Cours d intégration L3-mass

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1 Cours d intégrtion L3-mss Renud Leplideur Année UBO

2 2

3 Tble des mtières 1 Rppels sur l intégrle de Riemnn et les limites croissntes L intégrle u sens de Riemnn et les principux résultts Trois spects de l intégrtion selon Riemnn Pour quelles f peut-on définir f(x) dx u sens de Riemnn? Principux résultts Intégrles générlisées : le cs non compct Rppels sur les limites et les convergences de suites de fonctions Limites monotones. Vleurs d dhérences Convergences de suites de fonctions Rppels sur les ensembles Ensembles négligebles et définition de l intégrle de Lebesgue Ensembles dénombrbles, ensembles négligebles Ensembles dénombrbles Ensembles négligebles Intégrle u sens de Lebesgue Intégrle pour des fonctions en esclier à support borné Les fonctions sommbles Comprison des intégrles de Riemnn et de Lebesgue : cs d une fonction continue sur un segment Théorèmes de pssge à l limite Interversion d une limite et de l intégrle Théorème de convergence monotone Théorème de convergence dominée D utres théorèmes de sommbilité-intégrle d une dérivée Le Lemme de Ftou Intégrle d une dérivée Espces L p Inéglités de convexité Espce L p et le cs prticulier p = Espces L p, p Le cs prticulier p = Exemple : séries de Fourier Petits compléments sur les espces L p

4 4 TABLE DES MATIÈRES L Inclusions Quelques preuves des ffirmtions énoncées Complétude des L p Non équivlence des normes Ensembles mesurbles-mesures sur des espces bstrits Fonctions Lebesgue mesurbles Ensembles Lebesgue mesurbles et mesure de Lebesgue Ensembles mesurbles-propriété de l mesure de Lesbesgue Fonctions étgées Théorie générle de l intégrtion Notion de Tribu Fonctions mesurbles (générlistion) Deux pplictions Compléments : théorèmes de Fubini, chngement de vribles Théorèmes de Fubini Tribu produit Les théorèmes de Fubini Appliction : intégrtion pr prties Chngement de vribles Appliction Exmens 57

5 Chpitre 1 Rppels sur l intégrle de Riemnn et les limites croissntes 1.1 L intégrle u sens de Riemnn et les principux résultts Trois spects de l intégrtion selon Riemnn Si f : R R est une fonction continue, et [, b] un intervlle de R, il y (u moins) trois fçons différentes de considérer l quntité f(x) dx : 1. L opértion est vue comme l opérteur inverse de l dérivtion f f. On prle lors de primitives, et on f(x) dx = F (b) F (), où F est une primitive de f, c est à dire qu elle vérifie F (x) = f(x). On s intéresse dns ce cs u clcul de primitives non triviles (pr exemple des frctions rtionnelles), les résultts principux seront pr exemple les formules de chngement de vrible ou d intégrtion pr prtie. 2. Si on définit I(f) := f(x) dx, I devient une forme linéire (I(λf + g) = λi(f) + I(g)) sur l espce vectoriel C ([, b]) des fonctions continues définies sur [, b]. On cherche à étudier si l opérteur I est continue (et pour quelle topologie), c est à dire qu on veut voir des résultts du type lim I(f n) = I(f) si lim f n = f. L question consiste à déterminer ce que lim f n = f signifie. 3. On s intéresse à l ensemble des fonctions f, ps nécessirement continues, pour lesquelles on peut définir f(x) dx, d une fçon qui étende l définition pour f continue. On sit ps exemple que si [c, d] est un intervlle dns [, b] on peut clculer 1I [c,d] (x) dx, où 1I [c,d] est l fonction indictrice de l intervlle [c, d], c est à dire

6 6 Chpitre 1. Rppels sur l intégrle de Riemnn et les limites croissntes qu elle vut 1 sur l intervlle et est nulle en dehors de [c, d]. Cet spect est souvent plus cché, mis il se voit pr exemple dns le vrie définition de l intégrle de Riemnn, qui est vlide pour les fonctions réglées (voir plus bs). Si le premier spect est souvent celui qu on retient le plus, ce n est ps celui que nous llons retenir dns ce cours. Ce serit une erreur de se focliser sur ce point de vue et de ne retenir et/ou voir l intégrtion que comme une opértion inverse de l dérivtion. Dns ce cours, nous llons définir une nouvelle intégrtion, dite u sens de Lebesgue. Bien sûr cette nouvelle intégrtion étend celle de Riemnn mis, le lien intégrle-primitive-dérivée est beucoup plus délict. Dns un premier temps, nous nous intéresserons plutôt u second spect, c est à dire l intégrtion comme forme linéire continue sur C ([, b]). L pluprt des résultts uront donc l forme lim I(f n) = I(f) si lim f n = f. Les limites que nous étudierons serons des limites monotones. Dns une seconde étpe, nous verrons que cette nouvelle intégrtion permet de définir un nouvel ensemble de fonctions f pour lesquelles on peut clculer f(x) dx. Ceci fer donc le lien vec le troisième spect de l intégrtion. Cet ensemble permettr de définir à son tour un ensemble de sous-ensembles prticuliers de R, les ensembles dits mesurbles. On verr lors que ce point de vue est le bon pour fire des probbilités. Le premier spect, c est à dire intégrle-primitives ser peu bordé, du fit de s complexité Pour quelles f peut-on définir f(x) dx u sens de Riemnn? Si on considère une fonction continue f : [, b] R, l quntité f(t) dt représente l surfce (lgébrique) comprise entre le grphe et l xe des bscisses. Elle se clcul comme une limite d une somme de Drboux, c est à dire en obtennt l fonction f comme limite uniforme d une suite de fonctions constntes pr morceux. Bien que souvent construire uniquement pour les fonctions continues, cette théorie permet en fit de définir l intégrle d une fonction f pour un ensemble plus gros que celui des fonctions continues : l ensemble des fonctions réglées. On rppelle qu une fonction ψ : [, b] R est dite constnte pr morceux s il existe une subdivisions = < 1 < 2 <... < p = b, telle que sur chque ] i, i+1 [ ψ est constnte de vleur c i. L vleur de ψ ux points i n est ps importnte, on peut choisir l vleur c i, c i n 1 On note ensuite ψ(t) dt := c i ( i+1 i ). i= Définition Une fonction f : [, b] R est dite réglée si elle est limite uniforme d une suite de fonctions constntes pr morceux.

7 1.1. L intégrle u sens de Riemnn et les principux résultts 7 On dit qu une fonction f : [, b] R est intégrble u sens de Riemnn s il existe deux suites de fonctions constntes pr morceux, (ϕ n ) et (ψ n ) telles que t, f(t) ϕ n (t) ψ n (t), et lim ψ n (t) dt =. Enfin, on remrque que l définition s étend sns difficultés ux fonctions à vleurs dns R d en prennt ϕ n ussi à vleur dns R d Principux résultts Méthodes de clculs : lien intégrtion-dérivtion Le théorème fondmentl du clcul différentiel étblit un lien entre dérivtion et intégrtion : Théorème Soit f une fonction continue sur [, b] à vleurs dns R. Soit F l fonction définie pr F (x) := x f(t) dt. Alors F est dérivble et pour tout t dns [, b], F (t) = f(t). Ce théorème permet de clculer des intégrles, soit pr l méthode de l intégrtion pr prtie : f(t)g(t) dt = G(b)f(b) G()f() soit pr l méthode du chngement de vrible : Pssges à l limite On rppelle que f g(t)g (t) dt = g(b) g() f(u) du. est l norme infinie définie pr g := sup g(x). x [,b] f (t)g(t) dt, Si g est continue, cette borne supérieure est tteinte. Cette norme s ppelle ussi l norme de l convergence uniforme puisque dire lim f ϕ n = signifie que l suite (ϕ n ) converge uniformément vers f : ε >, N tel que n N, t [, b], f(t) ϕ n (t) < ε. Théorème Si (f n ) est une suite de fonctions continues (sur [, b]) qui converge uniformément vers f, lors f est continue et Ce résultt s écrit ussi : f(t) dt = lim lim f n(t) dt = lim f n (t) d(t). f n (t) d(t), ce qui signifie qu on peut inverser l limite uniforme et l intégrle.

8 8 Chpitre 1. Rppels sur l intégrle de Riemnn et les limites croissntes Intégrles dépendnt d un prmètre On considère un intervlle I = [, b] vec < b. L lettre J désigner un utre intervlle de R. On considère l fonction continue f : I J R. Théorème (continuité sous le signe somme). L quntité F (x) = définit sur J une fonction continue. f(t, x)dt Remrque 1. Le théorème peut se voir comme un cs prticulier de ce théorème en considérnt x = n et une suite d ppliction u lieu d une fonction de 2 vribles. Théorème (dérivtion sous le signe somme). Supposons que l intervlle J soit ouvert et que l fonction f existe et soit continue sur J. Alors l fonction définie pr x F (x) = f(t, x)dt est de clsse C 1 et F (x) = f (t, x)dt. x Intégrles générlisées : le cs non compct L intégrtion (u sens de Riemnn) ussi été étudiée sur des intervlles du type [, + [. Elle ussi été vue pour des fonctions présentnt des singulrités sur le compct 1 1 [, b] (pr exemple dx). On sit que ce dernier cs peut se rmener u cs précédent x pr un chngement de vrible (qui envoie l singulrité à l infini, dns notre exemple on fer u := 1). x Ainsi, nous pouvons nous limiter u cs + f(x) dx. Dns ce cs, il s git de clculer une ire reposnt sur un intervlle de longueur infinie. Les résultts évoquient l convergence de l intégrle ou son bsolue convergence. Ici réside une différence significtive entre l intégrle déjà vue (u sens de Riemnn) et celle que nous llons voir (u sens de Lebesgue). Des fonctions continues pourront voir une intégrle convergente u sens de Riemnn mis ps u sens de Lebesgue. L différence disprîtr lorsqu on s intéresser (ou se limiter) ux intégrles bsolument convergentes. Cette différence s explique pr le fit que l intégrle de Lebesgue que nous llons voir permet d unifier les résultts et les techniques de démonstrtions entre le cs compct ([, b]) et le cs non-compct ([, + [). En quelque sorte, l démrche est donc inverse de celle de deuxième nnée : On définit en deuxième nnée + ; On v ici définir directement + + f(x) dx à prtir de f(x) dx en fisnt b f(x) dx et voir que cel permet de clculer f(x) dx pour des fonctions plus générles que les seules fonctions continues ou réglées.

9 1.2. Rppels sur les limites et les convergences de suites de fonctions 9 Intégrles générlisées dépendnt d un prmètre Comme nous l vons dit plus hut, l spect privilégié est celui de l opérteur linéire continu. Nous rppelons donc les deux principux résultts sur l interversion entre limite et intégrtion dns le cs non compct. Théorème Soient f : [, b[ J R une fonction continue où < b 1 et J est un intervlle de R. On suppose qu il existe une fonction continue g telle que 1. pour chque x, et pour chque t, f(t, x) g(t), 2. l intégrle Alors x J F (x) = g(t)dt converge. f(t, x)dt définit une fonction continue sur J. Théorème Soit J un intervlle ouvert. Soit f : [, b[ J R une fonction continue, telle que f est ussi continue et il existe une fonction continue g vérifint x 1. pour chque x l intégrle f(t, x)dt converge. 2. pour chque x, et pour chque t, f (t, x) x g(t), 3. l intégrle g(t)dt converge. Alors l fonction définie pr F (x) = F (x) = f(t, x)dt est de clsse C 1 et f (t, x)dt. x Nous insistons sur le point commun dns ces deux théorèmes. Dns les deux cs, il une hypothèse de domintion uniforme. C est typiquement le type d hypothèses que nous llons retrouver dns l théorie de l intégrtion selon Lebesgue. 1.2 Rppels sur les limites et les convergences de suites de fonctions Limites monotones. Vleurs d dhérences On rppelle le théorème issue de l propriété fondmentle de R : l existence d une borne supérieure pour tout ensemble non vide mjoré. On rppelle qu une suite (u n ) dns R est croissnte si pour tout n, u n u n+1. Théorème Soit (u n ) une suite dns R croissnte mjorée. Alors (u n ) converge. On peut voir une version un peu plus fine : Théorème Soit (u n ) une suite croissnte dns R. Si elle est mjorée, lors elle converge vers sup{u n, n N}, sinon elle diverge vers Penser à b = +

10 1 Chpitre 1. Rppels sur l intégrle de Riemnn et les limites croissntes Dns les deux cs on peut écrire lim u n = sup{u k, k N}, en commettnt un bus de nottion sur le sup. Une suite réelle ne converge ps nécessirement. On rppelle qu une vleur d dhérence de l suite (u n ) est une limite d une suite extrite de (u n ). Théorème (Stone-Weierstrss). Toute suite réelle bornée dmet une vleur d dhérence. Exercice 1 En commettnt l bus de lngge qui consiste à considérer qu une suite qui diverge vers ± en fit converge vers ± (dns l droite numérique chevée R), montrer que toute suite réelle possède u moins une vleur d dhérence dns R. Définition Soit (u n ) une suite réelle. Si elle est mjorée on note lim sup u n s plus grnde vleur d dhérence. Dns l cs contrire on écrit lim sup u n = +. Si elle est minorée on note lim inf u n s plus petite vleur d dhérence. Dns le cs contrire on écrit lim inf u n =. Exercice 2 Soit une suite réelle (u n ). 1/ Montrer que lim sup u n et lim inf u n existent toujours (dns R). 2/ Montrer l inéglité lim sup u n lim inf u n 3/ Montrer que (u n ) converge si et seulement si lim sup u n lim inf u n Convergences de suites de fonctions Nous vons revu précédemment l notion de convergence uniforme d une suite de fonction (f n ). On rppelle une notion plus fible. Définition L suite de fonctions (f n ) définies sur un intervlle [, b] R converge simplement vers l fonction f si pour tout x, l suite numérique (f n (x)) converge vers f(x). Exercice 3 Écrire vec des epsilons l définition de l convergence simple. Montrer que l convergence uniforme entrine l convergence simple. Donner un contre-exemple à l réciproque. Exercice 4 Construire une suite d pplictions f n définies sur un intervlle de R, toutes continues mis qui ne converge ps vers une ppliction continue/ qui converge vers une ppliction non continue.

11 1.3. Rppels sur les ensembles Rppels sur les ensembles Un ensemble est une collection d éléments. On écrit x E pour dire que x est un élément de l ensemble E. Lorsqu on liste les éléments ou crctérise un ensemble pr une propriété sur ces éléments, on écrit l ensemble vec des ccoldes. Ainsi {x} est l ensemble composé du seul élément x et {x R, x > } est l ensemble des réels strictement positifs ussi noté R +. L ensemble vide, est l ensemble qui n ucun élément. On dit que E est inclus dns F si tous les éléments de E sont ussi des éléments de F. On note lors E F et E est un sous-ensemble de F. L fonction indictrice de l ensemble E R est notée 1I E. Elle est définie pr { 1 si x E 1I E (x) = sinon. On rppelle qu étnt donné deux ensembles E et F, E F est l ensemble des éléments qui pprtiennent à u moins l un des ensembles et E F est l ensemble des éléments (éventuellement vide) pprtennt ux deux. De plus E \ F est l ensemble des éléments pprtennt à E mis ps à F. Exercice 5 Donner 1I E F, 1I E F et 1I E\F en fonction de 1I E et 1I F. Retour sur le troisième spect de l intégrle L fonction 1I Q, indictrice de l ensemble des rtionnels n est ps réglée. En effet, si elle l étit, on trouverit une suite de fonctions constnte pr morceu qui converge uniformément vers 1I Q. Considérons donc ε = 1 et ϕ en esclier (= constnte pr morceux) 3 qui est ε-proche de 1I Q. Soit [, b] l un des morceux où ϕ est constnte ; on suppose que le morceu est d intérieur non vide, i.e., < b (pr définition, de tels morceux existent). Si x est dns Q [, b], on doit voir ϕ(x) > 2. Si y est dns [, b] \ Q, on doit voir 3 ϕ(y) < 1. Ceci donne une contrdiction. 3 Pr conséquent, 1 1I Q (x) dx n ps de sens puisque l fonction n est ps réglée. Nous verrons que l intégrle de Lebesgue permet de donner un sens à 1 1I Q (x) dx.

12 12 Chpitre 1. Rppels sur l intégrle de Riemnn et les limites croissntes

13 Chpitre 2 Ensembles négligebles et définition de l intégrle de Lebesgue 2.1 Ensembles dénombrbles, ensembles négligebles Ensembles dénombrbles Définition Un ensemble E est dit dénombrble s il existe une injection de E dns N. En d utre termes, un ensemble est dénombrble si on peut compter ses éléments. Exemple.. N insi que tout sous-ensemble de N est dénombrble. Z et Q sont dénombrbles. R ne l est ps. Aucun intervlle de R (non réduit à un point) n est dénombrble. Exemple.. L ensemble {, 1} N n est ps dénombrble. Remrque 2. Un ensemble fini est donc dénombrble. Prfois on prler d ensemble infini dénombrble pour spécifier qu il n est ps fini 1. Théorème Un produit fini d ensembles dénombrbles et une union dénombrble d ensembles dénombrbles sont dénombrbles. L exemple de {, 1} N montre qu un produit infini d ensembles dénombrbles n est ps nécessirement dénombrble. Convention. Dns toutes les preuves utilisnt un ensemble dénombrble, pr soucis de simplifiction nous supposerons toujours que l ensemble est infini. Le cs d un ensemble fini étnt générlement beucoup plus simple à triter. De plus, nous supposerons toujours que l ensemble est en bijection vec N u lieu de simplement supposer l existence d une injection Ensembles négligebles Définition Un ensemble E R est dit négligeble (u sens de Lebesgue) s il peut être recouvert pr une fmille dénombrble d intervlles de longueur totle rbitrirement petite. 1. Dns certins livres on peut trouver comme condition supplémentire dns l définition qu un ensemble dénombrble est nécessirement infini ; dns ce cs un ensemble fini n est ps dénombrble.

14 14 Chpitre 2. Ensembles négligebles et définition de l intégrle de Lebesgue Exemple. Nous llons voir que tout ensemble dénombrble est négligeble. Contre-exemple. Un intervlle non vide n est ps négligeble. En effet, l somme des longueurs devr u minimum être égle à l longueur de l intervlle pour le recouvrir. Elle ne peut donc ps être ussi petite que voulue. Auprvnt nous llons explicité chque terme de l définition fin de bien l comprendre. On rppelle qu un recouvrement pr une fmille dénombrble d intervlles d un ensemble E est une fmille d intervlle I n (donc de l forme [ n, b n ] les crochets pouvnt être ouverts ou fermés) tels que tout x de E pprtient à u moins un intervlle I n. L longueur totle du recouvrement est (b n n ). n Bien évidemment, un recouvrement dénombrble (I n ) étnt fixé, celui-ci une longueur églement fixée. Le terme rbitrirement petite signifie que pour tout ε >, on peut trouver un recouvrement (I n ) de longueur totle inférieure à ε. Ainsi l définition s écrit : ε >, (I n ), I n = [ n, b n ], t.q. E n I n et n (b n n ) < ε. Exercice 6 Vérifier qu on peut se restreinte u cs où chque intervlle I n est fermé. Terminologie : pr soucis de simplifiction, dns un premier temps, nous prlerons juste d ensemble négligeble (tout court) u lieu de dire négligeble u sens de Lebesgue. Enfin, on dit qu un propriété P lieu presque prtout (u sens de Lebesgue) si elle lieu prtout suf sur un ensemble négligeble. Lemme Un ensemble dénombrble est négligeble. Démonstrtion. Considérons un ensemble dénombrble E = {x n, n N}. Fixons ε >. On considère pour chque n l intervlle I n := [x n ε 2, x n+2 n + ε ]. 2n+2 Chque x n pprtient à I n donc E = {x n } I n. De plus l longueur totle du n n recouvrement est + n= ε = ε. 2n+1 L définition permet d obtenir imméditement : Lemme Tout sous-ensemble d un ensemble négligeble est lui-même négligeble. Une intersection d ensembles négligebles est négligeble. Une union dénombrble d ensembles négligebles est négligeble. Remrque 3. Il existe des ensembles négligebles qui ne sont ps dénombrbles. Pr exemple l ensemble de Cntor tridique. On donne ussi une définition équivlente d un ensemble négligeble. L démonstrtion est lissée en exercice.

15 2.2. Intégrle u sens de Lebesgue 15 Lemme Un ensemble E R est négligeble si et seulement s il peut être recouvert pr un fmille dénombrble d intervlles de longueur totle finie et telle que chque point de E pprtient à une infinité d intérieurs de ces intervlles. 2.2 Intégrle u sens de Lebesgue Intégrle pour des fonctions en esclier à support borné Dns toute cette section on se fixe un intervlle I qui peut être ouvert, fermé, semiouvert semi-fermé, de longueur finie ou infinie. On noter cet intervlle I = (, b) les prenthèses étnt mises à l plce des crochets pour ne ps voir à différencier les cs ouverts ou fermés. Définition Une fonction f définie sur I est dite en esclier à support borné (e.s.c.en brégé) si Il existe une fmille finie (éventuellement vide) de sous-intervlles disjoints (suf sur les bords) I k, chcun de longueur I k finie et telle que sur chque I k f est constnte de vleur c k, en dehors des I k f est nulle. On noter E l ensemble des fonctions e.s.c.(définies sur l intervlle I). Si l intervlle I est de longueur finie lors une fonction e.s.c.est une fonction constnte pr morceux. Si l intervlle I est de longueur infinie, pr exemple si =, lors une fonction e.s.c.est une fonction constnte pr morceux telle que le premier morceu soit de l forme ], 1 ] et l fonction est nulle sur cet intervlle. Comme pour les fonctions constntes pr morceux, l vleur ux bords des intervlles I k peut ne ps être bien définie. Nous insistons sur le fit que cet ensemble de points pour lesquels l fonction peut être ml définie est un ensemble fini donc dénombrble donc négligeble. Comme nous n utiliserons que des propriétés vries presque prtout, l vleur excte de l fonction e.s.c.en ces points problémtique n importer ps. sur les sous- Définition Soit f une fonction e.s.c.définie sur I, de vleur c k intervlles I k. On pose f(x) dx = k c k I k. Nous vons précisé qu une fonction e.s.c.est une fonction constnte pr morceux, vec éventuellement quelques contrintes sur les vleurs pour le premier et le dernier morceux si l intervlle est de longueur infinie. L définition de l intégrle est exctement l même que pour une fonction constnte pr morceux en respectnt cette contrinte. Voici mintennt les deux lemmes essentiels dns l théorie d intégrtions de Lebesgue. Lemme (Lemme A). Soit (ϕ n ) une suite décroissnte de fonctions e.s.c.qui converge presque prtout vers. Alors l suite des intégrles ϕ n (x) dx décroît ussi vers.

16 16 Chpitre 2. Ensembles négligebles et définition de l intégrle de Lebesgue On précise que l suite est décroissnte si pour tout n et pour tous les x à l intérieur des intervlles de subdivision, ϕ n+1 (x) ϕ n (x). Comme pour chque n, il n y qu un nombre fini de points qui sont dns les bords des étges, leur union lorsque n décrit N est dénombrble donc négligeble. Lemme (Lemme B). Soit (ϕ n ) une suite croissnte de fonctions e.s.c.sur I = (, b) telle que l suite des intégrles l suite (ϕ n (x)) converge (vers une vleur ϕ(x)). ϕ n (x) dx est mjorée. Alors pour presque tout x de I, Avnt de voir les preuves de ces lemmes, ttchons nous à bien comprendre leur énoncé. Le lemme A dit que pour tout x (à prt ceux qui sont points de discontinuité) l suite (ϕ n (x)) décroît et qu on dispose d un ensemble négligeble E dns I tel que pour tout x R \ E, l suite numérique (ϕ n (x)) décroît vers. L conclusion dit que l suite des intégrles décroît ussi vers. Le lemme B dit qu on dispose d un ensemble E négligeble tel que pour tout x I\E, l suite (ϕ n (x)) est croissnte. Alors, si en outre l suite des intégrles est mjorée, il existe un ensemble négligeble E tel que pour tout x I \ E l suite (ϕ n (x)) converge vers une vleur notée ϕ(x). Preuve du lemme A. Le résultt porte sur les intégrles et l définition montre que l vleur de l intégrle d une fonction e.s.c.ne dépend ps de l vleur prise pr l fonctions ux points de discontinuité. On considère donc que pour chque n et pour chque point de discontinuité de ϕ n, l vleur est l plus grnde des 2 possibles (limite à guche et limite à droite). Pour chque x de I, l suite (ϕ n (x)) décroît. En vertue du théorème 1.2.2, l suite (ϕ n (x)) tend, soit vers un réel, soit vers. Considérons n 1 et un intervlle I k,n sur lequel ϕ n est constnte de vleur c k,n. Alors, nécessirement c k,n, sinon pour tout x de cet intervlle I k,n l suite ϕ p (x) serit strictement négtive à prtir du rng n et donc tendrit vers une vleur strictement négtive. Ceci contredirit l hypothèse que presque prtout (ϕ p (x)) tend vers. Ainsi, pour tout n, le grphe de ϕ n est sous celui de ϕ 1 mis u-dessus de l xe des bscisses. En conséquence, l suite de terme générl ϕ n (x) dx est décroissnte et positive. Elle converge donc et il suffit de montrer que l limite est négtive pour voir démontré le lemme. Pr définition, l fonction ϕ 1 est nulle en dehors d un ensemble [ 1, b 1 ] (, b). L hypothèse de décroissnce dit que pour tout n, le grphe de ϕ n+1 est sous le grphe de ϕ n. Ainsi, pour tout n, ϕ n est nulle sur (, 1 [ insi que sur ]b 1, b). Les contributions des intégrles sont donc restreintes u compct [ 1, b 1 ]. Sur cet intervlle, notons que chque ϕ n est mjorée pr M, borne supérieure de ϕ 1. Considérons l ensemble négligeble E en dehors duquel lim ϕ n(x) =. On peut ussi jouter à E l ensemble des points de discontinuité de toutes les ϕ n (qui est négligeble comme union dénombrbles d ensembles finis). Fixons ε >. Soit x dns [ 1, b 1 ] \ E. L suite (ϕ n (x)) converge vers (en décroissnt) et il existe donc un entier N x,ε tel que pour tout n N x,ε, ϕ n (x) < ε.

17 2.2. Intégrle u sens de Lebesgue 17 Pr définition x / E donc x n est ps un point de discontinuité des ϕ p. Il existe donc un intervlle I k,n contennt x en son intérieur et sur lequel ϕ n est constnte. Nous venons de voir que l vleur c k,n = ϕ n (x) est inférieure stricte à ε. À x nous ssocions donc l intervlle ouvert Ik,n que nous notons U(x). Il contient x. Ainsi, y U(x), n N x,ε, ϕ n (y) < ε. Pr définition il existe un recouvrement de E dénombrble en intervlles fermés de l forme [α k, β k ] tels que l longueur totl soit intérieure à ε. À chque intervlle [α k, β k ] on ssocie un intervlle ]α k, β k [ qui contient strictement [α k, β k ] et de longueur plus petite que deux fois β k α k. Si x est un point de E, il pprtient à l un des [α k, β k ] et donc à l un des ]α k, β k [. On choisit l un d entre eux et on le note V (x). Nous venons donc de construire un recouvrement d ouverts de l intervlle compct [ 1, b 1 ]. Pr définition de l compcité on peut en extrire un sous-recouvrement fini. Ce recouvrement fini contient des intervlles de l forme U(x) ou des intervlles de l forme V (x). Comme il n y qu un nombre fini d intervlle de l forme U(x) on peut prendre un entier N plus grnd que tous les N x,ε ssociés à ces intervlles. Choisissons lors n N et y dns [ 1, b 1 ]. Si y est dns l un des U(x), lors ϕ n (y) < ε. Sinon, y est dns l un des V (x) et ϕ n (y) < M. Mis l somme des longueurs des intervlles V (x) est inférieure à ε. Pr conséquent, pour n N, 1 Ceci chève l démonstrtion du lemme. 1 ϕ n (y) dy ε(b 1 1 ) + Mε. Preuve du lemme B. Considérons ε > et A un mjornt de l suite des intégrles ϕ n (x) dx. Quitte à considérer ϕ n ϕ 1 on peut toujours considérer que toutes les fonctions ϕ n sont positives. Soit E l ensemble des points x tels que lim ϕ n (x) = +. Pour x dns E, il existe N(x) tel que pour tout n N(x), ϕ n (x) A ε. Soient donc E ε,n l ensemble des points y tels que ϕ n (y) A ε pour tout n N(x), ϕ n (x) A ε. et E ε l ensemble des points x tels qu il existe N(x) tel que Nous venons de voir E E ε et nous vons ussi E ε n E ε,n. L croissnce des ϕ n implique E ε,n E ε,n+1. Enfin, pour chque n, E ε,n est une union d intervlles (là où ϕ n est plus grnde que A ε ) de longueur totle inférieur à ε cr ϕ n est positive et ϕ n (x) dx A. Ainsi, pour chque N, N E ε,n = E ε,n est inclus dns une union d intervlles de n=1 longueur totle ε. Plus exctement, c est une union des intervlles où ϕ n est plus grnde que A ε. L croissnce de l suite (ϕ n) montre que si x est dns un tel intervlle, lors,

18 18 Chpitre 2. Ensembles négligebles et définition de l intégrle de Lebesgue pour tout p 1, ϕ n+p (x) A ε. Ainsi E ε,n est une suite croissnte d union d intervlles disjoints (suf sur leur bord éventuellement), de longueur totle inférieure à ε. L union sur N de ces intervlles est encore de longueur totle inférieure à ε, ce qui montre que E ε est inclus dns une union d intervlles dont l longueur totle n excède ps ε. Cette même union contient E E ε, et ce qui montre que E un ensemble négligeble Les fonctions sommbles L espce E 1 Considérons une suite croissnte de fonctions e.s.c.comme dns le lemme B. On suppose que les intégrles ont un mjornt commun. Il existe donc une fonction ϕ définie seulement presque prtout telle que ϕ n ϕ (presque prtout). On noter E 1 l ensemble des fonctions, définies presque prtout que l on peut obtenir de cette mnière. Pour une telle fonction ϕ, le lemme B nous incite à poser 2 ϕ(x) dx = lim ϕ n (x) dx. (2.1) Ceci n de sens que si nous montrons uprvnt que l limite ne dépend ps du choix de l suite (ϕ n ). Proposition Soient (ϕ n ) et (ψ m ) deux suites de fonctions e.s.c., chcune étnt croissnte et chque suite d intégrle étnt mjorée. Soient ϕ et ψ les limites (définies presque prtout). On suppose que l on pour presque tout x, lors lim ϕ n (x) dx lim m + ψ(x) φ(x). ψ m (x) dx. Démonstrtion. On fixe n et on considère l suite de fonctions h m (x) := mx(ϕ n (x) ψ m (x), ). Il s git d une suite (lorsque m vrie) de fonctions e.s.c.décroissnte et qui converge presque prtout vers (puisque pour presque tout x ϕ n (x) ϕ(x) ψ(x)). Le lemme A montre donc que l on lim m + m, ϕ n ψ m h m et est une fonction e.s.c.et h m (x) dx ϕ n (x) ψ m (x) dx = h m (x) dx =. Notons que pour chque ϕ n (x) dx ψ m (x) dx. Le terme de droite et le terme de guche convergent lorsque m +, on peut donc psser à l limite et l on n, On psse ensuite à l limite en n. ϕ n (x) dx lim m + ψ m (x) dx. 2. Remrquer que l croissnce des ϕ n entrine l croissnce de l suite des intégrles et donc s convergence cr l suite est mjorée.

19 2.2. Intégrle u sens de Lebesgue 19 En ppliqunt l proposition u cs ψ ϕ puis ϕ ψ on montre le corollire suivnt : Corollire Soient ϕ dns E 1 et (ϕ n ) et (ψ m ) deux suites de fonctions e.s.c.comme dns le lemme B qui convergent (presque prtout) vers ϕ. Alors lim Ceci permet donc de définir ϕ n (x) dx = lim m + ϕ(x) dx pr (2.1). ψ m (x) dx. Exercice 7 Montrer que si f et g sont deux fonctions dns E 1, lors mx(f, g) et min(f, g) sont ussi dns E 1. Exemples Nous llons construire un exemple de fonction dns E 1 qui n est ps réglée. Ceci montrer que l espce construit est plus gros que l espce des fonctions pour lesquelles on svit clculer l intégrle de Riemnn. On considère l suite de fonctions f n définies de l mnière suivnte : pour chque n 1, on ordonne les rtionnels de l intervlle [, 1] qui s écrivent sous l forme p q vec q n. Ils sont en nombre fini, et cel fournit une subdivision de l intervlle [, 1]. On définit lors l fonction f n (x) pr { si x n est ps un point de l subdivision, f n (x) = 1 si x est l un des points de l subdivision. Il s git d une suite croissnte de fonctions e.s.c.. Elles vérifient toutes 1 f n (x) dx =. Si x est rtionnel, donc de l forme x = p q, pour tout n q, f n(x) = 1. Au contrire, si x est irrtionnel, pour tout n, f n (x) =. Ainsi, l limite f est l fonction 1I Q, qui n est ps intégrble u sens de Riemnn 3 mis l est u sens que nous venons de définir. Il est ssez fcile de voir que l indictrice d un intervlle borné, qu il soit ouvert ou fermé ou semi-ouvert est sommble. Plus exctement, 1I (c,d) est dns E 1 cr c est une fonction e.s.c.. Fonctions sommbles Définition Une fonction définie presque prtout sur (, b) ser dite sommble si elle s écrit sous l forme f = f 1 f 2, vec f 1 et f 2 dns E 1. On noter E 2 l ensemble des fonctions sommbles (sur (, b)). Pour une telle fonction on pose 3. à fire! f(x) dx = f 1 (x) dx f 2 (x) dx.

20 2 Chpitre 2. Ensembles négligebles et définition de l intégrle de Lebesgue Remrque 4. Comme l fonction nulle est dns E 1, on en déduit que E 2 contient E 1. On dmettr (ou on en fer l preuve en tnt qu exercice) que l vleur de dépend ps du choix des fonctions f 1 et f 4 2. f(x) dx ne Cette définition des fonctions sommbles permet de définir E 2 insi que l intégrle sur E 2. Toutefois, dns l prtique il est très rre qu on utilise cette définition pour montrer qu une fonction est sommble. On verr plus loin d utres fçons pour étblir qu une fonction est dns E 2. Proposition Soient f une fonction sommble et g une fonction presque prtout égle à f. Alors g est sommble, de même intégrle que f. Démonstrtion. On écrit f = f 1 f 2. L fonction f 1 est (modulo un ensemble négligeble) limite croissnte de fonctions e.s.c.(à intégrles bornées). On pose g 1 (x) = f 1 (x) si g(x) = f(x). L fonction g 1 est modulo un ensemble négligeble lite croissnte de l même suite de fonctions e.s.c.. On fit preil vec f 2. Cel montre que l exemple précédent (1I Q ) est très rtificiel cr 1I Q presque prtout! Propriétés complémentires On dmettr 5 ussi l linérité de l intégrle : Proposition Soient f et g deux fonctions sommbles, soient α et β deux réels. Alors α.f + β.g est ussi sommble et α.f(x) + β.g(x) dx = α f(x) dx + β g(x) dx Proposition (Formule de Chsles). Soient c dns (, b) et f sommble sur (, b). Alors f est sommble sur (, c) et (c, b) et f(t) dt = c f(t) dt + c f(t) dt. Démonstrtion. Comme on peut écrire f = f 1 f 2, et comme 1I (,c) f = 1I (,c) f 1 1I (,c) f 2, on peut supposer que f est dns E 1. Si ϕ n est une fonction e.s.c.sur (, b), lors 1I (,c) ϕ n est e.s.c.sur (, c). Si on considère une suite croissnte convergente vers f de fonctions e.s.c., (1I (,c) ϕ n ) est une suite croissnte convergente vers f sur (, c) presque prtout. Enfin, si inférieur à 1I (,c) (ϕ n ϕ )(x) dx est (ϕ n ϕ )(x) dx (cr ϕ n ϕ est positive), donc mjorée si les intégrles ϕ n (x) dx sont mjorées. 4. Indiction. Remrquer que f 1 f 2 = g 1 g 2 s écrit ussi f 1 + g 2 = g 1 + f ou on peut fire l preuve en tnt qu exercice.

21 2.2. Intégrle u sens de Lebesgue 21 Nous terminerons cette prtie vec un résultt étonnnt sur les fonctions sommbles : Proposition Soit f une fonction sommble sur (, b). Alors f l est ussi. Démonstrtion. Posons f + (x) := mx(f(x), ) et f (x) := min(f(x), ). Alors f = f + f. Écrivons f = f 1 f 2 vec f i E 1. L exercice montre que mx(f 1, f 2 ) et min(f 1, f 2 ) sont ussi dns E 1. Or, Donc ce sont des fonctions dns E 2. f + = mx(f 1, f 2 ) f 2 et f = min(f 1, f 2 ) f 2. Remrque 5. Au pssge on ussi montré que f + et f sont sommbles Comprison des intégrles de Riemnn et de Lebesgue : cs d une fonction continue sur un segment Si on se donne une fonction continue sur le segment (intervlle fermé borné) [, b], il est nturel de vouloir comprer l intégrle de Riemnn et celle de Lebesgue. Comme l écriture est l même, f(x) dx, il serit souhitble que l vleur soit l même! Proposition Si f est une fonction continue sur le compct [, b], lors f est sommble et son intégrle de Lebesgue coïncide vec son intégrle de Riemnn. Démonstrtion. Il suffit de prendre une suite croissnte de subdivisions 6 de l intervlle [, b] dont le ps tend vers. À chque rng, on considère l fonction en esclier qui vut sur chque segment de l subdivision le minimum de f sur ce même segment. Cel forme une suite croissnte de fonctions en escliers, donc e.s.c., qui converge uniformément vers f, donc presque prtout! En d utres termes, une fonction continue sur un segment est dns E C est à dire que l subdivision u rng n + 1 rffine celle du rng n

22 22 Chpitre 2. Ensembles négligebles et définition de l intégrle de Lebesgue

23 Chpitre 3 Théorèmes de pssge à l limite 3.1 Interversion d une limite et de l intégrle Nous llons voir deux théorèmes et plusieurs corollires qui permettent d voir l interversion de limites : lim f n(x) dx = lim f n (x) dx Théorème de convergence monotone Théorème (Beppo Lévi). Soit (f n ) une suite de fonctions sommbles croissnte. Si l suite des intégrles vers une fonction f qui est sommble. De plus, f n (x) dx est mjorée, lors (f n (x)) converge presque prtout f(x) dx = lim f n (x) dx. Démonstrtion. On suppose que chque f n est dns l espce E 1. Pour chque n, il existe donc une suite de fonctions e.s.c.(ϕ n,m ) m croissnte de limite f n. Pour chque n on pose ψ n (x) := sup ϕ k,n (x). k n Il fut d bord vérifier que cette définition du sens. Tout d bord, chque f n est bien définie suf sur un ensemble négligeble. L union (en n) de ces ensembles négligebles est encore négligeble. Pour toute l suite on considèrer donc x en dehors de cet ensemble négligeble. Chque ϕ k,n (x) vec k n est mjoré pr f k (x) f n (x) ; insi ψ n (x) est bien défini. Comme ϕ k,n (x) ϕ k,n+1 (x), l suite (ψ n ) est croissnte. Enfin, toutes les intégrles sont mjorées pr une même constnte cr ψ n (x) dx f n (x) dx. Nous pouvons ppliquer le Lemme B et en déduire que (ψ n ) converge presque prtout vers une fonction sommble, f et f(x) dx = lim ψ n (x) dx.

24 24 Chpitre 3. Théorèmes de pssge à l limite Comme nous vons ψ m (x) ϕ n,m (x) (et n m), en fisnt m + pour n fixé, on montre l inéglité (presque prtout) On donc l double inéglité f(x) f n (x). ψ n f n f. Le théorème des gendrmes permet de conclure, ponctuellement f n (x) f(x) et en moyenne f n (x) dx f(x) dx. Dns le cs générl, l démonstrtion est dmise. Corollire Si l intégrle de Riemnn f(x) dx est convergente sur l intervlle (, b) lors f est sommble (u sens de Lebesgue) et les deux intégrles coïncident. Démonstrtion. Considérons le cs = et b = + et f continue (éventuellement juste pr morceux). On pose f n (x) := f(x).1i [,n] (x). L suite est croissnte et chque f n est sommble comme fonction continue définie sur un compct. De plus l intégrle coincide vec n f(x) dx. L limite existe, pr hypothèse, donc l suite des intégrles est bornée. Ainsi f n converge presque prtout vers une fonction f qui est sommble d intégrle l limite des intégrles des f n. L convergence presque prtout des f n montre qu en fit f = f (presque prtout) et l limite des intégrles donne + f(x)dx = n lim f(x) dx = + f(x) dx. Cel montre que f est sommble. Corollire Soit (k n ) une suite de fonctions sommbles. On suppose que l série de terme générl k n (x) dx est convergente. Alors l série converge presque prtout et k n (x) dx = n n k n (x) dx. Démonstrtion. Appliquer le théorème de B. Levi à l série des prties positives et à l série des prties négtives des k n. Appliction. Nous llons montrer l églité + + x e x 1 dx = 1 n. 2 On commence pr remrquer que pour tout x >, e x est dns [, 1[, donc x e x 1 = 1 + xe x = xe x e nx. 1 e x k= k=1

25 3.1. Interversion d une limite et de l intégrle 25 Ensuite on pose k n (x) := xe (n+1)x. Une intégrtion pr prtie montre + k n (x) = 1 (n + 1) 2, et l série 1 n converge. Ainsi 2 n k n(x) converge presque prtout (en fit, on svit n 1 déjà qu elle converge prtout sur ], + [) et + + x e x 1 dx = 1 n. 2 n=1 Exercice 8 On se propose de clculer l intégrle de Guss R e x2 dx. 1/ Soit x dns R. Montrer que l suite définie pr (1 x2 n )n converge vers e x2 et est croissnte à prtir d un certin rng. Pour étblir l croissnce, on pourr fire le développement limité du logrithme du rpport de deux termes successifs de l suite. 2/ On considère l suite de fonctions définies pr f n (x) = (1 x2 n )n 1I [, n] (x). Montrer que l suite est croissnte et converge presque prtout vers x e x2 sur R +. 3/ En déduire l églité e x2 dx = lim f n (x) dx. R + R + 4/ On rppelle que les intégrles de Wllis, définies pr I m = π 2 cos m θ dθ π vérifient I m lorsque m tend vers +. Conclure à l ide d un chngement de 2m vrible dns le clcul de f n (x) dx. R + Corollire Soit f sommble. Si f(x) dx = lors f est nulle presque prtout. Démonstrtion. Si l fonction est nulle presque prtout, lors son intégrle est nulle (d près Prop 2.2.8). Réciproquement, supposons que l intégrle est nulle. On rppelle qu une fonction mesurble est finie presque prtout (puisque c est une différence de fonctions de E 1 et chque élément de E 1 est fini presque prtout). On pplique lors le corollire précédent à k n (x) = f(x). Chque somme prtielle (finie) son intégrle nulle et donc l série est supposée converger presque prtout. Si pour x, f(x), l somme prtielle en x vut n.f(x) qui diverge. Ainsi, f est nulle presque prtout.

26 26 Chpitre 3. Théorèmes de pssge à l limite Théorème de convergence dominée Énoncé du théorème de Lesbesgue Théorème (Lebesgue). Soit (f n ) une suite de fonctions sommbles sur (, b). On suppose que 1. Il existe une fonction sommble g telle que pour tout n, f n g. 2. L suite (f n ) converge (presque prtout) vers une fonction f. Alors f est sommble et f(x) dx = lim f n(x) dx. Démonstrtion. On construit à prtir de l suite (f n ) deux suites monotones de fonctions sommbles qui convergent vers f, l une en croissnt l utre en décroissnte. Première étpe. Soit g 1 l fonction définie pr g 1 (x) = sup f n (x) 1. n 1 Nous ffirmons que c est une fonction sommble. Tout d bord, comme, presque prtout l suite (f n (x)) converge, elle est bornée. Donc g 1 est bien définie (presque prtout). De plus, mx(f 1, f 2 ) = [f 1 f 2 ] + + f 2 et donc c est une fonction sommble (voir l remrque 5). Pr conséquent, pour tout n, φ n := mx(f 1, f 2,..., f n ) est sommble. Enfin, l suite (φ n ) est croissnte (lorsque n croît on ugmente l ensemble sur lequel on prend le mximum) et toutes ces fonctions sont mjorées pr g. Ainsi, pour tout n, ψ n (x) dx g(x) dx. Le théorème de convergence monotone (th ) s pplique, et donc g 1 est une fonction sommble. Plus générlement, on pose g n (x) := sup m f n+m (x). L même démonstrtion permet de voir que chque g n est sommble, que l suite est décroissnte et que toutes les g n sont mjorées pr g. On ussi g n f n. Deuxième étpe. On procède de même vec h n := inf m f n+m. c est une suite croissnte de fonctions sommbles, toutes mjorées pr g et stisfisnt f n h n. 1. Noter que ce sup est un mx presque prtout.

27 3.1. Interversion d une limite et de l intégrle 27 Troisième étpe. On note que g n et f n sont monotones et convergent presque prtout vers f. Ainsi f est sommble et lim g n (x) dx = f(x) dx = lim h n (x) dx. L double inéglité h n f n g n et le théorème des gendrmes montrent que l on lim f n (x) dx = f(x) dx. Exemple. On considère l suite de fonctions définies sur [, 1] pr { } e nx2 f n (x) := min, n. x Chque f n est continue sur (, 1). L suite converge presque prtout vers l fonction nulle (en fit il y convergence simple). On remrque ussi que l on f n = n, donc l convergence n est ps uniforme. En revnche, pour tout x ], 1], f n (x) = f n (x) g(x) := 1 x. L fonction g est sommble sur (, 1). On en déduit donc 1 lim f n (x) dx =. Contre-exemple. Ce théorème ne permet ps de conclure dns tous les cs puisqu il est prfois impossible de trouver une fonction sommble dominnte. L exemple clssique est celui de l bosse glissnte. On considère une fonction continue, nulle en dehors de l intervlle [, 1], positive et d intégrle non nulle (donc l fonction n est ps identiquement nulle!). On pose f n (x) := f(x + n), ce qui signifie qu on propge l bosse en l tténunt d un prmètre 1 n n sur chque intervlle [n, n + 1]. L suite de fonction converge simplement vers puisque pour tout x, à prtir d un certin rng f n (x) =. L convergence donc lieu presque prtout. Cependnt il n existe ps d ppliction dominnte et sommble. En effet, une telle ppliction g devrit vérifier et son intégrle sur R serit donc g(x) = sup f n (x) = n R g(x) dx = n 1 n 1 f(x [x]), [x] f(y) dy = +.

28 28 Chpitre 3. Théorèmes de pssge à l limite Exercice 9 Donner une bosse glissnte qui dmet une ppliction dominnte sommble. Exercice 1 Revenir sur l exercice de l intégrle de Guss. Applictions En guise d ppliction du théorème de convergence dominée de Lebesgue, nous llons voir les théorèmes de continuité et dérivtion sous le signe somme. Tout d bord, nous llons voir qu il existe des fonctions continues qui ne sont ps sommbles sur R +. Proposition Soit f une fonction continue sur [, + [ telle que converge mis ps sommble. + + f(x) dx f(x) dx diverge (u sens des intégrles de Riemnn). Alors f n est Démonstrtion. Fisons une démonstrtion pr l bsurde. Supposons que f est sommble. Alors, l proposition montre que f est sommble. Considérons f n (x) := 1I [,n] (x)f(x). On évidemment f n f. Le théorème de Lebesgue ssure que ( f n ) converge vers une fonction sommble et que l intégrle de cette fonction est l limite des intégrles. Mis l suite ( f n ) converge vers f simplement (donc prtout) et l limite des intégrles diverge. Le même rgument (tronquer) permet de montrer que 1I [,+ [ n est ps sommble. Remrque 6. Ce résultt complète le corollire Pour un intervlle infini et une fonction continue (pr morceux) l sommbilité est équivlente à l bsolue convergence u sens de Riemnn. Théorème Soit f : I (, b) R une fonction de deux vribles. On suppose que 1. pour tout t I l fonction d une vrible x f(t, x) est sommble sur (, b) ; 2. pour presque tout x, l fonction t f(t, x) est continue ; 3. il existe une fonction x g(x)sommble telle que pour tout t, f(t, x) g(x). Alors l fonction t F (t) := f(t, x) dx est continue. Démonstrtion. L continuité de F en t est équivlente à : Pour toute suite (ε n ) qui tend vers, lim F (t + ε n ) = F (t ). Fixons t et une suite (ε n ) tendnt vers. On pose Il fut lors démontrer f n (x) := f(t + ε n, x) et f(x) := f(t, x). lim f n (x) dx = f(x) dx. Les deux dernières hypothèses permettent d ppliquer le théorème de convergence dominée de Lebesgue.

29 3.2. D utres théorèmes de sommbilité-intégrle d une dérivée 29 Le même genre d stuce permet de démontrer le théorème de dérivtion sous le signe somme : Théorème Soit f : I (, b) R une fonction de deux vribles. On suppose que 1. pour tout t I l fonction d une vrible x f(t, x) est sommble sur (, b) ; 2. pour presque tout x, l fonction t f(t, x) est de clsse C 1 ; 3. il existe une fonction x g(x)sommble telle que pour tout t, f(t, x) t g(x). Alors l fonction t F (t) := f(t, x) dx est dérivble et F (t) = On considère une fonction som- Une utre ppliction : une presque primitive. mble f sur (, b). Pour c (, b) on pose F (x) := x c c x f(t) dt si x c, f(t) dt si x c. f (t, x) dx. t Alors l fonction F est continue. Pour le voir, on utilise l formule de Chsles, ce qui permet de supposer c =. L fonction F devient lors F (x) = x f(t) dt = 1I (,x) (t)f(t) dt. L fonction de deux vribles g(x, t) = 1I (,x) (t)f(t) stisfit les hypothèses du théorème de continuité sous les signe (Th 3.1.7). 3.2 D utres théorèmes de sommbilité-intégrle d une dérivée Le Lemme de Ftou Nous terminons ce chpitre vec l énoncé de plusieurs résultts qui permettent de grntir l sommbilité d une fonction limite sns voir pour utnt l interversion des limites. Théorème Soit (f n ) une suite de fonctions sommbles qui converge presque prtout vers f. S il existe une fonction sommble g telle que pour presque tout x, lors f est sommble. Remrque 7. On ne dit ps lim f(x) g(x), f n (t) dt = lim f n(t) dt.

30 3 Chpitre 3. Théorèmes de pssge à l limite Démonstrtion. On pplique le théorème de convergence dominée à l suite de fonctions définies pr g n (x) := min{g(x), mx{f n (x), g(x)}}. Cette suite converge vers f. En effet, notons que g est positive. Si n est grnd, pour x tel que f n (x) converge vers f(x), lors on presque f n (x) f(x). L inéglité f g, signifie g f g, donc mx{f(x), g(x)} = f(x) et min{g(x), mx{f(x), g(x)}} = f(x). Il suffit ensuite de vérifier que pour tout n, g n g. Théorème (Lemme de Ftou). Soit (f n ) une suite de fonctions positives et sommbles qui converge presque prtout vers f. S il existe A tel que pour tout n, lors f est sommble et f(x) dx A. f n (x) dx A, Démonstrtion. Poser ϕ n := inf k n f k. Alors ϕ n ϕ n+1 et ϕ n converge presque prtout vers f. On ussi pour tout n, On utilise le théorème ϕ n (x) dx Remrque 8. Là non plus on ne dit ps illeurs, l hypothèse f n sert à définir ϕ n. f n (x) dx A. lim f n (t) dt = lim f n(t) dt. Pr Exercice 11 Trouver un contre-exemple si on ne suppose plus les fonctions f n positives Intégrle d une dérivée Appliction 1. Une mjortion de l intégrle de l dérivée. On se donne une fonction croissnte continue sur [, 1]. On dmet que ceci implique que f est presque prtout dérivble. Nous llons démontrer que l dérivée est sommble et qu elle vérifie l inéglité suivnte : 1 f (x)dx f(1) f(). (3.1) Pour cel on considère l suite d pplictions définies pr { n(f(x + 1 n f n (x) := ) f(x)) si x 1 1 n si x > 1 1. n Les pplictions f n sont toutes positives cr f est croissnte et l suite converge presque prtout vers f (x).

31 3.2. D utres théorèmes de sommbilité-intégrle d une dérivée 31 x Clculons 1 f n (x) dx. Pour cel on introduit l primitive F de f définie pr F (x) := f(t) dt (ici on prle d intégrle de Riemnn cr f est continue) n f n (x) dx = n = n 1 1 n f(x n )dx n n 1 1 n f(x)dx n f(x)dx f(x)dx = nf (1) nf ( 1 n ) nf (1 1 ) + nf () n = n(f (1) F (1 1 n )) n(f ( 1 n ) F ()) F (1) F () = f(1) f(). Pour utiliser l version du Lemme de Ftou que nous vons, il fut être un peu plus précis. Pour ε > fixé, il existe donc N tel que pour tout n N, 1 f n (x) dx f(1) f() + ε. On pplique lors le lemme de Ftou, qui montre d une prt que f est sommble et d utre prt qu elle vérifie l inéglité 1 f (x) dx f(1) f() + ε. Celle-ci est vrie pour tout ε, on fit donc ε. CQFD Appliction 2. Une églité pour l intégrle de l dérivée. Soit f une ppliction continue dérivble sur [, 1] de dérivée bornée. Alors f est sommble et 1 f (x) dx = f(1) f(). (3.2) Notez que l on ne dit rien sur l continuité de f, donc sur le fit qu elle soit Riemnnintégrble ou non. L preuve utilise le théorème de convergence dominée. On reprend l même suite de fonctions (f n ) que précédemment 2. Le théorème des ccroissements finis montre qu il existe M tel que pour tout n, f n (x) M. Le théorème de convergence monotone s pplique et on donc 1 2. pour obtenir l inéglité 3.1. f (x) dx = 1 lim f n (x) dx = f(1) f().