Sujet de révision n 1

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1 4 ème année Secton : Scences Sujet de révson n 1 Ma 010 A. LAATAOUI Thèmes abordés : Complexes ; Probabltés ; Géométre dans l espace ; oncton exponentelle et lecture graphque. Exercce n 1 Sot θ un réel de l ntervalle ] 0,π [. 1. Résoudre l équaton z z e θ 1 = 0.. Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormé drect ( Ouv ; ; ) on consdère les ponts A, M et N d affxes respectves 1+ ; + e θ et e θ 0,π. a) Montrer que les vecteurs AM et AN sont orthogonaux. b) Montrer que lorsque θ vare dans ] 0,π [, les ponts M et N varent sur un cercle ( C ) que l on détermnera. 3. a) Détermner en foncton de θ l are A (θ ) du trangle AMN. b) Détermner la valeur de θ pour la quelle l are A (θ ) est maxmale et placer dans ce cas les ponts M et N sur le cercle ( C ). Exercce n où θ est un réel de l ntervalle ] [ Cet exercce est un questonnare à chox multples consttué de sx questons ; chacune comporte tros réponses, une seule est exacte. On notera sur la cope unquement la lettre correspondant â la réponse chose. Un lecteur d une bblothèque est passonné de romans polcers et de bographes. Cette bblothèque lu propose 150 romans polcers et 50 bographes. 40% des écrvans de romans polcers sont franças et 70% des écrvans de bographes sont franças. Le lecteur chost un lvre au hasard parm les 00 ouvrages. 1. La probablté que le lecteur chossse un roman polcer est : 1 a. 0,4 b. 0,75 c Le lecteur ayant chos un roman polcer, la probablté que l auteur sot franças est : a. 0,3 b. 0,8 c. 0,4 3. La probablté que Ie lecteur chossse un roman polcer franças est : a. 1,15 b. 0,4 c. 0,3 4. La probablté que le lecteur chossse un lvre d un écrvan franças est : a. 0,9 b. 0,7 c. 0, La probablté que le lecteur at chos un roman polcer sachant que l écrvan est franças est : 4 a. b. 1 c. 0, Le lecteur est venu 0 fos à la bblothèque. La probablté qu l at chos au mons un roman polcer est : a. 1 (0,5) 0 b. 0 0,75 c. 0,75 (0,5) 0 1 Sujet de révson n 1. 4 ème Scences

2 Exercce n 3 L espace est rapporté au repère orthonormé drect ( O ;, j, k ). On consdère le plan P d équaton x+ y z+ 4= 0 et les ponts A de coordonnées ( 3,,6 ), B de coordonnées ( 1,,4 ) et C de coordonnées ( 4,,5). 1. a. Vérfer que les ponts A, B et C défnssent un plan. b. Vérfer que ce plan est P.. a. Montrer que le trangle ABC est rectangle. b. Ecrre un système d équatons paramétrques de la drote passant par O et perpendculare au plan P. c. Sot K le projeté orthogonal de O sur P. Calculer la dstance OK. d. Calculer le volume du tétraèdre OABC. 3. On consdère dans cette queston le pont G barycentre du système de ponts pondérés S = {( O,3 ),( A,1 ),( B,1 ),( C,1) }. a. On note I le centre de gravté du trangle ABC. Montrer que G appartent à ( OI ). b. Détermner la dstance de G au plan P. 4. Sot Γ l ensemble des ponts M de l espace vérfant 3MO+ MA+ MB+ MC = 5. Détermner Γ. Quelle est la nature de l ensemble des ponts communs à P et Γ? Exercce n 4 Au dessous, fgurent la courbe représentatve (C) dans le repère orthonormé ( O ;, j) d'une foncton f défne et dérvable sur R ans que son asymptote (D) et sa tangente (T) au pont d'abscsse O. On sat que le pont J(0 ; 1) est le centre de symétre de la courbe (C), que l'asymptote (D) passe par les ponts K( 1 ; 0) et J, et que la tangente (T) a pour équaton y = (1 e)x + 1. (T) 3 (D) J 1 (C) K -1 Sujet de révson n 1. 4 ème Scences

3 1. Détermner une équaton de (D).. On suppose qu'l exste deux réels m et p et une foncton ϕ défne sur R telle que, pour tout réel x, f(x) = mx + p + ϕ (x) avec lm ϕ( x) = 0. x + a) Démontrer que m = p = 1. b) En utlsant le pont J, montrer que, pour tout réel x, on a f(x) + f( x) =. c) En dédure, après avor exprmé f(x) et f( x), que la foncton ϕ est mpare. d) Dédure de la queston b. que f ', dérvée de f, est pare. 3. On suppose mantenant que, pour tout réel x, ϕ( x) = ( ax+ be ) où a et b sont des réels. a) En utlsant la parté de ϕ, démontrer que b = 0. b) Calculer f '(x). c) En utlsant le coeffcent drecteur de (T), démontrer que a = e. d) Démontrer que x 1 f( x) = x+ 1 xe +. 3 Sujet de révson n 1. 4 ème Scences

4 4 ème année Secton : Scences Sujet de révson n 1 Corrgé Ma 010 A. LAATAOUI Exercce n 1 Sot θ un réel de l ntervalle ] [ 1. 0,π. z z 1 e θ = 0 θ θ θ θ = ( ) ( 1 e ) = e = e = ( e ) z' = e θ et z' = + e θ. A, M et N d affxes respectves 1+ ; + e θ et a) z zm za 1 e θ = = + ; z = z 1 AM AN N za = e θ 1+ cosθ 1 cosθ AM snθ et AN snθ AM AN = ( 1+ cosθ)( 1 cosθ) sn² θ = 1 ( cos² θ + sn² θ) = 0 AM et AN sont orthogonaux. θ b) Sot I le pont d affxe, on a : zm zi = e = 1 M ζ ( I,1) θ De même zn zi = e = 1 N ζ ( I,1) 3. a) A (θ ) Remarque : ( ) ( ) e θ où θ est un réel de l ntervalle ] [ AM AN 1+ cosθ + sn² θ 1 cosθ + sn² θ = = + cosθ cosθ = = snθ π 0, π. Dans ce cas M() et N(0) = O. b) A (θ ) est maxmale lorsque snθ = 1 θ = ] [ 0,π. θ θ z = zm za = 1+ e = cos e AM θ θ θ θ z = zn za = 1 e = sn e AN z AN θ = tan z c est un magnare pur AM et AN sont orthogonaux. AM θ θ cos sn AM AN A (θ ) = = = snθ 4 Sujet de révson n 1. 4 ème Scences

5 Exercce n On note P l évènement : «le roman est polcer» et l évènement : «l écrvan est franças» On peut modélser la stuaton proposée par l arbre pondéré c-dessous : /5 p(p ) = 3/10 3/4 P 1/5 p( P )= 3/0 1/4 P 7/10 p( P )=7 /40 3/10 p( P ) = 3/40 1. La probablté que le lecteur chossse un roman polcer est : b. 0,75. Le lecteur ayant chos un roman polcer, la probablté que l auteur sot franças est : c. 0,4 3. La probablté que Ie lecteur chossse un roman polcer franças est : c. 0,3 4. La probablté que le lecteur chossse un lvre d un écrvan franças est : c. 0, La probablté que le lecteur at chos un roman polcer sachant que l écrvan est franças est : b Le lecteur est venu 0 fos à la bblothèque. La probablté qu l at chos au mons un roman polcer est : a. 1 (0,5) 0 Exercce n a) AB 0 et AC 4 1 ne sont pas colnéares = 8 0 A, B et C ne sont pas algnés A, B et C détermnent un plan. b) On vérfe que les coordonnées de chacun des ponts A, B et C vérfent l équaton x+ y z+ 4= 0 P = (ABC). = = 0 ABC est un trangle rectangle en A.. a) AB AC ( ) ( ) ( ) 5 Sujet de révson n 1. 4 ème Scences

6 b) est la perpendculare à P passant par O n 1 vecteur normal de P est drecteur de x = α : y = α ; α IR z = α c) Sot K le projeté orthogonal de O sur P OK = d(o, P) = =. ² + 1² + ( )² 3 d) V(OABC) = 1 1 AB AC 4 / ( ) / 3 AABC OK = = 4 = / / Autrement : V(OABC) = ( AB AC) AO 6 8 Où AB AC 4 V(OABC) = 1 8 ( 3) + ( 4) ( ) + 8 ( 6) = 1 16 = G barycentre du système de ponts pondérés S = {( O,3 ),( A,1 ),( B,1 ),( C,1) } 3GO+ GA+ GB+ GC = 0 (1) a) I est le centre de gravté du trangle ABC IA+ IB+ IC = 0 En ntercalant le pont I dans (1), on obtent : 3GO+ 3GI = 0 GO+ GI = 0 G est le mleu de [OI] G (OI). b) dgp (, ) =? I,, I,, G est le mleu de [OI] G,, dgp (, ) = = MO+ MA+ MB+ MC = 5 6MG = 5 GM = M S 5 : la sphère de centre G et de 6 G,6 rayon dgp (, ) = < Γ P est un cercle de centre le pont H projeté orthogonal de G sur P et de 3 6 rayon r = = = Sujet de révson n 1. 4 ème Scences

7 Exercce n 4 1. La drote (D) passe par les ponts J(0 ; 1) et K( 1 ; 0), une équaton est donc y = x a. lm ϕ( x) = 0 lm f( x) ( mx+ p) = 0, c'est-à-dre que la drote d'équaton y = mx + p est x + x + asymptote à la courbe en +, c'est la drote (D). Donc m = p = 1. b. Le pont J est centre de symétre de la courbe, on a donc la relaton : f( 0 - x) = 1 - f(x), ou encore :f(x) + f( x) =. c. f(x) = x ϕ (x), f( x) = x ϕ ( x) donc f(x) + f( x) = + ϕ (x) + ϕ ( x). Or, on sat que f(x) + f( x) =, on en dédut que ϕ (x) + ϕ ( x) = 0, ou encore que ϕ (x) = ϕ ( x), c'est-à-dre que la foncton ϕ est mpare. d. f(x) + f( x) =, donc, en dérvant chaque terme : f '(x) f '( x) = 0, sot f '(x) = f '( x). Concluson : f ' est pare. Attenton, la dérvée de f( x) est f '( x) (dérvée des fonctons composées). 3. a. ϕ ( x) ( ax be ) ϕ( x) ( ax be ) = + = + ; comme ϕ est mpare, on a ax + b = ax + b, sot b = 0. x x x x b. f( x) = x+ 1 + ϕ( x) = x+ 1 + axe f ' ( x) = 1 + ϕ ( x) = 1 + ae + ( ax)( xe ) = 1 + a(1 x ) e. c. Le coeffcent drecteur de la tangente au pont d'abscsse 0, sot J, est f '(0) = (1 e) (équaton de (T)). On a donc l'égalté : f '(0) = 1+ a= 1 e a= e. d. Il reste à conclure : f( x) = x+ 1+ axe = x+ 1 exe. 7 Sujet de révson n 1. 4 ème Scences