Variables aléatoires (Corrigé des plus).

Transcription

1 Char : arabls aléaors rccs corrgé ds ls - - arabls aléaors Corrgé ds ls o d arabl aléaor sérac arac 7 O a or l éé : «la bol ob a rag éro s lach» a éé corrsod à rr d s d bols lachs o d bols Rogs ar coablé s dédac ds rags o a : 6 éé corrsod l à rr bol d colr s d bols d l ar colr ar coablé s dédac o ob d ê : 6 f d la ê faço : 6 6 b s sra d c récèd o cosa l éé corrsod a éés coabls cossa à obr sccsso d bols d colrs dfférs lors ds rrs rags s bols d la ê colr dfférs d la colr ob a rag Doc : s la réo ds éés so coabls s ar dédac : 6 s cor alabl or : c Ac raso slar : 6 d O a : d rs : : d rs ass car d rs Il s clar la sér corg s o d ê or ls rags ars doc ad sérac s : car ls d sérs corg D où : à oa arc os ls sérs corg f : a or fé das o coc ar lsr la forl ds robablés oals ac l sysè

2 col d éés doé ar { } : c s l y a das bols lachs bols ors das doc o a rr bol lach das la r das ar d adra : D ê s alors adra s o lè la bol lach d o r as cll s das ar d ls d rags éa dédas : f s alors o aor l car l fadra lr ls d bols lachs c s ossbl sl rag so : al : rasoa d la ê faço o ob : : a arc : A réod alors à la so b or : l sff d calclr : Doc la s s b cosa à la alr c olyô caracérs d A s calcl ar l aoa à la rèr lg ls d ars : χ A so : A { } s A ad alrs rors dscs ll s dagoalsabl O ro alors class : A c A c : A c O osr : : D o a alors : * A D 6 d a arabl aléaor a or lo : s o ob cll d à l ad d : * A déloa : Char : arabls aléaors rccs corrgé ds ls - -

3 * : 9 a o doc : a arabl rd ss alrs das { } { } for sysè col d éés Doc : { } Or s l obl rr à l org o s délacr rs la dro o a : doc : b Il s alors éda ar récrrc f : { } c rra la rar fa das la so sr l sysè col d éés o a doc : or : o ob : c rad b l fa l obl ar d l org or : so : s : or : so : : or : so : d or : o écrr : D ls : : Char : arabls aléaors rccs corrgé ds ls - - fal : O déd ar récrrc : d où : car s ll obl s rro à l org à l sa or la rèr fos s l a fa s délacr rs la dro saf a drr o où l s r à l org so : * doc ar la forl ds robablés coosés : s rd ss alrs das o déd : Ar d l s rs sûr l obl rdra as à l org f f l s clar la sér drg s c s la sér ad doc as d sérac

4 Char : arabls aléaors rccs corrgé ds ls - - Col fall d arabls aléaors a s la lo géoér rd ss alrs das b O chrch doc l obr d ls a obr a cors d lacrs C arabl aléaor s doc la lo boal : * { } c O ls c l sysè col d éés { *} la forl ds robablés oals do : doc : or : o a d ê : Mas das c so o a : dès : > doc : O ls alors la déré è d la sér èr cod à l égalé : ]-[ o : O a doc : O cosa alors b : d oos alors l éé «gag» A l éé «A gag» Alors : Doc o déd : A Co o a : < o a oors : A < doc l s as éabl désélbré far d oos rsc l éé : «l è lacr a doé l rsc ac» osos class : a a arabl rd ss alrs das * s or : * o a : cs éés éa coabls o déd : s ar dédac : Il s s clar ad sérac car : o : b o d abord r lrs alrs das *

5 Char : arabls aléaors rccs corrgé ds ls - - s : * A oa ar coablé s dédac : c O déd ar la forl ds robablés oals : * or la ê raso or ad sérac : d ar la forl d rasfr cla r à orr la sér corg Or : la sér corg car : so : s la sér corg : Doc l col ad coarac : co : alors : co so as dédas : alors : co as ça sff as or garar l dédac d Cda : * : * ls arabls so alors b dédas a a sér corg s : ]-[ o D ls : ]-[ 6 b o d abord s à alrs das * {} s : s : alors : car l y aor è réalsao aa la rèr s : > alors : oa l éé «échc à l ér» l éé «sccès l ér» ar dédac o a alors : O déd :

6 Char : arabls aléaors rccs corrgé ds ls s la lo géoér c s assz log s : c ad sérac arac sa la lo géoér : : s ad sérac s : o : ] [ o doc ad ass arac D ls : ar la forl d rasfr : d où : 6 6 O déd : 6 d a arabl aléaor ad sérac s sl s la sér corg or cla : s : ] [ d où : 6 al : co or : sacha rd ss alrs das { } : ar d c s la lo for sr { } résla assz cohér s s : l rag d la rèr réalsao aa c è réalsao s érobabl os slls odélsaos a s corrsod a obr d bols ors rés l ordr das ll lls aarass s as ora sl l sbl ds bols lachs o ors rés s ora Doc Ω êr chos co rs d l érc b Ω s sbl d rs osfs obr a d bols ors rés s : s l y a ls d bols ors a déar so : : s l y a as bols ors a déar doc s : < a alr aal doc rdr Ω s l ls d cs d rs so : D ar ar la alr al d Ω sra : s o rr bols lachs doc s : : cs-à-dr l obr d bols ors l fadra oblgaor rr fos o ara

7 Char : arabls aléaors rccs corrgé ds ls ésr l soc d bols lachs s l y a os d bols lachs ar d ad : < a alr al rdr Ω s doc l ls grad d cs d rs : a al : Ω { a } c or : Ω l obr d élés d Ω corrsoda à s l obr d sbls coa bols ors rss ar llé ar l obr d sbls coa bols lachs rss ar Co c sao corrsod clar à érobablé d rag or cha bol o Ω d la robablé for : a or : * corrsod a obr d érs écssars or obr l è sccès so l obr d érs or obr l rr ls l obr d érs sléars or obr l dè as d s s à obr l è so : b or : * s la lo géoér lo d rr sccès das sccsso d érs d roll dédas d ê lo : * Class o a alors : : c a lo d s la lo d : * s d ls : s à alrs das {} : ar coablé s dédac D où : d o : * O rar o d abord s à alrs das { } s l fa a os érs or obr sccès s : alos l éé : «o ob sccès lors ds rèrs érs» A l éé : «obr sccès à la è ér» Alors : A A ar dédac ds érs s corrsod à obr sccès das la rééo d érs d roll dédas d ê lo doc : Doc : c rdo b la lo d o d or fé la arabl érf : Ω doc : d où : ][ * a Co so d fall d arabls d roll dédas d ê lo s la lo boal cs-à-dr : rd ss alrs das { } :

8 { } b corrsod à l éé : ar ar so ar coablé dédac : s ar s la réo dso d : ar D où à oa ar dédac : d : c O ls or c so l sysè col d éés { ar ar } : ar ar ar ar ar doc : ar ar ar ar ar ar ar s : ar ar d ê : ar ar D où : so b la rlao ad cos alors s arhéco-géoér o coc ar ror ω l : ω a ω b do : ω s : * ω ω so : * O déd arclr d rs C s assz srra s ê s l érc d roll s désélbré c désélbr corb aa à la aré à l aré d sr rès grad obr d rééo a fal robablé d êr ar d rs so aa d êr ar 6 O a or class : a corrsod à sccsso d ércs d roll r l rr sccès ob : ll s doc lo géoér : { } * D ls : : b obr d sas écssars à la rs d a os grff s ls grad s sl s os ls rosrs o bso d a os sas or grff r doc : d où ar dédac : s ar coablé : doc : O déd à oa ar coablé : d où : O rarr or : o rro b la lo géoér Il s alors clar corg car : o : c D ê o a : Z s sl s ls grffs o rs sr os ls rosrs os d sas so : Z ar dédac : Char : arabls aléaors rccs corrgé ds ls - -

9 Z s ar coablé : Doc : Z D ê aaraa o a : Z Z Z : Z c rad l fa os ls grffs r dès la rèr sa : Z Z Z d héorè or Z ad sérac lors la sér Z corg c s éal à la corgc d la sér Z > Or : > ad d rs : Z o ~ Co sér à rs osfs c éal a r gééral d sér géoér corg or la corgc d la sér Z > f or : o a : 7 a o délo o ob : os ls rs aarass o sérac Doc s ar léaré d l sérac : so : b s ad sérac ad ass sérac D ls : y y y y s ls rs oblés das la so y Ω y Ω y > corb or ar éga à l sérac Or la arabl aléaor > rd ls ês alrs la arabl «obla» ls alrs égas rss ar Doc la forl d rasfr do alors : y y > > y Ω y > ar allrs ad sérac s c s arabl aléaor f ra alrs so : > > > Doc la forl d Cachy-chwarz or : > > > fal : > c Co d ls o a ar léaré d l sérac : > o élr a carré la drèr égalé : > d où : > cs-à-dr : > o cor : > ac l sysè col d éés { > } o cocl : > d o cosdèr aa o a o d abord : : Doc : so : Char : arabls aléaors rccs corrgé ds ls - 9 -

10 Char : arabls aléaors rccs corrgé ds ls - - f : ar coablé : C égalé s llr l égalé d ayé-chbych lors : < Or cc s éal à : < so fal : < a s o d abord à alrs das s or : a : s : > o aor ls d sccès d érs ffcés s : s c s l obr d sccès das s d érs d roll dédas d ê araèr a forl ds robablés oals do alors : Ac raslao d dc o ob : o rcoaî lo d osso d araèr D ê s à alrs das ar syér s la lo d osso d araèr f or : o a : Doc : o cosa o a b : s arabls so doc b dédas b or : o écrr : as ass ar dédac : c do l égalé : fal : O a b ob c o ola ac : : O déd alors : * co ar hyohès s al aas o déd : s : * a s s as géoér d raso : α as ar syér d raso : β O a alors : α : α f : α α d où : α fal :

11 Char : arabls aléaors rccs corrgé ds ls - - α α ar d s la lo d osso α 9 a s ls arabls so à alrs das * s à alrs das * l s s ls sl d calclr car : * ar dédac : Mas co d ls : * o déd : D là o écrr ar coablé : * so : * ar d s la lo géoér d araèr ad doc sérac a : b D ê s à alrs das * : * A oa ar dédac : s : : oors ar coablé o déd : * O cosa s la sér corg s : ~ < s b l r gééral d sér corg f : O fa as aaraîr la so d sérs os corgs s : doc : ocos géérarcs 6 a s so à alrs das Z s égal à alrs das D ls : Z ar coablé s dédac : Z so : Z ar d Z s la lo d osso d araèr b s d ar ar : : o déd : s so dédas O cosa b a or foco dcarc la foco dcarc d la lo d osso d araèr 6 a a foco géérarc d c lo f s olyô ls récsé :

12 o écrr sos for d fraco or : arclr o ob olyô d dgré s facorsa : b a foco géérarc d la arabl aléaor s l rod ds focos géérarcs d ar dédac d cs arabls doc : osos alors la lo d so la lo for sr { } s so a ls d dgré 6 l rod s d dgré o déd so ac d dgré so o ls 6 oos alors : φ ac : dgφ s ls olyôs φ so d dgrés ars ls ad a os chac rac réll doc lr rod a : φ φ ad d racs rélls a os Or c olyô ad or racs ls racs ès d l é ars ar d ds racs cols Coclso : aor or lo la lo for sr { } c a doé s o lac d dés ac ds lacrs sosés dédas la so ds facs d cs dés s décr ar la arabl aléaor où do ls réslas ds facs sérrs d dés o doc aas obr la lo for sr { } or lo d : cc ll so la aèr do o déf ls los d Ar d ê a ls dés ls alrs ossbls cs-à-dr ls alrs d à d la so ds facs d cs d dés orro aas êr rds érobabls Char : arabls aléaors rccs corrgé ds ls - -