TRANSFERTS THERMIQUES

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1 Eol ds Ms Ny èm é ϕ ϕ ϕ d d hmqu log () γ X IR UV Vsbl Mo-od Od do élého RANSFERS HERMIQUES y g d y δ Yvs JANNO

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3 bl ds mès NOMENCAURE.... GENERAIES SUR ES RANSFERS DE CHAEUR INRODUCION DEFINIIONS Chm d méu Gd d méu Flu d hlu FORMUAION D UN PROBEME DE RANSFER DE CHAEUR Bl d ég Esso ds flu d ég... 6 RANSFER DE CHAEUR PAR CONDUCION EN REGIME PERMANEN EQUAION DE A CHAEUR RANSFER UNIDIRECIONNE..... Mu sml..... Mu mulouhs Mu omos..... Cyld u log (ub) Cyld u mulouhs Ps om ds sfs dfs RANSFER MUIDIRECIONNE Méhod du off d fom Méhods uméqus ES AIEES..... équo d l b..... Flu u l Effé d u l..... Cho ds ls RANSFER DE CHAEUR PAR CONDUCION EN REGIME VARIABE CONDUCION UNIDIRECIONNEE EN REGIME VARIABE SANS CHANGEMEN D EA Mlu à méu ufom Mlu sm-f sf udol ds ds mlu lmés : lqu, yld, shè Sysèms omls : méhod ds qudôls CONDUCION UNIDIRECIONNEE EN REGIME VARIABE AVEC CHANGEMEN D EA CONDUCION MUIDIRECIONNEE EN REGIME VARIABE héoèm d Vo Num sfomos égls séo d vbls RANSFER DE CHAEUR PAR RAYONNEMEN GENERAIES. DEFINIIONS Nu du yom Défos OIS DU RAYONNEMEN o d mb os hysqus RAYONNEMEN RECIPROQUE DE PUSIEURS SURFACES Rdosé flu du Fu d fom géoméqu Clul ds flu Alog élqu Yvs Jo

4 sfs éhgus d hlu. EMISSION E ABSORPION DES GAZ S d émsso ds gz Ehg hmqu u gz u o RANSFER DE CHAEUR PAR CONVECION RAPPES SUR ANAYSE DIMENSIONNEE Dmsos fodmls P d l méhod Eml d lo Avgs d l ulso ds gdus édus CONVECION SANS CHANGEMEN D EA Géélés. Défos Esso du flu d hlu Clul du flu d hlu ovo foé Clul du flu d hlu ovo ull CONVECION AVEC CHANGEMEN D EA Codso Ebullo INRODUCION AUX ECHANGEURS DE CHAEUR ES ECHANGEURS UBUAIRES SIMPES Géélés. Défos Esso du flu éhgé Effé d u éhgu Nomb d ués d sf Clul d u éhgu ES ECHANGEURS A FAISCEAUX COMPEXES Géélés Ehgu Ehgu Ehgu à ous osés Ehgus fgofqus... 6 BIBIOGRAPHIE... 9 ANNEXES... A.. : PROPRIEES PHYSIQUES DE CERAINS CORPS... A.. : PROPRIEES PHYSIQUES DE AIR E DE EAU... A.. : VAEUR DU COEFFICIEN DE FORME DE CONDUCION... 3 A.. : EFFICACIE DES AIEES... A..3 : EQUAIONS E FONCIONS DE BESSE... 5 A.3. : PRINCIPAES RANSFORMAIONS INEGRAES : APACE, FOURIER, HANKE... 7 A.3. : RANSFORMAION DE APACE INVERSE... 9 A.3.3 : CHOIX DES RANSFORMAIONS INEGRAES POUR DIFFERENES CONFIGURAIONS... A.3. : VAEUR DE A FONCION ERF... 3 A.3.5 : MIIEU SEMI-INFINI AVEC COEFFICIEN DE RANSFER IMPOSE... 3 A.3.6 : MARICES QUADRIPOAIRES POUR DIFFERENES CONFIGURAIONS... A.. : EMISSIVIE DE CERAINS CORPS... 6 A.. : FRACION D ENERGIE F - RAYONNEE PAR UN CORPS NOIR ENRE E... 7 A..3 : FACEURS DE FORME GEOMERIQUE DE RAYONNEMEN... 8 A.. : EPAISSEURS DE GAZ EQUIVAENES VIS-A-VIS DU RAYONNEMEN... 3 Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

5 bl ds mès A.5. : ES EQUAIONS DE CONSERVAION... 3 A.5. : CORREAIONS POUR E CACU DES COEFFICIENS DE RANSFER EN CONVECION FORCEE A.5.3 : CORREAIONS POUR E CACU DES COEFFICIENS DE RANSFER EN CONVECION NAUREE... A.6. : ABAQUES NU F(η) POUR ES ECHANGEURS... A.7 : MEHODES D ESIMAION DE PARAMERES... A.7 : MEHODES D ESIMAION DE PARAMERES... EXERCICES... 8 Yvs Jo 3

6 sfs éhgus d hlu NOMENCAURE Dffusvé hmqu B Nomb d Bo Chlu séfqu D Dmè Essu E Effusvé hmqu f Fu d fom d yom F Coff d fom d oduo Fo Nomb d Fou g Aéléo d l su G Nomb d Gshof h Coff d sf d hlu ovo H Chlu l d hgm d hs I Isé égéqu J Rdosé oguu, um. m Déb mssqu M Em Nu Nomb d Nussl NU Nomb d ués d sf Vbl d l Pémè Q Qué d hlu q Déb lofqu, R Ryo, Réss R Réss d o R Nomb d Ryolds S Suf ms méu u Vss V Volum, y, z Vbls d s s gqus α Coff d bsoo du yom β Coff d dlo ubqu ε Emssvé φ Dsé d flu d hlu Φ sfomé d l du flu d hlu ϕ Flu d hlu Coduvé hmqu, loguu d od µ Vsosé dymqu ν Vsosé émqu η Rdm ou ffé Ω Agl sold ρ Mss volumqu, off d éflo du yom σ Cos d Sf-Bolzm τ Coff d smsso du yom θ sfomé d l d l méu Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

7 Géélés su ls sfs d hlu. GENERAIES SUR ES RANSFERS DE CHAEUR. Ioduo hmodymqu m d évo l qué ol d ég qu u sysèm do éhg v l éu ou ss d u é d équlb à u u. hmqu (ou hmoéqu) s oos d dé quvm (ds l s ds l ms) l évoluo ds gdus ésqus du sysèm, ul l méu, l é d équlb l l é d équlb fl.. Défos.. Chm d méu s sfs d ég so démés à d l évoluo ds l s ds l ms d l méu : f (,y,z,). vlu sé d l méu ou o d l s s u sl lé hm d méu. Nous dsguos du s : - Chm d méu déd du ms : l égm s d m ou so. - Evoluo du hm d méu v l ms : l égm s d vbl ou so... Gd d méu S l o éu ous ls os d l s qu o l mêm méu, o ob u suf d suf sohm. vo d méu ué d loguu s mml l log d l oml à l suf sohm. C vo s ésé l gd d méu : Isohm gd ( ) gd ( ) (.) Fgu. : Isohm gd hmqu Av : vu u d l oml dévé d l méu l log d l oml...3 Flu d hlu hlu s éoul sous l flu d u gd d méu ds hus vs ls bsss méus. qué d hlu sms ué d ms ué d d l suf sohm s lé dsé d flu d hlu : Où S s l d l suf (m ). φ S O ll flu d hlu l qué d hlu sms su l suf S ué d ms : dq d (.) dq ϕ d (.3) Yvs Jo 5

8 sfs hmqus.3 Fomulo d u oblèm d sf d hlu.3. Bl d ég Il fu ou d bod déf u sysèm (S) ss lms ds l s l fu su ébl l v ds dffés flu d hlu qu flu su l é du sysèm qu uv ê : (S) ϕ ϕ s ϕ g ϕ s ϕ s ϕ g ϕ ϕ s flu d hlu soé flu d hlu gééé flu d hlu flu d hlu so ds l sysèm (S) Fgu. : Sysèm bl égéqu O lqu los l d l hmodymqu ou ébl l bl d ég du sysèm (S) : ϕ ϕg ϕs ϕ s (.).3. Esso ds flu d ég Il fu su ébl ls ssos ds dffés flu d ég. E o s ssos ds l bl d ég, o ob l équo dfféll do l ésoluo m d oî l évoluo d l méu hqu o du sysèm..3.. Coduo C s l sf d hlu u s d u mlu oqu, ss délm d mè, sous l flu d u dffé d méu. ogo d l hlu oduo à l éu d u os s ffu slo du mésms dss : u smsso ls vbos ds oms ou moléuls u smsso ls élos lbs. héo d l oduo os su l hyohès d Fou : l dsé d flu s oooll u gd d méu : ϕ S gd ( ) (.5) Ou sous fom lgébqu : ϕ S (.6) Av : ϕ Flu d hlu sms oduo (W) Coduvé hmqu du mlu (W m - C - ) Vbl d s ds l do du flu (m) S A d l so d ssg du flu d hlu (m ) 6 Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

9 Géélés su ls sfs d hlu S > ϕ S Fgu.3 : Shém du sf d hlu oduf O ouv ds l blu. ls vlus d l oduvé hmqu d s méu m ls lus ous. U blu lus oml s doé A... blu. : Coduvé hmqu d s méu Méu (W.m -. C - ) Méu (W.m -. C - ) Ag 9 Plâ,8 Cuv 386 Am,6 Alumum Bos (fullu-ésu),-,3 A dou 5 èg,-,9 A o 5 d oh,38-, Gl,88 d v,35-,5 Béo, Polysyè sé,36-,7 Bqu u, Polyuéh (mouss),3-,5 V, Polysyè udé,8 Eu,6 A,6.3.. Covo C s l sf d hlu u sold u flud, l ég é sms délm du flud. C mésm d sf s ég l lo d Nwo : Flud à S ϕ Fgu. : Shém du sf d hlu ovf ϕ h S ( ) Av : ϕ Flu d hlu sms ovo (W) h Coff d sf d hlu ovo (W m - C - ) méu d suf du sold ( C) méu du flud lo d l suf du sold ( C) S A d l suf d o sold/flud (m ) Rmqu : vlu du off d sf d hlu ovo h s foo d l u du flud, d s méu, d s vss ds ésqus géoméqus d l suf d o sold/flud Ryom C s u sf d ég élomgéqu du sufs (mêm ds l vd). Ds ls oblèms d oduo, o d om l yom u sold l mlu vo ds s ous vos l lo : (.7) Yvs Jo 7

10 sfs hmqus ϕ Mlu vo à ϕ σ ε S ( ) (.8) S Fgu. : Shém du sf d hlu df Av : ϕ Flu d hlu sms yom (W) σ Cos d Sf (5, W m - K - ) ε Fu d émsso d l suf méu d l suf (K) méu du mlu vo l suf (K) S A d l suf (m ).3.. Flu d hlu lé à u déb mssqu osqu u déb mssqu m& d mè ds l sysèm à l méu sso à l méu, o do osdé ds l bl (.5) u flu d hlu osod : ϕ m& ( ) (.9) Av : ϕ Flu d hlu ds l sysèm (W) m& Déb mssqu (g.s - ) Chlu séfqu (J.g -.K - ), méus d é d so (K).3..5 Sog d ég sog d ég ds u os osod à u ugmo d so ég u ous du ms d où (à sso os l bs d hgm d é) : ϕ s ρ V (.) Av : ϕ s Flu d hlu soé (W) ρ Mss volumqu (g m -3 ) V Volum (m 3 ) Chlu séfqu (J g - C - ) méu ( C) ms (s) odu ρv s lé l hmqu du os Gééo d ég Ell v losqu u u fom d ég (hmqu, élqu, méqu, ulé) s ov ég hmqu. O u l é sous l fom : ϕ g q& V (.) Av : ϕ g Flu d ég hmqu gééé (W) q& Dsé volumqu d ég gééé (W m -3 ) V Volum (m 3 ) 8 Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

11 sf d hlu oduo égm m Yvs Jo 9 q z z y y z y ρ RANSFER DE CHAEUR PAR CONDUCION EN REGIME PERMANEN. équo d l hlu Ds s fom moodmsoll, ll dé l sf d hlu udol u vs d u mu l : Fgu. : Bl hmqu su u sysèm élém Cosdéos u sysèm d éssu d ds l do d so d S omlm à l do O. bl d ég su sysèm s é : s d g ϕ ϕ ϕ ϕ Av : S ϕ d d S ϕ q S d g ϕ S d s ρ ϕ E o ds l bl d ég dvs d, ous obos : S q S d S S d ρ So : S q S S ρ E ds l s dmsol, ous obos l équo d l hlu ds l s l lus géél : (.) C équo u s smlf ds u omb d s : ) S l mlu s soo : y z b) S l y s d gééo d ég à l éu du sysèm : q ) S l mlu s homogè, s foo qu d. s hyohèss ) b) ) m d é : ρ z y d d z y ϕ g ϕ s ϕ ϕ d» d

12 sfs hmqus d) S d lus s os (é modéé d méu), ous obos l équo d Posso : (.) o s lé l dffusvé hmqu (m.s - ) qu és l vss d ogo ρ d u flu d hlu à vs u méu. O ouv ds vlus A... ) E égm m, ous obos l équo d l : (.3) P llus, ls hyohèss ), ) d) m d é : - Equo d l hlu oodoés yldqus : θ z q (.) Ds l s d u oblèm à symé yldqu où l méu déd qu d d, l équo (.) u s é sous fom smlfé : - Equo d l hlu oodoés shéqus : q ( ) sθ sθ θ θ s θ ϕ q (.5). sf udol.. Mu sml O s l ds l s où l sf d hlu s udol où l y s d gééo d sog d ég. O osdè u mu d éssu, d oduvé hmqu d gds dmsos svsls do ls fs êms so à ds méus : ϕ ϕ d So svsl S Fgu. : Bl hmqu élém su u mu sml E ffu u bl hmqu su l sysèm (S) osué l h d mu oms ls bssss d, l v : Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

13 sf d hlu oduo égm m ϕ ϕ d d S d d S d d D où d A () A B d Av ls odos u lms : ( ) ( ) D où : ( ) (.6) ofl d méu s do lé. dsé d flu d hlu vs l mu s dédu l d lo : φ, d où : d ( ) φ (.7) lo (.7) u églm s m sous l fom : ( ) S lo d Ohm élé qu déf l sé du ou omm l o d l dffé d ol élqu su l éss élqu. méu î s omm u ol hmqu l m î omm l éss hmqu d u mu l d éssu, d oduvé hmqu d S suf lél S. O s mè do u shém équvl ésé su l fgu.3. ϕ, lo s logu à l ϕ R S Fgu.3 : Shém élqu équvl d u mu sml.. Mu mulouhs C s l s ds mus éls (shémsé su l fgu.) osués d lusus ouhs d méu dffés où o oî qu ls méus f f ds fluds o v ls du fs du mu d suf lél S. E égm m, l flu d hlu s osv los d l vsé du mu s é : ϕ h ( ) S ( ) S ( ) S ( ) ( ) A B 3 C 3 ' S f h S f A B C f f D où : ϕ (.8) A B C h S S S S h S A B C Yvs Jo

14 sfs hmqus f Flud A A B C 3 ϕ ovo off h ovo off h 3 f A B C Flud Fgu. : Shémso ds flu ds méus ds u mu mulouhs O osdéé qu ls os ls ouhs d dffés us é fs qu l s s d dsoué d méu u fs. E élé, om-u d l ugosé ds sufs, u moouh d s ls u ds sufs gd qu obu à l éo d u éss hmqu (l s u sol) lé éss hmqu d o. fomul ééd s é los : ϕ h S A A R S AB f f B R S B BC C S h S C (.9) shém élqu équvl s ésé su l fgu.5. ϕ f f R AB h S S S h S B S A A B R BC C C Fgu.5 : Shém élqu équvl d u mu mulouhs Rmqus : - U éss hmqu u ê déf l bs d sous qu su u ub d flu. - C éss hmqu d o s églgé s l mu omo u o sol ou s ls os so jos soudu...3 Mu omos C s l s l lus oumm oé ds l élé où ls os so s homogès. Cosdéos à d ml u mu d lgu osué d ggloméés u (fgu.6). E suos l sf udol om ds s d symé, o u s m u lul du flu à vs l élém solé su l do d l fgu lul l éss hmqu R équvl d u oo d mu d lgu d huu l l l l 3 uls ls los d ssoo ds ésss sé llèl l lo : R R R R 6 R 7 R 3 R R5 Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

15 sf d hlu oduo égm m Mu ggloméé u 3 l Mlu l Covo h Covo h Mlu l 3 Fgu.6 : Shémso d u mu omos Av : R h l ; R ; R l 3 l ; R l ; R 5 l 3 ; R 6 3 ; R l 7 h l qu u ê shémsé l shém élqu équvl ésé su l fgu.7. R 3 R R R R 6 R 7 R 5 Fgu.7 : Shém élqu équvl du mu omos.. Cyld u log (ub) O osdè u yld u d oduvé hmqu, d yo éu, d yo éu, d loguu, ls méus ds fs s s é svm (f. fgu.8). O suos qu l gd logudl d méu s églgbl dv l gd dl. ϕ d ϕ d Fgu.8 : Shém ds sfs ds u yld u Effuos l bl hmqu du sysèm osué l d yld oms ls yos d : ϕ ϕ d Yvs Jo 3

16 sfs hmqus Av d d ϕ π ϕ d π ( d) d d d So d d d π π ( d) d où C d d d d Av ls odos u lms : ( ) ( ) l D où : ( ) (.) l E lo d l lo d ϕ π, o ob : d ϕ π l ( ) (.) C lo u uss ê ms sous l fom : l shém élqu équvl d l fgu.9. ϕ l ϕ v R ê ésé R π R l π Fgu.9 : Shém élqu équvl d u yld u..5 Cyld u mulouhs Flud f h 3 B A h Flud f ϕ 3 Fgu. : Shém ds sfs ds u yld u mulouhs Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

17 sf d hlu oduo égm m C s l s qu d u ub ouv d u ou lusus ouhs d méu dffés où l o oî qu ls méus f f ds fluds o v ls fs du yld ; h h so ls offs d sf d hlu ovo ls fluds ls fs s s (f. fgu.) E égm m, l flu d hlu ϕ s osv los d l vsé ds dffés ouhs s é : ϕ h ( ) π ( ) π ( ) ( ) A B 3 π f h π 3 3 f 3 l l D où : ϕ h π l 3 l π π A f f B h π 3 (.) qu u ê ésé l shém élqu équvl d l fgu.. ϕ f f h π l π A l 3 π B h π Fgu. : Shém élqu équvl d u yld u mulouhs..6 Ps om ds sfs dfs Ds ls mls és éédmm, l sf d hlu u suf à méu l mlu vo éé osdéé omm um ovf. Ds l s où l flud o v l suf s u gz où l ovo s ull, l sf d hlu yom v ls os (à l méu moy ) ou l suf u dv du mêm od d gdu qu l sf d hlu ovo v l gz (à l méu f ) u o d l suf u lus ê églgé. Il s é d ès l lo (.9) : ϕ σ εs ( ) qu l o u m sous l fom : ϕ h S ( ) h é lé l off d sf df : ( h σ ε )( ) s du sfs, ovf df, s ffu llèl l shém élqu osod s ésé su l fgu.. ϕ h S h S Fgu. : Shém élqu équvl v sfs ovf df smulés ϕ ϕ f ϕ ϕ ϕ Yvs Jo 5

18 sfs hmqus off d sf df h v u ou ds vos lmés ds méus u ou u m lul smlfé ê osdéé omm os. P ml v ε,9, 6 C C, l vlu s h 6,8 W.K -.m -. vlu ohé lulé ou l méu moy moy C s h 5,96 W.K -.m -. S dv égl à 5 C, l vlu d h dv égl à 5,98 W.K -.m -, so u vo d sulm 5 %..3 sf muldol Ds l s où l dffuso d l hlu s ffu s slo u do uqu, du méhods d ésoluo uv ê lqués :.3. Méhod du off d fom Ds ls sysèms bdmsols ou dmsols où v qu du méus lms, o mo qu l flu d hlu u s m sous l fom : ϕ F ( ) (.3) Av : Coduvé hmqu du mlu sé ls sufs S S (W m - C - ) méu d l suf S ( C) méu d l suf S ( C) F Coff d fom (m) off d fom F déd qu d l fom, ds dmsos d l oso lv ds du sufs S S. s vlus d F ou ls ofguos ls lus ous so ésés A... Cs ul : E dmsoll ( fou, hmb fod, è lmsé,...) Méhod : o déou l dffés éléms o lul l flu vs hu d u slo l éso d l fgu.3. Bod D Co Po D Fgu.3 : Méhod d déou d u dmsoll S ls dmsos logudls so gds dv l éssu ds os (suosé os), ls offs d fom ds dffés éléms o ou vlu : F o S / F bod,5 D F o,5 Av : S : A d l o D : oguu d l o ou du bod : Essu ds os 6 Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

19 sf d hlu oduo égm m flu d hlu vs l s é los : ϕ 6 F o F bod 8 F o Av : ι : Coduvé hmqu (équvl s o mulouh) ) d l o (W m - C - ) Τ ι : Dffé d méu ls fs éu éu d l o ( C).3. Méhods uméqus Esso d l équo d l dffés fs Ds l s où l méhod du off d fom u s s lqu (sufs o sohms ml), l fu ésoud l équo d l uméqum. O uls ml u méhod u dffés fs dsés l dom osdéé (s ou l). O ds qu su l s bdmsol, l s dmsol s dédu jou smlm u dmso d s. O osdè u mlu l su lqul o lqué u mllg d s y l qu ésé su l fgu..,j -,j,j,j y,j- y Fgu. : Réso du mllg d l suf s dévés lls d l méu uv s m slo ls fomuls suvs : (, j) (, j), j (, j ) (, j), j y y ; ; (, j) (, j), j (, j) (, j), j y y y (, j) (, j),, j y j, j, j y, y (, j) (, j) (, j) ( ) ( j ) (, j) (, j) ( y ) équo d l bdmsol : y s é los : (, j) (, j) (, j) ( ), E s l o hos y, o ob : (, j) ( j ) (, j) (, j) ( y) (, j) (, j) (, j) (, j ) Yvs Jo 7

20 sfs hmqus Esso ds odos u lms dffés fs s odos u lms mos su u bod u méu d suf s m smlm f l vlu d l méu (,j) à l vlu mosé ou ou oul (,j) és u o d bod. s odos u lms v sf ovf ou flu mosé s m d l mè suv : Bod lg -,j ϕ ϕ 3,j,j ϕ ϕ ϕ h l 3 ou : ϕ ϕ ϕ φl 3 ( ) ϕ,j- Fgu.5 : Réso ds flu éléms su u bod lg U bl hmqu lqué à l suf gs (gl d ôés /, f. fgu.5)) odu u ésul suv om u ds fomuls ébls éédmm : Dsé d flu φ ( W.m - (, j) (, j ) (, j) φ ) mosé : (, j) ( ) (, j ) (, j), j B Coff d ovo mosé : (, j) B Où h B s l omb d Bo Co éu -,j φ,j,j- φ Fgu.6 : Réso ds flu éléms su u o éu U bl hmqu lqué à l suf gs (f. fgu.6) odu u ésul suv om-u ds fomuls ébls éédmm : Dsé d flu φ ( W.m - (, j) (, j) φ ) mosé : (, j) Coff d ovo mosé : (, j) (, j) (, j ) B B 8 Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

21 sf d hlu oduo égm m Co éu,j -,j,j φ,j,j- Fgu.7 : Réso ds flu éléms su u o éu U bl hmqu lqué à l suf gs (f. fgu.7) odu u ésul suv om-u ds fomuls ébls éédmm : Dsé d flu φ ( W.m - (, j) (, j ) (, j) (, j) φ ) mosé : (, j) Coff d ovo mosé : (, j) Méhod d ésoluo uméqu (, j) (, j ) (, j) (, j) 3 B B So à ésoud l équo d l su u dom l (D) lmé u oou (C). O éls u mllg du sysèm v u s géél dqu ds ls du dos du l. O ff à hqu o du dom (D) u vlu l d l méu : - Egl à l méu mosé su ls os du oou où l odo lm mos u méu. - Ab llus ms l lus «éls» ossbl. ésoluo s ffu l méhod év d Guss-Sdl. O ffu ds éos sussvs oss à ml l vlu d l méu hqu œud du mllg l vlu lulé l équo u dffés fs qu lu s ssoé. U éo oss à ffu u blyg oml d ous ls ouds, lg ès lg d guh à do ou hqu lg ml. s vlus lulés so mmédm ss om ou l lul d l vlu d l méu u os d od suéu (os sués à do -dssous ds l mod d blyg oosé). Cè d ovg O u ml ê l lul dès qu l vo l lus gd d (,j) u ous d u éo s féu à u vlu ε doé. Rmqus - O lqu uu lul su ls os du oou où l méu s mosé. - vlu d l méu s gé ds u blu (,j), o ou uls u u blu (,j) do ls vlus dquo s l o d oodoés (, j y) u dom (D) l y d équo u dffés fs qu s y lqu. - O u élé l ovg lqu u off d sulo R ( < R <, omum oh d,7) u lul d (,j) d l mè suv (s o lqu l od d blyg oosé): (, j) ( R) (, j) R (, j) (, j) (, j) (, j ) - O u o qu l dséso dé v ès m à smul u mlu bdmsol oduu d l élé u ésu d ésss l hqu œud à ss voss. Yvs Jo 9

22 sfs hmqus. s ls.. équo d l b oblèm d l b sé shéms l oblèm qu mo du fodssm d u sold ds ls. Cosdéos u b d so os (éssu lgu l) sé sufs à méu bg ds u flud à méu. Flud à. Flud à. Fgu.8 : Réso d u b sé shém smlfé Pémè So svsl S symé du oblèm mo l s d u êmum d l méu u mlu d l b qu m d smlf l géomé d osdé qu u dm-b v odo d flu ul à l émé sué o v l mlu à (f fgu.8). b s suosé d so suffsmm fbl ou qu l y s d vo d méu ds u mêm so do à u ds d l sm ds l o à. Effuos u bl d ég su l sysèm osué l oo d b oms ls bssss d (ous os l hyohès du égm m ous églgos l yom) : Flud à. ϕ ϕ d d Av : ϕ Fgu.9 : Réso ds flu éléms su u b sé Flu d hlu sms oduo à l bsss ϕ ϕ d S d d ϕ d Flu d hlu sms oduo à l bsss d ϕ S d d ϕ Flu d hlu sms ovo à l éhé d l b d ϕ d ( ) h [ ] bl d ég s é : ϕ ϕ d ϕ d d So : S S h d [ ( ) ] d d d S S so déds d l bsss, ous obos : Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

23 sf d hlu oduo égm m d d S d d d d h [ ( ) ] Do () s soluo d l équo dfféll suv lé équo d l b : d d h S ( ) (.).. Flu u l U l s u mlu bo oduu d l hlu do u dmso s gd dv ls us, ml : b d éssu d loguu, v <<. Ells so ulsés à hqu fos qu ds dsés d flu élvés so à sm ds u ombm édu : fodssm d omoss éloqus, fodssm d u mou, O ébl l équo dfféll véfé l méu () d u l sé ds u mu à l méu bg ds u flud à l méu : d h ( ) d S h E os : θ ll u o s é : d θ θ S d S l so S s os, s u équo dfféll du d od à offs oss do l soluo géél s d l fom : θ ( ) B ( ) ou θ A h ( ) B sh ( ) A... Al gul logu d so os Ds l s d l l logu, o ém l hyohès qu : (), où s l loguu d l l. s odos u lms s év los : : θ() - () : θ() (b) (b) A () B - ( ) D où : ( ) (.5) flu dssé su ou l suf d l l u ê lulé égo du flu d ovo lol : ϕ h [ ( ) ] d Ou lus flm mqu qu ds l s du égm m, s l mêm qu lu sms oduo à l bs d l l so : ϕ ϕ ( ) ϕ S d S d ( ) ( ) ( ) v h S Yvs Jo

24 sfs hmqus ( ) D où : ϕ S (.6) h... Al gul d so os solé à l émé soluo géél obu s dqu u s ééd, so ls odos u lms qu dffé : () d S d (osvo du flu d hlu ) ( ) osh[ ( ) ] osh( ) h( ) sh( ) soluo s é : osh( ) (.7) E l flu ol dssé l l ou sso : ϕ ( )( ) S h (.8) Rmqu : s l éssu d l l s fbl dv s lgu l, h...3 Al gul d so os v sf d hlu à l émé soluo géél obu s dqu u s.3.., so ls odos u lms qu dffé : () d S d h S [ ( ) ] (osvo du flu d hlu ) h osh [ ( ) ] sh [ ( ) ] ( ) soluo s é : (.9) h osh ( ) sh ( ) E l flu ol dssé l l ou sso : ( ) ϕ S h h ( ) h h ( ) (.) Rmqu : Ds l s où l éssu d l l s fbl dv s lgu l ( qu s géél véfé) : h h. s ls é géél élsés méu bo oduu ( élvé) y u éssu Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

25 sf d hlu oduo égm m fbl, l hyohès h << s l lus souv véfé, ls équos (.9) (.) s mè los u ssos lus smls ds équos (.7) (.8) qu so lls ulsés ds l qu (f. A..).... Al ul d so gul Cs d ls dsés à mélo l sf d hlu l o d u ub l mlu mb (ml : ubs d du d uomobl) uv ê shémsés d l mè suv : Fgu. : Shém d u l ul Effuos u bl hmqu su l élém d l oms ls yos d : bl d ég s é (f. fgu.): ϕ ϕ d ϕ Av : ϕ Flu d hlu sms oduo u yo d d ϕ π d d d d ϕ d Flu d hlu sms oduo u yo d ϕ π ( d) ϕ Flu d hlu sms ovo su l suf [ ] d l l d ϕ { h π d ( ) } S s déd du yo, ous obos : d d ( d) d d d d h [ ( ) ] ϕ ϕ ϕ d d Fgu. : Réso ds flu éléms su u l ul Yvs Jo 3

26 sfs hmqus Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny η ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K I K I K I I K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K I K I I K K I π ϕ So o : θ θ θ h d d d d où θ C s u équo d Bssl (f. A..3) do l soluo s é sous l fom : ( ) ( ) K C I C θ où h C C é démés ls odos u lms : E : θ E : ) ( d d ) ( h θ θ (s l lus géél : sf d hlu à l émé) O dédu ls vlus d C d C : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] K I K I h K I K I K h K C ( ) ( ) K I C C Ds l s où l o u f l hyohès du flu ul à l émé : h <<, o bou à l sso smlfé suv : (.) E l flu ol dssé l l los ou sso : (.)..3 Effé d u l Ell déf ls foms d u l om l flu dssé à lu qu s dssé ds u l d mêms dmsos ms do l méu s ufom égl à ll d l bs (oduvé hmqu, s d éss hmqu d oduo do s d hu d méu ds l l). flu éhgé l dél s : ( ) ϕ h m ou u l gul d émè d loguu ( )( ) π ϕ h m ou u l ul d yo d bs d yo. ffé d l l s é do : m ϕ ϕ η Nous dédusos ls los suvs : Al gul logu ( ) : (.3)

27 sf d hlu oduo égm m ( ) Al gul solé à l émé : h (.) η Al gul v sf d hlu à l émé : Av : h S h h ( ) η h h ( ) (.5) Al ul d so gul : η h ( ) K ( ) K( ) I( ) ( ) K ( ) I ( ) K ( ) I I (.6) Av : h Ds l s d géomés lus omls (ls à so vbl, ls gulls ), l s ds fomuls ou ds bqus (f. A..) m d dém l ffé ds ls su l flu d hlu ϕ l l gâ à l lo : ϕ η ϕm. Rmqu : Réss hmqu d u l Ds los ϕ η ϕ h S ( ) ϕm m o dédu : Où S s l suf d éhg l l l flud. ϕ η h S éss hmqu globl l bs d l l à l méu l flud à l méu s é do : R η h S (.7).. Cho ds ls s ls so ulsés losqu l fu u dsé d flu mo ds u ombm édu, mls : du d uomobl, d mou fod, évou d lmsu, D u fço géél, l usg ds ls s : - u ul ou ls lquds h s gd, - ul ds l s ds gz h s fbl. Ds ls éos ohés so mllus qu ds ls lus gds sés ms o s lmé ls s d hgs (lls ugm s l o dmu o l ém ds ls). l s d u lus fom qu s oduvé hmqu s élvé. ho ds ls s los u omoms l oû, l ombm, ls s d hg l sf d hlu. Yvs Jo 5

28 sfs hmqus 6 Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

29 sf d hlu oduo égm vbl 3 RANSFER DE CHAEUR PAR CONDUCION EN REGIME VARIABE 3. Coduo udoll égm vbl ss hgm d é 3.. Mlu à méu ufom O v éud l sf d hlu vs u mlu à méu ufom, qu s o odo l s éss qu l y u gd hmqu ou qu l s odus u sf d hlu. C omo du mlu à méu ufom u émos ê jusfé ds s s qu l o v és. So ml l m d u bll méllqu qu oss à mmg u bll lm à l méu ds u b à méu mu os. S l o suos qu l méu à l éu d l bll s ufom, qu s d u lus v qu s dmso s s oduvé hmqu élvé, o u é l bl hmqu d bll du ss d : d h S( ) ρ V d so : d h S ρ V h S D où : (3.) ρ V O mqu qu l goum sysèm : ρ V h S s homogè à u ms, o l ll τ l os d ms du ρ V τ h S (3.) C gdu s fodml ds l msu où ll do l od d gdu d ms du héomè hysqu, o ff : v : τ,37 Fgu 3. : Evoluo d l méu d u mlu à méu ufom τ Il s oujous éss hysqu d és ls ésuls sous fom dmsoll, du ombs dmsols so ulèm mo égm vbl : l - omb d Bo : Réss hmqu B omb d Bo S, l s l dmso Réss hmqu hs ésqu du mlu, l ou u shè. So : h l B (3.3) Yvs Jo 7

30 sfs hmqus hyohès d ufomé d l méu s jusfé losqu B <,. - omb d Fou : Fo (3.) l omb d Fou és l ééo d l hlu égm vbl. défo d s du ombs m d é l sso d l méu d l bll sous l fom : ( B Fo ) (3.5) oss du odu ds ombs d Bo d Fou m d dém l évoluo d l méu d l shè. O osdè géélm qu u sysèm l qu B <, u ê osdéé omm é à méu ufom, l è B <, s lé l è d «ommodo hmqu». 3.. Mlu sm-f U mlu sm-f s u o d éssu suffsmm gd ou qu l ubo lqué su u f so s ss l u f. U l sysèm és l évoluo d u mu d éssu f d u ms suffsmm ou ou l ubo éé su u f s l u f (v ou l ms qu l méu d l u f s vé) méu os mosé suf Méhod : sfomé égl d l su l ms vso ls bls. mlu sm-f s lm à l méu ufom. O mos bulm l méu su s suf, odo lm s lé odo d Dhl : (,) (,) Fgu 3. : Shém du mlu sm-f v méu d suf mosé équo d l hlu s é : () Av ls odos u lms : (, ) (b) (, ) () m (, ) (d) O ffu l hgm d vbl suv : D où :, équo () u los s é : 8 Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

31 sf d hlu oduo égm vbl E ls odos u lms dv : (, ) (,) (b) (, ) () m (,) (d) sfomé d l d (,) o u ms s é (f. A.3. su ls sfomos égls) : θ(, ) { () } ( ) (, ) d sfomé d l d l équo () odu à : [ θ (,) ] d θ d f v (,) d θ C équo s do d l fom : q θ v q d q q D où : θ (, ) A B, l méu gd u vlu f qud d vs l f do B, ous dédusos qu θ (, ) A q sfomé d l d l équo () odu à : q θ (, ) d où A θ ( ) ulso ds bls d l sfomé d l vs ésés A.3. odu u ésul suv : u Av : f ( u) ( )d., l foo f s lé l foo u (f. vlus A.3.) π (3.6) 3... Flu mosé Méhod : sfomé égl d l su l ms vso ls bls. Cosdéos l mêm ofguo ms mos bulm u dsé d flu d hlu à l suf du mlu sm-f, odo lm s lé odo d Num. Mlu mb à φ (, ) Mlu sm-f (, ) Fgu 3.3 : Shém du mlu sm-f v flu sufqu mosé équo d l hlu s é : () (, ) (b) Av ls odos u lms : (, ) () (, ) φ (d) Yvs Jo 9

32 sfs hmqus C dè odo du l osvo du flu d hlu u vu d l suf du mlu smf. O ffu l hgm d vbl suv : D où :, équo () u los s é : α (,) (b) E ls odos u lms dv (,) () (, ) φ (d) sfomé d l d l équo () odu à : [ θ (,) ] q q D où : ( ) d d θ v (,) θ, A B, l méu gd u vlu f qud d vs l f do θ, A B, ous dédusos qu ( ) q φ dθ sfomé d l d l équo (d) s é : ( ) d D où : A φ θ(, ) q φ q q ulso ds bls d l sfomé d l vs ésés A.3. odu u ésul suv : (, ) (, ) φ f (3.7) [ ], foo s bulé A. 3.. π Av : f( u) ( u ) u f ( u) Coff d sf mosé Méhod : sfomé égl d l su l ms vso ls bls. O osdè l s où l off d sf d hlu ovo h l mlu sm-f l mlu mb s mosé, odo lm s lé odo d Nwo : équo d l hlu s é : () (, ) Mlu mb à [ (, ) ] h (, ) Mlu sm-f Fgu 3. : Shém du mlu sm-f v off d sf ovf mosé 3 Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

33 sf d hlu oduo égm vbl (, ) (b) Av ls odos u lms : (, ) () (, ) h [ (, ) ] (d) O ffu l hgm d vbl suv : D où :, équo () u los s é : (,) (b) s odos u lms dv : (,) () (, ) h [ (, ) ( )] (d) sfomé d l d l équo () odu à : [ θ (,) ] q q D où : ( ) θ, A B méu gd u vlu f qud d vs l f do B ( ) q d d θ θ, A sfomé d l d l équo (d) s é : θ (, ) h θ(, ) h ( d h ( ) So : A q h A d où : A q h ( ) h q d v (,) θ(, ) l ( ) où l h ( q l ) ulso ds bls d l sfomé d l vs ésés A.3. odu u ésul suv : ) f h h f h (3.8) Pou u lul ohé, o ouv A.3.5 u bqu és ghqum fomul méu susoïdl mosé suf, égm éodqu ébl Méhod : Rhh d u soluo d mêm féqu qu l o (, ) (, ) os () Mlu sm-f Fgu 3.5 : Shém du mlu sm-f v méu susoïdl mosé suf Yvs Jo 3

34 sfs hmqus équo d l hlu s é : () Av ls odos u lms : (, ) os() (b) (,) () O hh u soluo égm ébl ou lqull l hm d méu du mlu évolu omm : (, ) ( ) f ( ) oblèm é lé, o osdè so l éll so l mg d l soluo slo qu l méu v omm os () ou s (). foo oml f s soluo d : d f f v f () d ( ) f A B v ( ) foo f do s f qud do B f () î A. D où : (, ) ( ) So l éll d l soluo : ( ), os (3.9) Rmqus : - mlud ds osllos déoî dm losqu o s élog d l f. - mlud ds osllos déoî églm dm qud l féqu d l o ugm : u o d féqu élvé lqué à l suf d u sold modf s méu qu su u fbl ofodu. - E ls méus d os dss svm d d l suf, l s u déhsg égl à ( ). oss d l msu d l méu u s du mlu du os sués à ds dss ous d l suf u m d évlu l dffusvé hmqu Co busqu du mlu sm-fs Méhod : sfomé égl d l su l ms vso ls bls. (, ) Mlu sm-f Mlu sm-f (, ) Fgu 3.6 : Shém du o busqu du mlu sm-fs 3 Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

35 sf d hlu oduo égm vbl O osdè du mlu sm-fs lm à du méus ufoms dffés. A l s l, o l ls du mlu o l o hh l évoluo d l méu u s ds du mlu. équo d l hlu s é ou hu ds du mlu : (,) (,) () (,) (,) (b) og ds bssss s s u o d o ls du mlu. s odos u lms s év : (, ) () (, ) (d) (,) (,) () (, ) (,) (f) O ffu ls hgms d vbl suvs : s équos () (b) uv los s é : (,), () E ls odos u lms dv : (,), (d) (, ) (, ) () (,) (,) (f) s sfomés d l ds équos () (b) odus omm ds ls s ééds à ds q q soluos du y : θ (, ) A B θ (, ) A q q B méu gd u vlu f qud d vs ± do A B, ous dédusos qu : q θ (, ) B θ (, ) A s sfomés d l ds équos () (f) s év los : B q A q () q B A (f) ésoluo d sysèm lé m d lul ls vlus d B d A : Où E E ( ) ( ) B E E ρ s l ffusvé hmqu du mlu. E A E E O dédu ls vlus d θ d θ : E ( ) q θ (, ) θ (, ) ( E E ) ( ) ( E E ) E q ulso ds bls d l sfomé d l vs ésés A.3. odu u ésul suv : Yvs Jo 33

36 sfs hmqus (, ) (, ) E E E E E E f f (3.) Poéé d l méu d o : ll s lul : ( ) (, ) (, ) f (). D où : E E (3.) E E sh qu O mqu qu l méu d o ls du mlu s os d ou l dué du sf d hlu. C s l mlu qu l lus gd ffusvé hmqu qu mos l méu d o. Alo : Sso hmqu los du o d l u v u mél ou u sol, ho d méu mélo l ofo hmqu Co busqu du mlu sm-fs v éss d o Méhod : sfomé égl d l su l ms vso ls bls. O osdè du mlu sm-fs lm à du méus ufoms dffés. A l s l, o l ls du mlu o l o hh l évoluo d l méu u s ds du mlu. o ls du mlu s mf l o do om d u éss d o R /h ( C.W -.m - ) à l f. Réss d o (, ) Mlu sm-f Mlu sm-f (, ) Fgu 3.7 : Shém du o du mlu sm-fs v éss à l f équo d l hlu s é ou hu ds du mlu : (,) (,) () (, ) (, ) (b) og ds bssss s s u o d o ls du mlu. s odos u lms s év : (,) (,) () (, ) h [ (, ) (, ) ] (d) 3 Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

37 sf d hlu oduo égm vbl O ffu ls hgms d vbl suvs : s équos () (b) uv los s é : E ls odos u lms dv : (, ) (, ) () (, ) h [ (, ) (, ) ] (d) s sfomés d l ds équos () (b) odus omm ds l s ééd à ds soluos q du y : θ (, ) A θ (, ) A q s sfomés d l ds équos () (d) s év los : A q A q () ( ) h A q h ( A A ) (d) ésoluo d sysèm lé m d ébl l sso d A d A : h h ( ) ( ) A A h E h E q E q E O dédu : q θ (, ) v h ( ) θ (, ) (q (q b q b ) ) v h ( ) h b b h E E E E ulso ds bls d l sfomé d l vs ésés A.3. odu u ésul suv : (, ) (, ) E E E E E E f (b b f (b b ) f b ) f b (3.) 3..3 sf udol ds ds mlu lmés : lqu, yld, shè Plqu f O osdè l s d u lqu d éssu d dmsos léls suffsmm gds ou qu l o uss osdé qu l sf d hlu s udol. éud d s m d llus ls dffés méhods ulsés ou ésoud l équo d l hlu moodmsoll égm vbl. Yvs Jo 35

38 sfs hmqus s : Plqu v méu os mosé suf (,) (-, ) (, ) - Fgu 3.8 : Shém d u lqu v méu mosé suf è méhod : sfomé d l, dévlom sé vso m à m ls bls. équo d l hlu s é : () Av ls odos u lms : (, ) (b) (, ) () (, ) (d) O ffu l hgm d vbl suv : d où : équo () u los s é : E ls odos u lms dv : sfomé d l d (,) (,) (b) (, ) () (, ) o u ms s é : θ(, ) { () } sfomé d l d l équo () odu à : [ θ (,) ] d θ C équo s do d l fom : q θ d D où : θ (, ) A osh(q) Bsh(q) d d θ v q (d) ( ) (, ) d v (,) dθ sfomé d l d l équo (d) odu à : ( ) d où B θ A osh (q) d sfomé d l d l équo () odu à : (, ) θ d où A osh(q) θ (, ) ( ) osh(q) osh(q) q ( ) osh(q) osh(q) Nous ouvos uls u dévlom sé d ou é θ(,) sous l fom : q q q q( ) q( ) q θ (, ) [ ] ( ) q 36 Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

39 sf d hlu oduo égm vbl θ q ( ) ( ) ( ) [ ] q ( ), ( ) [ ] sfomo vs d l m à m (oéé d léé) odu à : ( ) ( ) ( ) f ( ) f (3.3) C soluo ovg dm ou ls fbls vlus d. èm méhod : Déomoso d l méu u odu d foos suoso ds soluos. (,) (, ) (, ) Fgu 3.9 : Shém d u lqu v méu mosé suf équo d l hlu s é : () Av ls odos u lms : (, ) (b) (, ) (, ) () O ffu l hgm d vbl suv : équo () u los s é : E ls odos u lms dv : (,) (b) (, ) (, ) () O u uss osdé so d symé u lqu d éssu u odo d flu (, ) ul so ou l sod odo lm : (d) O ffu u déomoso d l méu u odu d foos sous l fom : (,) X()Y(). équo d l hlu odu à l équo suv : " X Y XY ' ou : X" X Y' Y Où s u os ls du foos X Y déd l u d l u d. Nous dédusos : X" Y' X X A Y Y C os( ) B s( ) E (, ) [ A os( ) Bs( ) ] odo lm (, ) s é los : A d où : (, ) Bs( ), ls foos ( ) s ( ) ψ so ls foos os du sysèm. Yvs Jo 37

40 sfs hmqus (, ) odo lm ou ou s é los : B os ( ) π C équo dm u fé d soluos qu l o ll ls vlus os : ( ) v v d à l f. héoèm d suoso ds soluos m d é l soluo géél d () sous l fom : ( ) ( ) (, ) D s méhod géél d ésoluo s l suv : s ms D so démés lul (,) ψ m ( )d d du mès : - E mlç (,) so sso dédu ds doés du sysèm à l é l : (,) ( ) (g) - E mlç (,) (,) D s( ), o ob l somm f : (,) d D ψ ( ) ψ m ( m) d O mo qu s m los ψ ( ) ψ m ( m ) d (ohogolé ds foos os) do : ( ), d D ψ m ( m) d (h) O dém l vlu ds oss D m égl ls ssos (g) (h). Alquos méhod à l ml é : O : (,) ψ m ( ) d ( ) s( ) d : (,) ψ m ( m) d D m s ( m ) d D m s ( m ) d D m ( ) ( ) O dédu : D m ( ) π flm : (, ) (, ) π π s ( ) ( ) π (3.) C soluo ovg ou u omb d ms ou ls vlus élvés d (l m m u suff ou élvé). Rmqu : Ds l s d l ulso ds oodoés yldqus o lul luô l égl : (,) ψ m ( ) d ou dém l vlu ds oss D m. U u méhod mos géél oss à é l odo lm (,) sous l fom : π (,) D s( ) à uls su u dévlom sé d Fou d l odo l su l dom. E ff, u foo f déf su [,] u s é sous fom d u sé d Fou sus : 38 Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

41 sf d hlu oduo égm vbl π f () b s v b f () s d π Nous ouvos ffu u dévlom sé d Fou sus d f() ( - ) su l vll [,] : πu π πu π ( ) s dus ( ) os s π ( ) ( ) ( ) [ ( ) π π os π ] s s π ( ) π ( ) ( ) π s π ( ) P dfo, ous dédusos : D, ous ouvos l ésul ébl éédmm. π ( ) 3 èm méhod : Ulso d u sfomo égl su l vbl d s. P d l ulso d u sfomé égl à l ésoluo d l équo d l hlu : O lqu à l équo d l hlu u équos ésuls ds odos u lms u sfomo égl m d ob u ouvll équo dfféll do l ésoluo (lus sé) odu à l sso d l méu θ ds l s sfomé. O lqu su à θ l sfomo vs ou ob l sso d l méu ds l s él. ho d l sfomo égl l mu dé déd d l ofguo ds odos u lms. S l méu déd d l vbl d s, o hos u sfomo du y suv : ( ) w( ) (, ) (, ) d où D s l dom d défo d l méu ( ) θ D, s u foo o soluo du sysèm fomé l équo d l hlu ls odos u lms ou u omb f d vlus (,,..). équo do ls so soluos s lé l équo sd. foo w() s hos os égl à géomé gul égl à géomé yldqu. fomul géél d vso s los l suv : (, ) N (, ) ( ) N( ) s lé l om d l foo o (,). θ [ ] w( ) d ( ) v : N( ) (, ) O ouv A.3. l défo ls oéés ds sfomos ls lus ulsés : l, Fou Hl. O ouv églm A.3.3 u blu do ls foos os lus oms, ls équos sds ls vlus os ou ls s d fgu ls lus ous. O lqu méhod u s d fgu shémsé su l fgu 3.9. D équo d l hlu s é : () Av ls odos u lms : (, ) (b) (, ) (, ) () O ffu l hgm d vbl suv : Yvs Jo 39

42 sfs hmqus π Slo l A.3.3, l foo o s (,) s, o lqu do u sfomo (f l mlu s f) d Fou sus (f. A..) à l équo () : F s dθ [ ] s ( ) ( ) d [ ( ) ] d ( ) s π θ ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) s π π θ v ( ) ( ) d où : π ( ) θ s soluo géél d équo s é : θ ( ) odo lm (, ) odu à : θ ( ) sfomé vs m d lul (,) : (, ) ( ) (, ) s s d ( ) [ ( ) ] π A π ( ) [ ( ) ] π [ ] π s π π ( ) ( ) π [ ] π s π π U dévlom d l foo os égl à sé d sus m d ouv l ésul d l èm méhod. èm méhod : sfomo d l, ésoluo vso u méhod uméqu (Shfs ou sousogmm Ivl sous Mlb : h:// ). Nous vos moé lqu l è méhod qu l sfomé d l méu (,) s é : (, ) ( ) osh(q) osh(q) osh( q) osh( q) θ v q méu (,) u s dédu uls Ivl ou lqu l méhod d Shfs ou ouv l sfomé d l vs d θ(,) : (, ) l() N V θ, j l() j j (3.5) U omb d ms N s suffs ou ob u éso ssfs. s vlus ds offs V j osods so doés A.3.. Comso ds méhods : méhod m d v l lus smlm à u vlu d (,) s l èm méhod qu fou oufos qu u soluo uméqu ohé d l soluo qu s s à l b d sblés uméqus ds s s ès uls. U omb d ms N ds l fomul (3.5) m d ob u éso ssfs. V su od d dffulé oss l è méhod us l èm l 3 èm méhod. m m d l fomul (3.3) és b l méu u ms ous los qu l m m d l fomul (3.) és b l méu u ms logs. (, ) O ouv à d lluso su l fgu 3. l éso d l méu édu à,5 m du bod d u lqu d éssu m ou u méu d dffusvé -6 m.s - Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

43 sf d hlu oduo égm vbl (3.5) v N (3.3) v m (3.) v m 3 Fgu 3. : méu édu ds u lqu lulé ls dffés los èm s : Plqu v flu mosé φ φ (,) - Fgu 3. : Shémso d u lqu v flu d hlu mosé suf équo d l hlu s é : () Av ls odos u lms : (, ) (b) () φ (d) E uls ls du mès méhods du gh ééd, o v u ésuls suvs : φ φ 3 ρ 6 π ( ) π π os (3.6) φ ( ) ( ) f f (3.7) Cs fomuls so omls à lul lls omo u somm f d ms. lo d l è méhod u s d l lqu v méu d suf mosé ms d mo qu l sfomé d l d l méu (,) s év : θ(,) A osh(q). (, ) O l odo lm : φ Yvs Jo

44 sfs hmqus sfomé d l d équo odu à : A q sh( q ) φ D où : A q sh ( q ) φ osh( q ) θ (, ) E : q sh( q ) (3.8) φ méu (,) u s dédu flm lqu u méhod uméqu (Ivl ou Shfs) ou ouv l sfomé d l vs d θ(,). O bou flm méhod à u soluo buou lus sml à lul qu ll doé ls fomuls (3.6) ou (3.7). 3èm s : Plqu v off d sf mosé φ h [ (, ) ] (,) φ h [ (, ) ] - Fgu 3. : Shémso d u lqu v off d sf mosé suf équo d l hlu s é : () Av ls odos u lms : (, ) (b) () h [ (,) ] O ffu u déomoso d l méu u odu d foos sous l fom : (, ) (, ) X()Y(). équo d l hlu odu à l équo suv : " ' X Y XY ou : X" Y' X Y Où s u os ls du foos X Y déd l u d l u d. Nous dédusos : (d) X" Y' X X A Y Y C os( ) B s( ) E (, ) [ A os( ) Bs( ) ] odo lm (, ) s é los : B Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

45 sf d hlu oduo égm vbl (, ) A ( ) s( ) d où : (, ) A os ( ), ls foos os du sysèm so : ψ ( ) os ( ). (, ) h odo lm h (, ) ou ou s é los : ( ) C équo dm u fé d soluos (vlus os) soluo géél d () s é sous l fom d u ombso lé ds soluos ulès : (, ) D os ( ) ( ) O d u : (,) ψ m ( ) d ( ) os( ) d s ( ) E d u : os ( ) (,) ψ m ( m ) d D m os ( m ) d D m d D m h ( ) D m so : (,) ψ m ( m ) d Dm ( ) h h s ( ) O dédu : D m ( ) h h E flm : s( ) (, ) h s ( ) ( ) ( ) os( ) h h (3.9) h. Où (,, ) so ls soluos d l équo : ( ) lo d l è méhod u s d l lqu v méu d suf mosé ms d mo qu l sfomé d l d l méu (,) s év : θ(,) A osh(q). (, ) O l odo lm : h [ (, ) ] h [ (, ) ] h [ ] sfomé d l d équo odu à : A q sh( q ) h A osh( q ) h D où : A q osh( q ) sh( q ) h E : osh( q ) θ (, ) q osh( q ) sh( q ) (3.) h Yvs Jo 3

46 sfs hmqus méu (,) u s dédu flm lqu u méhod uméqu (Ivl ou Shfs) ou ouv l sfomé d l vs d θ(,) Cyld f Nous osdéos u yld f (loguu ès gd o u dmè) d dmè R lm à l méu uqul o mos bulm u méu d suf (f. fgu 3.3). O u f l hyohès ds s qu l sf d hlu s uqum dl. s : Cyld f v méu d suf mosé O mos bulm u méu à l suf du yld lm à l méu ufom. è méhod : Déomoso d l méu u odu d foo sfomo d Hl. équo d l hlu s é : () Av ls odos u lms : (, ) (b) (R, ) () O ffu l hgm d vbl suv : () (, ) R Fgu 3.3 : Shémso d u yld f v méu d suf mosé E ls odos u lms dv : (,) (b) (R,) () O ffu u déomoso d l méu u odu d foos sous l fom : (,) X()Y(). équo d l hlu odu à l équo suv : X" X' " ' R Y' X Y X' Y XY ou : X Y où s u os ls du foos X Y so déds. O dédu : X" X' R X X AJ ( ) BY ( ) Y' Y Y C Où J s l foo d Bssl d è sè o modfé d od Y l foo d Bssl d d sè o modfé d od. O ouv A..3 l défo ls ls oéés ds foos d Bssl. O dédu qu ls soluos d () so d l fom : C [ AJ ( ) BY ( ) ] Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

47 sf d hlu oduo égm vbl P llus o s qu Y () - qu mos B d où D J ( ) odo lm (R,) D s é los : J ( ) qu mos R β où s u soluo d l équo J (R). héoèm d suoso ds soluos m d é l soluo géél d () sous l fom : (, ) D J ( R) odo lm (,) s é los : D J( ) (d) foo o s J () qu ous mè à lqu l sfomé d Hl à l odo lm (d) so à mull hqu mmb d l équo (d) J ( m ) à ég R : R R J ( m) ( ) d D J ( m) J ( ) d D m [ J ( m) ] d R o mo qu J ( ) J( m) d s m. R R R ' R J ( m) ( ) D m [ J ( m) ] d D m J ( m) D m J m ls foos J véf ls los (f. A..3) : R R [ J ( ) ] d [ J '( ) ] J '( ) J ( ) J ( ) R [ ] ( ) [ ] O dédu flm : (, ) ( ) J ( ) R J ( ) (3.) Où (,, 3 ) so ls s d l équo J (). èm méhod : sfomo d l, ésoluo vso uméqu (Ivl ou Shfs). équo d l hlu s é : () Av ls odos u lms : (, ) (b) (R, ) () O ffu l hgm d vbl suv : d θ dθ sfomé d l d l équo () s é : θ d d O ffu l hgm d vbl u q d θ dθ équo (d) s é los : θ du u du soluo géél d équo d Bssl s é (f. A..3) : θ (, ) A I ( q ) B K ( q ) (, ) O l odo lm : dθ(, ) d où : d Do : I ( ) B K ( ) v K () d où B. A dθ( u, ) du (d) q Yvs Jo 5

48 sfs hmqus sod odo lm s é : (R,) - so (R, )- - θ (, ) O dédu : A I ( qr) I ( q) E flm : θ (, ) (3.) I ( qr) méu (,) u s dédu flm lqu u méhod uméqu (Ivl ou Shfs) ou ouv l sfomé d l vs d θ(,). èm s : flu d hlu mosé O mos bulm u dsé d flu φ à l suf du yld lm à l méu ufom. () (, ) φ φ R Fgu 3. : Shémso d u yld f v flu d hlu mosé équo d l hlu s é : () Av ls odos u lms : (, ) (b) ( R, ) φ () O ffu l hgm d vbl suv : équo () u los s é : E ls odos u lms dv : (,) (b) ( R, ) φ () O ffu u déomoso d l méu u odu d foos sous l fom : (,) X()Y(). équo d l hlu odu à l équo suv : X" X' " ' X Y X' Y XY ou : R X Do l ésoluo mè u ésul suv : Y' Y (, ) φ R φ R R J R J [ ] (3.3) 6 Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

49 sf d hlu oduo égm vbl O u églm l oblèm u sfomo d l omm ds l s d u méu d suf mosé. Il éé moé qu l méu s d l fom : θ ( q, ) A I ( q ) v q (, ) odo lm R s é : φ dθ( q R, ) φ φ So : ou : q A I ( qr) d φ E : A q I ( q R) ( q ) ( q R) φ I θ ( q, ) D où : q I (3.) méu (,) u s dédu flm lqu u méhod uméqu (Ivl ou Shfs) ou ouv l sfomé d l vs d θ(,). 3 èm s : off d sf mosé O mos bulm u éhg d hlu ovo v u off d sf h à l suf du yld lm à l méu ufom. équo d l hlu s é : () Av ls odos u lms : (, ) (b) h[ ( R, ) ] () R () (, ) h [ -(R,)] h [ -(R,)] R Fgu 3.5 : Shémso d u yld f v off d sf ovf mosé soluo u s é : (, ) h ( ) R h J ( ) J ( R) (3.5) h Où (,, 3 ) so ls vlus os, s d l équo α J '( ) J( ). Yvs Jo 7

50 sfs hmqus O u églm l oblèm u sfomo d l omm ds l s d u méu d suf mosé. Il éé moé qu l méu s d l fom : θ ( q, ) A I ( q ) v q (, ) odo lm R s é : h [ (, ) ] h [ (, ) ] h [ ] dθ( q R, ) h [ ] So : h ( q R, ) h [ ] θ ou : q A I ( qr) h A I ( q R) d E : A q I ( q R) I( q R) h I θ ( q, ) D où : q (3.6) I ( q R) I( q R) h ( q ) méu (,) u s dédu flm lqu u méhod uméqu (Ivl ou Shfs) ou ouv l sfomé d l vs d θ(,) Shè s : méu d suf mosé Nous osdéos u shè d yo R à l méu l ufom à lqull o mos bulm u méu d suf. (, ) (R,) Fgu 3.6 : Shémso d u shè v méu d suf mosé ( ) équo d l hlu s é : Av ls odos u lms : (,) (b) (R,) () () où : Effuos l hgm d vbl suv : U (,) (,), l équo () dv : Av ls odos u lms : U(, ) ( ) (b) U(R,) U(-R,) () U U O ouv l sysèm d équos d l lqu f d éssu ( 3..3.) moy ls hgms suvs : R U ( ) 8 Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

51 sf d hlu oduo égm vbl C qu m d ob l ésul suv : (, ) R ( ) ( ) π π π s R R (3.7) méu u s doé l lm d l lo (3.7) qud d vs zéo s é : R( ) ( ) R (, ) α π α O u omm éédmm l oblèm u sfomo d l : équo d l hlu s é : Av ls odos u lms : (, ) (b) (R, ) () () O ffu l hgm d vbl suv : d θ dθ sfomé d l d l équo () s é : θ d d O ffu u ouvu hgm d vbl : ψ θ d ψ équo (d) s é los : ψ d ψ sh( q ) osh( q ) soluo géél d équo s é : θ A B v osh( q ) qud d où B. sh( q R) O l odo lm : ( R, ) d où : A R O dédu : A R sh( q R) (d) q E flm : R sh( q ) (, ) (3.8) θ sh( q R) méu (,) u s dédu flm lqu u méhod uméqu (Ivl ou Shfs) ou ouv l sfomé d l vs d θ(,). èm s : Flu mosé O osdè u shè d yo R à l méu l ufom à lqull o mos bulm u flu sufqu φ. () (, φ Fgu 3.7 : Shémso d u shè v flu sufqu mosé Yvs Jo 9

52 sfs hmqus équo d l hlu s é : () où : Av ls odos u lms : (,) (b) (R,) () O ffu l hgm d vbl suv : U (,) (,) qu m d s m u s d l lqu f d éssu. O ob flm à : (, ) 3φ φ ρr ( 5 3R ) R φr s R s ( ) R (3.9) où (,,. ) so ls s osvs d l équo (). O u églm l oblèm u sfomo d l omm ds l s d u méu d suf mosé. ψ sh( q ) Il éé moé qu l méu s d l fom : θ A v q (, ) odo lm R s é : φ dθ( R, ) φ q R osh( q R) sh( q R) φ So : ou : A d R φ R E : A q R osh( q R) sh( q R) φ R sh( q ) D où : θ(, ) (3.3) q R osh( q R) sh( q R) méu (,) u s dédu flm lqu u méhod uméqu (Ivl ou Shfs) ou ouv l sfomé d l vs d θ(,). 3 èm s : Coff d sf ovo mosé O osdè u shè d yo R à l méu l ufom à l suf d lqull o mos bulm u éhg ovf (v u off h) v l mlu mb à l méu. h [ - (R,)] Fgu 3.8 : Shémso d u shè v off ovf mosé 5 Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

53 sf d hlu oduo égm vbl équo d l hlu s é : () où : Av ls odos u lms : (,) (b) (R, ) h [ ( R, ) ] () O ffu l hgm d vbl suv : U (,) (,) qu m d s m u s d l lqu f d éssu. O ob flm : (, ) hr R h ( ) s R hr hr R ( R) s( ) (3.3) hr Où (,,. ) so ls s d l équo R o( R) O u églm l oblèm u sfomo d l omm ds l s d u méu d suf mosé. ψ sh( q ) Il éé moé qu l méu s d l fom : θ A v q (, ) odo lm R s é : h [ (, ) ] h (, ) q R osh( q R) sh( q R) h sh q R h So : A h θ( q R, ) h A R R [ ] h [ ] [ ] ( ) [ ] E : A D où : R q sh( q R) R osh( q R) h R h θ(, ) R sh( q ) q sh( q R) R osh( q R) h R h (3.3) méu (,) u s dédu flm lqu u méhod uméqu (Ivl ou Shfs) ou ouv l sfomé d l vs d θ(,). 3.. Sysèms omls : méhod ds qudôls Ds gh, o o : - θ(,) l sfomé d l d l méu (,). - Φ(,) l sfomé d l du flu d hlu ϕ(,). O ouv A.3.6 u éulf ds ms qudols ssoés u sysèms ls lus oumm oés ds l qu. Yvs Jo 5

54 sfs hmqus 3... Eoulm udol ds ds mus ls Mu sml O osdè l s d u sf d hlu udol ds u mu d éssu. méu (,) u s du mu véf l équo : () E lqu l sfomo d l à l équo () o ob : d θ θ d (b) s (,). Où θ(,) s l sfomé d l d l méu (,) (f. A.3.). équo (b) dm u soluo d l fom : θ(, ) () osh(q ) () sh(q ) v q sfomé d l du flu u o quloqu du mu s é : Φ (, ) S (, ) S (, ) S dθ (, ) d () C lo m d m Φ(,) foo d (), () : Φ (, ) S q sh( q ) S q osh( q ) (d) s los (b) (d) uv ê és, o ob : θ(, ) Φ(, ) S θ(, ) osh( q ) sh( q) Φ(, ) Sq sh( q ) Sq osh( q ) Il s ossbl d élm s équos qu v ml à m (θ, Φ ) foo d (θ, Φ ), o bou à : ( ) ( ) ( ) θ, osh q sh q θ(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) Φ, q S Φ, q Ssh q osh q (3.33) O l oéé : d (M) qu m d ébl l lo éoqu : ( ) ( ) ( ) θ, osh q sh q θ(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) Φ, q S Φ, - q Ssh q osh q O u llus ébl u log l ogo d u ou égm susoïdl l sf hmqu udol égm so : Isé du ou élqu I Flu d hlu ds l s d l Φ(,) Pol élqu U méu ds l s d l θ(,) Iméd élqu Z Iméd hmqu Z lo d Ohm U - U R I s du : R ϕ lo ds ouds : I s du : ϕ M m qudol Moy s oos, l lo qudol (3.33) u ê ésé l shém élqu équvl d l fgu 3.9. Φ Z Z Φ θ θ 3 Φ 3 Z 3 θ Fgu 3.9 : Shém élqu équvl à u mu sml égm vbl 5 Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

55 sf d hlu oduo égm vbl Av ds l s du mu l : osh( q ) Z Z Z3 Sq sh( q ) Sq sh( q ) Mu v éhg ovf O osdè l s d u mu éhg d l hlu ovo v u flud : Fgu 3. : Shémso d u mu sml v sf ovf [ ] ϕ hs [ - () ] lo ϕ h S ( ) u uss s é : ϕ ( ) qu l o u du ds l s h S d l : θ θ Φ ( ) s Φ s l sfomé d l du flu ϕ θ l sfomé d h S l d l méu. O u do é sous fom mll qudol : θ θ( ) h S Φ ( ) Φ (3.3) lo qudol (3.3) u ê ésé l shém élqu équvl d l fgu 3.. Φ θ R h S θ () Fgu 3. : Shém élqu équvl à u sf ovf égm vbl Réss d o mus Cosdéos m l s du sf d hlu à vs u éss d o R à l f du mlu solds l qu ésé su l fgu 3.. ( ) ( ) flu d hlu s é ϕ u uss s é : R ( ) R ϕ ( ) qu l o u du ds l s d l : ( ) θ ( ) Φ s Φ s l sfomé d l du flu ϕ θ R θ l sfomé d l d l méu. Réss d o R Fgu 3. : Shém d du mus v éss d o Yvs Jo 53

56 sfs hmqus O u do é sous fom mll qudol: θ Φ R Φ θ (3.35) C sso s logu à l lo (3.3), l shém élqu équvl s do du mêm y qu lu ésé su l fgu 3. Mu mulouhs v ovo ésss d o s équos mlls qudols éédmm ébls ous m d é : θ f A B R A B R 3 A3 B3 θ h f S h S Φ C D C D C3 D3 Φ v : A D osh( q ) ; q Ssh( q ) C ; ( q ) B sh q S q R R 3 3 Flud à f Covo, h Covo, h Flud à f Fgu 3.3 : Shém d u mu mulouhs v ovo ésss d o dso du oblèm sous fom mll m d ob u fomulo ès sml qu mo ou l éê d l méhod ds qudôls. Mlu sm-f Il éé démoé u 3... qu l méu ds l's d l d'u mlu sm-f s'é : q θ(, ) A où q O dédu l vlu d l sfomé d l du flu u o du mlu sm-f : dθ q Φ(, ) S A q S q S θ d Φ u do uss s'é : Φ q Sθ Où E s l'ffusvé hmqu. 3 v ρ Sθ O ou do é ou o d'u mlu sm-f : q ρ S ρ θ E S θ θ θ Φ E S θ (3.36) lo qudol (3.36) u ê ésé l shém élqu équvl d l fgu Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

57 sf d hlu oduo égm vbl Φ θ Z E S Z Fgu 3. : Shém élqu équvl à u mlu sm-f égm vbl Mu à méu ufom Ds l s d'u "sysèm m" : mu do l'éssu /ou l oduvé hmqu m d osdé s méu omm ufom (B <,, f..3.), l dffé l flu d hlu l flu d hlu so du sysèm s'é smlm : ϕ V d ϕ ρ so lqu l sfomé d l : Φ Φ ρ V θ d C qu u s du sous fom qudol l lo : θ Φ ρ V θ Φ (3.37) lo qudol (3.37) u ê ésé l shém élqu équvl d l fgu 3.5. Φ Φ θ C ρ V θ Fgu 3.5 : Shém élqu équvl à u mlu à méu ufom égm vbl Eml d'lo : f. modélso d l méhod du l hud, Eoulm dl Cyld u Fgu 3.6 : Shém du yld u O mo d l mêm mè qu u 3... (Mll l, ) qu ls méus ls flu ds l s d l uv ê lés u lo qudol : ϕ θ Φ A q D q (, ) A B θ(, ) (,) C D (,) Φ [ K ( q ) I ( q ) K (q ] I ( q ) B π [ K ( q ) I ( q ) K ( q ) I ( q )] [ K( q ) I( q ) K( q ) I( q )] ( q ) I ( q ) K ( q ) I ( q ) [ K ] C πρ (3.38) Yvs Jo 55

58 sfs hmqus I, I, K K é ds foos d Bssl (f. A A..3). dém d l m qudol s égl à. Cyld u sm-f Comm ds l s du mu l, o mo qu l'o u é ou o d'u yld u smf ( ) (Mll l, ) : θ π Φ θ q K K ( q ) θ ( q ) (3.39) lo qudol (3.39) u ê ésé l shém élqu équvl d l fgu 3.7. Φ θ K ( q ) Z π q K Z Fgu 3.7 : Shém élqu équvl à u mlu sm-f égm vbl Eml d'lo : f. modélso d l méhod du fl hud, 7... Shè us Τ ϕ ϕ Τ Fgu 3.8 : Shém d l shè us O mo d l mêm mè qu u 3... (Mll l, ) qu ls méus ls flu ds l s d l uv ê lés u lo qudol : θ(, ) A ( ) Φ, C B θ(, ) ( ) D Φ, (3.) sh( ) sh( ) A osh( ) ; B ; q π q Av : ( ) ( ) ( ) sh C π osh q sh ; D osh( ) q q dém d l m qudol s égl à. Shè us sm-f Comm ds l s du mu l, o mo qu l'o u é ou o d'u shè us smf ( ) : θ Φ π θ ( q ) θ (3.) 56 Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

59 sf d hlu oduo égm vbl shém élqu équvl s dqu à lu ésé su l fgu 3.3 v Z π ( q ) 3. Coduo udoll égm vbl v hgm d é méu os mosé suf mlu sm-f s lm à l méu ufom hs. O mos bulm u méu d suf féu à l méu d hgm d hs.u hgm d hs v s odu ou d bod à l suf us s og vs l éu du mlu sm-f. équo d l hlu s é ds ls hss : () (b) ds l hs [ou < X()] ds l hs [ou > X()] Fo d hgm d hs à Phs Phs l (, ) Mlu sm-f (, ) Fgu 3.9 : Shém d u mlu sm-f v hgm d hs s odos u lms s év : X() (,) (,) () (, ) (d) ( X, ) ( X, ) () dx ρ (f) d O hh l soluo sous l fom : (, ) A f ou < < X() X X ( ), B f ou X() > où A B so ds oss bs à dém s soluos oosés véf l équo d l hlu (f. 3...), ls odos ls () l odo (). Il s à véf ls odos () (f) à l f X(). équo () odu à : X() X() A f B f Yvs Jo 57

60 sfs hmqus C lo do ê véfé ou ous ls vlus d, o dédu qu : os. E om d fom d X(), l équo (f) m d é : A π B π ρ Av : A B f f oso X() du fo d hgm d hs s lul flm : X, où s u X ( ) Av soluo d l équo : ( ) ( ) ρ f f (3.) E l méu ds hqu hs s é : ( ), f ; (, ) f f f (3.3) O ob ds l s d l u ls vlus doés ds l blu 3.. blu 3. : Vlus d foo d d ou d l u lm lqud à ,987,3876,6893,9393,559,38 3,8937,99,595,8,58,56 6,86,,55,756,966,58 9,737,35,88,665,879,73,67,5,3,588,797,9873 5,65,989,69,598,73,987,5653,97,3,395,677, Coduo muldoll égm vbl 3.3. héoèm d Vo Num Cs oblèms bdmsols ou dmsols uv ê ésolus ombso d ou 3 soluos moodmsolls. Cosdéos ml l s d u b gul f (loguu ès gd dv ls ôés ), ll u ê osdéé omm l so d du lqus fs d éssus svs. héoèm d Vo Num m d ffm qu l méu dmsoll d b s m omm l odu ds méus dmsolls ds du lqus fs do ll u ê osdéé omm é l so : (, y, ) (, ) ( y, ) b lqu lqu (3.) 58 Cous sfs hmqus èm é Eol ds Ms Ny

61 sf d hlu oduo égm vbl Rmqus : - Il fu véf qu ls odos ls u lms so ssfs sous fom dmsoll ès déomoso d l géomé osdéé so d éléms smls. - Ds géomés lus omls uv églm s déomos so d éléms smls, omm ml : - Cyld sm-f Cyld f Mlu sm-f - B gul sm-f B gul f Mlu sm-f - Cyld huu Cyld f Plqu éssu 3.3. sfomos égls séo d vbls s oblèms d sf muldol d l hlu uv ds s s ê és omm udol sfomos égls séo d vbls. Nous os smlm à d ml l sf d hlu ds u yld f d éssu d yo R, lm à méu ufom, losqu l u d ss fs s soums à u dsé d flu d hlu ufom φ (). yld éhg d l hlu ovo su ous ss fs v l mlu vo (f. fgu 3.3). h φ () h 3 Fgu 3.3 : Shém du sysèm modélsé S l o osdè qu φ () s u D, o ouv l méhod Flsh 3D. Ds s, Φ ( ) [ φ ( ) ]. oblèm s à symé yldqu o uls do l équo d l hlu oodoés yldqus : (,z, ) (,z, ) (,z, ) (,z, ) () z méhod d ésoluo ulsé s l suv : - sfomo d l - Séo ds vbls (,, ) h[ (,, ) ] φ ( ) z (b) (,, ) h [ (,, ) ] z () Codos lms l : (, z, ) (d) (R, z, ) h 3[ (R,, ) ] () (, z,) (f) h O os (, z, ) (, z, ) [ (, z, ) ] θ(,z,) θ(,z,) θ(,z,) θ(,z,) sfomé d l d () s é : θ(,z,) z Yvs Jo 59