Mouvements dans un champ uniforme

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1 Muveents dans un chap unifre Les lis de la écanique énncées dans le chapitre précédent perettent d étudier n iprte quel uveent. On s intéresse ici au cas de uveents dans les chaps unifres qui nt été étudiés en 1 ère S : chap de pesanteur, chap électrstatique. 1 Muveent d un prjectile dans le chap de pesanteur unifre 1.1 Lancer d un prjectile : cadre d étude Un prjectile de asse est lancé à un instant chisi ce riine des dates (t = 0 s) avec une vitesse v faisant un anle α par rapprt à l hrizntale (c est l anle de tir). L étude du uveent du prjectile est réduite à celle de sn centre d inertie G ; par ailleurs, Le chap de pesanteur est cnsidéré unifre (de valeur cnstante) De fait, l expressin de l intensité du chap de pesanteur GM. Terre z () R z peret de vérifier que pur des altitudes restant inférieures au kilètre, la variatin de reste très faible. L actin de l air (pussée d Archiède, frtteents) sur le prjectile est néliée par rapprt à l effet de sn pids. Ceci est d autant plus acceptable que l bjet est dense, pénétrant dans l air et de vitesse faible. Le uveent est étudié dans un référentiel terrestre suppsé aliléen et uni d un repère cartésien (Oxyz) ; le plan (xoy) est appelé plan de tir car il cntient les vecteurs v et. Dans ce systèe d axes, les crdnnées du vecteur vitesse initiale snt vx v cs v vy v sin vz 0 Terre 1. Résultante des frces et deuxièe li de Newtn Le prjectile, en chute libre, ne subit que sn pids P ; cette frce est verticale, vers le bas et de valeur cnstante P = puisque la asse est cnstante et la pesanteur cnsidérée unifre. La deuxièe li de Newtn cnduit à l éalité a L accélératin, et dnc le uveent du prjectile, ne dépendent pas de sa asse : deux prjectiles de asses différentes en chute libre nt le êe uveent. 1.3 Vecteur vitesse instantanée L éalité précédente s écrit, dans le systèe d axes chisi ici, 1

2 dvx ax ( t) ( t) 0 dt dvy ay ( t) ( t) dt dvz az ( t) ( t) 0 dt Pur btenir les tris crdnnées du vecteur vitesse, il suffit d intérer ces tris équatins par rapprt au teps. Il vient vx() t C1 vy () t t C vz () t C3 ù C1, C et C3 snt des cnstantes d intératin, que l n déteriner par exeple à l aide des cnditins initiales, vx(0) vx v cs C1 v(0) v vy (0) vy v sin 0 C C vz (0) vz 0 C3 On en déduit vx( t) vcs vy( t) t vsin vz ( t) 0 La vitesse hrizntale est cnstante : le uveent hrizntal est unifre. Le uveent vertical, lui, est unifréent accéléré car l accélératin verticale est cnstante. Exercice : calculer la vitesse au set de la trajectire pur un tir effectué à 30 à la vitesse initiale de 0.s 1. Répnse : 17.s Vecteur psitin La vitesse étant la dérivée teprelle de la psitin, les crdnnées du vecteur vitesse instantanée vérifient le systèe d équatins différentielles suivant, dx vx( t) ( t) vcs dt dy v( t) vy( t) ( t) t vsin dt dz vz ( t) ( t) 0 dt

3 Les crdnnées du vecteur psitin OG() t s btiennent par intératin sur le teps, x( t) v cs t C4 1 OG( t) y( t) t v sin t C5 vz () t C6 C4, C5 et C6 snt des cnstantes d intératin que l n peut déteriner à l aide des cnditins initiales : si G est initialeent à l riine O, alrs C4 = C5 = C6 = 0 et x( t) v cs t 1 OG( t) y( t) t v sin t vz ( t) 0 Le fait que z(t) = 0 crrbre bien le fait que le uveent se dérule dans le plan de tir (xoy). Exercice A quelle date tp l bjet retbe-t-il au sl? 1.5 Equatin cartésienne de la trajectire L équatin hraire ( ) cs x t v t peret d exprier le teps En plaçant cette expressin dans la deuxièe équatin hraire, n chane la variable, 1 x x y( t) y( x) v sin vcs vcs sit y( x) x tan x v cs On retruve une équatin de trajectire parablique, dans le plan de tir, incurvée (uverte) vers le bas. t v x cs 1.6 Caractéristiques de la trajectire La flèche Au set de la trajectire, la cpsante verticale de la vitesse s annule : v ( t ) 0. D après l équatin hraire de cette randeur, le set est atteint à la date v sin ts Si l n insère cette date dans l expressin hraire de l rdnnée, il vient 1 vsin vsin ys vsin 1 v sin ys y S 3

4 La prtée La prtée est l abscisse xp du pint P pur lequel l altitude est nulle : c est la distance ttale au sl parcurue par l bjet. On l btient à partir de l équatin cartésienne de la trajectire, y( xp) x P tan xp 0 v cs y( xp) x P tan xp 0 v cs Cette équatin adet deux racines xp = 0 (pint de lancer) v cs tan v sin cs v sin xp La prtée crît avec v ; elle est axiale, pur v dnné, lrsque = 45. Par ailleurs, deux anles de tir 1 et cpléentaires crrespndent à la êe prtée. Exercice : calculer la prtée d un prjectile lancé à 30 à la vitesse initiale de 0.s 1. Répnse : 35 le tir est tendu, ais un tir en clche avec un anle de = 60 dnne la êe prtée 1.7 Cas particulier : chute libre verticale Lrsque la vitesse initiale est nulle (v = 0), le prjectile est en chute libre verticale : seul l axe (Oy) est utile vu que l accélératin est verticale. Dans ce cas, v () y t t 1 y() t t Le uveent est rectiline et unifréent accéléré. Exercice : calculer la durée de chute d un caillu lâché d une hauteur h = 1,80. Répnse : 0,61s Rearquer que la asse du caillu n iprte pas! Muveent d une particule charée dans un chap électrique unifre.1 Chap et frce Un chap électrstatique E unifre a êe valeur, êe directin et êe sens en tut pint de l espace. Il peut être btenu entre deux aratures étalliques planes P et N, séparées d une distance d, entre lesquelles une tensin UPN est appliquée. Ce chap est rthnal aux aratures, rienté de l arature de plus haut ptentiel vers l arature de plus bas ptentiel (sens des ptentiels décrissants). La valeur du chap électrstatique est alrs 4

5 U PN E d et s exprie en V. 1 si UPN est en vlts et d en ètres. Une particule charée de chare électrique q dans un chap électrstatique E subit une frce électrique F telle que F q E L analie frelle avec le chap de pesanteur est cplète ( P ). Tutefis, si la frce ravitatinnelle est tujurs attractive, ce n est pas le cas de la frce électrstatique : Si q > 0, alrs F est de êe directin et de êe sens que E Si q < 0, alrs F est de êe directin que E ais de sens ppsé. Exercice : calculer la frce électrique subie par un prtn entre les aratures d un cndensateur de 10 c sus 500 V. Répnse : 8, N.. Accélératin d une particule charée dans un chap électrstatique unifre Une particule charée de asse et de chare électrique q dans un chap électrstatique E se truve éaleent dans le chap de pesanteur. Elle subit dnc deux frces, La frcé électrique F qe Sn pids P Les chaps électrstatiques curaent utilisés nt des valeurs visines de 10 4 V. 1. Si la particule étudiée est un électrn, de chare électrique e = 1, C, la frce électrique a une valeur prche de N ; la asse de l électrn étant e = 9, k, l rdre de randeur de la valeur du pids est de 10 9 N. Ainsi, la frce électrique subie par l électrn est fis plus rande que sn pids, dnt il est pssible de nélier l influence sur le uveent. Ce sera, de fait, le cas quelle que sit la particule cnsidérée. Dans ce cadre, la deuxièe li de Newtn dnne q a E L accélératin d une particule charée dans un chap électrstatique unifre est un vecteur cnstant, de êe directin que la frce électrique qu elle subit..3 Déviatin d une particule charée Le dispsitif ci-cntre peret l étude de la déviatin d un faisceau d électrns pénétrant dans un chap électrstatique unifre avec une vitesse initiale perpendiculaire au chap. Lrsque UPN est psitive, les électrns snt déviés en directin de l arature P. 5

6 Le prblèe est frelleent identique à celui du uveent d un prjectile dans le chap de pesanteur terrestre : il suffit de replacer par q E et d intrduire les cnditins initiales adaptées ( = 0) : vx() t v qe Vecteur vitesse de la particule v( t) vy ( t) t vz ( t) 0 x() t vt qe Vecteur psitin de la particule OG( t) y( t) t zt ( ) 0 La trajectire de la particule est cntenue dans le plan (xoy) ; sn équatin cartésienne est celle d une parable, qe y x v Exercice : déflexin d ins natiques Un faisceau d ins xyde O est envyé en O dans un cndensateur plan de lnueur L = 10 c ù rène un chap électrique de 100 kv. La vitesse initiale de chaque in est v = 5, s 1. Déteriner l rdnnée de srtie des ins seln qu ils appartiennent à l istpe 16 (16 =, k) u à l istpe 18 (18 =, k) de l xyène. Répnses : y16 =,4 c ; y18 =,1 c..4 Le cann à électrns Ce prblèe est frelleent identique à celui de la chute libre sans vitesse initiale dans le chap de pesanteur unifre : la valeur de l accélératin n est pas ais e E. ee ee La vitesse de l électrn est vx() t t et sa psitin x() t t. 6

7 La vitesse acquise par un électrn accéléré par la tensin U s en déduit, eu va Elle ne dépend pas de la distance entre les électrdes. En 1964, l expérience de Bertzzi ntre que des électrns accélérés sus la tensin U = 5, V acquièrent une vitesse vexp =, s 1, alrs que l expressin ci-dessus cnduit à la valeur v = 4,.10 8.s 1 La thérie n est dnc pas cnfirée par l expérience : pur des vitesses supérieures au dixièe de la célérité de la luière dans le vide, les lis de la écanique newtnienne ne snt plus valables ; il faut alrs utiliser les lis de la écanique relativiste 7