Ampli Op D 1. 2.b. On suppose D2 passante et D1 bloquée. Déterminer :

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1 I 7 Dan c problèm, l amplfcatr opératonnl ront condéré comm déax t parfat t fonctonnront n régm lnéar : corant nl ax ntré nvr t non nvr, tnon nll ntr c ntré, rétanc d ort nll d n E montag dont la ort coïncd avc cll d l AO L dpôl D ont dntq Exprmr n foncton d rr,, t d corant pr par D o la tnon E Qll t la foncton d c montag? Ampl Op D D r r II Tranformaton d gnax (d'aprè Géolog d Nancy 997 Dan c problèm, l amplfcatr opératonnl ront condéré comm déax t parfat t fonctonnront n régm lnéar : corant nl ax ntré nvr t non nvr, tnon nll ntr c ntré, rétanc d ort nll d n montag dont la ort coïncd avc cll d l AO A drmnt an l I d U d I d U fgr a fgr b U d d D AO d d d U d U, I d = ; U d = U, I d AO Avc l convnton d la fgr a, n dod D prént la caractértq ntnté-tnon rprénté r la fgr b a Donnr l chéma éqvalnt d la dod paant b Donnr l chéma éqvalnt d la dod bloqé On tl dx dod D t D mblabl à D dan l dpotf rprénté r la fgr L amplfcatr opératonnl ont déax t fonctonnnt n régm lnéar On mpo n tnon varabl a On ppo D paant t D bloqé Détrmnr : la tnon d ort n foncton d ; l corant d dan la dod paant n foncton d t ; la tnon d ax born d la dod bloqé n foncton d t U Donnr n négalté r por q D ot paant D Donnr n négalté r por q D ot bloqé onclr b On ppo D paant t D bloqé Détrmnr : fgr d t U Donnr n négalté r por q D ot paant Donnr n négalté r por q D ot bloqé onclr c émr la taton n donnant la caractértq d tranfrt ( Déorma ( t = U co( t où U = 7, 8 volt M M la tnon d ort n foncton d ; l corant d dan la dod paant n foncton d t ; la tnon d ax born d la dod bloqé n foncton a préntr l graphq d (t t (t omparr lr pérod On admt (on n dmand pa d l montrr q (t pt êtr rprénté approxmatvmnt par a ér d Forr tronqé aprè l troèm trm : U ( t = U ( t ( t où M U M U M U =, π ( t = co( t t ( t = co( t t où π 5π = 6 rad/ Qll ont l fréqnc d (t t (t? b Q ndqrat n voltmètr réglé n contn t branché r? DS : ampl op, pag

2 B Prmèr tlaton Un d tlaton pobl d la tnon (t t l obtnton d n tnon contn Por a cla, l fat fltrr (t fltré Ql gnr d fltr fat-l tlr? b On pt réalr c fltr avc n crct, (fgr avc = µf Précr la natr d dpôl a t b d la fgr fgr Donnr l ordr d grandr d la rétanc por réalr n fltrag corrct (la répon ra argmnté v A fgr Scond tlaton On condèr l fltr d la fgr almnté par v = V co( t, où = 5 Ω, = Ω t = nf On ppo tojor l AO déal t fonctonnant n régm lnéar S, qll t la lmt d la tnon w(t? Q pt-on dr qaltatvmnt d on mpédanc d ntré? w Q pt-on dr qaltatvmnt d on mpédanc d ort? Montrr q a foncton d tranfrt t w H = = v j j j A 5 Détrmnr por q H = où A =,, Q =, jq( x x x = t = 6 rad/ 6 préntr qaltatvmnt l graphq d H ( 7 On applq à l ntré d c fltr la tnon contn U = 5 volt Qll t la tnon W à la ort? 8 On applq à l ntré d c fltr la tnon( t =,co( t Qll t la tnon w(t à la ort? 9 On applq à l ntré d c fltr la tnon( t =,7co( t Q pt-on dr d la tnon w(t à la ort comparé à w (t? On applq à l ntré d c fltr la tnon (t prodt par la ort d montag d la part A Qll t la tnon w(t à la ort? Q a-t-on réalé an avc l nmbl d montag d la part A t d c fltr? III Trandctr dfférntl On applq à l ntré d montag c-contr d tnon t t on l tl ntr la born S, d potntl t q débt l corant, t la ma On admt q l AO fonctonn n régm lnéar On condèr d abord l AO comm déal : alor ε = v v = Détrmnr la rlaton ntr t, rlaton dont l coffcnt dépndnt d, t d rétanc A qll condton c montag t-l v à v d l tlaton S éqvalnt à n orc d corant? Montrr q alor = tt condton n t pa nécarmnt rmpl En réalté, la d tnon à la ort d l AO obét à τ = µε, où τ t n contant potv t où ε = v v Sot la dt rétanc d tlaton branché ntr la born S t la ma Détrmnr l éqaton dfférntll régant (t d tt éqaton t d la form τ a = A B, où a, A t B ont d foncton d µ t d rétanc dt Montrr q l régm lnéar n t tabl q a > Q pa-t-l dan l ca a <? 5 Ql t l ordr d grandr d µ? 6 En dédr la condton d tablté d régm lnéar M DS : ampl op, pag

3 IV 9 Dan l tro montag c-do, on tl n AO déal t d rétanc Por chaq montag, établr l xpron d tnon d ort n foncton d tnon d'ntré t, évntllmnt, d rétanc, ' t " Dan l montag, n dod t aocé à n AO ; la dod n't pa condéré comm déal, a caractértq t modélé par : > ( = I xp( a; < ( =, a t I étant dx contant potv a Établr la rlaton lant t Qll condton dot vérfr? b On prmt l poton d t D (montag 5 Établr la rlaton lant t t xplctr la condton q dot vérfr On vt contrr n opératr ffctant la mltplcaton d dx gnax t, n tlant d AO montag : déax t d dod Montrr q'n combnant d montag d typ précédnt, on pt obtnr, à partr d dx gnax d'ntré t l gnal d ort I Qll crtq pt-on adrr à c chéma d n mltplr? montag 5 : V Fltr actf On applq n tnon noïdal v = Vm co t a montag ccontr, q applq à on tor n tnon v à n apparl d tlaton chématé par la rétanc L amplfcatr opératonnl t parfat Explqr n qo l branchmnt d tro born d l AO ncln à ppor q cl-c fonctonn n régm lnéar t non n régm atré V t n ont pa trop grand? m Q pa-t-l V m t trop grand? Détrmnr an calcl la foncton d tranfrt t trè ptt Détrmnr an calcl la foncton d tranfrt t trè grand, l amplfcatr opératonnl étant ppoé n régm lnéar 5 Montrr q la foncton d tranfrt t : H v = = v j ( ' ' ' v B A v DS : ampl op, pag

4 Vm 6 Exprmr t n foncton d, t por q V = m 7 Exprmr la band paant à db d c fltr 8 On propo d tracr l graph d G = log ( V / V n foncton d log( / Détrmnr l éqaton d aymptot d c graph 9 Tracr chématqmnt c graph Défnr par n mot l tlté d c fltr Qll t l mpédanc d ort d c fltr? db m m Qll t la dfférnc ntr l pha d v t d t à hat fréqnc? v à ba fréqnc? VI 5 L AO ont déax t fonctonnnt n régm lnéar On condèr l montag rprénté c contr dan lql l'amplfcatr opératonnl condéré comm parfat fonctonn n régm lnéar : l corant ax ntré nvr t non nvr ont nl t la tnon ntr c dx ntré t nll L crct t almnté à l'ntré par n génératr délvrant n tnon altrnatv noïdal d platon t d'ampltd complxu On dégn par U l'ampltd c omplx d la tnon d ort L qantté YY,, Y rpréntnt d admttanc alclr la foncton d tranfrt T( j = U / U d crct L admttanc Y corrpondnt à d condctr ohmq pr dntq, d condctanc / L'admttanc Y, corrpond à n condnatr d capacté t Y à n condnatr d capacté α où α t n contant potv On po = / t x = / Exprmr l modl d la foncton d tranfrt Détrmnr la valr d α por laqll on pt écrr : T = t xprmr ( / Qll t alor la foncton d fltr? 5 alclr la valr d la platon corrpondant à n atténaton d modl d la foncton d tranfrt d db VII 9 L AO ont déax t fonctonnnt n régm lnéar Qand on étd n ond onor, on contat q la pron P d l ar a n valr moynn par rapport a tmp P contant t égal à la pron n l abnc d on t q ll var n p ator d ctt valr moynn Por mrr c ptt varaton d pron, on tl n captr q on pt modélr par n rétanc r varant lnéarmnt avc la pron : r = βp Dan n prmr tmp, on nèr l captr dan l montag a alclr l tnon v P t v M ntr l pont P t M t la ma, p la tnon d ort v S n foncton d la tnon V t d rétanc r t r b Qll valr dot-on donnr à r por q l gnal at l'ampltd la pl ptt pobl? A qo cla rt-l? DS : ampl op, pag

5 c alclr alor la nblté d la chaîn d mr, c't-à-dr l rapport ntr la tnon d ort t la pron acotq P P On nèr mantnant l captr dan l pont d Whatton amplfé (Montag a alclr l tnon vp t vm à l'ntré d l'amplfcatr b alclr la tnon d ort v n foncton d v,,, t S P vm c alclr la nblté d la chaîn d mr Ql t l'ntérêt d montag par rapport a précédnt? g VIII Dan l montag c contr, xprmr la tnon à la ort v n foncton d tnon ax ntré v t v Q appll-t-on rétanc d ort? Qll t la rétanc d ort d c montag? Q pt-on dr d mpl d mpédanc d ntré? Sont-ll déal? Q réal c montag? v v v IX Tratmnt d gnal forn par n anémomètr à fl chad, d aprè ESEM 99 Un anémomètr à fl chad placé dan n fld d vt v fornt n tnon U Dan c condton on admt q la tnon U prodt, por n vt v contant t a bot d'n dré ffammnt long, vat U = kv /, k contant potv lé à l'apparl S la vt pa brqmnt à l ntant t = d v à v v, la tnon U n var pa ntantanémnt ; ll var progrvmnt t avc rtard lon la lo : t <, U = kv /, t >, U = kv / U ( xp( t/τ L montag élctronq a t c tratnt l gnal U afn d l'amélorr t d facltr on mplo L amplfcatr opératonnl ont déax t fonctonnnt n régm lnéar Montrr q U =k(v v / kv / préntr la corb U = U(t, y far apparaîtr τ, U t U tnon rlatv ax vt v t v v, v > Etd d montag d la fgr a On admt q l dod tlé ont modélé qand ll ont condctrc par : d > t d = xp( d /, (fgr b où t ont dx contant potv L montag tl la tnon d'ntré = U prodt par la vt contant v a Exprmr l tnon avc, avc, p avc Qll opératon réal chaq part d montag? b alclr n foncton d, t Qll condton dot êtr rmpl par, t por q l dod ont condctrc? c Montrr q l gnal d ort t proportonnl à la vt Qll t la contant d proportonnalté? On dt q'l y a lnéaraton Étd d montag d la fgr c DS : ampl op, pag 5

6 L montag tl la tnon d'ntré = U(t qand la vt var d v à v v a Exprmr avc d/dt, t, avc, p avc t Qll opératon réal chaq part d montag? b Exprmr avc, d/dt, t c Montrr q par n chox jdcx d, l'anémomètr v d c montag donn n répon ntantané 5 ommnt réalr n anémomètr donnant n répon à la fo lnéar t ntantané? épon r r I = ; c montag donn n mag n tnon d la dfférnc rlatv ntr r t r r II A a La dod paant éqvat a chéma c-contr ; b La dod éqvat à n ntrrptr ovrt ; a = ; d = ; d = U ; > ; b d = ; = ; d = / U; < ; c = ; a f = 5, Hz π = ; f = f/ =,7 Hz ; b U M = 5, V π B fltr pa-ba ; a t t b t ; = Ω w = ; a mon ; von d zéro ; 5 = A = 59 Ω ; 6 vor c-contr ; l maxmm a l por =, G =, ; 7 W = ; 8 w = Av = 7, 6 co t ; 9 w t trè ptt ; 5 w w ; doblr d fréqnc x 5 5 III = ( ( d ; = ; τ = µ ; dt 5 a <, (t croît n valr abol jq à c q la atraton ot attnt ; 5 ; 6 > IV montag : = ( (montag ommatr ; montag : = (opératon dfférnc ; montag : = (montag nvrr ; a >, = ln a I <, l'ao t atré (amplfcatr logarthmq ; b > = I xp( a < l'ao t atré (amplfcatr xponntl ; mttr r l dx ntré d amplfcatr logarthmq, l combnr par n ommatr, applqr n amplfcatr xponntl, p n nvrr ; vor corrgé V La ort d l AO t rlé à l ntré nvr, c q tabl l régm lnéar par contr-réacton ; ll n t pa rlé à l ntré non nvr ; n tll laon détablrat l régm lnéar ; v rq d êtr écrêté ; H = ; H = ; 6 ( = ; = = ; 7 d contn à ( ; 8, G db ;, G db log( / ; 9 ccontr l graph d G db n foncton d log ( / ; pa ba ; nll ; nll ; π 5 G 5 U DS : ampl op, pag 6

7 VI T = ; T = Y Y ( Y Y ( 9α α x α x ; α = t = ; paba ; 5 = = rad/ 9 rv VII a v( P = r r ; ( V v r r v M = ; v = V ; b r r = βp ;v t n mag élctrq d la r v V rv pron acotq P P ; c = ; a v( P P P P = r r ; ( V v M = ; b v v = ( v( M v( P ; c V ; amplf la pron acotq P P P g g dv VIII dv v v = ; Z dt = nll ; déal : mpédanc d ntré nfn, non vérfé c ; d ntégratr dfférntl IX vor graph c-contr ; a = xp( / (amplfcatr U U logarthmq ; = (amplfcatr nvrr ; xp( / = U k t (amplfcatr xponntl ; b = ; > ; c = v t τ d proportonnl à la vt ; a = (montag dérvatr ; = dt d (montag nvrr ; = (montag ommatr ; b = ; c = U ; dt = τ l anémomètr donn alor n répon ntantané ; 5 Por avor n répon lnéar t ntantané, l fat dpor n ér l anémomètr, l montag c t l montag a DS : ampl op, pag 7

8 orrgé I En régm lnéar, l born d AO ont ax potntl L D dx dpôl D ont donc om à la mêm tnon E t donc parcor par l mêm corant r La ort d l AO d gach t a D potntl r r t parcor r par l corant = t r E parcor par l corant r = = ( r D où : r r = r montag donn n mag n tnon d la dfférnc rlatv ntr r t r II Tranformaton d gnax (d'aprè Géolog d Nancy 997 r A a La dod paant éqvat a chéma c-contr : b La dod éqvat à n ntrrptr ovrt a L dx ntré d l'ao d gach ont a potntl ; comm la rétanc d U ba t parcor par n corant nl, l dx ntré d l'ao d drot ont a a potntl zéro L ntré A j nvr d AO n prélvant pa d corant, l j d rétanc d hat ont parcor dx à dx par v U - A l mêm corant t j : = = t - j = va = d D'où : = t j = ; d'aprè la lo d nœd n A, d = ; d'où : d = omm la rétanc d ba t parcor par n corant nl, ll t a potntl t d U = va = : d = U D t paant > Alor, < U, donc D t bloqé d Donc cc t l régm d fonctonnmnt > b Sr la fgr, on a rprénté l corant non nl,, d t d L pont t l ntré nvr t non nvr d prmr AO ont a potntl zéro L pont B t \ D t l dx ntré nvr t non nvr d dxèm AO ont a mêm potntl, v B D'aprè la lo d'ohm, c drnr potntl t : v = ( = = / B d d d omm = /, d = D'aprè la lo d'ohm, = ( d = ( r d A D - d B d U - d DS : ampl op, pag 8

9 = va vb = d U = ( d d = ( = = d = / U D t paant d > < Alor, d <, donc D t bloqé vd vb Atr tchnq d calcl : l théorèm d Mllman n donn : = ; comm vd = v, on n r B dédt vd = vb = ; comm l mêm corant parcort l tro rétanc d hat, d va vd ( d = = =, d où t vb = v A = ; d = = ; d U = va vb = ( d = U c = a L xamn d graphq d co t t d co t montr q la pérod d co t t la dm pérod d co t Donc f = 5, Hz π =, tand q f = f / =,7 Hz b Un voltmètr n contn ndq n général la compoant contn d gnal, c't-à-dr a valr moynn, q t U M = 7,8 = 5, V π π B Il fat n fltr pa-ba a t t b t Por l corant contn, n la par acn corant, donc = En corant varabl on vt, donc, ot = 8 Ω On pt prndr = Ω 6 6 A hat fréqnc, l dx condnatr ont d cort-crct, donc w = v = v = L'mpédanc d'ntré t a mon L'mpédanc d ort t von d zéro w L mêm corant parcort t : = j va L théorèm d Mllman n A donn : v v j w j w w v va w j j = = = j j j j d'où la forml dmandé 5 L dx xpron d H ont d typ c a bj Idntfon lr trm contant a : j = A = A =, 5 = 59 Ω Q On pt vérfr a q l coffcnt b t c ont égax : A = Q t = A ; ctt drnèr 5, A rlaton donn la mêm valr por = = = 59 Ω Q 8 6 DS : ampl op, pag 9

10 6 L graphq d G = H =, ( x / x t : L maxmm a l por =, G =, 7 W =, car H = por = 8 w = A v = 7, 6 co t 5 G 9 w t trè ptt par rapport à w car H t nttmnt pl ptt q dan l ca précédnt, la corb d H n foncton d préntant on maxmm az ag por la qton 8 5 w = W w w w En fft, V v v t la ér d Forr d On a réalé n doblr d fréqnc q tranform co t n co t III L mêm corant travr t : La lo d nœd n S écrt v v v v = = En otr, = v = v La rlaton ntr t obtnt n élmnant ntr c rlaton : = v ( v = v ( v x = ( ( Por q l montag comport comm n orc d corant, l fat q ot ndépndant d, donc q = Alor = L théorèm d Mllman por l ntré nvr écrt : v L théorèm d Mllman n S écrt : v = = d D où : τ = µ dt d tt éqaton t d typ τ a = A B, où a = µ dt La olton d ctt éqaton t la omm d n olton partclèr q rmbl à A t d la olton général d l éqaton an cond mmbr, ct xp( at / τ ; l fat q ctt foncton tnd vr zéro qand t, B donc q a > por q l ytèm ot tabl, c t-à-dr q (t v A B S a contrar a <, (t croît n valr abol jq à c q la atraton ot attnt 5 µ t trè grand ( 5 6 Par conéqnt, la condton d tablté t approxmatvmnt > < > DS : ampl op, pag

11 IV Montag Mllman : = v = v = = ( (montag ommatr v = Montag Montag dvr d tnon : = (opératon dfférnc v = Montag Montag dvr d tnon : = v = v = = (montag nvrr, ln a Por la dod, = /, =, ot > = a I (amplfcatr logarthmq <, l'ao t atré b, ot ( > = I xp a = = (amplfcatr xponntl < l'ao t atré S, ln > = ;, ln > = ; a I a I = = ln ;, ot a ( I > ( > I, = I xp( a = ; 5 = = I I montag n fonctonn q > t > t > ( I En réalté, la caractértq d la dod n t opératonnll q r n gamm trè étrot d tnon Il fat donc complqr c montag por avor n mltplr ffcac V La ort d l AO t rlé à l ntré nvr, c q tabl l régm lnéar par contrréacton ; ll n t pa rlé à l ntré non nvr ; n tll laon détablrat l régm lnéar S V m t trop grand, v rq d êtr écrêté régon tl A ba fréqnc, l condnatr ont n grand mpédanc, bn q on pt pprmr lr branch an prtrbr l montag L rétanc t ont alor parcor par l corant =, d où v = v = v = v t H = A hat fréqnc, l condnatr ont n mpédanc ptt, bn q on pt l rmplacr par d fl Alor v =, d où v = v = t H = 5 va = v = v = v vb va t ont n ér, donc = vb = v ( j j j v v ( j L théorèm d Mllman n B donn : v B = j En combnant c dx rlaton : v v ( j( j = v ( j v = = ( j ( j ( j = j ( H v H = à dx polynôm ont mêm 6 Il fat dntfr ( ( ( coffcnt n : = = ( = = ( DS : ampl op, pag t mêm coffcnt n :

12 7 H t maxmm t vat qand = La band paant t l ntrvall où H >, ot < ; ll va d contn à ( G db / Qand, 8 = log / ( / = log ( Qand G db, G log( / db 9 -contr l graph d db n foncton d log / fltr t pa ba L mpédanc d ort t nll, car la ort d montag t a la ort d l AO A ba fréqnc, H, donc la dfférnc d pha ntr v t v t nll A hat fréqnc, G ( H, donc la dfférnc d pha ntr v t v t égal à π VI Y ( U U Applqon Mllman n A, à l xtrémté d Y q n t pa à la ma v( A = t à l ntré Y Y Yv ( A YU nvr v v = = = D où YU = [ Y Y( Y Y ] U t T Y Y T T = j ( j = α jαx( jx = = T = α α x α x ( αx 9α x ( 9 L dx polynôm n x o rpréntant / T dovnt avor mêm coffcnt, d où : = Y Y Y Y ( 9α α = α = t 9 = = = α α t n fltr pa-ba (q nvr a l gnal 5 log T = T = = = = = = = rad/ T VII V r rv a Applqon l théorèm d Mllman n P : = v( P = ; t n M r r r r V v r r V v = v( M = r r r r Or l fonctonnmnt lnéar d l AO xg v( P = v( M v = V r r d b Il fat chor r P P P, c La nblté t P P = βp d ort q v ot nl n l abnc d on Alor, v = V, ot compt tn P P P P v : v t n mag élctrq d la pron acotq P P V P v V = P P P V r rv a Applqon l théorèm d Mllman n P : = v( P = r r r r DS : ampl op, pag V r V ; t n M = v( M = r r

13 M' M" g P' P" ' b, t ont travré ccvmnt par l mêm corant g v( M v( P v( M v( P g = = v( M v( P = ( ( v M v P g g g d hat ont travré par l mêm corant ( L dx rétanc v( M v( M v( M v = = v = v( M v( M v( P v( P L dx rétanc d ba ont travré par l mêm corant = = v ( P = v( P L AO d drot mpo v( M = v( P v( P v( M = v = v( M v( P g ( c v V rv r r P P = = = V r r ( r r V ( P P omm P P P, la nblté t g g g v V P P P g montag prmt d amplfr la pron acotq On porrat l amplfr davantag n modfant l rétanc VIII v v v = = j j v j v v jv v = = j j dv d où v = v jv v v = dt marq : ctt drnèr forml t valabl, mêm v t v n ont pa d foncton noïdal d mêm fréqnc dv S t l corant à la ort, Z = qand la charg var En fat, l mpédanc d ort t nll, comm d por l atr crct dont la ort t à la ort d n AO L déal t q l mpédanc d ntré d n montag ot nfn Ic, c n t pa l ca, car l dx ntré prélèvnt d corant crct t n ntégratr dfférntl DS : ampl op, pag

14 IX kv ( v / kv / t égal à la lmt qand t d Ut (, ot U Vor graph c-contr a L mêm corant travr la rétanc d gach t D : xp( / = (amplfcatr logarthmq L mêm corant travr la rétanc d cntr t la rétanc : = (amplfcatr nvrr U U U τ t L mêm corant travr la dod D t la rétanc d drot : xp( / = (amplfcatr xponntl b D où = xp( / = = / La dod D t tojor paant, car = k v t tojor potf La dod D t paant >, ot <, ot > k c = v t proportonnl à la vt a La charg d l armatr d drot d condnatr t q = Sa dérvé par rapport a tmp t égal a dq d corant dan la rétanc d hat : = D où = (montag dérvatr dt dt L mêm corant travr l dx rétanc té n ba à gach, donc : = (montag nvrr L théorèm d Mllman applqé à l ntré nvr d l AO d drot écrt : = (montag ommatr d b D où = dt c S t >, = U ( U U xp( t/ τ ; alor = U ( U Uxp( t/ τ ( U Uxp( t/ τ : = U τ = τ ; l anémomètr donn alor n répon ntantané 5 Por avor n répon lnéar t ntantané, l fat dpor n ér l anémomètr, l montag c t l montag a DS : ampl op, pag