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1 Université de Poitiers Mthémtiques L1 SPIC, Module L0 010/011 Feuille 4 : Quelques rppels, orretions et exeries supplémentires Rppels : 1 Mtrie d une pplition linéire Soient E, F deux K-espes vetoriels, f L(E,F), E = (e 1,,e n ) une se de E et F = (f 1,f p ) une se de F L mtrie de f dns les ses E et F, notée Mt E,F (f) est l mtrie dont les olonnes sont les oordonnées des veteurs f(e 1 ),,f(e n ) dns l se (f 1,f n ) Si on f(e 1 ) = 1,1 f 1 +,1 f + + p,1 f p f(e ) = 1, f 1 +, f + + p, f p lors : f(e n ) = 1,n f 1 +,n f + + p,n f p, Mt E,F (f) = 1,1 1, 1,n,1,,n p,1 p, p,n f(e 1 ) f(e ) f(e n ) Composition de fontions et produit mtriiel Rppel : Soient E, F, G trois espes vetoriels et f L(E,F), g L(F,G) des pplitions linéires Soient E une se de E, F une se de F et G une se de G Alors on Mt E,G (g f) = Mt F,G (g) Mt E,F (f) 3 Formules de hngement de ses f 1 f f p Définition Soient B, B deux ses d un ev E On ppelle mtrie de pssge de B à B l mtrie notée PB B dont les olonnes sont les oordonnées des veteurs de B dns l se B Proposition P B B = (P B B ) 1 et P B B = I

2 Théorème Soient E un espve vetoriel, f L(E), E et F deux ses de E On Mt F (f) = (P F E ) 1 Mt E (f) P F E Démonstrtion : On note E = (e 1,,e n ) et F = (f 1,,f n ) E muni de l se E id E f E muni de l se E id E E muni de l se F f E muni de l se F On id E f = f id E Or id E f = f id E : E muni de l se F E muni de l se E On don Mt F,E (id E f) = Mt F,E (f id E ) En utilisnt l formule rppelée u, on otient : Mt F,E (id E ) Mt F,F (f) = Mt E,E (f) Mt F,E (id E ) ( ) Or Mt F,F (f) = Mt F (f), et Mt E,E (f) = Mt E (f) D utre prt Mt F,E (id E ) = L reltion ( ) devient don id E (f 1 ) id E (f n ) e 1 e n = P F E Mt F (f) = Mt E (f) P F E En multiplint à guhe pr (P F E ) 1, on otient : f 1 f n e 1 e n = P F E Mt F (f) = (P F E ) 1 Mt E (f) P F E 4 Rppel : Soient E, F deux espes vetoriels de dimension finie, E une se de E, F une se de F et f : E F une pplition linéire Alors l pplition f est un isomorphisme de E si et seulement si Mt E,F (f) est inversile, et dns e s l mtrie de f 1 dns les ses F et E est Mt F,E (f 1 ) = (Mt E,F (f)) 1 Exerie 5 : 1 voir TD

3 () Soit C = (1,X,X,X 3 ) l se nonique de R[X] 3 On : L mtrie de f est don () On éhelonne M : f(1) = f(x) = X (X 1) = 1 + X f(x ) = X X(X 1) = X f(x 3 ) = X 3 3X (X 1) = 3X X 3 M = Mt C (f) = f(1) f(x) f(x ) f(x 3 ) f(1) f(x) f(x ) f(x 3 ) Ainsi (C C C 1 ) (C 3 C 3 C ) f(1) f(x) 1 f(1) f(x ) f(x 3 ) f(1) f(x) 1 f(1) f(x ) f(x) + f(1) f(x 3 ) f(1) f(x) 1 f(1) f(x3 ) f(x ) f(x) + f(1) Im(f) = Vet(f(1),f(X),f(X ),f(x 3 )) = Vet( 1 f(1),f(x) 1 f(1),f(x3 ),f(x ) f(x) + f(1)) = Vet(1,X,3X X 3,0) = Vet(1,X,3X X 3 ) L fmille (1,X,3X X 3 ) est don génértrie de Im(f) Elle est églement lire puisque éhelonnée On en déduit que (1,X,3X X 3 ) est une se de Im(f) Déterminons mintennt une se de ker(f) D près l éhelonnement préédent, on f(x ) f(x) + f(1) = 0 est à dire, puisque f est linéire f(x X + 1) = 0 3

4 On en déduit que X X + 1 ker(f) Ainsi, X X + 1 = (X 1) forme une fmille lire (r un seul veteur non nul) de ker(f) Or d près le théorème du rng, dim(kerf) + dim(imf) = dim(r[x] 3 )) = 4 On vu que dim(im(f)) = 3 (puisqu on trouvé une se de Im(f) formée de 3 veteurs), on en déduit que dim(kerf) = 1 Ainsi (X 1) forme une fmille lire de 1 veteur de ker(f) dim(kerf) = 1 } (X 1) est une se de ker(f) Exerie supplémentire orrigé : Soient B l se nonique de R 3 et f L(R 3 ) l endomorphisme de R 3 dont l mtrie dns l se B est A = Montrer que f est un isomorphisme de R 3 et luler Mt B (f 1 ) Rppel 1 : Soit E un espe vetoriel et f : E E On dit que f est un isomorphisme de E si 1 f est une pplition linéire, f est ijetive Ii f : R 3 R 3 est linéire (dit dns l énoné) Il ne reste don qu à montrer que f est ijetive Pour montrer que f est ijetive, il suffit de prouver que A est inversile (voir rppels) On peut le fire en montrnt que rg(a) = 3 (méthode à privilégier si on ne doit ps luler A 1 ensuite), ou diretement en lulnt A 1 Ii, on nous demnde de luler Mt B (f 1 ) Or d près le rppel préédent, Mt B (f 1 ) = (Mt B (f)) 1 = A 1 On ur don esoin de luler A 1 On utilise don l deuxième méthode (luler diretement A 1 ) : A x y z x y z x = x 3 1 y = 1 4 y 1 0 z = z On en déduit que A est inversile, d inverse x + y + 4z = y = x + y + 3z = 4

5 Conlusion : f est un isomorphisme de R 3 et 3 1 Mt B (f 1 ) = (Mt B (f)) 1 4 = Exerie 7 : 1 Montrons que U = (u 1,u,u 3 ) est une se de R 3 On suppose que xu 1 + yu + zu 3 = 0, est à dire que x(1,0,1) + y(1,1,1) + z(,0,1) = (0,0,0), e qui équivut u système x + y + z = 0 x + y + z = 0 (L 3 L 3 L 1 ) x + y + z = 0 z = 0 x = y = z = 0 l fmille U est don lire Il s git insi d une fmille lire formée de 3 veteurs de R 3, qui est de dimension 3 On en déduit que U est une se de R 3 On dispose de méthodes pour déterminer Mt U (f) : () on fit les luls à l min : on lule les oordonnées de f(u 1 ),f(u ) et f(u3) dns l se U Mt B (f(u 1 )) = Mt B (f)mt B (u 1 ) = = Mt B ((1,0,1)) Où Mt B (X) désigne le veteur oordonnées de X dns l se B On en déduit que f(u 1 ) = (1,0,1) = u 1 De même, f(u ) = (,,) = (1,1,1) = u et f(u 3 ) = (,0, 1) = (,0,1) = u 3 Ainsi B = Mt U (f) = () on utilise les formules de hngement de ses Ii, el donne (E = F = B et E = F = U) : Mt U (f) = ( P U B ) 1 MtB (f)p U B Or PB U = Clul de ( PB U ) 1 : x y z 5 x + y + z = y = x + y + z =

6 (L 3 L 3 + L 1 ) On en déduit que et B = (PB U ) 1 APB U = x + y + z = y = z = x y z ( P U B ) 1 = (L 3 L 3 + L 1 ) x = + y = z = Rppel : qund on une mtrie digonle et un entier k Z, λ λ n k λ k = λ k n On en déduit que B n = 0 n ( 1) n On urit ussi pu démontrer el pr réurrene sur n : pour n = 0, l églité préédente est vrie On l suppose vrie u rng (n 1) Alors B n = BB n 1, e qui donne, en utilisnt l hypothèse de réurrene : B n = n ( 1) n 1 0 n ( 1) n En vertu du prinipe de réurrene, ette reltion est don vrie pour tout n N Clulons f n (e 1 ), f n (e ) et f n (e 3 ) On ommener pr exprimer les veteurs e 1, e et e 3 dns l se U On veut érire e 1 sous l forme e 1 = xu 1 + yu + zu 3 On doit don résoudre x(1,0,1) + y(1,1,1) + z(,0,1) = (1,0,0), est à dire : x + y + z = 1 x + y + z = 0 x + z = 1 x + z = 0 x + z = 1 z = 1 (L 3 L 1 ) x = 1 z = 1 6

7 Ainsi e 1 = u 1 + u 3 De même, on trouve que e = u 1 + u et e 3 = u 1 u 3 On en déduit que f n (e 1 ) = f n ( u 1 + u 3 ) = f n (u 1 ) + f n (u 3 ) r f n est linéire Or d près l mtrie B n = (Mt U (f)) n = Mt U (f n ), f n (u 1 ) = u 1,f n (u ) = n u et f n (u 3 ) = ( 1) n u 3, don f n (e 1 ) = u 1 + ( 1) n u 3 = (1,0,1) + ( 1) n (,0,1) = (( 1) n 1,0,( 1) n 1) On retrouve de même que f n (e ) = ( n 1, n, n 1) et f n (e 3 ) = ( ( 1) n,0, ( 1) n ) Remrque : On peut ussi trouver les expressions des veteurs e 1, e et e 3 dns l se U en utilisnt les mtries de pssge En effet, pr définition de mtrie de pssge, l mtrie PU B est l mtrie dont les olonnes sont les oordonnées des veteurs e 1,e et e 3 dns l se U Or PU B = ( PB U ) 1 et on lulé que ( P U B ) 1 = puis on termine omme i-dessus, e qui donne diretement 3 On A n = (Mt B (f)) n = Mt B (f n ), et don, ve e qu on fit u ( 1) n 1 n 1 ( 1) n A n = Mt B (f n ) = 0 n 0 ( 1) n 1 n 1 ( 1) n Exerie 8 : f(e 1 ) = u 1 + u 3 f(e ) = u 1 + u f(e 3 ) = u 1 u 3 1 On f = f Mt B (f ) = Mt B (f) Or d près e qu on rppelé sur le produit mtriiel et l omposition de fontions : Mt B (f ) = Mt B (f f) = Mt B (f) Mt B (f) = A On est don rmené à montrer que A = A Or A = On don ien f = f, et f est un projeteur = A Il fut ommener pr déterminer ker(f) et Im(f) On éhelonne l mtrie A : f(e 1 ) f(e ) f(e 3 ) f(e 3 ) f(e ) f(e 1 ) f(e 3) f(e ) f(e 1 ) f(e 3) f(e ) f(e 3 ) f(e 1 ) + 3 f(e 3) f(e 3) f(e ) f(e 3 ) f(e 1 ) + f(e ) 5 f(e 3)

8 Alors ( ) Im(f) = Vet(f(e 1 ),f(e ),f(e 3 )) = Vet f(e3 ),f(e ) f(e 3 ),f(e 1 ) + f(e ) 5 f(e 3) ( ) = Vet f(e3 ),f(e ) f(e 3 ) = Vet((1,, 3),(0,1, )) L fmille ((1,, 3),(0,1, )) est don génértrie de Im(f) Elle est églement lire, r éhelonnée C est don une se de Im(f) Pour déterminer ker(f), on onsidère l olonne nulle de l mtrie éhelonnée On f(e 1 ) + f(e ) 5 f(e 3) = 0, est à dire, puisque f est linéire f(e 1 + e 5 e 3) = 0 On en déduit que e 1 + e 5 e 3 ker(f), est à dire que (1,, 5 ) ker(f) D utre prt, omme (1,, 5 ) 0, il onstitue une fmille lire de ker(f) Or d près le théorème du rng, dim(ker(f)) = dim(r 3 ) dim(i(f)) = 3 = 1 Ainsi (1,, 5 ) est une fmille lire de ker(f) qui est de dimension 1, est don une fmille lire mximle, est à dire une se de ker(f) On montre mintennt que ker(f) et Im(f) sont supplémentires de l mnière hituelle On ien dim(ker(f)) + dim(im(f)) = dim(r 3 ) (théorème du rng) Il reste à montrer que ker(f) Im(f) = {0} Soit X ker(f) Im(f) Comme X ker(f) = Vet(1,, 5 ), X s érit X = x(1,, 5 ) ve x R De même, omme X Im(f) = Vet(((1,, 3),(0,1, )), X = y(1,, 3) + z(0,1, ) ve y,z R On en déduit que x(1,, 5 ) = y(1,, 3) + z(0,1, ), e qui nous donne le système : x x y z = 0 5 x + 3y + z = 0 Ainsi X = x(1,, 5 ) = 0 et ker(f) Im(f) = {0} Conlusion : E = ker(f) Im(f) 3 On herhe une se U = (u 1,u,u 3 ) telle que B = Mt U (f) = f(u 1 ) f(u ) f(u 3 ) x = 0 z = 0 On doit don voir f(u 1 ) = 0, est à dire u 1 ker(f) Comme on vu que (1,, 5 ) forme une se de ker(f), on prend don u 1 = (1,, 5 ) On doit églement voir f(u ) = u et f(u 3 ) = u 3 Puisqu on vu que E = ker(f) Im(f), l idée est de prendre u et u 3 dns Im(f) Si x Im(f), lors x = f(y) pour un ertin y R 3 Alors on f(x) = f f(y) = f (y) = f(y) puisque f = f Or f(y) = x On don f(x) = x Ainsi, pour tout élément x de Im(f), on f(x) = x On vu que ((1,, 3),(0,1, )) est une se de Im(f), don on prend u = (1,, 3) et u 3 = (0,1, ) Comme u et u 3 sont dns Im(f), on f(u ) = u et f(u 3 ) = u 3 Comme u 1 forme une se de ker(f), (u,u 3 ) est une se de Im(f) et E = ker(f) Im(f), lors U = (u 1,u,u 3 ) est une se de E, et on ien B = Mt U (f) = u 1 u u 3 8

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