Chapitre II Dérivabilité, théorème des fonctions implicites et applications

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1 37 Chpitre II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites et pplictions Sommire. Les dérivées d une fonction en un point permettent de comprendre son comportement u voisinge de ce point (formule de Tylor); dns l prtique ce sont souvent les dérivées d ordre 1 ou 2 seulement qui sont utilisées. Pr exemple, il existe un critère bien connu pour qu une fonction d une vrible f(x) dmette un extremum (mximum ou un minimum) locl en un point : il fut que l dérivée de f en soit nulle, ce qui s interprète géométriquement pr le fit que l tngente u grphe de f u point (, f()) doit être horizontle. C est sur ce critère que se bsent l méthode des multiplicteurs de Lgrnge pour l recherche d extrem liés, et les équtions d Euler-Lgrnge pour l recherche d extrem dns des espces de dimension non finie (clcul des vritions). 1. Dérivbilité, différentibilité 1.1 Norme d une ppliction linéire Soit A : R n R p une ppliction linéire. Les coefficients de l mtrice de A pr rpport ux bses nturelles e j, j = 1,...,n, et e i, i = 1,...,p, de R n et R p respectivement sont définis pr : A(e j ) = p i,j e i, j = 1,...,n i=1 x 1 et lors, si. est un vecteur de R n, on : x n x 1 n A. = i,j x j x j=1 n i=1,...,p On déduit fcilement de cette expression de A que c est une ppliction continue. 1.1 Définition norme d une ppliction linéire. L norme de l ppliction linéire A : R n R p reltive à des normes données sur R n et R p est définie pr : { } A = sup A(x) R p x R n 1.. Puisque A est continue et que { x R n x 1 } est compct, l ensemble { A(x) x 1 } est borné et donc cette définition un sens. L vleur de A dépend des normes choisies sur R n et R p, même si cel n est ps noté explicitement. 1.2 Proposition. i) Pour tout x R n on : A(x) R p A x R n. ii) A définit une norme sur l espce vectoriel L(R n, R p ) des pplictions linéires de R n dns R p. iii) A = inf {K A(x) K x, x R n } Anlyse II B (nlyse réelle), pr Felice Rong Version du 26 jnvier 24, à 19h. 11

2 38 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites Preuve: i) Si x =, l inéglité ffirmée est évidente. Sinon, x x = 1 et lors : ( A(x) = x ) A x A x. x ii) Vérifions que A est une norme sur L(R n, R p ) (cf. définition 1.2 du chp. I). (1) Si A =, lors il suit de i) que A =. (2) Si λ R, λa(x) = λ A(x), x R n et il en suit que λa = λ A. (3) Si A, B L(R n, R p ) on : (A + B)(x) = A(x) + B(x) A(x) + B(x) A + B x R n, x 1 et donc A + B = sup { (A + B)(x), x 1} A + B. iii) D près i), A {K A(x) K x, x R n } et donc A inf {K A(x) K x, x R n } Si K est tel que A(x) K x, x R n, lors A = sup { A(x), x 1} K 1 et donc j=1 A inf {K A(x) K x, x R n }. Pr exemple, si l on munit R n et R p de l norme, on peut estimer l norme de A L(R n, R p ) à l ide des coefficients de l mtrice ( i,j ) i=1,...,n de A: j=1,...,p n ( ) { } i,j x j i,j x, i = 1,...,p A(x) sup i=1,...,p i,j x j { } et donc A sup i=1,...,p j i,j n sup { i,j, i = 1,...p, j = 1,..., n}. 1.2 L inéglité fondmentle de l intégrle Rppelons que si φ : [, b] R est une fonction continue, on définit son intégrle comme étnt le nombre réel qui est limite de sommes sur les prtges de [, b]: b (1-1) φ(x)dx = lim φ(x i ) x i δ(p) i=1,...,l(p) où P = { = x < x 1 < < x k = b} est un prtge de [, b], l(p) = k, x i = x i x i 1, i = 1,...,l(P) et δ(p) = sup { x i i = 1,..., l(p)}. Dns le cs d une ppliction continue f : [, b] R p, l intégrle de f sur [, b] est le vecteur de R p obtenu en intégrnt les composntes f i, i = 1,...,p, de f: ( b b ) b f(x)dx = f 1 (x)dx,..., f p (x)dx et en ppliqunt (1-1) ux f i on voit que: Puisque b f(x)dx = lim i=1,...l(p) δ(p) f(x i ) x i i=1,...l(p) i=1,...l(p) f(x i ) x i. f(x i ) x i j en fisnt tendre δ(p) vers, on obtient l inéglité suivnt, ppelée inéglité fondmentle de l intégrle: b b (1-2) f(x)dx f(x) dx

3 1.3 Dérivbilité, différentibilité Soient Ω R n un ouvert et f : Ω R p une ppliction. II.1 Dérivbilité, différentibilité Définition - dérivbilité. Soit Ω. On dit que f est dérivble (ou différentible) u point s il existe une ppliction linéire A L(R n, R p ) telle que, pour h R n, h ssez petit : f( + h) = f() + A(h) + r(h), vec lim h r(h) h =. Autrement dit : ou encore : f( + h) f() A(h) h si h h δ ε f( + h) f() A(h) ε h. Si l on pose φ(h) = f(+h) f() A(h) h, cel veut encore dire que : f( + h) = f() + A(h) + φ(h) h, vec φ(h) si h En d utres termes, l ppliction linéire h A(h) est une pproximtion de h f(+h) f(), vec une erreur r(h) qui est très petite pr rpport h, puisque r(h) tend vers si h. h 1.4 Remrques. (1) Si f est dérivble u point, elle est continue en ce point, cr : lim h f( + h) = lim(f() + A(h) + φ(h) h ) = f() h (2) Si f est dérivble u point Ω et v R n, v, l limite suivnte, dns lquelle t R, existe : et elle est égle à A(v). En effet : f( + tv) f() t = f( + t v) f() () = lim v t t A(t v) + φ(t v) t v t = A(/t v) /t ± φ(t v) v A(v) si t. On ppelle v () l dérivée de f dns l direction du vecteur v u point. Puisque v () = A(v), cel montre que A est entièrement déterminée pr f; on l ppelle l dérivée de f u point, et on l note df ou encore f (). En prticulier, si f : R n R p est linéire, en tout point R n elle coincide vec s propre dérivée en ce point : df = f, R n. Notons que si v =, lors v =. (3) Si f = (f 1,...,f p ) : Ω R p est dérivble u point Ω, s dérivée df = f () : R n R p peut être représentée pr une mtrice, qu on ppelle mtrice jcobienne (inventée pr Crl Jcobi, ); elle s écrit : ( ) i i f i ( + t e j ) f i () (), où () = lim = i () x j x j t t e j où e j = (,...,, 1,,...,) dénote le j-ème vecteur de l bse nturelle de R }{{} n. Pr bus de lngge, on j écrit souvent df = ( i ) x () j. Les i x () j sont ppelées dérivées prtielles de f u point. Nous verrons un peu plus loin (1.1) le théorème suivnt, qui permet de psser de l existence des dérivées prtielles de f à

4 4 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites l dérivée de f u sens de l définition 1.3 : si les i x (x) j existent pour x dns un voisinge de, et sont continues sur ce voisinge, lors f est dérivble u point. Pr exemple, soit f : R 2 R 3, f(x 1, x 2 ) = (x 2 1, x 1 x 2, x 3 2), lors : df (x1,x 2 ) = 2x 1 x 2 x 1 3x 2 2 (4) Dérivbilité et différentibilité. Autrefois on ppelit différentielle d une fonction f(x) (ou encore différentielle totle) l ccroissement des vleurs de f lorsqu on donnit un ccroissement infiniment petit à l vrible x; pour une fonction de deux vribles, on écrivit : df = dx 1 + dx 2 ; x 1 x 2 le reste dispru, prce que c est un infiniment petit d ordre supérieur pr rpport ux dx i (voir pr exemple Ed. Gourst, Cours d nlyse mthémtique, Guthier-Villrs, Pris (191), pge 52.) Le terme de dérivée étit reservé ux dérivées prtielles; dns les ouvrges contemporins, les notions de dérivbilité et différentibilité sont équivlentes, et correspondent à notre définition 1.3. Dns le cs de fonctions d une vrible, on écrivit df = f df (x)dx, d où l on tire : dx (x) = f (x). Ce n est ps très rigoureux, mis l nottion df dx (x) pour f (x) peut être utile, prce que l on explicite le nom de l vrible pr rpport à lquelle on dérive. Cette nottion ser utilisée dns l formule d Euler-Lgrnge u Proposition Dérivtion de fonctions composées. Soient Ω R m, Ω R n des ouverts, f : Ω R n, g : Ω R p, des pplictions, et supposons que f(ω) Ω. Supposons que f soit dérivble u point Ω, et que g soit dérivble u point b = f(). Alors l composée g f est dérivble u point et s dérivée en ce point est l composée de l dérivée de f en vec l dérivée de g en b = f() : d (g f) = dg f() df. Preuve: ( ) g(f( + h)) g(f()) = g (f()) f( + h) f() + φ g (f( + h) f()) f( + h) f() = ( ) ) g (f()) (f ()(h)) + g (f()) φ f (h) h + φ g (f( + h) f() f () (h) + φ f(h) h }{{} =ρ(h) et ρ(h) g (b) φ f ( h ) h + φ g (f( + h) f()) ( f () + φ f (h) ) h d où on déduit que ρ(h) h si h, donc ρ(h) vérifie bien les conditions de terme de reste de l définition 1.3. On imerit voir une estimtion explicite de l ccroissement f( + h) f() en termes de h ; pour des fonctions à une vrible, à vleurs dns R, on connit le théorème des ccroissements finis, qui dit que si f : [, b] R est dérivble, lors il existe ξ [, b] tel que f(b) f() = f (ξ)(b ). En générl, on ne peut ps s ttendre à voir des formules nlogues; pr exemple, si l on prend l ppliction ϕ(t) = (t 2, t 3 ), ϕ (t) = (2t, 3t 2 ) : ϕ(1) ϕ() = ϕ (ξ)(1 ) = ϕ (ξ) (1, 1) = (2ξ, 3ξ 2 ) ξ = 1/2 et ξ 2 = 1/3 il n y donc ps de solutions. Pr contre, on déduit de que, si f (ξ) M, ξ [, b], lors f(b) f() M(b ) et cette inéglité se générlise, comme nous llons voir mintennt (théorème 1.8.)

5 II.1 Dérivbilité, différentibilité Définition - ppliction de clsse C 1. Soit f : Ω R p dérivble en tout point Ω; en ssocint à tout point Ω l dérivée en ce point df L(R n, R p ) on définit une ppliction df : Ω L(R n, R p ). On dit que f est de clsse C 1, ou 1 fois continûment dérivble, si l ppliction df : Ω L(R n, R p ) est continue, c est-à-dire si toutes les dérivées prtielles i x j (x), i = 1,...,p, j = 1,...,n sont continues sur Ω. 1.7 Proposition. Soit f : Ω R p, Ω R n, de clsse C 1 ; soit v R n et supposons que le segment { + tv t 1} soit contenu dns Ω. Alors f( + v) f() = 1 v (+tv)dt Preuve: On pose ϕ(t) = f( + tv), pour t 1, de sorte que ϕ(1) ϕ() = f( + v) f(). Il suit de 1.4(2) que ( ) ( ) ϕ(t + s) ϕ(t) f( + (t + s)v) f( + tv) lim = lim = s s s s v (+tv) et en prticulier ϕ est ussi de clsse C 1. Donc f( + v) f() = ϕ(1) ϕ() = 1 ϕ (t)dt = 1 v (+tv)dt. 1.8 Théorème des ccroissements finis. Soit f : Ω R p, Ω R n, Ω ouvert; supposons que f soit de clsse C 1. Soient, b Ω; supposons que le segment [, b] = { + t(b ) t 1} soit contenu dns Ω. Alors : f(b) f() sup { df+t(b ) t 1 } b Preuve: Tout d bord, du fit que f est C 1, il suit que l ppliction t df +t(b ) est continue; comme [, 1] est compct, le sup { df +t(b ) t 1 } un sens. Posons v = b. Il résulte de 1.7 et de l inéglité fondmentle de l intégrle que 1 f(b) f() = 1 dt v (+t(v))dt Une conséquence immédite : v (+tv) sup { df +tv (v) t 1 } sup { df +tv t 1 } v 1.9 Corollire. Soient f : Ω F, et b comme dns le théorème précédent; supposons que B(, r) Ω et que df x M, x B(, r). Alors si b B(, r) on : f(b) f() M b. Soient Ω R m R n, f : Ω R p, Ω un ouvert; notons pr (x, y) les éléments de R m R n, vec x R m, y R n. Si (, b) Ω, on note pr x (,b) l dérivée u point v = de l ppliction v f( + v, b), et pr y (,b) l dérivée u point w = de l ppliction w f(, b + w). L proposition suivnte, qui est utile pour le clcul de dérivées, générlise le théorème mentionné sous 1.4(3).

6 42 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites 1.1 Propostition. Supposons que les dérivées y (,b) et x (x,y), (x, y) dns un voisinge de (, b), existent, et que l ppliction (x, y) (x,y) soit continue dns un voisinge du point (, b). Alors f est dérivble u point (, b) et : x df (,b) (v, w) = (,b)(v) + x y (,b)(w). Preuve: f((, b) + (v, w)) f(, b) (,b)(v) x y (,b)(w) = f(( + v, b + w)) f((, b + w) x (,b)(v) + f(, b + w)) f(, b) }{{} y (,b)(w) }{{} I II. Soit ε > ; il s git de montrer que I + II ε (v, w) si (v, w) est ssez petit. Posons ϕ(v) = f( + v, b + w) x (,b)(v); lors ϕ(v) ϕ() = I. Puisque dϕ v = x (+v,b+w) x (,b), dϕ v dépend continûment de (v, w), et en prticulier ϕ est de clsse C 1. On que dϕ =, et lors si (v, w) est ssez petite, dϕ v < ε. Il suit de 1.9 que I ε v pour (v, w) ssez petite. L existence de y (,b) implique directement que II ε w si w est ssez petite. Cette proposition se générlise sns utre ux cs de plus de 2 fcteurs : si f : Ω R p, Ω ouvert de R n 1... R n k, espce vectoriel normé, x = (x 1,..., x k ) Ω, x i R n i, on pose f x j (ξ j ) = f(x 1,...,x j 1, ξ j, x j+1,...,x k ), qui est définie pour ξ j ({x 1 }... {x j 1 } R n j {x j+1 }... {x k }) Ω et si fj x est dérivble en ξ j = x j, on dénote s dérivée pr j f x. Il suit de 1.1, pr induction sur k, que si 1 f existe et que les j f x, j = 2,...,k, sont continues u voisinge de, lors f est dérivble et d f(h 1,...,h k ) = 1 f (h 1 ) k f (h k ). Dns le cs d une ppliction f : Ω R, Ω ouvert de R n, en utilisnt l décomposition R n = R... R, }{{} n on que de i f(x) = x i (x) Corollire. Soit f : Ω R p, f = (f 1,...,f p ), Ω, et supposons que toutes les dérivées prtielles x (x) i existent et soient continues pour x Ω. Alors f est dérivble en tout point Ω et l mtrice de df est égle à ( i ) x () j i=1,...,p, j=1,...,n En prticulier, si f : Ω R p et les dérivées i x j (x) existent et sont continues sur Ω, f est C 1 : l condition que f soit dérivble demndée dns l définition 1.6 est utomtiquement stisfite. L proposition ci-dessous étblit une propriété élémentire, mis efficce, à lquelle nous urons recours pour des pplictions u suivnt. Soit f : Ω R une ppliction, Ω R n ouvert et Ω. On dit que est un minimum (respectivement mximum) locl de f s il existe un voisinge V de tel que f(x) f() si x V (respectivement f(x) f()). On dit que est un extremum locl si c est un minimum ou un mximum locl.

7 II.1 Dérivbilité, différentibilité Proposition. Soit f comme ci-dessus. Supposons que f soit dérivble u point. Alors, si est un extremum locl de f, on df =. Preuve: Supposons qu il s gisse d un mximum locl; soit v R n et t > ssez petit. Alors on : f( + tv) f() t f( tv) f() t et comme les 2 frctions ont pour limite v (), on doit voir v () = df (v) =, ceci pout tout v R n. Le cs d un minimum locl est semblble. 1.4 Dérivées d ordre supérieur et formule de Tylor Nous llons définir l notion d ppliction f : Ω R p de clsse C k, k N, et ses dérivées d ordre l k pr induction sur k : 1.13 Définition. On dit que f est de clsse C si f est continue, et dns ce cs il n y point de dérivées à définir. Au 1.2 on introduit l notion d ppliction de clsse C 1 (définition 1.6). Cel revient à supposer que les dérivées prtielles x () i existent pour tout Ω et sont continues, ce qui entrîne pr le corollire 1.11 que f est dérivble en tout point Ω. Supposons d voir défini l notion d ppliction de clsse C l et les pplictions l f x i1... x il : Ω R p, 1 i h n, h = 1,...,l pour tout l k 1. On dir que lors que f est de clsse C k si les fonctions ci-dessus sont de clsse C 1 et on pose: k f Ω, () = ( k 1 ) f () x i1 x i2... x ik x i1 x i2... x ik On dit encore que f : Ω R p est C si f est de clsse C k pour tout k Dns le cs d une ppliction g :], b[ R p de clsse C k, il n y qu une dérivée d ordre l, 1 l k, celle qui correspond à l suite i 1 = = i k = 1. On l note g (l) (), ou encore dl g (), si t denote l vrible dtl du domine de définition de g. On note ussi g () () = g(). On peut générliser ussi l notion de dérivée directionnelle; si v 1,...,v k R n, on définit pr induction sur k: k f () = ( k 1 ) f (). v 1... v k v 1 v 2... v k Il suit du fit que v () est linéire en v que pour tout i = 1,...,k, k f v 1... v i... v () k est linéire pr rpport à v i. L définition suivnte ser utile pour mieux comprendre les dérivées d ordre supérieur Définition. Soit f : Ω R p une ppliction (quelconque). Pour tout Ω et v R n tels que [, + v] Ω on pose: v f() = f( + v) f() On peut regrder v f comme un opérteur dépendnt du prmètre v: à l ppliction f il ssocie une nouvelle ppliction, celle qui à fit correspondre l ccroissement de f en reltif à l ccroissement v de l vrible. L nouvelle ppliction v f ne ser ps toujours définie, mis puisque Ω est ouvert, pour tout

8 44 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites Ω il existe un r > tel que + v Ω si v < r, et donc v f ser bien définie pour tout v ssez petit. Dns ce qui suit on supposer, sns le dire explicitement chque fois, que les ccroissements v i sont ssez petits pour que les opérteurs que l on écrir soient bien définis. Considérons l expression v2 v1 f() = v2 (f( + v 1 ) f()) = f( + v 1 + v 2 ) f( + v 2 ) (f( + v 1 ) f()) = f( + v 1 + v 2 ) f( + v 1 ) f( + v 2 ) + f(). Elle représente l ccroissement (reltif à v 2 ) de l ccroissement (reltif à v 1 ) de f et nous ser utile pour comprendre l 2-ième dérivée comme tux d ccroissement du tux d ccroissement ; de même, à l ide de l opérteur itéré k fois on obtiendr une expression de l k-ième dérivée (voir corollire 1.16). Notons que l expression ci-dessus est symétrique en (v 1, v 2 ) : v2 v1 f() = v1 v2 f() Proposition. Soit f : Ω R p de clsse C k ; on : vk vk 1... v1 f() = 1 ( 1 k ) f... (+t k v k + +t 1 v 1 )dt k... dt 1. v k... v 1 Preuve: On procède pr induction sur k. Si k = 1, cel résulte de l proposition 1.7. Supposons que l formule soit vrie pour k 1 et posons w k 1 = t k 1 v k t 1 v 1. On : hyp. induction vk... v1 f() = vk 1 v1 f( + v k ) vk 1... v1 f() = k 1 f (+v k +w k 1 ) dt k 1...dt 1 v k 1... v ( k 1 f =... (+v k +w k 1 ) v k 1... v 1 = k 1 f (+w k 1 ) dt k 1...dt 1 v k 1... v 1 ) dt k 1...dt 1 k 1 f v k 1... v 1 (+w k 1 ) k f v k... v 1 (+t k v k + +t 1 v 1 ) dt k... dt 1 où l dernière églité résulte du cs k = 1 ppliqué à k f v k 1... v 1 (+w k 1 ). Le corollire suivnt exprime une dérivée d ordre supérieur de f directement à prtir de f, plutôt que de psser pr des dérivtions successives comme il est fit dns l définition 1.13: 1.16 Corollire. Si f est de clsse C k, k ( ) f sk v () = lim k... s1 v 1 f() v k... v 1 s 1,...,s k s k s 1 Preuve: D près 1.15: sk v k... s1 v 1 f() s k... s 1 = 1 s k... s 1 = k f (s k v k )... (s 1 v 1 ) (+s kt k v k + +s 1 t 1 v 1 ) dt k... dt 1 k f v k... v 1 (+s k t k v k + +s 1 t 1 v 1 )dt k...dt 1

9 II.1 Dérivbilité, différentibilité 45 k f où l dernière églité utilise le fit que (s k v k )... (s 1 v 1 ) (x) = s 1 s k v k... v (x) 1 (linérité pr rpport à v i, i = 1,...,k). Puisque k f v k... v (x) 1 est continue en x, il suffit de poser s i = dns l dernière expression pour clculer l limite cherchée Corollire. Si f est de clsse C k, Ω, lors k f v k... v () 1 est symétrique en v 1,...,v k, ce qui veut dire que si σ : {1,...,k} {1,...,k} est une bijection, lors k f k f k f () = (). v k... v 1 v σ(k)... v σ(1) Preuve: On déjà remrqué que v2 v1 f() étit symétrique en v 1, v 2. Il en suit que vk... v1 f() est symétrique en v 1,..., v k, et le corollire suit lors de L formule suivnte, dûe à Leibniz, exprime l l-ième dérivée de 2 fonctions d une vrible en termes des dérivées de chcune des fonctions : 1.18 Proposition. Soient α, β :]t r, t + r[ R deux fonctions de clsse C l. Alors l l-ième dérivée de α(t) β(t) pour expression : (α(t) β(t)) (l) (t) = l h= ( ) l α (h) (t) β (l h) (t) h Preuve: Pr induction sur l. Pour l = 1, l formule se réduit à l expression bien connue : Supposons voir montré que (α(t) β(t)) (t) = α (t) β(t) + α(t) β (t). l 1 ( ) (α(t) β(t)) (l 1) l 1 (t) = α (h) (t) β (l 1 h) (t). h On dérive en ppliqunt l formule pour l = 1 à chque terme de l somme : l 1 ( ) l 1 ( (α(t) β(t))(l 1)(t) = α (h+1) (t) β (l 1 h) (t) + α (h) (t) β (t)) (l h) h h= l (( ) ( )) l 1 l 1 = α (h) (t) β (l h) (t) + h 1 h h= h= et on conclut en remrqunt que : ( ) l 1 + h 1 ( ) l 1 = h = (l 1)! (h 1)!(l 1 (h 1))! + (l 1)! h!(l 1 h)! (l 1)!h (l 1)!(l h) (l 1)!h + (l 1)!(l h + = = h!(l h)! h!(l h)! h!(l h)! ( ) l h. Suivent des résultts préliminires à l formule de Tylor.

10 46 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites 1.19 Proposition. Soit g :], b[ R de clsse C k+1, t >, [, t] ], b[. Supposons que Alors g() = g () = = g (k) () =. (1-3) g(t) = t k+1 γ(t) où (1-4) γ(t) = 1 k! et en prticulier γ() = 1 (k+1)! g(k+1) (). 1 g (k+1) (t u)(1 u) k du Preuve: Montrons l ffirmtion pr induction sur k. Pour k=, on que g() = et donc : g(t) = t g (s)ds. On fit le chngement de vrible s = u t dns l intégrle : g(t) = 1 g (t u) tdu = t 1 g (t u)du. Supposons que g() = g () = = g k () = et que (1-3) et (1-4) soient vrie pour k 1: g(t) = On intègre pr prtie en remrqunt que t k (k 1)! et compte tenu du fit que g (k) () = on obtient: t k g(t) = (k 1)! t k (k 1)! ( 1 g(k) (t u) g (k) (1 u)k (t u) ( k ) (1 u)k 1 1 ( } {{ k } = 1 g (k) (t u)(1 u) k 1 du ) (1 u) k 1 (1 u)k = ( k ) du) = g (k+1) (t u) t ( ) (1 u)k du = tk+1 k k! 1 g (k+1) (t u)(1 u) k du Puisque 1 (1 u)k du = 1 uk du = 1 1 k+1, on bien que γ() = (k+1)! g(k+1) (). 1.2 Corollire formule de Tylor pour les fonctions d une vrible. Soit ϕ :] r, + r[ R une fonction de clsse C k+1. Alors, pour t < r : ϕ( + t) = ϕ() + k l=1 ϕ (l) () t l + tk+1 l! k! 1 ϕ (k+1) ( + t u) (1 u) k du.

11 II.1 Dérivbilité, différentibilité 47 Preuve: On pose g(t) = ϕ( + t) ϕ() ( k l= ) ϕ (l) () t l l! de sorte que g (l) () =, l k et g (k+1) (t) = φ k+1 (t), puis on pplique 1.19 à g. Le cs de fonctions à plusieurs vribles pourr se rmener u cs d une vrible grâce u lemme suivnt. Tout d bord on introduit une nottion permettnt de regrouper les dérivées supérieures qui ne diffèrent que pr l ordre des dérivtions. Soit α = (α 1,...,α n ) N n un vecteur à coefficients entiers. On pose: α = α α n, α! = (α 1!)... (α n!) et si h = (h 1,..., h n ) R n, on pose h α = h α hα n n R. Soit α N n, α = k; on peut lui ssocier l suite de k entiers i(α) = (i(α) 1,...,i(α) k ) définie insi : Si f : Ω R p est de clsse C k, on pose : i(α) = (1,...,1, 2,...,2,..., n,...,n). }{{}}{{}}{{} α 1 fois α 2 fois α n fois α f x α () = α f () x i(α)k... x i(α)1 ce qui revient à dériver f α 1 -fois pr rpport à x 1, α 2 -fois pr rpport à x 2, et insi de suite, u point Lemme. Soit f : Ω R p de clsse C k, h R n tel que { + th t 1} Ω. Posons ϕ(t) = f( + th), t 1. Alors, l k on : ϕ (l) (t) = 1 i 1,...,i l n l f x il... x i1 (+th)h i1... h il = α N n, α =l l! l f α! x α (+th)hα Preuve: On montre d bord l première églité pr induction sur l. Pour l = 1, puisque h = n i=1 h ie i, où les e i dénotent les vecteurs de l bse stndrd de R n, il suit de l définition de h et du fit qu elle est linéire en h que: Supposons d voir démontré que Alors ϕ (l) (t) = n x i i=1 ϕ (l 1) (t) = 1 i 1,...,i l 1 n ϕ (t) = ( + th) = (+th)h i. h x i 1 i n 1 i 1,...,i l 1 n l 1 f x il 1... x i1 (+th) h i1... h il 1. ( l 1 ) f (+th)h i1... h il 1 h i = x il 1... x i1 1 i 1,...,i l n l f x il... x i1 (+th)h i1... h il.

12 48 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites Dns l somme ci-dessus, l suite d indices (i 1,...,i l ) = (1,...,1, 2,...,2,..., n...,n) }{{}}{{}}{{} α 1 -fois α 2 -fois α n fois vec α α n = l pprît l! fois à permuttion près; en effet, il fut diviser le nombre l! de toutes α! les permuttions de l suite (1,...,1, 2,...,2,...,n...,n) pr le nombre de celles qui l lissent invrinte, }{{}}{{}}{{} α 1 -fois α 2 -fois α n -fois qui est (α 1!)... (α n!) = α!. L dernière églité énoncée suit lors du corollire 1.16 (symétrie des dérivées d ordre supérieure) Formule de Tylor. Soit f = (f 1,...,f p ) : Ω R p de clsse C k+1, Ω et h R n tel que { + th t 1} Ω. Alors: f( + h) = f() + k l=1 α =l 1 α! α f x α () hα + r k (, h) où le terme r k (, h), ppelé terme de reste, s écrit : (1-5) r k (, h) = (k + 1) α =k+1 ( 1 1 α ) f α! hα x α (+uh)(1 u)k du. Si R > est tel que B(, R) Ω et h R, on : (1-6) r k (, h) C k h k+1 où C k est une constnte, et en prticulier lim h r k (, h) h k =. Preuve: On pose ϕ(t) = (ϕ 1 (t),...,ϕ p (t)) = f( + th), t 1. L formule (1-5) se déduit lors du corollire 1.2 ppliqué ux composntes de ϕ(t) et du lemme 1.21 ppliqués ux composntes de f. D utre prt, en reprennt (1-5), on que r k (, h) = 1 k! 1 i 1,...,i k+1 n h α ( 1 k+1 f (+uh)(1 u) du) k x ik+1... x i1 Il y n k+1 terme dns l somme sous l intégrle, et 1 (1 u)k ds = 1 k+1. On sit que l norme donnée sur R n est équivlente à l norme h = sup { h i i = 1,...,n}, donc il existe K tel que h K h. Or, si α = k + 1 : h α = h α hα n n h k+1 Kk+1 h k+1 Si on pose : l inéglité (1-6) suit. { α f C k = sup ( + uh) xα } α = k + 1, u 1 n k+1 (k + 1)! Kk+1.

13 1.23 Remrques. (1) Considérons l fonction: II.1 Dérivbilité, différentibilité 49 f(x) = { e 1/t 2 si t > si t On montre que f est C en, vec toutes ses dérivées nulles en ce point. Il en résulte que tous les termes de l formule de Tylor sont nuls, suf le terme de reste. On en déduit que f(t) t k, ceci pour t ssez petit et pour tout k. (2) Un théorème dû à E. Borel ffirme que pour toute suite { k } k N R de nombres réels, il existe une fonction f : [ 1, 1] R de clsse C telle que f (k) () = k. Cel exprime l extrême flexibilité des fonctions différentibles. On un énoncé nlogue pour les fonctions de plusieurs vribles: si l on se donne une fmille { α } α N n R, il existe f : U R, U R n ouvert, U telle que α f x α () = α. (3) Si f est C et ses dérivées sont bornées sur une boule fermée de ryon fixe, on déduit de (1-5) que que l série 1 α f f() + α! x α ()hα k=1 converge uniformément sur cette même boule vers f( + h). Cel peut s ppliquer à des fonctions telles que sin(x), cos(x), e x+y.. Etude des extrem locux de fonctions 1.24 Définition. Soit f : Ω R, Ω R n ouvert, Ω. On dit que est un minimum locl strict (respectivement un mximum locl strict) s il existe un ouvert V Ω, V, tel que : x V, x f(x) > f() ( respectivement f(x) < f() ). Si l on remplce les inéglités strictes ci-dessus pr des inéglités non strictes on obtient les notions de minimum locl, resp. mximum locl, non strict. L formule de Tylor fournit un critère permettnt prfois de décider si un point est un extremum locl ou non d une fonction Proposition. Soit f : Ω R, Ω R n ouvert, de clsse C k+1, k 2, U. Supposons que toutes les dérivées de f d ordre u plus k 1 s nnulent en : Posons α f () = α tel que 1 α k 1. xα ϕ k (h) = α =k 1 α f α! x α ()hα. On : (1) Si ϕ k (h) > h, lors est un minimum locl. (2) Si ϕ k (h) < h, lors est un mximum locl. (3) S il existe h 1, h 2 R n tels que ϕ k (h 1 ) >, ϕ k (h 2 ) < lors n est ni un minimum ni un mximum locl, même non strict. Preuve: Remrquons que ϕ k (h) est homogène de degré k, ce qui veut dire que λ R, ϕ k (λh) = λ k ϕ k (h). Soit h R n tel que ϕ k (h ), vec h = 1. Alors il suit de l formule de Tylor que ( f( + th ) f() = ϕ k (th ) + r k (, th ) = t k ϕ k (h ) + r ) k(, th ) t k.

14 5 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites Posons ε = ϕ k (h ) ; il suit de l inéglité (1-6) de 1.22 qu il existe δ ε tel que si t < δ ε, r k (, th ) t k h k }{{} =1 < ε = ϕ k (h ) et donc f( + th ) f() le même signe que ϕ k (h ). Cel entrîne imméditement l ffirmtion (3). Pour (1) et (2), il suffit de poser ε = inf { ϕ k (h ) h = 1 } ; puisque ϕ k (h) est continue, non nulle sur l ensemble compct {h h = 1}, il suit que ε >. L condition d extremum locl strict ser stisfite vec V = { + th t < δ ε }, 1.26 Remrques. (1) Du fit que ϕ k ( h) = ( 1) k ϕ k (h) on déduit que : si l condition (1) ou l condition (2) de 1.25 sont stisfites, lors k est pir. si est un extremum locl et k est l ordre de l première dérivée non nulle en, lors k doit être pir, sinon on pourrit ppliquer (3) de 1.25 vec h 1 un vecteur tel que ϕ k (h 1 ) et h 2 = h 1. (2) Il se peut qu une fonction f it un minimum locl en restriction à chque droite pssnt pr le point, sns que soit un minimum locl pour f (même discours pour les mxim). C est le cs pour l fonction f(x, y) = (y x 2 )(y 2x 2 ). On voit que f dmet un zéro isolé à l origine de toute droite l pssnt pr (, ), et qu elle est strictement positive sur un intervlle de l contennt (, ). Cependnt, on ne peut ps trouver une longueur d intervlle uniforme, qui fonctionne sur toute droite. Et en fit il y des points rbitrirement près de l origine en lesquels f est positive, d utres en lesquels f est négtive. ( ) (3) Si k = 2 et dét 2 f x j x () i, lors on peut décider si est un minimum locl strict, un mximum, ou bien ni l un ni l utre en exminnt l forme qudrtique q(h) = φ 2 (h) = α =2 1 2 f α! x α ()hα. En effet, q est soit définie positive, uquel cs est un minimum locl strict, soit définie négtive, et lors est un mximum locl strict, soit elle est indéfinie, et lors n est ni minimum, ni mximum locl, même non strict. On peut décider en mettnt q sous forme ( digonle. ) ( ) Dns le cs de fonctions à 2 vribles, si dét 2 f > lors q est définie, si dét 2 f < x j x i () x j x i () elle est indéfinie; si elle est définie, elle est définie positive si 2 f x 2 () > (ou 2 f 1 x 2 () > ), elle est définie 2 négtive sinon. (4) L fonction x 2 + y 4 possède visiblement un minimum bsolu en (, ), mis les critères de 1.25 ne s ppliquent ps.

15 II.2 Le théorème des fonctions implicites Le théorème des fonctions implicites Soit f(x, y), (x, y) U R 2, une fonction de 2 vribles. On peut lui ssocier une correspondnce entre x et y de l mnière suivnte : à tout x fixé on fit correspondre les vleurs de y qui sont solution de f(x, y) =. On dir que cette correspondnce entre x et y peut être rendue explicite s il existe une fonction y(x) telle que : f(x, y) = y = y(x). En générl, il n est ps possible de psser de l reltion implicite f(x, y) = à l reltion explicite y = y(x). Souvent c est possible, mis seulement loclement, u voisinge d une solution prticulière de f(x, y) =. 2.1 Exemples. (1) Soit f(x, y) = x + by + c = l éqution d une droite. Si b, on peut en tirer l éqution explicite : y = b x c b, et si, on en tire que x = b y c. Le premier cs revient à supposer que y, ou encore que l droite n est ps verticle; dns le deuxième, x, ou encore que l droite n est ps horizontle. (2) De l éqution implicite x 2 + y 2 1 = on peut tirer 4 reltions explicites : y = + 1 x 2, x < 1, y > ; y = 1 x 2, x < 1, y < x = + 1 y 2, y < 1, x > ; x = 1 y 2, y < 1, x < (3) De l reltion implicite x 2 y 2 = on peut tirer les 2 reltions explicites : y = x et y = x. Ensemble, elles décrivent toutes les solutions de x 2 y 2 =. Mis u voisinge de l solution (, ), ucune des 2 ne donne une solution explicite complète. En fit il n y ps de solution explicite u voisinge de (, ) (voir figure II.1). y y y= 1-x 2 x= 1-y2 y=x O x O y(x)? x y(x)? x y=-x Figure II.1 Pssge d une reltion implicite à une reltion explicite Le théorème suivnt nous donne une condition suffisnte pour psser loclement d une reltion implicite à une reltion explicite. Considérons l décomposition en produit R n = R n p R p et notons (x, y) R n p R p, x = (x 1,...,x n p ), y = (y 1,...,y p ). 2.2 Théorème des fonctions implicites. Soit U R n un ouvert et f : U R p continue, dmettnt une dérivée prtielle y (x,y) L(Rp, R p ) dépendnt continûment de (x, y) U. Supposons que (x, y ) U soit tel que : i) f(x, y ) = ii) y (x,y ) : R p R p est bijective.

16 52 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites Alors il existe r, R > et une ppliction continue g : B(x, r ) B(y, R ) tels que: i) B(x, r ) B(y, R ) U ii) f(x, g(x)) = x B(x, r ) et pour tout (x, y) B(x, r ) B(y, R ) on : f(x, y) = y = g(x). Pour comprendre intuitivement cet énoncé, supposons que f soit C 1 ; lors, pour (x, y) proche de (x, y ) : f(x, y) = f(x, y ) + }{{} x (x,y )(x x ) + y (x,y )(y y ) + reste = et si on néglige le reste, on en déduit que : f(x, y) = x (x,y )(x x ) + ( ) 1 ( ) y (x,y )(y y ) y = y y (x,y ) x (x,y )(x x ) à condition, bien sûr que y (x,y ) soit bijective. Cel nous donne une expression pproximtive de y en fonction de x; on peut espérer que : ( ) 1 ( ) y = y y (x,y ) x (x,y )(x x ) + ρ(x x ) vec ρ(x y ) très petit si x est proche de x. Nous verrons plus loin (voir 2.9) qu en fit lim x x ρ(x x ) x x =. Preuve: Soient r, R > tels que B(x, r) B(y, R) U et posons: { } X r,r = φ : B(x, r) B(y, R) φ continue ( ) ) c est un sous-ensemble fermé de l espce vectoriel complet C (B(x, r), R p, et donc X r,r est complet pour l métrique induite pr (voir I.3.1). Pour φ X r,r posons: ; ( ) 1 T(φ) (x) = φ(x) y (x ( ), y ) f(x, φ(x)) ; T(φ) est une ppliction continue de B(x, r) dns R p. Remrquons que T(φ) = φ f(x, φ(x)) = x B(x, r). On donc rmené l recherche d une solution explicite à un problème de point fixe. En fit, l définition de T s inspire de l 1ère vrinte de l méthode de Newton (voir I.4.2), que l on retrouve lorsque p = 1 et si l on considère x comme un prmètre. Le reste de l preuve consiste pour l essentiel à montrer que si r, R sont ssez petits, lors T est une trnsformtion contrctnte. Définissons l ppliction uxiliire ( ) 1 ( Ψ : B(x, r) B(y, R) R p, Ψ(x, y) = y y (x,y ) f(x, y)) de sorte que T(φ)(x) = Ψ(x, φ(x)) et Ψ(x, y ) = y. On que ( ) 1 Ψ ( ) y (x,y) = I p y (x,y ) y (x,y)

17 II.2 Le théorème des fonctions implicites 53 où I p : R p R p dénote l ppliction identité. Choisissons q tel que < q < 1. Il suit de l hypothèse que Ψ y (x,y) est continue que y (x,y) l est ussi, ( ) 1 ( ) et puisque Ψ y (x,y ) = I p y (x,y ) y (x,y ) =, il existe r 1 > et R > tel que: x x r 1, y y R Ψ y (x,y) ce qui entrîne encore, pr le théorème des ccroissements finis 1.9 que Soit δ > tel que q x x r 1, y 1 y, y 2 y R Ψ(x, y 1 ) Ψ(x, y 2 ) q y 1 y 2. et posons r = inf {r 1, δ}. Alors Ainsi, si φ X r,r, x x δ Ψ(x, y ) Ψ(x, y ) R (1 q) x x r, y y R Ψ(x, y) y Ψ(x, y) Ψ(x, y ) + Ψ(x, y ) Ψ(x, y ) q y y + R (1 q) qr + R (1 q) = R. T(φ) y = sup { Ψ(x, φ(x)) y, x x r } R et si φ 1, φ 2 X r,r, T ( φ 1 ) T ( φ2 ) = sup { Ψ(x, φ 1 (x)) Ψ(x, φ 2 (x)), x x r } q sup { φ 1 (x) φ 2 (x), x x r } = q φ 1 φ 2. Donc T est une trnsformtion contrctnte de X r,r et on peut lui ppliquer le théorème du point fixe (chp. I, th. 5.1, pge 16). L unique point fixe de T ser une ppliction continue g : B(x, r ) B(y, R ) telle que f(x, g(x)) =. L unicité du point fixe de T nous dit que g est l unique ppliction vec l propriété ci-dessus, cependnt cel n empêche ps priori que pour un x B(x, r ) il existe y B(y, R ), y g(x) vec f(x, y) =. Mis si x B(x, r ) est fixé, on peut considérer l trnsformtion t x : B(y, R ) B(y, R ),t x (y) = Ψ(x, y). On déduit imméditement des estimtions qu on vues sur Ψ que t x est une trnsformtion contrctnte, donc elle dmet un unique point fixe, qui ne peut être que g(x). 2.3 Remrques. (1) Si l on préfère trviller vec des boules ouvertes, on peut choisir r r tel que g ( B(x, r )) B(y, R ), et on ur encore: pour (x, y) B(x, r ) B(y, R ), f(x, y) = y = g(x). (2) Soit f : U R p, U R n, x U, f(x ) = et supposons que df x soit surjective. Alors, quitte à renuméroter les vecteurs de l bse nturelle de R n, on peut supposer que ( ) i dét (x ). x j i=1,...,p,j=n p+1,...,n

18 54 y II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites R { y (x, y ) g(x) Z(f) x { r x Figure II.2 Le théorème des fonctions implicites y y=(x-1) x x 1 y=-(x-1) x Figure II.3 L courbe d éqution y 2 x(x 1) 2 = Si l on prend l décomposition R n = R p R n p et l on note (x, x ) R n p R p, on ur que x (x ) est bijective et on pourr ppliquer le théorème des fonctions implicites pour exprimer x en fonction de x près de x = (x, x ). (3) Désignons pr Z(f) = {(x, y) R n f(x, y) = } l ensemble des zéros de f. L ppliction h : B(x, r ) B(x, R ), x (x, g(x )), est une bijection sur Z(f) (B(x, r ) B(x, R )); c est une prmétristion locle de X u voisinge de x (cf. proposition 4.8(2)). 2.4 Exemples. (1) Courbes plnes. Générlement, si x R et y R, l éqution f(x, y) = définit une courbe plne, notée Z(f). Si (x, y ) Z(f) et ( x (x,y ), y (x,y )) (, ), on dit que (x, y ) est un point régulier, sinon c est un point singulier. On ppelle droite tngente à Z(f) en un point régulier (x, y ) l droite d éqution : x (x,y )(x x ) + y (x,y )(y y ) = ; elle est proche de Z(f) près de (x, y ), prce que f(x, y) f(x, y ) = f(x, y) est pproché pr x (x,y )(x x ) + y (x,y )(y y ). Si (x, y ) est un point régulier, le théorème des fonctions implicites nous dit qu on

19 II.2 Le théorème des fonctions implicites 55 peut prmétrer Z(f) B(x ) B(y, R ) pr une ppliction de l forme x (x, g(x)), x B(x, r ), si y (x,y ), ou y (y, g(y)) si x (x,y ). L condition y (x,y ) signifie que l droite tngente à Z(f) en (x, y ) n est ps verticle, et elle se projette donc bijectivement sur l xe OX; le théorème des fonctions implicites nous dit qu lors l courbe elle-même, u voisinge de (x, y ), se projette bijectivement sur OX (voir figure II.3). Pr exemple, considérons l fonction f : R 2 R, f(x, y) = y 2 x(x 1) 2. On : y (x,y) = 2y, x (x,y) = 3x2 + 4x 1 et f(x, y) =, (x,y) = (x, y) = (, ) ou (1, ). y On pourr donc résoudre explicitement y en fonction de x, suf ux 2 points (, ) et (1, ). Puisque x (,) = 1, u voisinge de ce point on pourr résoudre explicitement x en fonction de y. Pr contre (1, ) est un point singulier, et on se rend compte sur l figure II.3 qu il n est ps possible de résoudre explicitement, ni y en fonction de x, ni x en fonction de y. (2) Surfces de l espce. Une éqution de l forme F(x, y, z) =, x, y, z R, définit générlement une surfce de l espce. Si P = (x, y, z ) Z(F) et df P = ( F F F x (P), y (P), y (P)) (,, ), on dit que P est un point régulier, sinon c est un point singulier. On ppelle pln tngent à Z(F) en un point régulier P = (x, y, z ) l pln d éqution : F x (P)(x x ) + F y (P)(y y ) + F z (P)(z z ) = ; il est proche de Z(F) près de (x, y, z ), prce que F(x, y, z) F(x, y, z ) = F(x, y, z) est pproché pr F x (x,y,z )(x x ) + F y (x,y,z )(y y ) + F z (x,y,z )(z z ). Au voisinge d un point régulier P, si pr exemple F z (P), on peut prmétrer Z(F) pr (x, y, z) (x, y, g(x, y)), pour (x, y) proche de (x, y ), où g(x, y) nous est fournie pr le théorème des fonctions implicites. Pr exemple, considérons F(x, y, z) = x 2 + y 2 z 2, df (x,y,z) = (2x, 2y, 2z). Donc (,, ) Z(F) est l unique point singulier. Au voisinge de (, 1, 1) on peut prmétrer Z(F) pr (x, y) (x, y, x 2 + y 2 ), (x, y) proche de (, 1). (3) Courbes dns l espce. Si ϕ = (ϕ 1, ϕ 2 ) : R 3 R 2, générlement Z(ϕ) est une courbe dns l espce. Un point P = (x, y, z ) Z(ϕ) est dit régulier si dϕ P est de rng 2, sinon on dit qu il est singulier. Si P est régulier, cel signifie que dϕ 1 P et dϕ2 P sont linéirement indépendnts; en prticulier ils sont non nuls, et donc P est un point régulier sur chcune des deux surfces Z(ϕ 1 ) et Z(ϕ 2 ). Dire que dϕ 1 P et dϕ2 P sont linéirement indépendnts signifie exctement que ces plns tngents sont distincts; leur intersection est l droite tngente à Z(ϕ) en P. Au voisinge d un point régulier, on peut prmétrer Z(ϕ) pr projection sur OX, OY ou OZ. Pr exemple prenons ϕ 1 (x, y, z) = x 2 + y 2 z 2, ϕ 2 (x, y, z) = y 2 + z 2 1; Z(ϕ 1 ) est un cône circulire d xe OZ, Z(ϕ 2 ) est un cylindre circulire de ryon 1, d xe OX. En posnt ϕ = (ϕ 1, ϕ 2 ), on : ( ) 2x 2y 2z dϕ =. 2y 2z Les 2 2 mineurs de cette mtrice vlent 8yz, 4xy et 4xz. Pour que le rng de dϕ soit inférieur à 2 il fut donc que 2 des 3 coordonnées x, y, z s nnulent, et on vérifie que cel ne se produit en ucun point de Z(ϕ); donc tous les points de Z(ϕ) sont réguliers. Au point (1,, 1), le mineur de dϕ correspondntà l première et dernière colonne est non nul; on peut prmétrer Z(ϕ) u voisinge de ce point pr y ( 1 2y 2, 1 y 2 ). Dns les exemples précédents, on utilisé souvent l dverbe générlement, prce qu il est des équtions prticulières surprenntes; pr exemple, si on prend F(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 =, lors Z(F) = {(,, )}.

20 56 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites 2.1 Dépendnce des rcines simples d une fmille de polynômes pr rpport à des prmètres D bord un lemme qui nous donne une estimtion des rcines d un polynôme à une vrible en fonction de l tille de ses coefficients. On v supposer que le polynôme est distingué, ce qui veut dire que le coefficient du terme du plus hut degré vut Lemme. Soit f(x) = x d + d i=1 ix d i, i R et supposons que i M, i = 1,..., d. Alors, si α R et f(α) = on : α < 1 + M Preuve: Si α 1 il n y rien à démontrer. Sinon : d 1 α i < 1 α i = 1 α i=1 et lors = α d d 1 + i α i α (1 d M i=1 α d ( 1 M α et donc α < 1 + M dns tous les cs. d i=1 ( i=1 ) 1 α i > 1 1 1/ α 1 1 1/ α )) ( = α d 1 M 1 ) α 1 = 1 M 1 < = α < 1 + M α Théorème. Soit F(x, λ) = x d + d 1 i= i(λ)x i une fmille de polynômes de degré d, où les coefficients sont des fonctions continues i (λ) : U R, U R n. Supposons que pour un λ U l éqution F(x, λ ) = possède exctement ν rcines, toutes simples, α 1,...,α ν R : F(x, λ ) = i t.q. x = α i, et F x (α i,λ ), i = 1,...,ν Alors il existe r > et ν fonctions continues γ i : B(λ, r) R telles que : i) γ i (λ ) = α i ii) F(x, λ) =, λ B(λ, r) i t.q. x = γ i (λ) Preuve: D près le théorème des fonctions implicites 2.2 il existe r >, R i >, i = 1,..., ν et des fonctions continues γ i : B(λ, r) ]α i R i, α i + R i [, i = 1,...,ν, telles que F(x, λ) =, x B(α i, R i ), λ B(λ, r) i t.q. x = γ i (λ). Il reste à voir que si r est choisi suffismment petit il n y ps d utres rcines. Soit r < r; lors, puisque {λ λ λ r } est compct et les (λ) continues, il existe M tel que (λ) M pour λ λ r Alors il suit du lemme qui précède que F(x, λ) si λ B(λ, r ) et x 1 + M. Posons { µ = inf F(x, λ ) } x [ 1 M, 1 + M] \ i=1,...,ν B(α i, R i ) lors µ >. Il existe r r tel que F(x, λ) µ/2 si λ λ r, x [ 1 M, 1+M]\ i=1,...,ν B(α i, R i ); les rcines de F(x, λ) ne peuvent donc être que dns i=1,...,ν B(α i, R). Remrquons que si l on dmet des rcines non simples, le théorème précèdent est fux : x 2 + λ dmet une rcine pour λ =, qui disprît dès que λ >. Aussi, le théorème est en défut pour l fmille de polynômes λx 2 x : pour λ =, x = est l unique rcine, et elle est simple, mis dès que λ il y 2 rcines simples : x = et x = 1 λ. On peut nénmoins étendre un peu l vlidité de 2.6 : ;

21 II.2 Le théorème des fonctions implicites Corollire. Soit F(x, λ) = d i= i(λ)x i une fmille de polynômes de degré d, où les coefficients sont des fonctions continues i (λ) : U R, U R n. Soit λ U tel que l on it : i) d (λ ) ii) l éqution F(x, λ ) = possède exctement ν rcines, toutes simples. Alors l conclusion du théorème 2.6 reste vlble. Preuve: En posnt F (x, λ) = 1/ d (λ), pour λ dns un voisinge de λ, on est rmené à 2.6. On en déduit une méthode pour dessiner des courbes plnes décrites pr une éqution polynomile en deux vrible x et y, que nous llons esquisser. Soit f(x, y) = d i,j= i,jx i y j un polynôme en x et y et soit X = { (x, y) R 2 f(x, y) = } l courbe plne qu il définit. Posons f x (y) = f(x, y) = (x) + 1 (x)y + + d (x)y d, que l on considère comme fmille de polynômes en y dépendnts du prmètre x. L idée de cette méthode est de fixer x R, puis de chercher l ensemble des y solutions de l éqution f x (y) = ; ce ser un ensemble S x R qui ser soit fini, soit égl à R, si l courbe X contient l droite verticle {x} R. Puis on essie de comprendre comment S x se comporte lorsque x vrie. Des problèmes vont surgir lorsque les rcines de f x ne dépendent ps continûment de x. D près 2.7 cel ne peut rriver que dns les cs suivnts : lorsque x nnulle le coefficient de degré mximl en y : d (x) = lorsque y (x,y) = et f(x, y) = En ces points, qui sont générlement en nombre fini, il fut exminer de plus près l éqution. On v noter Σ R l ensemble de ces points. Son complémentire R \ Σ est consitué d un nombre fini d intervlles I 1,..., I N. Il suit de 2.7 que X I h se compose d une réunion finie d rcs disjoints, chcun se projetnt bijectivement sur I h, pour h = 1,...,N. 2.8 Exemple. Considérons l courbe d éqution : On clcule que y 2 (1 x) x(2x 1) 2 =. x = y2 12x 2 + 8x 1, y = 2y 2xy. Les solutions de f(x, y) =, y = sont (, ) et (1/2, ). Le coefficient du terme de degré mximum en y est 1 x, nul en x = 1. Donc Σ = {, 1/2, 1}. On vérifie que l éqution f x (y) = possède 2 solutions symétrique pr rpport à l xe Ox lorsque < x < 1/2 et 1/2 < x < 1. Le point (, ) n est ps singulier, lors que (1/2, ) l est. Pour comprendre ce qui se psse en (1/2, ) on regrde le développement de Tylor de f en ce point : f(x, y) = 1/2y 2 2(x 1/2) + r 2 et il est donc probble que X ressemble à l pire de droites 1/2y 2 2(x 1/2) 2 = u voisinge de ce point. Enfin, si x 1, les deux solutions de f x (y) = ne peuvent que tendre vers l infini, cr f(1, y) = 1 (figure II.4).

22 58 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites 1 1/2 Figure II.4 L courbe d éqution y 2 (1 x) x(2x 1) 2 =. 2.2 Méthode des multiplicteurs de Lgrnge pour l recherche d extrem liés Soit Ω R n un ouvert et F : Ω R k une ppliction. Posons X = {x R n F(x) = } = Z(F); si f : Ω R est une fonction, on imerit chercher les extrem locux de l restriction de f à X : on dit que X est un mximum (resp. minimum) locl de f X si r > tel que x X, d(x, ) < r f(x) f() (resp. f(x) f(). On dit lors que est un extremum locl de f, lié ux conditions F i (x) =, i = 1,...,k. Pr exemple, cherchons les points de l prbole y = x 2 qui sont à distnce minimle du point P = (, c). Dns ce cs, F(x, y) = y x 2, et on peut prendre pour f l fonction f(x, y) = x 2 +(y c) 2, c est-à-dire le crré de l distnce de (x, y) à P; minimiser f(x, y) ou l distnce proprement dite f(x, y) revient u même, mis f(x, y) est plus simple à écrire. On peut résoudre directement ce problème à l ide de l prmétristion globle de Z(F) : α(x) = (x, x 2 ); lors f(α(x)) = x 2 + (x 2 c) 2 = φ(x), φ (x) = 2x + 2(x 2 c)2x = 2x(2x 2 2c + 1). On doit chercher l vleur de x pour lquelle φ(x) est minimle, et lors φ (x) =, d où x = ou x = c 1/2 si c > 1/2. Or φ() = c 2, φ( c 1/2) = c 1/4 (c 1/2). On vérifie que c 2 c 1/4 si c 1/2; donc que l distnce minimle est tteinte pr le point (, ) si c < 1/2, sinon pr les deux points (± c 1/2, c 1/2) (figure II.5). (,c) ( c 1 2, c 1 ) ( c 1 2 2, c 1 ) 2 1 (,c ) -1 1 Figure II.5 Exemple d extremum lié : distnce minimle d une courbe à un point donné

23 II.2 Le théorème des fonctions implicites 59 Dns cet exemple, on s est rmené, à l ide d une prmétristion de l courbe g(x, y) =, à l recherche de points critiques d une fonction d une vrible. En générl, il n est ps possible d expliciter une prmétristion d une courbe décrite pr une éqution : le théorème des fonctions implicites est un pur théorème d existence. Nénmoins, un complément à ce théorème v nous donner l expression de l première dérivée d une prmétristion locle de l courbe g = ; c est ce que v exploiter l méthode des multiplicteurs de Lgrnge, qui permet sous certines conditions de donner des équtions des extrems d une fonction liés à une contrinte. 2.9 Complément u théorème des fonctions implicites. Sous les hypothèses du théorème 2.2 (théorème des fonctions implicites), si f est dérivble en (x, y ), lors g est dérivble en x et ( ) 1 ( ) (3) dg x = y (x,y ) x (x,y ). De plus, si f est de clsse C r, g l est ussi. Preuve: En dérivnt les 2 membres de l éqution: on obtient que et de là on tire que f(x, g(x)) = x (x,y ) + ) y (x,y ) (dg x = ( ) 1 ( ) dg x = y (x,y ) x (x,y ) ceci à condition que l on sche déjà que g est dérivble en x. C est précisément ce que l on doit commencer pr démontrer, mis le clcul précédent explique d où vient l formule énoncée. Pour montrer que g est dérivble en x, donnons un ccroissement h à l vrible x en x, un ccroissement g = g(x + h) g(x ) à y en y et utilisons l dérivbilité de f en (x, y ) et le fit que f(x, g(x)) = : (4) = f(x + h, g(x + h)) f(x, g(x )) = x (x,y )(h) + y (x,y )( g) + r(h, g) vec r(h, g) ε( h + g ) si h, g δ ε, où l on prend prtout l norme 1. Puisque g est continue h δ 1 ε g δ ε donc si δ 2 ε = inf { δ ε, δ 1 ε}, (5) h δε 2 r(h, g) ε( h + g ). Pr illeurs, on déduit de (4) que (6) g = 1 ( ) (h) + r(h, g) y x et donc, en supposnt que ε < 1, 1 h δε 2 g (( ) ) y x + 1 h + ε g

24 6 II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites où cel v sns dire que les dérivées sont prises u point (x, y ). ( ) Posons C = ; en prennt ε = 1 et en ppellnt δ3 l vleur correspondnte de δε, 2 on obtient que y x 2 y h δ 3 1 g C h + 2 (7) 1 g C h g 2C h 2 Si on reprend (6) on voit que (8) g = 1 ( ) y x (h) et il suit de (5), (7) et (8) que y 1 1 g = C h + 1 y 2 g + ρ(h) où ρ(h) = 1( ) r(h, g) y h inf { δ ε, δ 3} 1 ρ(h) ε (1 + 2C) h ; y cel montre que g est dérivble et que s dérivée est donnée pr (3). Si l on suppose f de clsse C r, r 1, x et y sont de clsse Cr 1. L expression (3) est vlble sur un ouvert U x et montre que dg est de clsse C r 1 et donc que g est de clsse C r. Soit F : Ω R k une ppliction de clsse C 1. Si x Z(F) et que df x soit surjective, on dit que x est un point régulier de Z(F), sinon c est un point singulier (ceci générlise l terminologie introduite dns les exemples (2.4).) Si donc x est un point régulier de F, on peut ppliquer l remrque 2.3(3) pour voir une prmétristion de X = Z(F) u voisinge de x, de l forme x (x, g(x )), où x R n k est proche de x ; on pose h(x ) = (x, g(x ), et il suit de 2.9 que h est de clsse C 1. On définit l espce tngent à X u point x : TX x = {v R n df x (v) = } c est un sous-espce vectoriel de R n de dimension n k (dns les exemples 2.4 c est en fit le trnslté pr x de TX x que l on ppelé espce tngent). 2.1 Proposition. On : et : TX x = TX x = Im(dh x ) { v R } n des suites {x n } X, {λ n } R telles que lim x n = x et lim λ n (x n x ) = v n n Notons qu en prticulier, l deuxième expression de TX x ne fit ps intervenir l éqution F de X. Preuve: L dérivée de h s écrit : dh x = 1 }{{} n k dg x

25 II.2 Le théorème des fonctions implicites 61 et on voit qu elle est injective, et donc Im(dh x ) est de dimension n k. Puisque F(h(x )) =, df x dh x =, et donc Im(dh x ) Ker(dF x ) = TX x et puisque ces espces ont même dimension n k, ils coïncident. Si v TX x, lors w R n k tel que v = dh x (w). Soit x n = h(x + 1 n w) et λ n = n. Alors et lim (x n) = h ( lim n n (x + 1 n w)) = h(x ) = x lim (n(x n x )) = lim(n(h(x + 1 n n w) h(x )) = lim h(x + 1 n w) h(x ) 1 = dh x (w) = v D utre prt, si lim n x n = x et lim n λ n (x n x ) = v : = λ n (F(x n ) F(x )) = λ n (df x (x n x )) + λ n r(x n x ) = df x (λ n (x n x )) + r(x n x ) x n x λ n x n x df x (v) L proposition 1.12 se générlise comme suit Proposition. Soit Ω R n un ouvert, et soit F : Ω R k de clsse C 1, X = Z(F) et x X un point régulier. Soit f : Ω R une fonction de clsse C 1 ; pour que x soit un extremum locl de f X il est nécessire que : df x TX x =. n Preuve: Soit h(x ) l prmétristion locle de X u voisinge de x. Alors dire que x est un extremum locl de f X équivut à dire que x est un extremum locl de f h, ce qui, d près l proposition 1.12 implique que d(f h) x =. Mis d(f h) x = df x dh x ; cel entrîne donc que df x Im(dh x ) = df x TX x =. Voici un théorème qui trduit le résultt précédent en une méthode de clcul Théorème Methode des multiplicteurs de Lgrnge ( ). Soient F : Ω R k, et f : Ω R, Ω R n un ouvert, F, f de clsse C 1. Posons X = F 1 () et soit X; supposons que df soit surjective. Alors, une condition nécessire pour que f X it un extremum locl en est qu il existe k nombres réels λ 1,..., λ k R tel que : k df = λ i F i() où F i () L(Rn, R) dénote l dérivée de F i u point. En coordonnées, cel s écrit : x j () = k i=1 i=1 λ i F i x j (), j = 1,..., n Notons que pour l recherche des extrems liés nous urons : n + k inconnues : 1,..., n, λ 1,...,λ k n + k équtions : F 1 () = = F k () =, x j () = k i=1 λ i F i x j (), j = 1,...,n. Il est donc risonnble d espérer résoudre ce système d équtions. Les points Ω qui stisfont les n + k équtions ci-dessus, sns préjuger de leur qulité de mximum ou minimum locl lié, sont ppelés points sttionnires. Lorsque n = 2 et k = 1, les niveux de f et F sont générlement des courbes. L condition du théorème devient grd(f) = λ grd(f), donc les 2 courbes F(x 1, x 2 ) = et f(x 1, x 2 ) f() = ont même tngente en ; on le constte pr exemple sur les figures II.5 et II.6. L démonstrtion du théorème repose sur un lemme d lgèbre linéire :