Intégrale de Riemann cours et exercices de Licence, L1, PC, S2

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1 Intégrle de Riemnn cours et exercices de Licence, L1, PC, S2 H. Le Ferrnd Jnury 29, 2010 Contents 1 Des premières méthodes 2 2 Sommes de Drboux 2 3 Fonction intégrble u sens de Riemnn Qu est-ce qu une fonction intégrble u sens de Riemnn? Fonctions monotones sur [, b] Fonctions continues sur [, b]. Fonctions continues pr morceux Sommes de Riemnn 4 5 Propriétés Chsles etc Première formule de l moyenne Primitives et intégrles Intégrle indéfinie Conséquence fondmentle Chngements de vribles Intégrtion pr prties Pnorm Primitives de frctions rtionnelles Différentes techniques Intégrle de l forme R(sin x, cos x, tn x)dx Intégrle de l forme R(e λx )dx Intégrle de l forme R( x 2 + bx + c, x)dx Intégrle de l forme R( n x + b, x)dx Formule de Tylor vec reste intégrle Une formule importnte Nouvelle écriture des polynômes

2 notes de cours (Hervé Le Ferrnd) 2 1 Des premières méthodes Au lycée, dès l clsse de première l notion de dérivée été introduite. En terminle, l notion d intégrle, vi le clcul d ire sous une courbe, est bordée (historiquement, on clculé des ires vnt des nombres dérivés). Ainsi, un premier trvil, consiste à prendre une feuille de brouillon, de fire deux colonnes, d un côté l fonction et de l utre, si cel est possible, s dérivée. L lecture inverse donne les premières primitives, qui sont à connître. On prendr grde ussi à toujours préciser l intervlle sur lequel on cherche une primitive : pr exemple donner une primitive de x 1 sur ]1, + [, puis sur ], 1[. Il n est ps difficile de x 1 donner une primitive de x 1 x. Cette quntité s écrit ussi. Et si on vous 2 2 x (x 1) (x 1) vit demndé de déterminer une primitive de cette dernière expression! C est pour cel qu il fut voir quelques notions sur le développement en éléments simples d une frction rtionnelle. Dns l prtique, on regrde si l frction est simplifible ou non, si tel n est ps le cs on effectue u prélble une division de polynômes. Puis, si le dénominteur de l prtie qui tend vers 0 en est scindé sur IR, on décline selon les puissnces. Si pr contre, on des puissnces de polynômes du second degré à rcines non réelles, on prend grde de mettres ux numérteurs des polynômes du premier degré. Comment retrouver une primitive de x 1? Il suffit de revenir à l définition de l fonction 1 + x2 rctn : rctn(tn(x)) = x... Il fut svoir trouver rpidement une primitive de x 1 x ou de 2 + x2 1 x 2 + 2x + 2. Que ce soit en Mthémtiques ou en Physique, des notions de trigonométrie s imposent. On doit svoir les formules de bses, mnipuler les quntités e iα (i 2 = 1, α IR), connître les formules de De Moivre et du binôme qui permettront de linériser des expressions du type cos 3 (α) puis d en donner une primitive. Pr illeurs, on doit être cpble d exprimer cos α et sin α à l ide de t = tn( α ). Ceci 2 permet entre utre, de donner une prmétristion du cercle trigonométrique (suf un point). 2 Sommes de Drboux On trville vec des fonctions bornées sur un intervlle fermé borné. Définition 2.1 Une subdivision de l intervlle [, b], est une ensemble de points D = {x 0, x 1,..., x n } tels que : = x 0 < x 1 <... < x n = b. On considère lors δ i = x i x i 1, i.e l longueur du i e sous-intervlle. Soit f une fonction bornée sur [, b]. Définition 2.2 Les petites et les grndes sommes de Drboux ssociées à f et à l subdivision D sont les quntités : n s(d) = f i δ i, où f i = inf f(x) (1) x i 1 x x i S(D) = i=1 n i=1 F i δ i, où F i = sup f(x) (2) x i 1 x x i

3 notes de cours (Hervé Le Ferrnd) 3 Remrque 2.3 s(d) S(D). Exemple 2.4 Ecrire les sommes de Drboux pour f(x) = x sur [, b] vec des subdivisions équidistntes. Lemme 2.5 Si D est plus fine que D, i.e D D, lors : s(d) s(d ) S(D ) S(D). Lemme 2.6 Si D 1 et D 2 sont deux subdivisions quelconques de [, b], lors 3 Fonction intégrble u sens de Riemnn s(d 1 ) S(D 2 ). (3) 3.1 Qu est-ce qu une fonction intégrble u sens de Riemnn? D près ce qui précède, on peut considérer les deux quntités suivntes : I + = inf D S(D) l intégrle supérieure I = sup s(d) D l intégrle inférieure Définition 3.1 On dir que f est intégrble u sens de Riemnn, si I = I +. On noter lors cette quntité : f(x)dx. Proposition 3.2 L fonction f : [, b] IR est intégrble si et seulement si Exemple 3.3 L fonction définie f : [0, 1] IR pr est-elle intégrble? ε > 0 D S(D) s(d) < ε (4) f(x) = 3.2 Fonctions monotones sur [, b] { 1 x rtionnel 0 x irrtionnel Proposition 3.4 Si f : [, b] IR est monotone, lors elle est intégrble. 3.3 Fonctions continues sur [, b]. Fonctions continues pr morceux Proposition 3.5 Si f : [, b] IR est continue, lors elle est intégrble. L démonstrtion repose sur le fit que si f est continue sur [, b], lors elle y est uniformément continue. Ce résultt reste vri si on remplce continue pr continue pr morceux.

4 notes de cours (Hervé Le Ferrnd) 4 4 Sommes de Riemnn Soit = x 0 < x 1 < < x n = b une subdivision de [, b] et ζ 1,..., ζ n tels que On ppelle somme de Riemnn, l quntité : On dmettr que si f est intégrble, x 0 ζ 1 x 1 ζ 2 x 2 ζ 3 n σ = f(ζ i )δ i (δ i = x i x i 1 ). i=1 n f(ζ i )δ i i=1 (à titre d ppliction, clculer lim n u n où u n = 1 n 1 n 2 5 Propriétés 5.1 Chsles etc... somme, produit, quotient, vleur bsolue, respect de vec les bonnes hypothèses : c f(x)dx si mx δ i 0 i k=1 k 2 sin kπ n ) f(x)dx f(x) dx. f(x)dx = c f(x)dx + f(x)dx. b soit f continue sur [, b], f 0, on que f(x)dx = 0 x [, b] f(x) = 0. inéglité de Cuchy-Schwrz : f(x)g(x)dx 5.2 Première formule de l moyenne f 2 (x)dx g 2 (x)dx. Soit f une fonction continue sur [, b], g intégrble sur[, b]. On suppose g 0. Alors il existe c [, b],tel que : g(x)f(x)dx = f(c) g(x)dx. exercice 1 Quel est l ensemble de définition de φ(x) = x 2 x dt ln t. Clculer lim x 1 φ(x).

5 notes de cours (Hervé Le Ferrnd) 5 6 Primitives et intégrles 6.1 Intégrle indéfinie Soit f une fonction définie sur un intervlle I IR, on dit que f est loclement intégrble sur I si f est intégrble sur tout intervlle fermé borné contenu dns I.Fixons α I, ce qui précède nous permet de considérer l fonction de I IR, x x α f(t)dt. On prler d intégrle indéfinie. On remrquer que deux intégrles indéfinies diffèrent d une constnte et que si F est une intégrle indéfinie, on : v f(t)dt = F (v) F (u) = [F (t)] v u, u, v I. On les propriétés suivntes : u Proposition 6.1 Toute intégrle indéfinie F ssociée à une fonction loclement intégrble sur I, est continue sur I Proposition 6.2 Si de plus f est continue en un point x 0 I, lors F est dérivble en x 0 vec F (x 0 ) = f(x 0 ). 6.2 Conséquence fondmentle Proposition 6.3 Si f est continue sur I intervlle de IR, elle dmet des primitives toutes de l forme et elles sont une intégrle indéfinie quelconque + une constnte. exercice 2 Soit f une fonction continue sur IR et u et v deux fonctions dérivbles sur IR. Expliquer pourquoi l fonction x v(x) u(x) f(t)dt est dérivble sur IR. 6.3 Chngements de vribles Soit φ de clsse C 1 sur [, b] et f continue sur φ([, b]), lors φ(b) φ() f(x)dx = f(φ(t))φ (t)dt. (l proposition peut servir dns les deux sens et souvent dns l prtique φ est un difféomorphisme) exercice 3 Reprendre l exemple d une primitive de t 2. exercice 4 Primitive, u bon endroit, de x 1 x 2. Pour les frction en cos t et sin t, en fisnt ttention ux intervlles où l on se plce, le chngement de vrible u = tn( t 2 ) permet de se rmener à l intégrtion d une frction rtionnelle clssique. Essyer sur t cos(t)! exercice 5 Clculer I = 1 0 dx (1 + x) 1 + x 2.

6 notes de cours (Hervé Le Ferrnd) Intégrtion pr prties Soit u et v deux fonctions de clsse C 1 sur [, b], on exercice 6 Si 0 < < b, clculer u (t)v(t)dt = [u(t)v(t)] u(t)v (t)dt. ln xdx. exercice 7 Donner une primitive de rctn x sur IR. exercice 8 Donner une primitive de x rcsin x sur [ 1, 1]. exercice 9 Pour n IN, on pose : I n (x) = x 0 dt (1 + t 2 ) n. Etblir une reltion de récurrence entre I n+1 (x) et I n (x). Donner les expressions de I 1 (x), I 2 (x), I 3 (x). exercice 10 Pouvez-vous clculer une primitive de t 1 2+cos t 7 Pnorm 7.1 Primitives de frctions rtionnelles sur IR? P (x) Soit R(x) = une frction rtionnelle, c est à dire un quotient de deux polynômes. On commence Q(x) pr se rmener u cs où deg P < deg Q en divisnt P pr Q : P (x) Q(x) = S(x) + ˆP (x) Q(x), où P (x) = S(x)Q(x) + ˆP (x) vec deg ˆP < deg Q. On suppose à présent que P et Q sont deux polynômes à coefficients réels tels que deg P < deg Q. Le polynôme Q(x) soit des rcines réelles, soit des rcines complexes dont les conjugués sont ussi des rcines de Q. Ainsi, on l décomposition sur IR : On le résultt : Q(x) = Π k i=1(x γ i ) n i Π l i=1((x α i ) 2 + β 2 i ) m i. Proposition 7.1 Il existe des réels A ij, B ij et C ij tels que : P (x) Q(x) = l m i i=1 j=1 A ij + B ij x k ((x α i ) 2 + βi 2 + )j n i i=1 j=1 C ij (x γ i ) j. exercice 11 Décomposer en éléments simples l frction rtionnelle suivnte : F (x) = En donner une primitive sur un bon intervlle. 2x 1 x(x + 1) 2 (x 2 + x + 1) 2.

7 notes de cours (Hervé Le Ferrnd) Différentes techniques On suppose que R est une frction rtionnelle d une ou plusieurs vribles Intégrle de l forme R(sin x, cos x, tn x)dx En se plçnt sur un bon intervlle, on peut fire le chngement de vrible u = tn x Intégrle de l forme R(e λx )dx On pose u = e λx Intégrle de l forme R( x 2 + bx + c, x)dx On suppose = 0 et on utilise l fctoristion cnonique de x 2 + bx + c. Un chngement linéire de vrible z = αx + β conduit lors à une des formes suivntes : z z z 2. Dns l ordre, on pose soit : z = sinh u, z = cosh u, z = sin u Intégrle de l forme R( n x + b, x)dx On pose u = n x + b. 8 Formule de Tylor vec reste intégrle 8.1 Une formule importnte Soit f une fonction de clsse C k+1 sur [, b]. 1. On peut déjà écrire que x f(x) = f() + 1 f (t)dt. En fisnt une intégrtion pr prties utilisnt u(t) = (x t) (x est fixé) et v(t) = f (t) on étblit que : x f(x) = f() + (x )f () + (x t)f (t)dt. (5) 2. On montre pr une méthode nlogue que : 3. Plus générlement : Proposition 8.1 f(x) = f() + (x )f () + i=0 (x )2 x f () + 2! (x t) 2 f (t)dt. (6) 2! k (x ) i x f(x) = f (i) (x t) k () + f (k+1) (t)dt. (7) i! k!

8 notes de cours (Hervé Le Ferrnd) 8 Exemple 8.2 Ecrivons cette formule dns le cs f(x) = exp(x). 4. Que se psse-t-il si on pplique cette formule à un polynôme de degré k? 8.2 Nouvelle écriture des polynômes On fixe n IN et IR. Soit P l ensemble des polynômes à coefficients réel, de degré inférieur ou égl à n. 1. Montrons que tout polynôme P P sécrit : P (x) = n i=0 P (i) () (x ) i. (8) i! 2. On peut voir que si P (x) = n i=0 α i i! (x )i, nécessirement α i = P (i) () pour i = 0... n. 3. On fixe k {0,..., n}. On considère l ppliction φ : P IR k+1 définie pr : () L ppliction φ est linéire, i.e (b) Montrons que φ est surjective. φ(p ) = (P (), P (),..., P (k) ()). (9) α, β IR P, Q P φ(αp + βq) = αφ(p ) + βφ(q). (10) (c) Il s git de trouver tous les P P tels que φ(p ) = (0,..., 0) (0 pprît k + 1 fois). (d) Soit Q P donné, trouver tous les P P tels que φ(p ) = φ(q).

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11 An Approximtion of the Integrl of f(x) = x*(x-2)*(x-3) on the Intervl [0, 5] Using n Upper Riemnn Sum 30 Are: Prtitions: x f(x)

12 An Approximtion of the Integrl of f(x) = x*(x-2)*(x-3) on the Intervl [0, 5] Using Lower Riemnn Sum 30 Are: Prtitions: x 20 f(x)

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