L aie balayée pendant dt da = 2 dθ = 2 2 dθ k = q q, pou l inteaction électostatique, négatif si q difféent, positif si q et q de même signe. et q de signe La vitesse aéolaie da dt = 2 2 θ = 2 C = cte 2 Lois généales de consevation Soit M de masse m et de vitesse v soumis à un champ de foce centale consevative F = F()e céé pa un cente de foce O. 2. Consevation du moment cinétique 2.. Planéité du mouvement dl O = M O = OM F = e F()e = 0 L O = cte dt Comme L O = OM mv, OM et v estent pependiculaies à L O = cte, OM et v sont donc contenus dans le plan pependiculaie à L O = cte : le mouvement est plan. Les aies balayées pendant des duées égales sont égales ce qui explique l accéléation de M losqu il se appoche du cente de foce et son alentissement losqu il s en éloigne. 2.2 Consevation de l énegie (mécanique) 2.2. Intégale pemièe du mouvement F = F()e déivant d une énegie potentielle E p (), l énegie mécanique se conseve = 2 m(ṙ2 + 2 θ2 ) + E p () = cte appelé intégale pemièe du mouvement

3 MPSI - Mécanique II - Mouvement dans un champ de foces centales consevatives page 3/ Énegie potentielle effective 2 m2 θ2 = m 2 2(2 θ) 2 = m 2 2C2 = 2 mṙ2 + 2 m2 θ2 + E p () = 2 mṙ2 + mc E p() L énegie mécanique ne dépend plus que de ṙ et : le teme 2 mṙ2 est appelé énegie cinétique adiale 3. Équation généale de la tajectoie On peut alos monte (voi TD) que la tajectoie du point M, epéé pa ses coodonnées polaies a pou équation (en choisissant Ox axe de symétie de la tajectoie) p (θ) = + ecos θ On econnaît l équation d une conique si e >, M décit une hypebole si e =, M décit une paabole le teme mc E p() = E p,eff est appelé énegie potentielle effective États de diffusion, états liés = 2 mṙ2 + () = cte Le teme cinétique 2 mṙ2 étant positif, = cte est la plus gande valeu que puisse pende (); les valeus de pou lesquelles E p,eff > sont donc inaccessibles. Si > min, on pale d état de diffusion Si min max, on pale d état lié si 0 < e <, M décit une ellipse si e = 0, M décit un cecle 3.2 Inteaction épulsive k > 0 3 Mouvement dans un champ de foce centales newtonien Le mouvement véifie les popiétés généales du mouvement dans un champ de foces centales consevatives (planéité du mouvement, loi des aies, énegie potentielle effective) avec F() = k 2 et E p = k min

4 MPSI - Mécanique II - Mouvement dans un champ de foces centales consevatives page 4/5 > min, état de diffusion, M ne peut pas s appoche du cente de foce à une distance inféieue à min, cette position extême s appelle le péicente. Le cas paticulie = 0 coespond à une tajectoie paabolique. La tajectoie coespondante coespond à une banche d hypebole. 3.3 Inteaction attactive k < État de diffusion État lié min < < 0 > 0 min max min min max, état lié, la position de M coespondant à min est appelée péicente, celle coespondant à max apocente. > min, on obseve encoe un état de diffusion. La tajectoie est encoe une banche d hypebole. La tajectoie est elliptique. Le cas paticulie min = max = R coespond à une tajectoie ciculaie.

5 MPSI - Mécanique II - Mouvement dans un champ de foces centales consevatives page 5/5 3.4 Mouvements des planètes - Lois de Képle 3.4. Lois de Képle Ces lois histoiques concenent les mouvements des planètes autou du Soleil, elles se généalisent à tous les mouvements à foce gavitationnelle centale. e loi : les planètes autou du Soleil décivent des ellipses dont l un des foyes est occupé pa le Soleil. 2 e loi : le mouvement d une planète obéit à la loi des aies; pendant des duées égales t, le ayon vecteu OM balaye des aies égales S = C t où C 2 est la constante des aies liée à la planète considéée. 3 e loi : T 2 a 3 = 4π2 Gm où T est la péiode de évolution elliptique de la planète autou du Soleil, a le demi gand-axe de la tajectoie elliptique et m = m S la masse du Soleil; la masse de la planète n intevient pas Vitesses cosmiques La vitesse ciculaie est la vitesse à communique initialement à un cops pou qu il décive une obite ciculaie de ayon a autou d un gos aste de masse m : = k 2a 2 mv2 c k Gm a = k 2a v c = a La vitesse de libéation est la vitesse à communique initialement à un cops pou qu il échappe à l attaction d un gos aste de masse m : 2 mv2 l k = 0 v l = 0 2Gm 0