Le gyroscope. par Gilbert Gastebois

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1 Le gyroscope 1. Schémas par Gilber Gasebois 2. Éude du mouvemen d'une oupie. Une oupie es un gyroscope don l'une des exrémiés de l'axe es posée sur le sol sans possibilié de glissemen. : viesse angulaire de roaion du gyroscope auour de son axe d : disance enre le cenre de gravié du disque e le poin de conac de son axe avec le sol I : momen d'inerie du gyroscope auour de son axe I p : momen d'inerie du gyroscope auour de l'axe verical de précession L : veceur momen cinéique du gyroscope L 0 : veceur momen cinéique du gyroscope auour de son axe L 0 = I : veceur momen cinéique du gyroscope auour de la vericale ( précession θ : angle du gyroscope avec la vericale φ : angle du gyroscope auour de la vericale Ω : viesse angulaire moyenne de roaion du gyroscope auour de la vericale ( viesse angulaire de précession Ω = dφ/d τ : veceur momen du poids par rappor au poin de conac avec le suppor Loi de Newon pour un solide ournan : dl/d = τ dl x /d = τ x = mgd sinθ cosφ dl y /d = τ y = mgd sinθ sinφ dl z /d = τ z = 0 dl z /d = τ z = 0 => L z = consane C'es la consance de L z qui explique la précession du gyroscope, en effe quand on abandonne le gyroscope, il end à s'incliner sous l'effe de τ, ce faisan, L 0z diminue, il fau donc un erme supplémenaire pour mainenir L z consan, ce erme provien de la précession du gyroscope auour de l'axe verical à la viesse angulaire Ω

2 . Viesse angulaire de précession. dl = L sinθ dφ ( Voir schéma dl/d = L sinθ dφ/d dl/d = L Ω sinθ => dl/d = Ω ^ L or dl/d = τ = mgd sinθ L sin θ Ω = mgd sinθ L Ω = mgd Ω éan oujours rès inférieur à, es rès inférieur à L 0 L² = L 0 ² + ² + 2 L 0 sin θ L 0 >> donc L² L 0 ² + 2 L 0 sinθ = L 0 ² (1 + 2 /L 0 sinθ / L 0 << 1 donc L L 0 (1 + / L 0 sinθ L es donc rès voisin de L 0 e vau donc environ I, L I On a donc I Ω = mgd Ω = mgd Vecoriellemen : dl/d = τ = Ω ^ L = Ω ^ L 0 ( ^ es le produi vecoriel La période de précession es donc Tp = 2π/Ω = 2πI /(mgd La précession es d'auan plus lene que I e son grands e que le suppor es proche du cenre de gravié du gyroscope. 4. Éude phénoménologique du gyroscope. La deuxième loi de Newon donne l'explicaion complèe de la précession du gyroscope, mais ne donne peu-êre pas l'impression d'expliquer vraimen ce fai éonnan qu'une oupie ne ombe pas comme il semble qu'elle devrai le faire, mais qu'au lieu de cela, le seul fai de précesser lenemen auour de l'axe verical l'empêche de omber. La raison profonde en es l'exisence des forces de Coriolis qui s'appliquen sur chaque paricule du gyroscope. Ces forces qui apparaissen dans un repère fixe par rappor à l'axe du gyroscope produisen un couple don le momen oal M s'oppose à celui du poids (τ quand le gyroscope précesse à la viesse angulaire Ω. M = I Ω Voir l'éablissemen de l'expression de M Pour l'explicaion du démarrage de la précession, voir le paragraphe 5.1 qui sui. 5. Nuaion. 5.1 Descripion Le mouvemen de précession du gyroscope à viesse angulaire Ω consane, n'es pas le mouvemen le plus général du gyroscope, c'es une soluion possible si on le pousse laéralemen avec cee viesse au dépar. Cependan, en général on se conene de le lâcher après l'avoir mis en roaion. Dans ces condiions, le gyroscope commence par omber, ce mouvemen enraîne l'appariion de forces de Coriolis don le couple fai ourner le gyroscope auour de la vericale, c'es le démarrage de la précession, ce couple incurve la rajecoire. Quand elle aein la direcion horizonale la viesse angulaire de précession a dépassé Ω, le couple des forces de Coriolis es alors supérieur à τ, le gyroscope remone donc jusqu'à son aliude de dépar ( conservaion de l'énergie mécanique du gyroscope où sa viesse

3 de précession s'annule, puis le mouvemen se répèe, on a alors un mouvemen en forme de cycloïde ( mouvemen d'un poin de la circonférence d'une roue de vélo appelé nuaion. Ω es alors la viesse moyenne de précession. Ce mouvemen es peu visible en général sauf si la viesse du gyroscope es assez faible, d'auan plus qu'il s'amori rapidemen à cause des froemens Éude phénoménologique du gyroscope horizonal L'éude du gyroscope es un problème assez complexe de mécanique du solide. On peu cependan obenir les résulas principaux par une éude phénoménologique approchée sachan que le gyroscope horizonal décri une cycloïde quand on le lâche sans viesse iniiale. L = L L 1 ( L 1 es la composane qui s'ajoue à à cause de la nuaion L 0 = I Ω I p : momen d'inerie auour de l'axe verical. On éudie le mouvemen de l'exrémié du veceur L 0 que l'on place arbirairemen au cenre de gravié du gyroscope. Le mouvemen éudié es donc celui du cenre de gravié du gyroscope lâché sans viesse iniiale. Sans nuaion, L 0 fai un angle α avec l'horizonale, el que L = L 0 + ( L 1 = 0 << L 0 donc α es rès pei donc la nuaion a un rayon R = En une période de nuaion T n, L 0 décri l'arche d'une cycloïde don la largeur vau 2π R = 2π L'exrémié de L 0 ourne donc d'un angle de précession ε = 2π /L 0 = 2π /L 0 en une période T n. Or pendan T n, le gyroscope a ourné d'un angle Ω T n. Ainsi Ω T n = ε = 2π /L 0 = 2π I p Ω Ω T n = 2πI p Ω donc T n = 2πI p La période de nuaion du gyroscope vau T n = 2πI p /I T 0 e ω n = I/I p

4 La nuaion es d'auan plus rapide que I e son grands e que le suppor es proche du cenre de gravié du gyroscope ( I p plus pei. Son ampliude angulaire α es d'auan plus peie que es grande e que le suppor es proche du cenre de gravié. Pour le lâcher sans viesse iniiale ( cycloïde : α = R/L 0 = /L 0 Ω/L 0 mgd ² α mgd ² = T n ² mgd/(4π²i p L'ampliude maximale de la nuaion es alors : A c = d 2α = 2 I p mgd² ² 5. Éude complèe approchée 5..1 Cas général L'éude qui sui se limie au cas des peis angles de nuaion e aux viesses de précession faible. L z L L L 0 L 1 L P θ pei e L' p = + L 1 << L 0 ( Roaion rapide du gyroscope : Ω << L = L L 1 = L 0 + L' p L 0 = I θ pei donc L' sin θ L' θ = L 0 θ donc L n = L 0 θ/ e θ 0 + θ = θ 0 Si θ 0 = 0, θ = 0 donc L 1 rese fini, il end vers 0 O L = L 0 + L' p = L L 1 ( L' p << L 0 L 0 = I Ω = mgd On pose w f la composane de la viesse de roaion due à la nuaion L' p (Ω + w f I p = I x sin² θ 0 + I cos² θ 0 ( θ pei donc θ 0 praiquemen consan e donc I p fixe I x : momen d'inerie auour d'un axe perpendiculaire à l'axe de roaion passan par le poin de conac avec le suppor On éudie le mouvemen du gyroscope dans un repère ournan à la viesse angulaire Ω. Ce repère n'es pas galiléen, il fau donc ajouer les pseudo-forces cenrifuge e de Coriolis. On appelle leur momen M f ( comme >> Ω, le momen de la force cenrifuge es négligeable devan celui de la force de Coriolis ( leur rappor es voisin de /Ω donc M f M coriolis On appelle ω θ la viesse angulaire relaive du gyroscope par rappor à O e la viesse angulaire relaive du gyroscope par rappor à l'axe Oz. La 2 ème loi de Newon es alors : I x dω θ /d = mg d + M f En absence de nuaion le gyroscope es immobile dans le repère ournan donc : mgd + M f = 0

5 M f = - mgd Ω En présence de nuaion, la viesse angulaire es = Ω +, ce qui donne M f ( Pour ceux qui ne seraien pas convaincus par ce raisonnemen, on peu inégrer le momen de la force de Coriolis ( f c = 2 m i v i x sur le gyroscope, on rouve bien : M coriolis. Comme on néglige M cenrifuge, on a bien M f M f Ω - I = - mgd - I. On repore dans la loi de Newon : I x dω θ /d = mg d - mgd - I I x dω θ /d ( 1 D'aure par, L 1 w f e L 1 = L 0 θ/ = I θ/ donc = I θ / /I p On dérive cee expression : d /d = I / /I p dθ/d = I / /I p ω θ ( 2 ω θ d /d donc dω θ /d d² /d² or ( 1 donne I x I p d² /d² donc en posan I n ² = I x I p d² /d² + I² ² /I n ² = 0 ( Soluion : La soluion de ( es sinusoïdale : = C cos ( ω n + Φ avec ω n = I /I n ( 2 donne ω θ d /d = - C I p /(I ω n sin (ω n + Φ = - C I p /I n sin (ω n + Φ ω θ = - C I p /I n sin (ω n + Φ Période de la nuaion : On cherche mainenan les coordonnées v θ e v φ de la viesse relaive du cenre de gravié du gyroscope. v θ = d ω θ = - C I p /I n d sin (ω n + Φ v φ = d = C d cos ( ω n + Φ A = 0, le gyroscope es immobile donc v = d Ω + v φmax = 0 e ainsi v φmax = - d Ω = C d donc C = - Ω e Φ = 0 v θ = Ω I p /I n d sin ω n v φ = - Ω d cos ω n Cela correspond à un mouvemen ellipique en sens inverse des aiguilles d'une monre ( pour une précession direce décri en un emps : T n = 2π/ω n = 2πI n = I n /I T 0 ou ω n = I/I n Les deux axes de l'ellipse son : Axe "verical" : b = Ω I p /I n d /ω n = mgd² I p ² Axe horizonal : a = Ω d /ω n = mgd² I n ² a/b = I n /I p = (I x /I p 1/2 A la vericale θ 0 = 0 donc on n'a plus de nuaion, L'ampliude de nuaion vau alors a n = 2 b = 2 mgd² I p ²

6 5..2 Cas du gyroscope horizonal Pour un gyroscope horizonal, I p = I x = I n e θ 0 = π/2 donc v θ = Ω d sin ω n v φ = - Ω d cos ω n On a alors un mouvemen circulaire uniforme en sens inverse des aiguilles d'une monre ( pour une précession direce de viesse relaive v r = Ω d Ω d es aussi la viesse de précession du cenre du cercle, cela correspond à un mouvemen de roulemen sans glissemen, c'es à dire à une cycloïde décrie en T n = 2π/ω n = 2πI p T n = 2πI p /I T 0 ou ω n = I/I p Ampliude maximale de la nuaion : Le cercle de rayon R es décri à viesse consane v r en T n donc 2πR = v r T n R = Ω d I p = mgd²i p ² L'ampliude de nuaion a n = 2R = 2mgd²I p ² Exemple : Gyroscope horizonal consiué d'un disque fin de rayon R = 5 cm placé à une disance d = R/2 de l'axe ournan à 1500 ours/min ( N 0 = 25 Hz e = 50π rd/s. On a alors I = mr²/2 e I p = mr²/4 + mr² = 5 mr²/4 ( I p = 2,5 I T p = 2πI /mgd = 2πR /g = 5 s T n /I T 0 = 2,5 T 0 ( N n = N 0 /2,5 = 10 Hz α = T n ² mgd/(4π²i p = 2,5 T 0 ² g /(4π²R = 2,5 g /(R ² = rd = 1,2 Cela donne une oscillaion de nuaion de 2,4 d'ampliude effecuée 10 fois par seconde. C'es difficile à voir! D'auan plus que ça s'amori rapidemen. On voi esseniellemen une précession régulière de 5 s de période. Le gyroscope effecue sa précession 1,2 sous l'horizonale, ce qui ne se remarque guère e donne l'impression que le gyroscope rese à l'horizonale pendan sa précession. C'es pouran cee peie inclinaison qui génère le mouvemen de précession. Remarque : Si on lance le gyroscope avec une viesse horizonale V o, on obien : v θ = ( Ω d -V o sin ω n v φ = (V o - Ω d cos ω n Si V o > 0, le mouvemen de nuaion es une rochoïde raccourcie ( Mouvemen d'un poin du rayon d'une roue de vélo. Si V o Ω d, l'ampliude es rès faible, le mouvemen de nuaion es assimilable à une sinusoïde ( limie d'une rochoïde raccourcie Si V o = Ω d, il n'y a plus de nuaion. Si V o < 0, le mouvemen de nuaion es une rochoïde allongée (rochoïde ''bouclée''.

7 6. Précession des équinoxes 6.1 Momen de la force graviaionnelle sur une masse ellipique Schéma de la ranche cenrée sur P ds = 2 x sinθ x sinθ d En A se rouve le cenre de l'asre araceur de masse m ( Lune ou Soleil placé sur l'éclipique O cenre de gravié de la Terre r = OA α angle d'inclinaison de la Terre : 2,5 ( A éan rès éloigné, ous les rayons vers A fon praiquemen le même angle α par rappor à l'axe Oz ω T viesse angulaire de la Terre µ masse volumique moyenne de la Terre a rayon équaorial de la Terre b rayon polaire de la Terre La Terre es sensiblemen une ellipse ( ou plus exacemen un ellipsoïde de révoluion auour de son axe des pôles.... On commence par déerminer le momen par rappor à O exercé sur le disque de cenre P, d'épaisseur dz, par la masse m A placée en A rès éloigné. Pour cela, on inègre dm = F x z - F z x cosθ F = Gm A µ ds dz /(r - z cosα - x cosθ sinα² F x = F sinα Fz = F cosα ds = 2 x sinθ x sinθ dθ d²m = 2 Gm A µ x² sin²θ( z sin α - x cosθ cosα dθ dz /(r - z cosα - x cosθ sinα² On fai un développemen limié au 1 er ordre de 1/(r - z cosα - x cosθ sinα², on obien : d²m = 2 Gm A µ/r² x² sin²θ( z sinα - x cosθ cosα(1 + 2 z/r cos α + 2 x/r cosθ sinα dθ dz L'inégrale sur θ de 0 à π donne : dm = 2 Gm A µ/r² x² ( z sinα (1 + 2 z/r cosαπ/2-2 x²/r cosα sinα π/8 dz

8 Pour une ellipse on a x² = a² (1 - z²/b² dm = 2 Gm A µ (a² (1 - z²/b² (z sinα (1 + 2 z/r cosαπ/2/r² - 2 a 4 (1 - z²/b² 2 /r cosα sinα π/8dz On obien le momen oal en inégran dm de -b à +b : M = π Gm A µ cosα sinα (8a²b /15r - 8a 4 b/15r/r² = 8/15 π a²b Gm A µ (b²- a² cosα sinα/r La masse de la Terre m T = 4/ π a²bµ donc M = 2/5 G m T m A (b² - a² cosα sinα/r Ce momen es le momen maximal. A angle droi, le momen es nul. De plus la Lune n'es pas ou à fai sur l'éclipique e se décale par rappor au Soleil. Tou cela fai qu'il fau réduire la valeur de M. L'expérience monre que ou va bien si on prend /4 de la valeur maximale. M moy = /10 Gm T m A /r (b² - a² sinα cosα La Terre subi l'acion de la Lune e du Soleil donc M moy = /10 Gm T m L (b² - a² sinα cosα + /10 Gm T m S /r S (b² - a² sinα cosα M moy = /10 Gm T (m L /r S (b² - a² sinα cosα M moy = - /10 Gm T (m L /r S (a² - b² sinα cosα Le momen d'inerie par rappor à son axe de roaion d'un ellipsoïde de révoluion homogène de diamère a vau I z = 2/5 m T a² e par rappor à un axe perpendiculaire, il vau I x = 1/5 m T (a² + b². Ainsi, I z = 1/5 m T ( a² - b² e m T ( a² - b² = 5 ( I z On a ainsi : M moy = - /2 G (m L /r S (I z sinα cosα 6.2 Viesse angulaire de précession Ω La loi de Newon donne : ( cf. L sinα Ω = M moy L Ω = M/sinα L = I z ω T Ω = M moy /(I z ω T sin α= - /2 G (m L /r S (I z cosα/(i z ω T ( Ω < 0 signifie que la précession se fai dans le sens inverse de la roaion de la Terre La période de précession de la Terre es donc T p = 2π/Ω = 8π 2 /( T T cosα G (m L /r S (I z /I z A.N : T T = s, G(m L /r S = 1, s - ², α = 2,5 (I z /I z = (a² - b²/2a² = (a - b(a + b/2a² = 1/00 (a - b = 21,5 km e (a + b/2 = 670 km T p = ans Remarque : La Terre n'es pas homogène, elle es plus dense au cenre qu'à la périphérie. Ceci modifie le momen M moy e les momens d'inerie I z e I x, mais un calcul précis monre qu'ils son ous mulipliés par le même coefficien k qui dépend du modèle de Terre choisi ( k < 1. Donc M moy = - k/10 Gm T (m L /r S (a² - b² sinα cosα I z = 2k/5 m T a² e I x = k/5 m T (a² + b² donc m T ( a² - b² = 5/k ( I z. On a donc encore M moy = - /2 G (m L /r S (I z sinα cosα

9 7. Compas gyroscopique Un compas gyroscopique es un gyroscope fixé sur un suppor à cardans e parfaiemen équilibré de manière que son cenre de gravié soi exacemen sur son axe de roaion. Le bras de levier éan nul, le momen des forces de graviaion ou d'inerie es nul e donc le veceur L es consan e l'axe du gyroscope garde une direcion fixe dans l'univers. Ce axe peu donc servir de référence absolue au cours des voyages inerplanéaires. Calcul du momen des forces de Coriolis sur un gyroscope La force de Coriolis n'ayan pas le même sens au dessus de l'axe e en dessous, le momen oal de la force de Coriolis sur le cerceau es le double du momen de la force de Coriolis sur un demi-cerceau. On commence par chercher le momen de f c sur un 1/2 cerceau de largeur dr, d'épaisseur dz e de rayon r. On inègre sur θ allan de 0 à π. dm = ρ dr dz r dθ v = r v X = r sinθ θ 0 angle enre l'axe du gyroscope e df c = 2 dm v X = 2 ρ dr dz r dθ r Ω sinθ Le bras de levier de df c es r sinθ d M = df c r sinθ = 2 ρ dr dz r dθ r Ω sinθ r sinθ = 2 ρ dr dz r sin² θ dθ L'inégrale de sin² θ dθ enre 0 e π vau π/2 donc d²m = π ρ dr dz r Pour le cerceau enier il fau doubler cee valeur donc d²m = 2 π ρ dz r dr Mainenan on cherche le momen sur un disque d'épaisseur dz, c'es l'inégrale de d²m sur r enre 0 e R, l'inégrale de r dr vau R 4 /4 donc dm = 1/2 π ρ R 4 dz ( π R 2 dz es le volume du cylindre donc ρ π R 2 dz es sa masse dm c dm = 1/2 dm c R 2 ( Pour un cylindre, le momen d'inerie par rappor à son axe es di = dm c R²/2 donc dm = di

10 Un solide de révoluion es assimilable à un empilemen de disques donc le momen oal M es la somme des dm, les momens d'inerie s'ajouen donc la somme des di donne I, le momen d'inerie oal du gyroscope par rappor à son axe M = I