CHAPITRE 0 : Ce qu'il faut savoir pour commencer

Transcription

1 CHAPITRE 0 : Ce qu'il fut svoir pour commencer 0.1 Les nombres réels Nous llons utiliser les entiers nturels, les entiers reltifs, les nombres rtionnels et irrtionnels. 0, 1, 2 et 1024 sont des des entiers nturels. -4 ; 0 ; 2 ; -333 et 567 sont des entiers reltifs ; 0; ; 4 7 1, 23 et -4,5 sont des nombres rtionnels. π = 3,1415 et 2 = 1,414 sont des nombres irrtionnels. Nottion : Ensemble des entiers nturels: N = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; } Ensemble des entiers reltifs: Z = { ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; } Ensemble des nombres rtionnels: Q = { p q p Z et q Z* } Il n'y ps de nottion prticulière pour l'ensemble des nombres irrtionnels, mis on utilise quelquefois l nottion I. Tous ces nombres (entiers nturels, entiers reltifs, rtionnels et irrtionnels) pprtiennent à un même ensemble, l'ensemble R des nombres réels. Pour nous, un nombre réel ser simplement un nombre qui peut s'écrire en utilisnt les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9 et, éventuellement, une virgule et un signe (+ ou -). 2,333 = 2,3 45,6-0,03000 = -0,03-57,000 = = 0, = 0, , En lgèbre, on représente souvent les nombres réels pr des lettres, les premières lettres de l'lphbet ltin (, b, c, d, ) pour représenter des vleurs connues ou constntes et les dernières (, x, y, z) pour les inconnues ou les vribles. Collège Sismondi (S.Z., bse G.E.) ch. 0, p.1

2 0.2 Propriétés des nombres réels Les nombres réels jouissent des propriétés ci-dessous, cʼest-à-dire que quelles que soient les vleurs que l'on donne ux lettres, b et c, les reltions suivntes sont toujours vries: +b = b+ b = b commuttivité +(b+c) = (+b)+c (b c) = ( b) c ssocitivité 0+ = 1 = élément neutre +(-) = 0 1 = 1 élément symétrique (b+c) = b + c distributivité Remrques : On dit que "0" est l'élément neutre de l'ddition "1" est l'élément neutre de l multipliction "-" est l'opposé de "" " 1 " est l'inverse de "" (on le note prfois -1, càd 1 = -1 ) Règles de l multipliction pr zéro Le nombre zéro jouit de deux propriétés très prticulières, à svoir : 1) lorsque l'on multiplie pr zéro, on trouve toujours zéro: 0 = 0 = 0 2) si le produit de deux nombres vut zéro, lors un des deux nombres (u moins) est zéro: si b = 0, lors = 0 ou b = 0 Nous utiliserons très souvent ces deux propriétés que nous ppellerons "règles de l multipliction pr zéro". Pr rpport à l reltion "est plus petit ou égl à" que l'on note " ", les nombres réels vérifient les propriétés suivntes, quels que soient les vleurs de, b et c: b ou b (ou les deux) si b et b, lors = b si b et b c, lors c Collège Sismondi (S.Z., bse G.E.) ch. 0, p.2

3 Remrque : b signifie que " est plus petit ou égl à b" (ou bien que "b est plus grnd ou égl à ") dns le sens suivnt: si l'on plce les nombres et b sur un xe représentnt l'ensemble des nombres réels, lors b ser à droite de. b R L flèche qui figure sur l'xe montre l direction dns lquelle les nombres ugmentent. D'un point de vue rithmétique, b si le nombre (b ) est positif. 4 7, cr 7 4 = , cr -4 (-7) = = Nombres positifs et nombres négtifs. Les nombres positifs sont des nombres plus grnds ou égux à zéro et les nombres négtifs sont plus petits ou égux à zéro. Les nombres réels vérifient l règle des signes pour l multipliction: (positif) (positif) = positif (négtif) (positif) = négtif (positif) (négtif) = négtif (négtif) (négtif) = positif De cette règle découle une propriété crctéristique des nombres réels: un nombre réel u crré ne peut ps être négtif cʼest-à-dire 2! 0 En effet, ou bien ce nombre est positif et lors son crré est positif, ou bien ce nombre est négtif et lors son crré est positif, ou bien ce nombre est zéro et lors son crré est zéro. On sit que les nombres négtifs s'écrivent vec un signe "-", lors que le signe "+" est fculttif devnt l'écriture d'un nombre positif. Le fit d'écrire le signe " " devnt le nombre "" ne signifie ps que le nombre "-" est négtif, mis simplement qu'il est de signe opposé à celui de "" : si = 3, lors - = -3 si = -5, lors - = -(-5) = 5 Collège Sismondi (S.Z., bse G.E.) ch. 0, p.3

4 Il existe un lien entre "opposé" et "soustrction"; non seulement les deux notions utilisent le signe "-", mis, pr définition, "soustrire, c'est dditionner l'opposé": b = + (-b). Remrque : On utilise souvent l reltion: b = -(b ) 3 2x = -(2x 3) (y x)(x y) = -(x y)(x y) = -(x y) Opértions sur les frctions On sit que deux frctions sont égles si et seulement si le produit du numérteur de l première frction pr le dénominteur de l deuxième est égl u produit du dénominteur de l première frction pr le numérteur de l deuxième (produit en croix): b = c d si et seulement si d = b c 4 6 = 6 9 cr 4 9 = 6 6 Amplifier une frction, c'est multiplier son numérteur et son dénominteur pr le même nombre. Simplifier une frction, c'est diviser son numérteur et son dénominteur pr le même nombre. Amplifier ou simplifier une frction ne chnge ps s vleur, en effet:!c b!c = cr ( c) b = (b c) b = 3!12 2!12 = 3 2 Dns cet exemple, il s'git d'une simplifiction si l'on lit l'églité de guche à droite et d'une mplifiction si on l lit de droite à guche. Amplifiction et simplifiction sont des ctions contrires l'une de l'utre. Une frction est ppelée irréductible lorsqu'il nest plus possible de l simplifier, sinon on l'ppelle réductible est réductible, cr on peut l simplifier pr 12, mis l frction obtenue 3 2 est irréductible. Collège Sismondi (S.Z., bse G.E.) ch. 0, p.4

5 Pour multiplier une frction pr un nombre entier, on multiplie le numérteur de l frction pr ce nombre : = 10 7 n b =!n b Pour diviser une frction pr un nombre entier, on multiplie le dénominteur de l frction pr ce nombre : 5 7 : 2 = 5 14 b : n = b!n On sit que l'ddition et l multipliction des frctions sont définies comme suit: b + c!d + b!c = d b!d b c d =!c b!d Diviser pr une frction, c'est multiplier pr l frction inverse: b c d = b : c d = b d c Remrque : L'églité suivnte montre qu'il y plusieurs fçons de "voir" une frction b c =!b c = c b = b 1 c Souvent un bon choix d'écriture fcilite l compréhension!! 0.5 Puissnces entières Définition : si est un nombre réel et n un nombre nturel, lors n = (produit de n fcteurs ) est l bse et n l puissnce ou l'exposnt. n se lit " puissnce n" ou " exposnt n". Cette définition de l puissnce d'un nombre ressemble à une brévition: il est en effet plus court d'écrire " 5 " que " ". Collège Sismondi (S.Z., bse G.E.) ch. 0, p.5

6 De cette définition, il découle que les puissnces vérifient les propriétés suivntes, quelques soient les nombres réels et b et les entiers nturels n et m: n! m = n+m ( n ) m = n!m (! b) n = n!b n! $ # & " b % n = n b n L première de ces formule ce démontre comme suit: n m = ( ) ( ) = = n + m n fois m fois n + m fois et les utres de l même fçon. 0.6 Rcines crrées d'un nombre positif Définition : si est un nombre réel positif ou nul, lors l rcine crrée de est le nombre positif dont le crré est égl à. = b = b 2 L rcine crrée d'un nombre négtif n'est ps définie. De l définition ci-dessus, il découle que les rcines crrées vérifient les propriétés suivntes, quels que soient les nombres réels et b positifs ou nuls. Propriétés :.b =! b b = b Attention : En générl : + b! " b En effet : = = = 25 = 5 donc Collège Sismondi (S.Z., bse G.E.) ch. 0, p.6

7 0.7 Prenthèses et ordre des opértions. Le rôle principl des prenthèses dns l'écriture mthémtique est de séprer les opértions les unes des utres. Si l'on n'vit ps de convention sur l'ordre des opértions, il fudrit mettre entre prenthèses chque expression contennt une opértion et les deux nombres s'y rpportnt: ((3 4) + (2+5)) ((3 (4 2 )) ((5 4) 2)) On devrit lors effectuer les opértions à l'intérieur d'une pire de prenthèses qui ne contient ps de prenthèse et on conviendrit de ne ps écrire de prenthèse utour d'un nombre seul : ((3 4) + (2+5)) = (12 + 7) = 19 ((3 (4 2 ) ((5 4) 2)) = ((3 16) (20 2)) = (48 40) = 8 L convention sur l'ordre des opértions permet d'économiser en écriture, mis demnde plus d'ttention lors des clculs!! Ordre des opértions Pour déterminer l vleur d'une expression rithmétique, il fut effectuer les différentes opértions en suivnt l'ordre indiqué pr les règles ci-dessous: 1 les opértions à l'intérieur d'une pire de prenthèses qui ne contient ps de prenthèse 2 les puissnces (et les rcines) 3 les multiplictions et les divisions (de guche à droite) 4 les dditions et les soustrctions (de guche à droite) 10 2( ) = 10 2( ) = 10 2(15 12) = = 10 6 = 4 Remrques : 1. Si, dns une écriture sns prenthèse, il ne reste que des multiplictions et des divisions (ou que des dditions et des soustrctions) il fut effectuer ces opértions de guche à droite: 3 8:4 2 = 24:4 2 = 6 2 = = = En générl, on n'écrit ps de prenthèse utour d'un nombre seul: (12) = 12 (-3) = L brre de frction représente une division, mis ttention à l'ordre des opértions: s'écrit, sns l brre de frction, (3 + 4):(2 3). 2! 3 Collège Sismondi (S.Z., bse G.E.) ch. 0, p.7

8 0.8 Vocbulire et terminologie. Il est nécessire mintennt de revenir sur certins des termes utilisés dns cette introduction et d'essyer d'en préciser le sens. Une expression mthémtique est une écriture qui utilise des nombres, des lettres représentnt des nombres, des signes d'opértions, des symboles de fonctions, etc, mis qui ne contient ps de signe de reltion comme = ; < ; > ; ou. 1. x 2 3x + 2 f(x) g(x) x + 4 sont des expressions mthémtiques, 2. 3x 5 = 2 4 > -2x 1024 est grnd ne sont ps des expressions mthémtiques. Une éqution est une églité de deux expressions mthémtiques. x = 4x f(x) = g(x) x + 2 = x + 2 Une inéqution est une reltion du type <, >, ou entre deux expressions mthémtiques. x > 4x f(x) g(x) x + 2 x Une formule (mthémtique) est une reltion (=, <, >,, ) toujours vrie entre deux expressions mthémtiques. 1. (b+c) = b + c ( + b) 2 = 2 + 2!b + b sont des formules. 2. x 2 + 3x > 0 x 2 + 2x = 5x 3 ne sont ps des formules. Une propriété est une formule mthémtique que, générlement, on peut démontrer. 2 0 (! b) n = n!b n sont des propriétés que l'on peut démontrer. Un xiome est une formule que l'on ne peut ps démontrer, mis que l'on dmet pour vrie. + b = b + (b + c) = b + c sont des xiomes des nombres réels. Il est très difficile de définir le terme "définition"! Cependnt on peut dire qu'en mthémtique, une définition est une expliction qui donne un sens à une écriture ou à un mot qui n'vit ps encore de significtion mthémtique. Avnt d'entendre prler de "puissnce" et de voir l'écriture " 5 ", on ne svit ps ce que signifiit ces termes en mthémtique : l formule n =!!... définit " n ", cr le terme de droite de l'églité est une expression dont on connît déjà le sens. Collège Sismondi (S.Z., bse G.E.) ch. 0, p.8

9 0.9 Clcul pproché Les clculs pprochés sont très utiles soit pour prévoir un résultt, soit surtout pour vérifier si l solution donnée est possible. Ils sont églement importnts pour critiquer et vérifier un résultt obtenu u moyen dʼune clcultrice. 1. Sʼil fut évluer pproximtivement le produit de 79,45 pr 19,32, on v trouver pproximtivement Le résultt ser un peu inférieur puisque que 80 est légèrement supérieur à 79,45 et 20 légèrement supérieur à 19, Dns une clsse, les élèves devient donner le résultt de 18,43 pr 67,82. Ils ont proposé les résultts suivnts : 124, , , , ,9214. En évlunt lʼordre de grndeur ( 1400), puis en contrôlnt le dernier chiffre, on peut éliminer imméditement qutre résultts ; seule l réponse 1249,9226 pourrit être excte. Lʼencdrement On peut être mené à fire des clculs non ps vec un nombre, mis vec des encdrements de ce nombre. Tout nombre réel peut être encdré pr deux nombres décimux distnts de 1 (on dit que lʼencdrement est dʼmplitude 1), distnts de 0,1 (mplitude 0,1), distnts de 0,01 (mplitude 0,01), etc. Ainsi, voici les encdrements successifs de 7 2 < 7 < 3 (encdrement à 1 près) cr 2 2 = 4 < 7 < 3 2 = 9 2 est lʼpproximtion entière pr défut de 7. 3 est lʼpproximtion entière pr excès de 7. 2,6 < 7 < 2,7 (encdrement à 0,1 près) cr 2,6 2 = 6,76 < 7 < 2,7 2 = 7,29 2,6 est lʼpproximtion à 0,1 près pr défut de 7. 2,7 est lʼpproximtion à 0,1 près pr excès de 7. 2,64 < 7 < 2,65 (encdrement à 0,01 près) 2,645 < 7 < 2,646 (encdrement à 0,001 près) Résultt dʼun clcul pproché Selon le clcul demndé, il nʼest ps nécessire dʼvoir une très grnde précision Si, pour un rectngle de 10 m 2, schnt que l longueur est de 6 m, on veut connître l lrgeur, on effectue l division à l clcultrice et on trouve 10 : 6 = 1, Ce nʼest bien sûr ps le résultt exct, puisquʼvec une clcultrice ffichnt 15 chiffres, on urit trouvé 1, Le résultt été rrondi, cr 1, est plus proche de 10 6 que 1, , nombre tronqué. Dns ce clcul, que le nombre soit rrondi ou tronqué, étnt donné l précision du déprt, une pproximtion à 0,1 près, soit 1,7 ici, est, dns l pluprt des cs, mplement suffisnte. Collège Sismondi (S.Z., bse G.E.) ch. 0, p.9

10 0.10 Nottion scientifique Afin dʼidentifier imméditement lʼordre de grndeur, il est dʼusge dʼutiliser l nottion scientifique, cʼest-àdire dʼécrire tout nombre déciml comme le produit dʼun nombre déciml b compris entre 1 et 10 (en dʼutres mots, vec un seul chiffre non nul devnt l virgule) et dʼune puissnce de 10. Pr exemple, on écrir 0,0075 comme 7,5 "10 #3 et comme 4 "10 7. En écrivnt en nottion scientifique un grnd nombre ou un petit nombre, on ur tout de suite son ordre de grndeur. Ainsi, si nous devons comprer l distnce de l Terre u Soleil ( km) à celle de l Terre à Sturne ( km), il est plus fcile de comprer 1,495 "10 8 et 1,427 "10 9. De même, il est plus gréble de noter l msse dʼun électron 9,109 "10 #28 plutôt que 0, De lʼstronomie à l physique nucléire, on trouve les nombres suivnts : 1'000'000'000'000'000'000 1"10 18 Ex- E 1'000'000'000'000'000' 1"10 15 Pet- P 1'000'000'000'000 1"10 12 Ter- T 1'000'000'000 1"10 9 Gig G 1'000'000 1"10 6 Meg- M 1'000 1"10 3 Kilo- K 100 1"10 2 Hecto- h 10 1"10 1 Dec D 1 1"10 0 = 1.1 0,1 1"10 #1 1 = 1" 10 1 = 1 10 Deci- d 0,01 1"10 #2 Centi- c 0,001 1"10 #3 Milli- m 0, "10 #6 Micro- µ 0, "10 #9 Nno- n 0, "10 #12 Pico- p 0, "10 #15 Femto f 0, "10 #18 Atto Collège Sismondi (S.Z., bse G.E.) ch. 0, p.10