Calcul différentiel 1 Licence de Mathématiques

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1 Clcul différentiel 1 Licence de Mthémtiques

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3 Tble des mtières Avertissement 5 Chpitre 1. Préliminires 7 1. Espces vectoriels normés 7 2. Convergence, continuité Vocbulire topologique Compcité, connexité, complétude Applictions linéires et multilinéires Sclristion 26 Chpitre 2. Fonctions d une vrible Dérivtion des fonctions à vleurs vectorielles Intégrtion des fonctions à vleurs vectorielles L formule de Tylor Fonctions convexes 41 Chpitre 3. Applictions différentibles Définitions Fonctions à vleurs dns R m ; fonctions définies sur R n Fonctions composées AF et TFA Fonctions de clsse C 2 64 Chpitre 4. Extrem Introduction Compcité et existence d extrem Conditions sur les différentielles première et seconde Le cs des fonctions convexes Extrem liés 82 Chpitre 5. Inversion locle, fonctions implicites Applictions linéires inversibles Difféomorphismes Le théorème d inversion locle Le théorème des fonctions implicites 100 3

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5 Avertissement Dns tout ce qui suit, on considérer uniquement des espces vectoriels réels. Autrement dit, l expression espce vectoriel signifier toujours R-espce vectoriel. 5

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7 CHAPITRE 1 Préliminires 1. Espces vectoriels normés 1.1. Normes sur un espce vectoriel. Définition 1.1. Une norme sur un espce vectoriel E est une ppliction de E dns R, notée u u ou, vérifint les propriétés suivntes : (1) u 0 pour tout u E, et u = 0 seulement pour u = 0 ; (2) λu = λ u pour tout u E et pour tout λ R ; (3) u + v u + v pour tous u, v E (inéglité tringulire). Un espce vectoriel normé est un espce vectoriel muni d une norme. Pour bréger, on écrir en générl evn u lieu de espce vectoriel normé. Remrque. Il rriver souvent qu on considère plusieurs espces vectoriels normés E, F, G... en même temps. En générl, on utiliser l même nottion pour l norme de chcun des espces. S il est bsolument nécessire d être plus précis, on écrir E, F, G,... Exemple 1. L vleur bsolue est une norme sur E = R, le module est une norme sur E = C. On supposer toujours que R et C sont munis de ces normes cnoniques. Exemple 2. (normes usuelles sur R n ) Soit n N. On définit des normes, 1 et 2 sur E = R n en posnt, pour x = (x 1,..., x n ) R n : x = mx( x 1,..., x n ), x 1 = x j, x 2 = j=1 x x2 n. Dns l suite, on utiliser principlement l norme. Remrque. Même si on ur tendnce à privilégier l norme, il est bon d jouter quelques mots sur l norme 2. Cette norme s ppelle l norme euclidienne. Pr définition, on x 2 = x, x, où, est le produit sclire usuel sur R n. L norme euclidienne et le produit sclire sont églement reliés pr l très importnte inéglité de Cuchy-Schwrz : si x, y R n, lors x, y x 2 y 2. Il n est ps évident que 2 est effectivement une norme : l inéglité tringulire x+y 2 x 2 + y 2 n est ps immédite. On peut l démontrer en développnt x + y 2 2 = x + y, x + y et en utilisnt l inéglité de Cuchy-Schwrz. Enfin, pour n = 2, l norme euclidienne n est rien d utre que l norme module sur C = R 2. 7

8 8 1. PRÉLIMINAIRES Exemple 3. Soit [, b] un intervlle fermé borné de R, et soit C([, b]) l espce vectoriel constitué pr toutes les fonctions continues u : [, b] R. On définit une norme sur C([, b]) en posnt u = sup { u(t) ; t [, b]}. Exemple 4. (espce produit) Soient E 1,..., E n des evn, et soit E = E 1 E n. Écrivons chque vecteur u E sous l forme u = (u(1),..., u(n)), où u(j) E j. Alors l formule ) u = mx ( u(1) E1,..., u(n) En définit une norme sur E = E 1 E n, qu on ppelle l norme produit. Chque fois qu on considérer un espce produit E 1 E n, on supposer implicitement qu il est muni de l norme produit. (Ceci est en ccord vec le choix de l norme sur R n = R R). Exercice 1. Démontrer ce qui est dit dns les exemples 2, 3 et 4. Exercice 2. Soit E un evn. Montrer que si u E et u 0 (donc u 0), lors u u = 1. Exercice 3. Soit E un evn. Montrer que si u, v E, lors : u v u v u + v. L première de ces inéglités s ppelle l inéglité tringulire inverse Normes équivlentes. Définition 1.2. Soient et deux normes sur un espce vectoriel E. On dit que et sont équivlentes si on peut trouver deux constntes c > 0 et C < telles que u E : c u u C u. Remrque. L terminologie n est ps délirnte : on définit bien insi une reltion d équivlence sur l ensemble de toutes les normes sur E. (Exercice : vérifier). Exercice 1. Montrer que les normes, 1 et 2 sur R n sont équivlentes. Exercice 2. Pour u C([0, 1]), on pose u 1 = 1 0 u(t) dt. Montrer que 1 est une norme sur C([0, 1]), mis qu elle n est ps équivlente à. Le théorème suivnt signifie en gros que lorsqu on est en dimension finie (et pour ce qui v nous intéresser), le choix de l norme n ucune importnce. Il s git évidemment d un résultt très utile, et donc très importnt. Il n est ps nécessire de svoir refire l démonstrtion, qui est un peu compliquée. En revnche, il est essentiel de connitre l énoncé et de svoir l utiliser. Théorème 1.3. Sur un espce vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivlentes. Démonstrtion. Tout espce vectoriel de dimension finie étnt isomorphe à R n pour un certin n 1, il s git de montrer que toutes les normes sur R n sont équivlentes. Pour cel, il suffit de prouver que toute norme sur R n est équivlente à.

9 1. ESPACES VECTORIELS NORMÉS 9 Étpe 1. Si est une norme sur R n, il existe une constnte C < telle que C. Démonstrtion. Si u = (u(1),..., u(n)) R n et si on note (e 1,..., e n ) l bse cnonique de R n, lors u = u(j)e j j=1 u(j)e j = j=1 u(j) e j j=1 u e j, puisque u(j) u pour tout j. On obtient donc le résultt souhité vec C := n 1 e j (qui est bien une constnte indépendnte de u R n ). Étpe 2. Si est une norme sur R n, il existe une constnte c > 0 telle que c. Démonstrtion. C est l prtie difficile. On v démontrer le résultt pr récurrence sur n. Pour n = 1, ce n est ps compliqué : si est une norme sur R 1 = R, lors u = u 1 = u 1 = c u pour tout u R 1, où c = 1 est bien strictement positif cr 1 0. Supposons le résultt vri pour n 1, et démontrons le pour n + 1. Soit une norme sur R n+1. Pr l bsurde, on suppose qu il n existe ps de constnte c > 0 telle que c. Cel signifie que pour tout c > 0, on peut trouver un vecteur u c R n+1 tel que u c < c u c. On u c 0 (d près l inéglité stricte), donc on peut définir v c = uc u c Alors v c = 1 et j=1 v c = 1 u c u c < c. En prennt c = 1/k pour tout k N et en posnt v k = v 1/k, on obtient insi une suite (v k ) R n+1 telle que v k = 1 pour tout k et v k 0. Écrivons v k = (v k (1),..., v k (n + 1)). Pr définition de, on peut choisir pour tout k un indice j k {1,..., n} tel que v k (j k ) = v k = 1. Comme il y une infinité d entiers k et un nombre fini d indices j {1,..., n}, il existe u moins un j {1,..., n} tel que j k = j pour une infinité de k. On peut pr exemple supposer que j = n + 1, et on obtient insi une sous-suite (v k ) de (v k) telle que v k (n + 1) = 1 pour tout k, utrement dit v k (n + 1) = ±1. De même, il y une infinité de k tels que v k (n + 1) = 1, ou bien une infinité de k tels que v k (n + 1) = 1. On peut pr exemple supposer qu on est dns le premier cs, ce qui donne une sous-suite (v k ) de (v k ) (et donc une sous-suite de (v k )) telle que v k (n + 1) = 1 pour tout k. Pour simplifier les nottions, on chnge le nom de v k qu on ppelle à nouveu v k. Au totl, on insi trouvé une suite (v k ) R n+1 telle que v k (n+1) = 1 = v k pour tout k et v k 0.

10 10 1. PRÉLIMINAIRES Le point clé est mintennt le suivnt : si p, q N, lors (v q v p )(n+1) = 0. Donc, on peut considérer v q v p comme un vecteur de R n, en identifint R n à R n {0} R n+1. Pr hypothèse de récurrence, il existe une constnte c > 0 telle que u c u pour tout u R n = R n {0}. En prennt u := v q v p, on en déduit qu on (1.1) v q (j) v p (j) (1/c ) v q v p pour tous p, q N et pour tout j {1,..., n}. D utre prt, on églement v q v p v q + v p d près l inéglité tringulire, et donc v q v p 0 qund p, q. D près (1.1), cel montre que pour tout j {1,..., n}, l suite (v k (j)) k N est une suite de Cuchy dns R, et est donc convergente (critère de Cuchy). Pour chque j {1,..., n}, il existe donc un nombre réel v(j) tel que v k (j) v(j) qund k. Si mintennt on pose v = (v(1),..., v(n), 1) R n+1, lors v k (j) v(j) pour tout j {1,..., n + 1} puisque v k (n+1) 1. Pr définition de l norme, cel entrine que v k v 0 (Exercice). Et comme C pour une certine constnte C (d près l étpe 1), on en déduit que v k v 0. D près l inéglité tringulire, on v v v k + v k pour tout k N. Comme v k 0 et v k v 0, on en déduit v 0 en fisnt tendre k vers l infini, et donc v = 0. Comme est une norme, cel signifie que v = 0. Mis ceci est bsurde puisque l (n + 1)-ième coordonnée de v vut 1. On donc obtenu une contrdiction, ce qui chève l démonstrtion pr récurrence. Au totl, les fits 1 et 2 donnent le théorème. Exercice. Soit N N. Déterminer les meilleures constntes c n et C n telles que c n u u 2 C n u pour tout u R n Suites convergentes. 2. Convergence, continuité Définition 2.1. Soient E un evn, (u k ) k N une suite d éléments de E, et u E. On dit que l suite (u k ) converge vers u si u k u tend vers 0 qund k. Avec des quntificteurs, cel s écrit ε > 0 K k K : u k u ε. (On pourrit tout ussi bien écrire < ε u lieu de ε : pourquoi?). Remrque. Les suites convergentes restent les mêmes si on remplce l norme de E pr une norme équivlente. En prticulier, dns un espce vectoriel de dimension finie, les suites convergentes sont les mêmes quelle que soit l norme utilisée, et on peut donc prler de convergence sns fire explicitement référence à ucune norme. Exercice. Montrer qu on unicité de l limite ; utrement dit, qu une suite (u k ) ne peut ps converger vers deux points différents. Exemple 1. Une suite réelle ou complexe converge pour l norme vleur bsolue ou module si et seulement si elle converge u sens usuel.

11 2. CONVERGENCE, CONTINUITÉ 11 Exemple 2. Une suite (u k ) R n converge dns R n (pour n importe quelle norme) si et seulement si elle converge coordonnée pr coordonnée. Autrement dit, si on écrit u k = (u k (1),..., u k (n)) et u = (u(1),..., u(n)), lors u k u si et seulement si u k (j) u(j) pour tout j {1,..., n}. Démonstrtion. Pr équivlence des normes, il suffit de le voir pour l norme. C est un exercice fcile, qu il fut bsolument svoir fire (et qui d illeurs déjà été utilisé dns l preuve du théorème 1.3). Exemple 3. Une suite (u k ) C([, b]) converge pour l norme si et seulement si elle converge uniformément sur [, b]. Pour cette rison, l norme s ppelle l norme de l convergence uniforme. Exemple 4. Dns un evn produit E = E 1 E n, une suite converge si et seulement si elle converge coordonnée pr coordonnée. Démonstrtion. Exercice (le même que dns l exemple 2) Le théorème de Bolzno-Weierstrss. Une suite (u k ) dns un evn E est dite bornée s il existe une constnte M < (indépendnte de k) telle que u k M pour tout k N. Il n est ps difficile de montrer que toute suite convergente est bornée (exercice). L réciproque est évidemment fusse : considérer pr exemple u k = ( 1) k dns E = R. Le très importnt résultt suivnt donne cependnt une réciproque prtielle en dimension finie. Rppelons qu une sous-suite de (u k ) est une suite (u k ) de l forme u k = u n k, où (n k ) est une suite croissnte d entiers tendnt vers l infini. Théorème 2.2. (Bolzno -Weierstrss) Toute suite bornée dns un evn de dimension finie possède une sous-suite convergente. Démonstrtion. Pr équivlence des normes en dimension finie, il suffit de le voir lorsque l evn est R n muni de l norme. Soit (u k ) une suite bornée dns (R n, ), et écrivons u k = (u k (1),..., u k (n)). Fixons églement une constnte M telle que u k M pour tout k N. Comme u k (1) u k M pour tout k, l suite (u k (1)) k N est bornée dns R. D près le théorème de Bolzno -Weierstrss usuel, on peut donc trouver une sous-suite (u k ) de (u k) et un nombre réel l 1 tels que u k (1) l 1 qund k. Mintennt, l suite (u k (2)) est bornée dns R cr u k (2) u k M, donc on peut trouver l 2 R et une sous-suite (u k ) de (u k ) tels que u k (2) l 2. Alors (u k ) est une sous-suite de (u k) telle que u k (1) l 1 et u k (2) l 2. En poursuivnt ce risonnement, on obtient près n extrctions une sous-suite (v k ) de (u k ) et n nombres réels l 1,..., l n tels que v k (j) l j pour tout j {1,..., n}. Si on pose u = (l 1,..., l n ) R n, lors (v k ) converge vers u coordonnée pr coordonnée, et donc u sens de l norme. Exercice. Pour k N, soit u k : [0, 1] R l fonction nulle sur les intervlles [0, 1/(2k+ 1)] et [1/(2k 1), 1], vlnt 1 u point t = 1/2k, et ffine sur les intervlles [1/(2k 1), 1/2k] et [1/2k, 1/(2k+1)]. Montrer que l suite (u k ) est bornée dns (C([0, 1]), ) mis ne possède ucune sous-suite convergente Applictions continues. Définition 2.3. Soient E et F deux evn, et soit A E. On dit qu une ppliction f : A F est continue en un point A si f(u) tend vers f() qund u tend vers ; utrement dit (vec des quntificteurs) : ε > 0 δ = δ(, ε) > 0 u A : u < δ = f(u) f() ε.

12 12 1. PRÉLIMINAIRES (C est l même chose si on écrit δ et/ou < ε ). On dit qu une ppliction f : A F est continue sur A si elle est continue en tout point A. Remrque 1. Cette définition est exctement l même que pour les fonctions réelles d une vrible réelle : on remplce simplement les vleurs bsolues pr des normes. Remrque 2. Les pplictions continues restent les mêmes si on remplce les normes pr des normes équivlentes. En prticulier, on peut prler d pplictions continues entre deux evn de dimension finie sns fire explicitement référence à ucune norme. Exemple 1. On dit qu une ppliction f : A F est lipschitzienne s il existe une constnte C < telle que u, v A : f(v) f(u) C v u. (Dns ce cs, on dit que f est C-lipschitzienne). Il est immédit que toute ppliction lipschitzienne est continue sur (on peut prendre δ(, ε) = ε/c pour tout A). Exemple 2. Les pplictions coordonnées sont continues sur R n. Autrement dit, pour tout j {1,..., n}, l ppliction π j : R n R définie pr π j (x 1,..., x n ) = x j est continue sur R n Démonstrtion. Pr équivlence des normes, on peut supposer que R n est muni de l norme. Si u = (x 1,..., x n ) et v = (y 1,..., y n ), lors π j (v) π j (u) = y j x j v u, ce qui prouve que l ppliction π j est lipschitzienne. Exercice. Montrer que si E est un evn, lors l ppliction u u est continue sur E. Le résultt suivnt est souvent très utile. Proposition 2.4. (crctéristion séquentielle de l continuité) Pour une ppliction f : A F, les propriétés suivntes sont équivlentes : (i) f est continue en un point A ; (ii) pour toute suite (u k ) A convergent vers, l suite (f(u k )) tend vers f(). Démonstrtion. Exercice (qu il fut bsolument svoir fire). Corollire 2.5. Soit f : A R m, et écrivons f(u) = f 1 (u). f m(u) si et seulement si les pplictions f 1,..., f m sont continues.. Alors f est continue Démonstrtion. C est immédit en utilisnt des suites, puisque l convergence dns R m est l convergence coordonnée pr coordonnée. Remrque. Ce corollire est importnt cr il permet de se rmener u cs des fonctions à vleurs réelles (et non plus vectorielles). Proposition 2.6. L continuité est préservée pr somme, produit (pour les fonctions à vleurs réelles ou complexes), quotient (qund il est défini), composition (qund elle un sens). Démonstrtion. Autre exercice à svoir fire bsolument. Le plus délict est en fit le cs du produit : voir le cours d nlyse de 1ère nnée si besoin est, ou l preuve de l proposition 5.9.

13 3. VOCABULAIRE TOPOLOGIQUE 13 Conséquence prtique. Soit f(x 1,..., x n ) une formule explicite dépendnt de n vribles x 1,..., x n R et n utilisnt que des fonctions usuelles. Alors l fonction f est continue sur son domine de définition. Ce n est ps un énoncé précis, mis il est clir que cel découle imméditement de l proposition : toute formule explicite f(x 1,..., x n ) est construite à prtir des pplictions coordonnés (qui sont continues) en utilisnt des fonctions usuelles (donc continues), des sommes, des produits et des compositions. L chose importnte est qu il fut déterminer précisément le domine de définition de l fonction. Exemple 1. L formule f(x, y) = log(x y) e xy 1 définit une fonction continue. Quel est son domine de définition? Exemple 2. L ppliction M det(m) est continue sur M n (R). Démonstrtion. On identifie M n (R) à R n2 en ssimilnt une mtrice M à l liste de ses coefficients (près voir choisi un ordre d énumértion). L formule définissnt le déterminnt montre que det(m) est une fonction polynomile des coefficients de M, d où l continuité. Remrque. Il fut tout de même fire un peu ttention vec l expression formule explicite. Il ne doit y voir qu une seule formule : une définition pr cs ne rentre ps dns l ctégorie formule explicite. Pr exemple, on ne peut ps invoquer l proposition précédente pour justifier que l fonction f : R 2 R définie pr f(x, y) = x 2 y x 2 +y 2 si (x, y) (0, 0) et f(0, 0) = 0 est continue sur R 2. Exercice 1. Soient E et F deux evn, et soit f : E F. Soit églement Ω un ouvert de E (voir l section suivnte). Montrer que f est continue en tout point de Ω si et seulement si l restriction de f à Ω est continue. Est-ce encore vri si Ω est une prtie quelconque de E? Exercice 2. Soit f : R 2 R. Montrer que l fonction f est continue en (0, 0) si et seulement si f(r cos θ, r sin θ) tend vers f(0, 0) uniformément pr rpport à θ R qund r 0 +. Exercice 3. Montrer que l fonction f de l remrque précédente est effectivement continue sur R Boules. 3. Vocbulire topologique Définition 3.1. Soit E un evn, E et ε 0. L boule ouverte de centre et de ryon ε, notée B(, ε), est l ensemble des points u E vérifint u < ε : B(, ε) = {u E; u < ε}. L boule fermée de centre et de ryon ε, notée B(, ε), est définie pr B(, ε) = {u E; u ε}. Exemple 1. Si E = R muni de l vleur bsolue, lors B(, ε) est l intervlle ouvert ] ε, + ε[ et B(, ε) = [ ε, + ε]. Si E = C muni du module, lors B(, ε) est le disque ouvert de centre et de ryon ε, et B(, ε) est le disque fermé correspondnt.

14 14 1. PRÉLIMINAIRES Exemple 2. Si E = (R 2, ), lors B(, ε) est le crré de centre dont les côtés sont prllèles ux xes de coordonnée et de longueur 2ε. Exercice 1. Dessiner l boule fermée B(0, 1) dns E = (R 2, 1 ). Exercice 2. Montrer que dns tout evn E, une boule B (ouverte ou fermée) est toujours un ensemble convexe : si u, v B, lors le segment [u, v] est entièrement contenu dns B. On rppelle que le segment [u, v] est défini nlytiquement pr [u, v] = { (1 t)u + tv; t [0, 1] }. Exercice 3. Dns l définition des boules, l vleur ε = 0 est utorisée. Déterminer B(, 0) et B(, 0) Ouverts et fermés. Définition 3.2. Soit E un evn. On dit qu un ensemble Ω E est un ouvert de E si, pour tout point Ω, on peut trouver r = r() > 0 tel que B(, r) Ω. Remrque 1. On obtient une définition équivlente en écrivnt B(, r) u lieu de B(, r). Pourquoi? Remrque 2. Les ouverts restent les mêmes si on remplce l norme de E pr une norme équivlente. Démonstrtion. Exercice. Exemple. Dns R, tout intervlle ouvert (borné ou non) est un ouvert. Exercice 1. Montrer que Ω = {(x, y) R 2 ; xy > 1} est un ouvert de R 2. Exercice 2. Montrer que toute boule ouverte d un evn E est un ouvert de E. Proposition 3.3. Soit E un evn. L fmille des ouverts de E vérifie les propriétés suivntes : (0) et E sont ouverts ; (1) toute réunion d ouverts est un ouvert ; (2) toute intersection finie d ouverts est un ouvert. Démonstrtion. Un exercice qu il fut svoir fire. Remrque. Si E est un ensemble quelconque, une fmille de prties de E vérifint (0), (1) et (2) s ppelle une topologie sur E. C est ce qui explique le titre de cette section ( vocbulire topologique ). Définition 3.4. Soit E un evn. On dit qu un ensemble C E est un fermé de E s il possède l propriété suivnte : chque fois qu une suite (u k ) C converge dns E, s limite pprtient encore à C. Exemple. Dns R, tout intervlle fermé (borné ou non, éventuellement réduit à un point) est un fermé. Exercice. Montrer que, E et toute boule fermée de E sont des fermé de E. Proposition 3.5. Soit E un evn. Un ensemble C E est fermé si et seulement si son complémentire E \ C est ouvert. Démonstrtion. Encore un exercice qu il fut svoir fire.

15 3. VOCABULAIRE TOPOLOGIQUE 15 Corollire 3.6. Si E est un evn, lors l fmille des fermés de E est stble pr intersections quelconques et réunions finies. Démonstrtion. C est immédit pr pssge ux complémentires, en utilisnt l proposition 3.3. L proposition suivnte crctérise l continuité en termes d ouverts et/ou de fermés. Dns l prtique, c est presque toujours ce résultt qu on utilise pour vérifier qu un ensemble est ouvert ou fermé. Proposition 3.7. Soient E et F deux evn, et soit Φ : E F. Les propriétés suivntes sont équivlentes : (i) Φ est continue sur E ; (ii) Φ 1 (V ) est ouvert dns E, pour tout ouvert V F ; (ii ) Φ 1 (C) est fermé dns E, pour tout fermé C F. Démonstrtion. D près l proposition 3.5 et le fit que f 1 (F \A) = E\f 1 (A) pour tout ensemble A F, il et clir que (ii) et (ii ) sont équivlentes. L équivlence de (i) et (ii) est un exercice qu il fut svoir fire. Exemple 1. L ensemble Ω = {(x, y) R 2 ; x y, x + y > 3 et x 2 + y 2 < 6} est un ouvert de R 2, et l ensemble C = {(x, y, z) R 3 ; x y 5 et x 6 + y 2 z 4 = 1} est un fermé de R 3. Démonstrtion. Soient Φ 1, Φ 2 et Φ 3 les trois fonctions de R 2 dns R définies pr Φ 1 (x, y) = x y, Φ 2 (x, y) = x + y et Φ 3 (x, y) = x 2 + y 2. Ces trois fonctions sont continues (formules explicites), et on Ω = Φ 1 1 (R \ {0}) Φ 1(]3, + [) Φ 1(], 6[). 2 Comme R\{0}, ]3, + [ et ], 6[ sont des ouverts de R, on voit donc que Ω pprit comme l intersection de trois ouverts de R 2. D près l proposition 3.3, on en déduit que Ω est ouvert. On montre de l même mnière que C est un fermé de R 3, en l écrivnt comme intersection de deux fermés définis pr des fonctions continues bien choisies. Remrque. Ce qu il fut retenir de ces deux exemples est le slogn suivnt : un ensemble défini pr un nombre fini de non-églités et d inéglités strictes est ouvert, et un ensemble défini pr un nombre fini d églités et d inéglités lrges est fermé. Exemple 2. L ensemble des mtrices inversibles est un ouvert de M n (R). Démonstrtion. Si on pose Φ(M) = det(m), lors l fonction Φ est continue sur M n (R) et l ensemble des mtrices inversibles est exctement Φ 1 (R \ {0}). Exercice. Donner un exemple d ensemble A R qui n est ni ouvert ni fermé D utres mots. On renvoie u cours de topologie pour l définition d utres termes topologiques comme voisinge, intérieur, dhérence et frontière. Si A est une prtie d un evn E, on noter Å son intérieur, A son dhérence, et A s frontière. Exercice 1. Quelle est l frontière de Ω = {(x, y) R 2 ; xy > 1} dns R 2? Exercice 2. Montrer que dns un evn E, l dhérence d une boule ouverte de ryon ε > 0 est l boule fermée correspondnte. 3

16 16 1. PRÉLIMINAIRES 4. Compcité, connexité, complétude 4.1. Prties compctes d un evn. Définition 4.1. Soit E un evn, et soit K E. On dit que K est compct si, de toute suite (u k ) K, on peut extrire une sous-suite convergente dont l limite pprtient à K. Remrque 1. Les ensembles compcts restent les mêmes si on remplce l norme pr une norme équivlente. On peut donc prler de compcts dns un espce vectoriel de dimension finie sns fire explicitement référence à une norme. Remrque 2. Tout compct K E est fermé dns E et borné (il existe une constnte M telle que u K : u M). Démonstrtion. Exercice à svoir fire. Proposition 4.2. Dns un evn de dimension finie, les ensembles compcts sont exctement les ensembles fermés et bornés. Démonstrtion. Soit E un evn de dimension finie. D près l remrque 2 cidessus, il suffit de montrer que si K E est fermé et borné, lors K est compct. Soit donc (u k ) une suite quelconque d éléments de K. Alors (u k ) est bornée cr K est borné. Comme E est de dimension finie, on peut ppliquer le théorème de Bolzno- Weierstrss (théorème 2.2) : l suite (u k ) possède une sous-suite convergente (u k ). De plus, comme K est fermé dns E, l limite de l suite (u k ) pprtient à K. Remrque. En dimension finie, pour montrer qu un ensemble est borné, on peut choisir l norme qu on veut pr équivlence des normes. Exemple 1. L ensemble K = {(x, y) R 2 ; x 2 + 3y 2 1} est un compct de R 2. Démonstrtion. Il est clir que K est fermé (il est défini pr une inéglité lrge). De plus, si u = (x, y) K lors x 2 1 et y 2 1/3 (cr l somme de 2 termes positifs est plus grnde que chcun des 2 termes), utrement dit x 1 et y 1/ 3. Donc u 1 pour tout u K, et pr conséquent, K est borné. Exemple 2. L ensemble des mtrices orthogonles est un compct de M n (R). Démonstrtion. Pr définition, une mtrice M est orthogonle si et seulement t MM = I. Si on pose Φ(M) = t MM, lors Φ est une ppliction continue de M n (R) dns M n (R) (les coefficients de Φ(M) sont des fonctions polynomiles de ceux de M), et O n (R) = Φ 1 ({I}). Pr conséquent, O n (R) est un fermé de M n (R). D utre prt, on sit que si M est une mtrice orthogonle, lors ses vecteurs colonnes sont de norme euclidienne égle à 1. En prticulier, tous les coefficients de M sont u plus égux à 1 en vleur bsolue, et donc M 1, où l norme est définie pr ( ij ) = mx i,j ij. Pr conséquent, O n (R) est borné dns M n (R). Exercice 1. Soit E = (C([0, 1], ). Donner un exemple d ensemble fermé et borné dns E qui ne soit ps compct. Exercice 2. Montrer que si (x n ) est une suite convergente dns un evn E et si on pose x = lim x n, lors l ensemble K = {x } {x n ; n N} est un compct de E. Exercice 3. Montrer que si K 1 et K 2 sont deux compcts dns des evn E 1 et E 2, lors K 1 K 2 est compct dns E 1 E 2.

17 4. COMPACITÉ, CONNEXITÉ, COMPLÉTUDE 17 L importnce de l compcité vient des deux théorèmes suivnts. Théorème 4.3. Soit K un compct d un evn E. Si f : K R est une fonction continue, lors f est bornée et tteint ses bornes. Démonstrtion. On se contente de montrer que f est mjorée et tteint s borne supérieure. Soit M = sup{f(u); u K}. (Pr convention, on pose sup A = pour un ensemble A non mjoré). Pr définition de M, on peut trouver une suite (u k ) K telle que f(u k ) M. Comme K est compct, on peut supposer, quitte à extrire une sous-suite, que l suite (u k ) converge vers un certin u K. Alors f(u k ) f(u) pr continuité, et donc f(u) = M. Cel prouve à l fois que M < (i.e. que f est mjorée) et que f tteint s borne supérieure. Exercice 1. Soit K un compct de C contenu dns Ω = {z C; Re(z) > 0}. Montrer qu on peut trouver α > 0 tel que z K : Re(z) α. Exercice 2. Soit Ω = {z C; Re(z) > 0}. Montrer que l série e nz converge normlement sur tout compct de Ω. Théorème 4.4. Soit K un compct d un evn E, et soit F un utre evn. Si : K F est continue, lors f est uniformément continue. Autrement dit, étnt donné ε > 0, on peut prendre le même δ de continuité pour tous les points K. Démonstrtion. Avec des quntificteurs, il s git de montrer l chose suivnte (comprer vec l définition de l continuité) : ε > 0 δ = δ(ε) > 0, u K : u < δ = f(u) f() < ε. Supposons que cel ne soit ps vri. Alors on peut trouver ε 0 > 0 tel que δ > 0, u K : u < δ et f(u) f() ε 0. En prennt δ = 1/k (où k N ), on obtient deux suites ( k ), (u k ) K telles que u k k 0 et f(u k ) f( k ) ε 0 pour tout k N. Comme K est compct, on peut supposer, quitte à extrire une sous-suite, que ( k ) converge vers un certin K. Alors u k = (u k k ) + k tend églement vers puisque u k k 0. Pr continuité, f( k ) et f(u k ) tendent tous les deux vers f(), et donc f(u k ) f( k ) 0. Comme f(u k ) f( k ) ε 0 > 0 pour tout n, on obtient donc une contrdiction. Voici une conséquence ce théorème qui nous ser utile plus trd. Corollire 4.5. Soit Ψ : I [, b] F une ppliction continue, où I est une prtie d un evn E et [, b] est un intervlle compct de R. Pour tout t I, notons Ψ(t, ) l fonction continue x Ψ(t, x). Alors l ppliction t Ψ(t, ) est continue de I dns C([, b]). Démonstrtion. Soit (t n ) une suite de points de I convergent vers t I. Alors l ensemble K = {t n ; n N} {t } est compct, donc K [, b] églement, et donc l fonction Ψ est uniformément continue sur K [, b]. Il est lors fcile de vérifier que Ψ(t n, x) tend vers Ψ(t, x) uniformément sur [, b], ce qui signifie que Ψ(t n, ) tend vers Ψ(t, ) dns l espce C([, b]).

18 18 1. PRÉLIMINAIRES 4.2. Ouverts connexes d un evn. Définition 4.6. Soit Ω un ouvert d un evn E. On dit que Ω est connexe s il est impossible de prtitionner Ω en deux ouverts non vides. Autrement dit, s il est impossible d écrire Ω = Ω 0 Ω 1, où Ω 0 et Ω 1 sont des ouverts non vides et Ω 1 Ω 2 =. Il fut connitre cette définition, mis on renvoie u cours de topologie pour plus de détils. Le seul résultt dont on ur besoin (et en fit, on pourrit s en psser) est l proposition ci-dessous. Appelons ligne brisée dns un evn E tout ensemble L constitué d un nombre fini de segments mis bout à bout (et pouvnt éventuellement se recouper) ; utrement dit, tout ensemble du type L = [ 0, 1 ] [ 1, 2 ] [ N 1, N ], où les i sont des points de E (ce qu on vient d écrire suppose N 2, mis bien entendu un segment [ 0, 1 ] est ussi une ligne brisée). De mnière équivlente, une ligne brisée est l imge d une ppliction γ : [0, 1] E continue et ffine pr morceux. (Exercice : montrer que c est bien l même chose). Proposition 4.7. Soit E un evn. Pour un ouvert Ω E, les propriétés suivntes sont équivlentes : (i) Ω est connexe ; (ii) deux points quelconques de Ω peuvent toujours être reliés pr une ligne brisée entièrement contenue dns Ω. Démonstrtion. Pour montrer que (i) entrine (ii), supposons Ω connexe. Soit u Ω fixé. Il suffit de montrer que tout point v Ω peut être relié à u pr une ligne brisée contenue dns Ω, puisque u est un point rbitrirement choisi de Ω. Notons Ω 0 l ensemble des points v Ω qui peuvent être reliés à u, et Ω 1 l ensemble des points qui ne peuvent ps être reliés à u. Il s git de montrer que Ω 1 est vide. Comme Ω est supposé connexe et comme Ω 0 n est ps vide (il contient u grâce à l ligne brisé trivile L = [u, u]), il suffit pour cel de montrer que Ω 0 et Ω 1 sont tous les deux ouverts. Soit v Ω 0 quelconque, et choisissons une ligne brisée L Ω joignnt u à v. Comme Ω est ouvert, on peut trouver r > 0 tel que B(v, r) Ω. Si w B(v, r), lors le segment [v, w] est contenu dns B(v, r) (et donc dns Ω) cr l boule B(v, r) est convexe. Pr conséquent, l ligne brisée L w = L [v, w] est contenue dns Ω, et relie évidemment u à w. Ainsi, tout point w B(v, r) pprtient à Ω 0, utrement dit B(v, r) Ω 0. On donc montré que Ω 0 est ouvert. Soit mintennt v Ω 1 quelconque, et choisissons r > 0 tel que B(v, r) Ω. Si on pouvit relier u à un point w B(v, r) pr une ligne brisée L Ω, lors on pourrit relier u à v pr l ligne brisée L [w, v] (qui est contenue dns Ω pr convexité de B(v, r)) ; mis ceci est exclu puisque v Ω 1. Pr conséquent, ucun point w B(v, r) ne peut être relié à u, utrement dit B(v, r) Ω 1. Cel montre que Ω 1 est églement ouvert. Montrons mintennt que (ii) entrine (i). On risonne pr l bsurde en supposnt que (ii) est vérifiée mis que (i) ne l est ps. On peut donc écrire Ω = Ω 0 Ω 1, où Ω 0 et Ω 1 sont des ouverts non vides et Ω 0 Ω 1 =. Choisissons un point u 0 Ω 0 et un point u 1 Ω 1. D près (ii), on peut trouver une ppliction continue (et ffine pr morceux) γ : [0, 1] E telle que γ(0) = u 0, γ(1) = u 1 et γ(t) Ω pour tout t [0, 1]. Posons = sup {t [0, 1]; γ(t) Ω 0 }. Cel bien un sens cr l ensemble A = {t [0, 1]; γ(t) Ω 0 } est non vide (il contient t = 0 cr γ(0) = u 0 Ω 0 ) et mjoré pr 1. On v montrer que γ() n pprtient ni à Ω 0, ni à Ω 1, ce qui fournir une contrdiction puisque pr hypothèse γ() doit pprtenir à Ω et Ω = Ω 0 Ω 1.

19 4. COMPACITÉ, CONNEXITÉ, COMPLÉTUDE 19 Pr définition de, on peut trouver une suite ( k ) A telle que k. Alors γ( k ) γ() pr continuité de γ. Comme γ( k ) Ω 0 E \ Ω 1 pour tout k et comme E \ Ω 1 est fermé dns E, on en déduit que γ() E \ Ω 1, utrement dit γ() Ω 1. Supposons que γ() Ω 0. Alors < 1 cr γ(1) = u 1 Ω 1 et Ω 1 Ω 0 =. Comme Ω 0 est ouvert et que γ est continue, on peut trouver δ > 0 tel que γ(t) Ω 0 pour tout t [0, 1] vérifint t δ. Comme < 1, on en déduit qu on peut trouver un t > tel que γ(t) Ω 0 ; mis cel contredit l définition de. On donc montré que γ() Ω 0, ce qui termine l démonstrtion. Corollire 4.8. Si E est un evn, lors tout ouvert convexe de E est connexe. En prticulier, E lui même est connexe (ce qui n étit ps évident priori). Exercice. Soit Ω un ouvert d un evn E, et soit R une reltion d équivlence sur Ω. On suppose que l clsse d équivlence [u] R de tout point u Ω est un ouvert de E. Montrer que Ω \ [u] R est églement un ouvert, pour tout u Ω. Pourquoi cet exercice est-il plcé ici? Remrque 1. L proposition précédente un grnd intérêt prtique : il est souvent beucoup plus fcile de montrer qu un ouvert concret vérifie l propriété (ii) que de prouver qu il ne peut ps être prtitionné en deux ouverts non vides disjoints. Remrque 2. Une prtie A de E est dite connexe pr rcs si, pour tous u, v A, on peut trouver un chemin continu relint u à v dns A, i.e. une ppliction continue γ : [0, 1] E telle que γ(0) = u, γ(1) = v et γ(t) A pour tout t [0, 1]. L démonstrtion précédente étbli qu un ouvert de E est connexe si et seulement si il est connexe pr rcs. (Exercice : vérifier) Espces complets. Définition 4.9. Soit E un evn. On dit qu une suite (u k ) E est une suite de Cuchy si u q u p 0 qund p, q ; utrement dit : ε > 0 K p, q K : u q u p ε. On dit que l espce E est complet, ou encore que E est un espce de Bnch, si toute suite de Cuchy (u k ) E est convergente. Exercice. Montrer qu une suite convergente est toujours de Cuchy, et que toute suite de Cuchy est bornée. Remrque. Un evn complet reste complet si on remplce l norme pr une norme équivlente. Exemple 1. R et C sont complets : c est le critère de Cuchy pour les suites numériques. Exemple 2. Tout evn de dimension finie est complet. Démonstrtion. Pr équivlence des normes, il suffit de montrer que R n est complet pour l norme. Soit donc (u k ) R n une suite de Cuchy pour, et écrivons u k = (u k (1),..., u k (n)). Si j {1,..., n}, lors u q (j) u p (j) u q u p pour tous p, q N. On en déduit que l suite (u k (j)) k N est de Cuchy dns R, et converge donc vers un certin nombre réel l j. Si on pose u = (l 1,..., l n ) R n, lors

20 20 1. PRÉLIMINAIRES (u k ) converge vers u coordonnée pr coordonnée, et donc u sens de l norme. Ainsi, on bien montré que l suite de Cuchy (u k ) est convergente. Exemple 3. L espce C([0, 1]) est complet pour l norme : c est l trduction du critère de Cuchy uniforme pour les suites de fonctions continues. Le résultt suivnt est souvent très utile. Si (u k ) est une suite dns un evn E, on dir que l série u k est convergente si l suite des sommes prtielles S k = k i=0 u i converge dns E ; et on dir que l série u k est normlement convergente si l série à termes positifs u k est convergente. Proposition Dns un evn complet, toute série normlement convergente est convergente. Démonstrtion. Soit u k une série normlement convergente dns un evn complet E, et posons S k = k i=0 u i. Si p < q, lors q S q S p = u i i=p+1 q u i i=p+1 i=p+1 u i. Comme l série u k est convergente, le reste p+1 u i tend vers 0 qund p. Pr conséquent, S q S p tend vers 0 qund p, q ; utrement dit l suite (S k ) est de Cuchy dns E. Comme E est supposé complet, cel montre que l suite (S k ) est convergente, i.e. que l série u k converge dns E. Remrque. En fit, on peut montrer que l proposition précédente crctérise les espces complets : si E est un evn dns lequel toute série normlement convergente est convergente, lors E est complet. C est un exercice intéressnt. 5. Applictions linéires et multilinéires 5.1. Applictions linéires continues. Bien que fcile à démontrer, le théorème suivnt est très importnt. Dns l prtique, c est toujours en utilisnt ce théorème qu on montre qu une ppliction linéire donnée est continue, et ps en revennt à l définition de l continuité. Théorème 5.1. (critère de continuité) Soient E et F deux evn, et soit L : E F une ppliction linéire. Les propriétés suivntes sont équivlentes : (i) L est continue ; (ii) il existe une constnte C < telle que u E : L(u) C u. Démonstrtion. Supposons L continue. Alors L est continue en 0, donc on peut trouver δ > 0 tel que L(v) L(0) 1 pour tout v E vérifint v 0 δ ; utrement dit : v δ = L(v) 1.

21 5. APPLICATIONS LINÉAIRES ET MULTILINÉAIRES 21 Soit mintennt u E quelconque, vec u 0. Alors v = δ u donc ( L δ u ) 1. u Mis ( ) L δ u u = δ u L(u) = u vérifie v = δ, et on δ u L(u), donc l inéglité précédente s écrit L(u) 1 δ u. Ceci reste évidemment vri pour u = 0, et on donc montré que (ii) est vérifiée vec C = 1/δ. Supposons mintennt que (ii) soit vérifiée pour une certine constnte C. Pour tous u, v E, on lors (pr linérité de L) L(v) L(u) = L(v u) C v u, ce qui montre que L est lipschitzienne et donc continue. Remrque. L fin de l démonstrtion étbli que si C est comme dns (ii), lors L est C-lipschitzienne. Corollire 5.2. Si l espce de déprt E est de dimension finie, lors toute ppliction linéire L : E F est continue. Démonstrtion. Pr équivlence des normes, on peut supposer que E = (R n, ). Notons (e 1,..., e n ) l bse cnonique de R n. Si u = (u(1),..., u(n)) = n 1 u(j)e j E, lors L(u) = L u(j)e j j=1 = u(j) L(e j ) j=1 u(j) L(e j ) j=1 u L(e j ). L propriété (ii) du critère de continuité est donc vérifiée vec C = n 1 L(e j) (qui est bien indépendnte de u R n ). Exercice 1. Une démonstrtion identique déjà été fite. A quel endroit? Exercice 2. Montrer que si E est un evn, lors l ppliction (u, v) u + v est continue de E E dns E. Nottion. Si E et F sont deux evn, on noter toujours L(E, F ) l espce vectoriel constitué pr les pplictions linéires continues de E dns F. Si E = F, on écrit L(E) u lieu de L(E, E). Pour F = R, on écrir souvent E u lieu de L(E, R). Un élément de E s ppelle une forme linéire continue (sur E), et l espce E s ppelle le dul de E. j=1

22 22 1. PRÉLIMINAIRES Définition 5.3. Soient E et F deux evn. Si L : E F est une ppliction linéire continue, on pose { } L(u) F L L(E,F ) = sup ; u E, u 0. u E Reformultion. L L(E,F ) est l plus petite constnte C telle que L(u) C u pour tout u E. Donc, pour un nombre réel positif C, on l équivlence L L(E,F ) C u E : L(u) C u. Une conséquence est qu il est en générl plus ou moins utomtique de mjorer L L(E,F ). En revnche, une minortion demnde priori plus d inititive. Remrque 1. L nottion n est ps fntisiste : L(E,F ) est effectivement une norme sur L(E, F ), qui est dite subordonnée ux normes de E et de F. On supposer toujours que L(E, F ) est muni de cette norme, et en conséquence on écrir le plus souvent u lieu de L(E,F ). Remrque 2. L norme L L(E,F ) dépend des normes choisies sur E et F. Mis si on remplce les normes de E et F pr des normes équivlentes, on obtient une norme équivlente sur L(E, F ). Exercice. Démontrer ce qui est dit dns les remrques 1 et 2. Exemple 1. Si E est un evn, lors Id E = 1. Exemple 2. Soit E = (R n, ). Pour b = (b 1,..., b n ) R n, notons Θ b : E R l forme linéire (continue) définie pr Θ b (x 1,..., x n ) = b j x j. Alors Θ b E = b 1 = n j=1 b j. De mnière un peu pédnte, on dit que (R n, ) s identifie isométriquement à (R n, 1 ). j=1 Démonstrtion. Pour tout u = (x 1,..., x n ) R n, on Θ b (u) b j x j j=1 mx x j j = b 1 u. b j Pr définition de l norme d une forme linéire, on donc Θ b b 1. Pour montrer qu on ussi Θ b b 1, il suffit de trouver u R n tel que u = 1 et Θ b (u) = b 1. Pour tout j {1,..., n}, choisissons ε j = ±1 tel que ε j b j = b j. Alors u = (ε 1,..., ε n ) convient : on u = 1, et Θ b (u) = n 1 ε jb j = n 1 b j = b 1. Exercice. On grde les nottions de l exemple 2. Exprimer Θ b (u) à l ide du produit sclire usuel de R n, puis montrer que si on munit R n de l norme euclidienne, lors Θ b = b 2. j=1

23 5. APPLICATIONS LINÉAIRES ET MULTILINÉAIRES 23 Nottion. On noter toujours AB l composée de deux pplictions linéires A et B, i.e. AB = A B : si B L(E, F ) et A L(F, G) (où E, F, G sont trois evn), lors AB L(E, G) et AB(u) = A(B(u)). En ccord vec cette nottion, si A L(E) et k N on note A k l composée A A (k fois). On pose ussi A 0 = I. Proposition 5.4. Si B L(E, F ) et A L(F, G), lors AB A B. Démonstrtion. C est mécnique : on AB(u) = A(B(u)) A B(u) A B u pour tout u E, d où le résultt. Corollire 5.5. Si A L(E), lors A k A k pour tout k N. Démonstrtion. Une récurrence immédite. Remrque importnte. On sit bien que M n (R) s identifie cnoniquement à L(R n ). A chque norme sur R n correspond donc une norme subordonnée sur M n (R). On dir qu une telle norme sur M n (R) est une norme mtricielle. D près l proposition précédente, une norme mtricielle est toujours sous-multiplictive ( AB A B ) et on I = 1. Exercice. Montrer que pour toute mtrice A M n (R), l série A k k! converge dns M n (R). Proposition 5.6. Soient E et F deux evn. On suppose que F est complet. Alors L(E, F ) est complet pour l norme L(E,F ). Démonstrtion. Soit (L k ) une suite de Cuchy dns L(E, F ). Il s git de montrer que (L k ) converge dns L(E, F ), utrement dit de trouver une L L(E, F ) telle que L k L L(E,F ) 0. Cel v se fire en 3 étpes, ce qui est toujours le cs lors d une démonstrtion de complétude : on commence pr identifier un cndidt limite, puis on montre que ce cndidt pprtient bien à l espce considéré (ici L(E, F )), et enfin que l suite converge effectivement vers le cndidt limite u sens de l norme de l espce en question. Pour tout u E et pour p, q N, on L q (u) L p (u) L q L p L(E,F ) u. Comme l suite (L k ) est de Cuchy, on en déduit que l suite (L k (u)) est de Cuchy dns F, et est donc convergente puisque F est supposé complet. Pour tout u E, on peut donc poser L(u) = lim k L k(u). L ppliction L : E F insi définie est notre cndidt limite. Il est clir que L est linéire cr les L k le sont. De plus, l suite (L k ) est bornée dns L(E, F ) cr elle est de Cuchy : donc une constnte M telle que L k M pour tout k N, ce qui s écrit encore (pr définition de l norme de L(E, F )) u E k : L k (u) M u. En fisnt tendre k vers l infini, on en déduit qu on L(u) M u pour tout u E, ce qui prouve que l ppliction linéire L est continue. Ainsi, L L(E, F ).

24 24 1. PRÉLIMINAIRES Pour montrer que L k L L(E,F ) 0, fixons ε > 0. Comme (L k ) est de Cuchy dns L(E, F ), on peut trouver K tel que L q L p L(E,F ) ε pour p, q K. Pr définition de L(E,F ), cel s écrit u E p, q K : (L q L p )(u) ε u. En fixnt p et en fisnt tendre q vers l infini, on en déduit (puisque L q (u) L(u)) u E p K : (L L p )(u) ε u. Pr définition de L(E,F ) (à nouveu), cel signifie qu on L L p L(E,F ) ε pour tout p K, ce qui termine l démonstrtion. Corollire 5.7. Si E est un evn, lors son dul E est un espce de Bnch. Remrque. Si E et F sont tous les deux de dimension finie, lors l preuve précédente est inutile puisque L(E, F ) est églement de dimension finie, et donc complet pour n importe quelle norme Applictions bilinéires continues. Définition 5.8. Soient E 1, E 2 et F trois evn. Une ppliction B : E 1 E 2 F est dite bilinéire si B(u 1, u 2 ) est linéire pr rpport à chque vrible u 1, u 2 séprément ; utrement dit, si pour tout u 1 E 1 fixé, l ppliction u 2 B(u 1, u 2 ) est linéire, et pour tout u 2 E 2 fixé, l ppliction u 1 B(u 1, u 2 ) est linéire. Remrque. Intuitivement, une ppliction bilinéire est un produit. Il est toujours bon de grder cette idée en tête. Exemple 1. Le produit usuel (x, y) xy est bilinéire de R R dns R. Plus générlement, si E est un espce vectoriel, lors l ppliction (λ, u) λu est bilinéire de R E dns E. Exemple 2. Si on note, le produit sclire usuel sur R n, lors l ppliction (x, y) x, y est bilinéire de R n R n dns R. Exemple 3. Si E et F sont des evn, lors l ppliction (L, u) L(u) est bilinéire de L(E, F ) E dns F. Exemple 4. Si E, F, G sont des evn, lors l ppliction (S, T ) T S est bilinéire de L(E, F ) L(F, G) dns L(E, G). L proposition suivnte crctérise l continuité pour les pplictions bilinéires de mnière nlogue à ce que fit le théorème 5.1 pour les pplictions linéires. Rppelons que si E 1 et E 2 sont deux evn, lors E 1 E 2 est muni de l norme produit, et qu une suite converge dns E 1 E 2 si et seulement si elle converge coordonnée pr coordonnée (cf l exemple 4 de l section 1.1 et l exemple 4 de l section 2.1) Proposition 5.9. (critère de continuité) Soient E 1, E 2 et F trois evn. Pour une ppliction bilinéire B : E 1 E 2 F, les propriétés suivntes sont équivlentes : (i) B est continue ; (ii) il existe une constnte C < telle que (x, y) E 1 E 2 : B(x, y) C x y.

25 5. APPLICATIONS LINÉAIRES ET MULTILINÉAIRES 25 Démonstrtion. L impliction (i) entrine (ii) se démontre exctement comme pour les pplictions linéires (voir l preuve du théorème 5.1, mis ttention : l constnte qui sort est cette fois C = 1/δ 2. Pourquoi?). Inversement, supposons (ii) vérifiée. Soit (u k ) k N = (x k, y k ) une suite dns E 1 E 2 convergent vers u = (x, y) E 1 E 2. Pr bilinérité et en utilisnt (ii), on B(x k, y k ) B(x, y) = B(x k x, y k ) + B(x, y k y) B(x k x, y k ) + B(x, y k y) C ( x k x y k + x y k y ). D utre prt, l suite (y k ) est bornée puisqu elle converge vers y Il existe donc une constnte M telle que y k M pour tout k N, et on obtient insi B(x k, y k ) B(x, y) CM x k x + C y k y Comme x k x et y k y, cel montre que B(x k, y k ) tend vers B(x, y). Pr conséquent, B est continue. Exercice. Comprer l preuve précédente vec celle (vue en première nnée) du fit que si (u k ) et (v k ) sont deux suites numériques convergentes de limites u et v, lors u k v k uv. Corollire Si E, F et G sont trois evn, lors l ppliction (S, T ) T S est continue de L(E, F ) L(F, G) dns L(E, G). Démonstrtion. Cette ppliction est bilinéire, et on T S T S. Corollire Si E 1 et E 2 sont des evn de dimension finie, lors toute ppliction bilinéire B : E 1 E 2 F est continue. Démonstrtion. Pour u 1 E 1, notons B u1 : E 2 F l ppliction définie pr B u1 (u 2 ) = B(u 1, u 2 ). Cette ppliction est linéire pr bilinérité de B, et elle est donc continue puisque dim(e 2 ) <. Ainsi, B u1 L(E 2, F ), et on donc sous l min une ppliction u 1 B u1 de E 1 dns L(E 2, F ). Cette ppliction est linéire pr bilinérité de B, donc continue puisque dim(e 1 ) <. Il existe donc une constnte C telle que B u1 L(E2,F ) C u 1 pour tout u 1 E 1. On en déduit B(u 1, u 2 ) = B u1 (u 2 ) B u1 u 2 C u 1 u 2 pour tout (u 1, u 2 ) E 1 E 2, ce qui prouve que B est continue. Autre démonstrtion. On procéde comme dns l preuve de l continuité des plictions linéires en dimension finie (corollire 5.2). Pr équivlence des normes, on peut supposer que E 1 = R m et E 2 = R n, tous deux munis de l norme. Soient (e 1,..., e m ) l bse cnonique de R n et (f 1,..., f n ) l bse cnonique de R m. Si x = m 1 x ie i R m et y = n 1 y jf j R n lors, pr bilinérité, B(x, y) = i,j x i y j B(e i, f j ). On en déduit qu on B(x, y) C x y pour tout (x, y) R m R n, où C = i,j B(e i; e j ).

26 26 1. PRÉLIMINAIRES Exercice 1. Soient E et F des evn. Montrer que l ppliction (T, u) T (u) est continue de L(E, F ) E dns F. Exercice 2. Soit E un evn. Montrer que l ppliction (λ, u) λu est continue de R E dns E Applictions multilinéires continues. Soient E 1,..., E n et F des evn. Une ppliction P : E 1 E n F est dite n-linéire si P (u 1,..., u n ) est linéire pr rpport à chque vrible séprément. Pr exemple, l ppliction (u 1,..., u n ) det(u 1,..., u n ) est n-linéire de R n R n dns R. Exctement comme pour les pplictions bilinéires, on montre qu une ppliction n-linéire P : E 1 E n F est continue si et seulement si il existe une constnte C telle que (5.1) (u 1,..., u n ) E 1 E n : P (u 1,..., u n ) C u 1 u n. L démonstrtion est identique bien qu un peu plus pénible à écrire et constitue un exercice instructif (essyer vec n = 3). On peut églement démontrer pr récurrence sur n que si une ppliction n-linéire P : E 1 E n F vérifie (5.1), lors elle est continue. Supposons le résultt cquis pour n 1 (vec n 2), et soit P : E 1 E n F une ppliction n-linéire vérifint (5.1). Pour (u 1,..., u n 1 ) E 1 E n 1, notons P (u1,...,u n 1 ) : E n F l ppliction linéire définie pr P (u1,...,u n 1 )(v) = P (u 1,..., u n 1, v). Pr (5.1), on P (u1,...,u n 1 )(v) C u 1 u n 1 v. Pr conséquent l ppliction linéire P (u1,...,u n 1 ) est continue, vec P (u1,...,u n 1 ) C u 1 u n 1. D près l hypothèse de récurrence, on en déduit que l ppliction (n 1)-linéire (u 1,..., u n 1 ) P (u1,...,u n 1 ) est continue de E 1 E n 1 dns L(E n, F ). Mintennt, si u = (u 1,..., u n ) E 1 E n, lors P (u 1,..., u n ) = P (u1,...,u n 1 )(u n ) = B(P (u1,...,u n 1 ), u n ), où B : L(E n, F ) E n F est l ppliction bilinéire définie pr B(T, v) = T (v). On vu plus hut que cette ppliction B est continue, donc P est continue pr composition. On déduit comme plus hut du critère de continuité que si E 1,..., E n sont de dimension finie, lors toute ppliction n-linéire de E 1 E n dns un evn F est continue. Exercice. Soit E un evn. Montrer que pour tout n N, l ppliction L L n est continue sur L(E). 6. Sclristion Le but de cette section est de démontrer le lemme suivnt, qui ser très importnt pour nous. L preuve est loin d être fcile, et il n est ps nécessire de svoir l refire. Mis bien entendu, il fut bsolument connitre le résultt et svoir l utiliser. Lemme 6.1. (lemme de sclristion) Soit E un evn. Pour tout E, on peut trouver une forme linéire continue Θ E telle que Θ 1 et Θ() =. Remrque. Si 0, on lors en fit Θ = 1 puisque Θ Θ() et donc Θ 1 en divisnt pr.

27 6. SCALARISATION 27 Démonstrtion du lemme lorsque E = (R n, ). Dns ce cs, c est très simple et il fut svoir refire l preuve. Soit E quelconque. Pr définition de l norme, on peut trouver j 0 {1,..., n} tel que j0 =. Soit ε 0 = ±1 tel que ε 0 j0 = j0, et soit Θ E l forme linéire défijnie pr Θ(x 1,..., x n ) = ε 0 x j0 ; utrement dit et vec les nottions de l exemple 2 donné près l définition 5.3, Θ = Θ b où b = (0,..., ε 0,... 0) (vec ε 0 à l plce j 0 ). Alors Θ = b 1 = 1 et Θ() = j0 =. Exercice. Démontrer le lemme de sclristion lorsque E = (R n, 2 ). Démonstrtion du lemme dns le cs où dim(e) <. Ici, on ne peut ps s en sortir en invoqunt l équivlence des normes : c est un peu plus compliqué. Appelons solution prtielle (u problème qu on est en trin de considérer) toute forme linéire (continue) Φ : F R définie sur un sous-espce vectoriel F E contennt, telle que Φ 1 et Φ() =. Avec cette terminologie, ce qu il fut fire est montrer qu il existe une solution prtielle Θ définie sur E tout entier. Dns l suite, on supposer 0 (si = 0, il suffit de prendre Θ = 0). Fit 1. Il existe u moins une solution prtielle Φ 0 définie sur F 0 = R. Démonstrtion. Soit Φ 0 : F 0 R l forme linéire définie comme suit : λ R : Φ 0 (λ) = λ. Pour u = λ F 0, on Φ 0 (u) = λ = u, donc Φ 0 1 ; et bien sûr Φ 0 () =. Ainsi, Φ 0 est une solution prtielle. Fit 2. Si Φ : F R est une solution prtielle et si e E \ F, lors Φ peut se prolonger en une solution prtielle définie sur F Re. Démonstrtion. Fixons Φ : F R et e E \ F. Il est clir que toute forme linéire Φ : F Re R prolongent Φ vérifie Φ() =. Donc il s git simplement d en trouver une qui vérifie ussi Φ 1, utrement dit Φ(u) u pour tout u F R e. En fit, il suffir de vérifier qu on Φ(u) u pour tout u F Re, cr si on pplique cette inéglité vec u u lieu de u on obtient Φ(u) u = u (utrement dit Φ(u) u ) et donc u totl Φ(u) u. Si Φ : F Re R est une forme linéire prolongent Φ, lors Φ est entièrement déterminée pr α := Φ(e) : pour tout u = v + λe F Re, on Φ(u) = Φ(v) + αλ. Il s git donc de montrer qu il existe un nombre réel α tel que Φ(v) + αλ v + αe pour tout couple (v, λ) F R. Pour λ = 0, l inéglité devient Φ(v) v, ce qui est vérifé cr Φ 1 ; donc on peut supposer λ 0. Il reste donc à prouver l existence d un α R tel que λ > 0 v F : Φ(v) ± αλ v ± αλ. En divisnt pr λ et en mnipulnt les inéglités, cel s écrit encore ( v (λ, v) ]0, [ F : Φ λ) v λ e v ( v ) α λ + e Φ. λ