Espaces préhilbertiens

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1 1 Espces préhilbertiens On désigne pr E un espce vectoriel réel non réduit à {}. 1.1 Produit sclire Définition 1.1 On dit qu une forme bilinéire symétrique ϕ sur E est : positive si ϕ (x, x) pour tout x dns E ; définie si pour x dns E l églité ϕ (x, x) = équivut à x =. Définition 1. On ppelle produit sclire sur E toute forme bilinéire symétrique définie positive. Définition 1.3 Un espce préhilbertien est un espce vectoriel réel muni d un produit sclire. Un espce préhilbertien de dimension finie est dit euclidien. Dns le cs où E est un espce euclidien, on peut ussi dire qu un produit sclire sur E est l forme polire d une forme qudrtique de signture (n, ). On noter, qund il n y ps d mbiguïté : un tel produit sclire et pour y = x, on note : (x, y) x y x = x x. L ppliction x x = x x est tout simplement l forme qudrtique ssociée à. Les deux églités qui suivent, expressions de l forme polire d une forme qudrtique, sont utiles en prtique. Proposition 1.1 Pour tous x, y dns E on : x y = 1 = 1 4 ( x + y x y ) ( x + y x y ), x + y + x y = ( x + y ). 15

2 16 Espces préhilbertiens L deuxième identité est l églité du prllélogrmme. Elle est crctéristique des produits sclires dns le sens où une norme est déduite d un produit sclire si, et seulement si, elle vérifie l identité du produit sclire (voir le chpitre sur les espces normés). Exercice 1.1 Montrer que l ppliction ϕ : (P, Q) P (1) Q () + P () Q (1) définit une forme bilinéire sur E = R [x]. Est-ce un produit sclire? Solution 1.1 Avec l structure de corps commuttif de R et l linérité des pplictions d évlution en un point d un polynôme et de dérivtion, on déduit que ϕ est une forme bilinéire symétrique sur E. Pour P E l quntité ϕ (P, P ) = P (1) P () n est ps nécessirement positive (prendre P (x) = x pr exemple), donc ϕ n est ps un produit sclire. Exemple 1.1 L espce vectoriel R n étnt muni de s bse cnonique (e i ) 1 i n, l ppliction : (x, y) x y = x k y k définit un produit sclire sur R n. On dit que c est le produit sclire euclidien cnonique de R n. Exercice 1. L espce vectoriel R n est toujours muni de s bse cnonique (e i ) 1 i n. Soit ω R n. À quelle condition sur ω l ppliction : ϕ : (x, y) ω k x k y k définit-elle un produit sclire sur l espce vectoriel R n? Solution 1. L ppliction ϕ définit une forme bilinéire symétrique sur R n pour tout ω R n. Si ϕ est un produit sclire, on lors ω j = ϕ (e j, e j ) > pour tout j compris entre 1 et n. Réciproquement si tous les ω j sont strictement positifs, on ϕ (x, x) = n ω i x i pour tout x R n et ϕ (x, x) = équivut à ω i x i = pour tout i, ce qui équivut à x i = pour tout i, soit à x =. En conclusion, ϕ définit un produit sclire sur R n si, et seulement si, tous les ω i sont strictement positifs. Exercice 1.3 Donner une condition nécessire et suffisnte sur les réels, b, c, d pour que l ppliction : (x, y) x y = x 1 y 1 + bx 1 y + cx y 1 + dx y définisse un produit sclire sur E = R. Solution 1.3 Cette ppliction( est bilinéire ) pour tous réels, b, c, d. Elle est symétrique si, b et seulement si, s mtrice A = dns l bse cnonique de R c d est symétrique, ce qui équivut à b = c. Pour b = c, ϕ est bilinéire symétrique et pour tout x R, on : x x = x 1 + bx 1 x + dx.

3 Produit sclire 17 Si on un produit sclire, lors = e 1 e 1 >, d = e e > et pour tout vecteur x = e 1 + te, où t est un réel quelconque, on x x = + bt + dt >, ce qui équivut à δ = b d <. Réciproquement si b = c, >, d > et b d < lors est bilinéire symétrique et pour tout x E, on : x x = x 1 + bx 1 x + dx ( = x 1 + b x 1x + d ) x ( ( = x 1 + b ) ) x d b + x vec x x = si, et seulement si, x 1 + b x = et x =, ce qui équivut à x =. Donc est un produit sclire si, et seulement si, b = c, >, d > et b d <. Exercice 1.4 Soient n un entier nturel non nul, x,, x n des réels deux à deux distincts et ω R n+1. À quelle condition sur ω l ppliction : ϕ : (P, Q) ω i P (x i ) Q (x i ) définit-elle un produit sclire sur l espce vectoriel R n [x]? i= Solution 1.4 L ppliction ϕ définit une forme bilinéire symétrique sur R n [x] pour tout ω R n. Si ϕ est un produit sclire, en désignnt pr (L i ) i n l bse de Lgrnge de R n [x] définie pr : L i (x) = n k= k i x x k x i x k ( i n) (L i est le polynôme de degré n qui vut 1 en x i et en x k pour k i), on lors ω j = ϕ (L j, L j ) > pour tout j compris entre 1 et n. Réciproquement si tous les ω j sont strictement positifs, on ϕ (P, P ) = n ω i P (x i ) pour tout x R n et ϕ (P, P ) = équivut à ω i P (x i ) = pour tout i, ce qui équivut à P (x i ) = pour tout i compris entre et n soit à P = (P est un polynôme dns R n [x] qui n+1 rcines distinctes, c est donc le polynôme nul). En conclusion, ϕ définit un produit sclire sur R n [x] si, et seulement si, tous les ω i sont strictement positifs. Exercice 1.5 n étnt un entier nturel non nul, on note P n l ensemble des polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égl à n, c est-à-dire l ensemble des fonctions de R dns R l forme : P : x P (x) = + ( k cos (kx) + b k sin (kx)). 1. Montrer que P n est un espce vectoriel et préciser s dimension.. Montrer que si P P n s nnule en n+1 points deux à deux distincts dns [, π[, lors P = (utiliser les expressions complexes des fonctions cos et sin).

4 18 Espces préhilbertiens 3. Montrer que si x,, x n sont des réels deux à deux distincts dns [, π[, lors l ppliction : ϕ : (P, Q) i= définit un produit sclire sur l espce vectoriel P n. Solution 1.5 P (x i ) Q (x i ) 1. Il est clir que P n est un sous-espce vectoriel de l espce vectoriel des pplictions de R dns R. En notnt respectivement c k et s k les fonctions x cos (kx) pour k et x sin (kx) pour k 1, P n est engendré pr l fmille B n = {c k k n} {s k 1 k n}, c est donc un espce vectoriel de dimension u plus égle à n + 1. Montrons que cette fmille de fonctions est libre. Pour ce fire, on procède pr récurrence sur n 1 (comme vec l exercice 9.4). Pour n = 1, si + 1 cos (x) + b 1 sin (x) =, en évlunt cette fonction en, π et π successivement, on boutit u système linéire : + 1 = + b 1 = 1 = qui équivut à = b = b 1 =. L fmille {c, c 1, s 1 } est donc libre. Supposons le résultt cquis u rng n 1 1. Si P = + n ( k c k + b k s k ) =, en dérivnt deux fois, on : Il en résulte que : P = k ( k c k + b k s k ) = n ( n P + P = n + n k ) ( k c k + b k s k ) = et l hypothèse de récurrence nous dit que n =, (n k ) k = et (n k ) b k pour tout k compris entre 1 et n 1, ce qui équivut à dire que = et k = b k = pour tout k compris entre 1 et n 1 puisque n k. Il reste lors n c n + b n s n =, ce qui implique n =, en évlunt en x = et b n =. L fmille B n est donc libre. On verr un peu plus loin que cette fmille est orthogonle, formée de fonctions non nulles, et en conséquence libre (exercice 1.15).. Posnt z = e ix pour tout réel x, on : ) z P (x) = + ( k + z k z k z k k + b k i ( k (z k + 1z ) ib k k (z k 1z )) k = + 1 (( k ib k ) z k + ( k + ib k ) 1z ) k = + 1

5 Inéglités de Cuchy-Schwrz et de Minkowski 19 ou encore : z n P (x) = z n + 1 ( (k ib k ) z n+k + ( k + ib k ) z n k) = Q (z) Il en résulte que si P s nnule en n + 1 points deux à deux distincts, x,, x n, dns [, π[, lors le polynôme complexe Q C n [z] s nnule en n + 1 points distincts du cercle unité, e ix,, e ix n, ce qui revient à dire que c est le polynôme nul et P =. 3. On vérifie fcilement que ϕ est une forme bilinéire symétrique et positive. L églité ϕ (P, P ) = entrîne que P P n s nnule en n + 1 points deux à deux distincts dns [, π[ et en conséquence P =. Exercice 1.6 Montrer que, pour toute fonction α C ( [, b], R +), l ppliction : ϕ : (f, g) f (t) g (t) α (t) dt définit un produit sclire sur l espce vectoriel E = C ([, b], R). Solution 1.6 Avec l structure de corps commuttif de R et l linérité et positivité de l intégrle, on déduit que ϕ est une forme bilinéire symétrique positive sur E. Schnt que l intégrle sur [, b] d une fonction continue et à vleurs positives est nulle si, et seulement si, cette fonction est nulle, on déduit que ϕ est une forme définie. Donc ϕ est un produit sclire sur E. Exercice 1.7 Montrer que l ppliction : (f, g) f (t) g (t) dt définit un produit sclire sur l espce vectoriel F des fonctions définies sur R à vleurs réelles, continues et périodiques de période π. Solution 1.7 Ce sont les mêmes rguments qu à l exercice précédent compte tenu qu une fonction de F est nulle si, et seulement si, elle est nulle sur [, π]. 1. Inéglités de Cuchy-Schwrz et de Minkowski Dns tout ce qui suit E désigne un espce préhilbertien. Théorème 1.1 (Inéglité de Cuchy-Schwrz) Pour tous x, y dns E on : x y x y, l églité étnt rélisée si, et seulement si, x et y sont liés. Démonstrtion. Si x =, on lors l églité pour tout y E. Si x et y = λx vec λ R, on encore l églité. On suppose donc que x est non nul et y non lié à x. L fonction polynomile P défini pr : P (t) = y + tx = x t + x y t + y

6 Espces préhilbertiens est lors à vleurs strictement positives, le coefficient de t étnt non nul, il en résulte que son discriminnt est strictement négtif, soit : x y x y <, ce qui équivut à x y < x y. Sur R n muni du produit sclire cnonique, l inéglité de Cuchy-Schwrz prend l forme suivnte : ( ) ( ) x k y k x k yk On peut déduire de cette inéglité quelques inéglités intéressntes sur les réels. Exercice On se donne un entier n 1 et des réels x 1,, x n. Montrer que : Dns quel cs -t on églité? ( ) x k n. En déduire une condition nécessire et suffisnte, sur les réels et b, pour que l ppliction ϕ : (x, y) n x i y i + b x i y j définissent un produit sclire sur R n, où n. Solution i j n 1. L inéglité de Cuchy-Schwrz nous donne : ( ( x k 1) 1 ) ( x k x k ) = n l églité étnt rélisée si, et seulement si, tous les x k sont égux.. L ppliction ϕ est bilinéire et symétrique. Pour x R n, on : q (x) = ϕ (x, x) = = x i + b ( ) x i + b x i = ( b) 1 i<j n x i x j x i ( ) x i + b x i Si( ϕ est un produit sclire, on lors = q (e 1 ) >, b = q (e 1 e ) > et n ) q e i = n ( + (n 1) b) >. x k

7 Inéglités de Cuchy-Schwrz et de Minkowski 1 Réciproquement si >, b > et + (n 1) b >, on lors pour x R n \ {} ynt u moins deux composntes distinctes : q (x) = ( b) ( ) x i + b x i ( ) > ( b) 1 ( ) x i + b x i n = 1 n ( + (n 1) b) ( x i ) et q (x) >. Si x R n \ {} toutes ses composntes égles à λ, on lors : ( ) q (x) = q λ e i = nλ ( + (n 1) b) >. Donc ϕ est un produit sclire. Exercice 1.9 Montrer que pour tout entier n 1, on : k k n (n + 1) n Solution 1.9 L inéglité de Cuchy-Schwrz nous donne : k k n k n k vec n k = n (n + 1) et k = k k n (n + 1) (n + 1), ce qui donne : 6 n (n + 1) (n + 1) 1 = n (n + 1) n Exercice 1.1 On se donne un entier n 1 et des réels x 1,, x n strictement positifs. 1. Montrer que : ( Dns quel cs -t on églité?. Montrer que : Solution 1.1 x k) ( 1 k ) 1 n. x k 6n (n + 1) (n + 1).

8 Espces préhilbertiens 1. L inéglité de Cuchy-Schwrz nous donne : n = xk 1 xk n x k n 1 x k encore équivlent à l inéglité proposée. L églité est rélisée si, et seulement si, il existe un réel λ tel que x k = λ 1 xk pour tout k compris entre 1 et n, ce qui équivut à x k = λ pour tout k compris entre 1 et n, où λ est un réel strictement positif.. Prennt x k = k pour tout k compris entre 1 et n, on en déduit que : ( ( ) k ) 1 n k et vec n k = n (n + 1) (n + 1), on en déduit que : 6 1 k 6n (n + 1) (n + 1). Exercice Montrer que pour tous réels, b et λ, on : (λ 1) λb = λ ( b) λb + (λ 1). Soit q l forme qudrtique définie sur E = R n pr : q (x) = n (k 1) x k kx k x k+1 () Effectuer une réduction de q en combinison linéire de crrés de formes linéires indépendntes. (b) Préciser le rng le noyu et l signture de q. 3. On note (x, y) = (x 1,, x n, y 1,, y n ) un vecteur de H = R n et Q l forme qudrtique définie sur H pr : ( ) Q (x, y) = y k x k y k. () Effectuer une réduction de Q en combinison linéire de crrés de formes linéires indépendntes. (b) Préciser le rng le noyu et l signture de Q. 4. Pour n 1 et x = (x 1,, x n ) dns R n, on définit y = (y 1,, y n ) pr : y k = 1 k k x j. j=1

9 Inéglités de Cuchy-Schwrz et de Minkowski 3 () Montrer que : { x1 = y 1 k {,, n}, x k = ky k (k 1) y k (b) Montrer que : Q (x, y) = q (y). (c) En déduire : puis montrer que : yk x k y k. yk 4 x k. (d) En déduire que si (x n ) n 1 est une suite de réels telle que l série xn soit convergente et si (y n ) n 1 est l suite des moyennes de Césro définie pr y n = 1 x j n pour tout n 1, lors l série yn est convergente et Solution On : + y n 4 + n=1 n=1 (λ 1) λb = λ ( b ) + (λ 1) = λ ( ( b) b ) + (λ 1) = λ ( b) λb + (λ 1). () En utilisnt le résultt précédent, on : n ( ) q (x) = (n 1) x n + (k 1) x k kx k x k+1 n n n = (n 1) x n + k (x k x k+1 ) kx k+1 + (k 1) x k = (n 1) x n + x n. n n n k (x k x k+1 ) + kx k+1 kx k+1 n = (n 1) x n + k (x k x k+1 ) (n 1) x n n = k (x k x k+1 ) + nx n. j=1 soit : q (x) = kl k (x)

10 4 Espces préhilbertiens où les formes linéires l k sont définies pr : { lk (x) = x k x k+1 (1 k n 1) l n (x) = x n Il est fcile de vérifier que ces formes linéires sont indépendntes. (b) On en déduit que rg (q) = n, ker (q) = {} et sgn (q) = (n, ). () On : soit Q (x, y) = Q (x, y) = (y k x k ) L k (x, y) k=n+1 x k L k (x, y) où les formes linéires L k sont définies pr : { Lk (x, y) = y k x k (1 k n) L k (x, y) = x k (k + 1 k n) Il est fcile de vérifier que ces formes linéires sont indépendntes. (b) On en déduit que rg (Q) = n, ker (Q) = {} et sgn (Q) = (n, n). () On x 1 = y 1 et pour k, de ky k = k x j, on déduit que : j=1 x k = ky k (k 1) y k. (b) En posnt y =, on : Q (x, y) = (y k x k ) y k = = = (y k (ky k (k 1) y k )) y k ((1 k) y k + (k 1) y k ) y k (1 k) yk + (k 1) y k y k soit : Q (x, y) = n (1 k) yk + ky k y k+1 = q (y).

11 Inéglités de Cuchy-Schwrz et de Minkowski 5 (c) Comme q est positive, on : Q (x, y) = ( ) y k x k y k = q (y) soit : yk x k y k. En utilisnt l inéglité de Cuchy-Schwrz dns R n, on : yk x k y k n n et : yk 4 x k. (d) Résulte de ce qui précède. On peut montrer que l églité est rélisée si, et seulement si, (x n ) n 1 est l suite nulle (voir RMS, Mi-Juin 1996, pge 973). Dns l espce C ([, b], R) des fonctions continues de [, b] dns R muni du produit sclire (f, g) f (t) g (t) dt, l inéglité de Cuchy-Schwrz s écrit : ( f (t) g (t) dt) f (t) dt De cette inéglité, on peut déduire des inéglités intéressntes. Exercice 1.1 Soit f C ([, b], R). Montrer que : Dns quel cs -t on églité? ( f (t) dt) (b ) x k f (t) dt Solution 1.1 L inéglité de Cuchy-Schwrz nous donne : ( f (t) 1dt) f (t) dt 1dt = (b ) g (t) dt. l églité étnt rélisée si, et seulement si, l fonction f est constnte. y k f (t) dt Exercice 1.13 Soit f C ( ( ) b ) ( [, b], R 1 b ) +. Montrer que f (t) dt f (t) dt (b ). Dns quel cs -t on églité?

12 6 Espces préhilbertiens Solution 1.13 L inéglité de Cuchy-Schwrz nous donne : ( (b ) 1 = f (t) dt) f (t) f (t) dt 1 f (t) dt l églité étnt rélisée si, et seulement si, il existe un réel λ tel que f = λ 1 f, ce qui équivut à dire que f est constnte. Exercice 1.14 Soit f C 1 ([, b], R) telle que f () =. Montrer que : f (t) dt (b ) f (t) dt. Solution 1.14 Pour tout t ], b], on : et en intégrnt : ( t f (t) = f (x) dx) t 1dx t f (x) dx (t ) f (t) dt f (t) dt f (t) dt (t ) dt = (b ) f (t) dt. Une conséquence importnte de l inéglité de Cuchy-Schwrz est l inéglité tringulire de Minkowski. Théorème 1. (Inéglité de Minkowski) Pour tous x, y dns E on : x + y x + y, l églité étnt rélisée si, et seulement si, x = ou x et y = λx vec λ (on dit que x et y sont positivement liés). Démonstrtion. Si x =, on lors l églité pour tout y E. Si x et y = λx vec λ R, on : x + y = 1 + λ x (1 + λ ) x = x + y, l églité étnt rélisée pour λ. Pour λ <, l inéglité est stricte puisque dns ce cs 1 + λ < 1 + λ = 1 λ. On suppose que x est non nul et y non lié à x. On : et vec l inéglité de Cuchy-Schwrz : x + y = x + x y + y x + y < x + x y + y = ( x + y ) ce qui équivut à x + y < x + y. L inéglité de Minkowski joutée ux propriétés de positivité ( x > pour tout x ) et d homogénéité ( λx = λ x pour tout réel λ et tout vecteur x) se trduit en disnt que l ppliction x x = x x définit une norme sur E.

13 Orthogonlité 7 Pr récurrence, on montre fcilement que pour tous vecteurs x 1,, x p, on : x x p x x p. Sur R n muni du produit sclire cnonique, l inéglité de Minkowski prend l forme suivnte : n (x k + y k ) n x k + n Dns l espce C ([, b], R) des fonctions continues de [, b] dns R muni du produit sclire (f, g) f (t) g (t) dt, l inéglité de Minkowski s écrit : y k (f (t) + g (t)) dt f (t) dt + g (t) dt. 1.3 Orthogonlité Définition 1.4 On dit que deux vecteurs x et y pprtennt à E sont orthogonux si x y =. Théorème 1.3 (Pythgore) Les vecteurs x et y sont orthogonux dns E si, et seulement si x + y = x + y. On montre fcilement pr récurrence sur p, que si x 1,, x p sont deux à deux orthogonux, on lors : p p x k = x k Définition 1.5 On ppelle fmille orthogonle dns E toute fmille (e i ) i I de vecteurs de E telle que e i e j = pour tous i j dns I. Si de plus e i = 1 pour tout i I, on dit lors que cette fmille est orthonormée ou orthonormle. Définition 1.6 L orthogonl d une prtie non vide X de E est l ensemble : X = {y E x X, x y = }. Il est fcile de vérifier que X est un sous espce vectoriel de E. Théorème 1.4 Une fmille orthogonle de vecteurs non nuls de E est libre. Démonstrtion. Si (e i ) i I est une telle fmille et si j J λ j e j = où J est une prtie finie de I on lors pour tout k J : = λ j e j e k = λ k e k, j J vec e k = et nécessirement λ k =.

14 8 Espces préhilbertiens Exercice 1.15 Montrer que l fmille {cos (nt), sin (mt) (n, m) N N } est orthogonle dns l espce vectoriel F des fonctions continues et π-périodiques sur R muni du produit sclire (f, g) f g = f (t) g (t) dt défini sur Solution 1.15 Pour n m dns N, on : cos (nt) cos (mt) dt = 1 pour n m dns N, on : sin (nt) sin (mt) dt = 1 et pour (n, m) N N, on : Pour n =, on : et pour n 1 : cos (nt) sin (mt) dt = 1 (cos ((n + m) t) + cos ((n m) t)) dt =, (cos ((n m) t) cos ((n + m) t)) dt = (sin ((n + m) t) sin ((n m) t)) dt =. cos (nt) dt = 1 sin (nt) dt = 1 dt = π (cos (nt) + 1) dt = π, (1 cos (nt)) dt = π. De l exercice précédent, on déduit que l fmille de fonctions : { } { } π cos (nt), sin (mt) (n, m) N N π π est orthonormée dns F. Pour tout n N, l fmille : T n = { 1 π } { cos (jt) π, sin (kt) π } 1 j, k n est une bse orthonormée de l espce P n des polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égl à n. Exercice 1.16 Étnt donnée une fmille (x i ) i n de n + 1 réels deux à deux distincts, on munit R n [x] du produit sclire : (P, Q) P Q = P (x i ) Q (x i ). Montrer que l fmille (L i ) i n des polynômes de Lgrnge définie pr : L i (x) = est une bse orthonormée de R n [x]. n k= k i i= x x k x i x k ( i n)

15 Le procédé d orthogonlistion de Grm-Schmidt 9 Solution 1.16 Pour i, j compris entre 1 et n, on : L i L j = L i (x k ) L j (x k ) = L i (x j ) = δ ij = k= { 1 si i = j si i j L fmille (L i ) i n est orthonormée, donc libre et comme elle est formée de n + 1 polynômes, c est une bse de R n [x]. 1.4 Le procédé d orthogonlistion de Grm-Schmidt Théorème 1.5 (orthonormlistion de Grm-Schmidt) Pour toute fmille libre (x i ) 1 i p dns E, il existe une unique fmille orthonormée (e i ) 1 i p dns E telle que : k {1,,, p}, { Vect {e1,, e k } = Vect {x 1,, x k }, x k e k >. Démonstrtion. On procède pr récurrence sur p 1. Pour p = 1, on nécessirement e 1 = λ 1 x 1 vec λ 1 R et 1 = e 1 = λ 1 x 1, donc λ 1 = 1 x 1 ce qui donne deux solutions pour λ 1. L condition supplémentire x 1 e 1 > entrîne λ 1 > et on obtient insi l unique solution e 1 = 1 x 1 x 1. Supposons p et construite l fmille orthonormée (e i ) 1 i p vérifint les conditions : k {1,,, p 1}, { Vect {e1,, e k } = Vect {x 1,, x k }, x k e k >. Si ( ) e 1, e,, e p, e p est une solution à notre problème on lors nécessirement e k = e k pour tout k compris entre 1 et p 1 (unicité pour le cs p 1). L condition Vect {e 1,, e p } = Vect {x 1,, x p } entrîne : p e p = λ j e j + λ p x p. Avec les conditions d orthogonlité : on déduit que : et : j=1 j {1,, p 1}, e p e j =, λ j + λ p x p e j = (1 j p 1) ) p e p = λ p (x p x p e j e j = λ p y p. j=1 Du fit que x p / Vect {x 1,, x p } = Vect {e 1,, e p } on déduit que y p et l condition e p = 1 donne : λ p = 1 y p. L condition supplémentire : ( ) p 1 < x p e p = e p λ j e j e p = 1 λ p λ p j=1

16 3 Espces préhilbertiens entrîne λ p >. Ce qui donne en définitive une unique solution pour e p. L construction d une fmille orthonormée (e i ) 1 i p peut se fire en utilisnt l lgorithme suivnt : y 1 = x 1, e 1 = 1 y y 1 1 y k = x k k j=1 x k e j e j, e k = 1 f k f k, (k =,, p) Le clcul de y k peut être simplifié en écrivnt que : k y k = y k x k x k e j e j j=1 k = y k x k = x k x k e j e j x k j=1 k = x k x k e j j=1 (y k est orthogonl à e j pour 1 j k 1). Les x k e j étnt déjà clculés (pour obtenir y k ), il suffit donc de clculer x k. En fit le clcul de y k x k est souvent plus rpide. Corollire 1.1 Si F est un sous-espce vectoriel de dimension finie ou infinie dénombrble de E, lors il existe une bse orthonormée pour F. Démonstrtion. On risonne pr récurrence en utilisnt le théorème de Grm-Schmidt. Si E est un espce euclidien de dimension finie et B = (e i ) 1 i n une bse orthonormée de E, lors tout vecteur x E s écrit x = n x e k e k = n x k e k et on pour tous vecteurs x, y dns E, en notnt X l mtrice de x dns l bse B : et : x y = x e k y e k = x = x e k = x k y k = t XY x k. Ces églités sont des cs prticuliers des églités de Prsevl vlbles de mnière plus générle dns les espces de Hilbert. Théorème 1.6 Si E est un espce euclidien de dimension n 1, B = (e i ) 1 i n et B = (e i) 1 i n sont deux bses orthonormées de E, lors l mtrice de pssge P de B à B est telle que P = t P. En prticulier, on det (P ) = ±1. Démonstrtion. Les colonnes de l mtrice P sont formées des vecteurs colonnes E 1,, E n, où E j est l mtrice de e j dns l bse B et on : t P P = t E 1. t E n (E 1,, E n) = (( )) t E ie j 1 i,j n = (( )) e i e j = ((δ 1 i,j n ij)) 1 i,j n = I n

17 Le procédé d orthogonlistion de Grm-Schmidt 31 ce équivut à dire que P = t P. On lors : et det (P ) = ±1. 1 = det (I n ) = det ( t P P ) = det ( t P ) det (P ) = det (P ) Définition 1.7 On ppelle mtrice orthogonle toute mtrice réelle d ordre n inversible telle que P = t P. L mtrice de pssge d une bse orthonormée B de E à une utre bse orthonormée B est donc une mtrice orthogonle et réciproquement une telle mtrice est l mtrice de pssge d une bse orthonormée de E à une utre. Exercice 1.17 Soient (E, ) un espce euclidien et u un utomorphisme de E. 1. Montrer que l ppliction : ϕ : (x, y) u (x) u (y) définit un produit sclire sur E.. Dns le cs où E est de dimension finie, donner l mtrice de ϕ dns une bse orthonormée de E en fonction de celle de u. Solution De l linérité de u, on déduit que ϕ est bilinéire symétrique. Pour x E, on ϕ (x, x) = u (x) et ϕ (x, x) = équivut à x ker (u), soit à x = puisque u est bijectif. Donc ϕ est un produit sclire sur E.. Soit B = (e i ) 1 i n une bse orthonormée de E et A l mtrice de u dns cette bse. Pour x, y dns E, on : ϕ (x, y) = u (x) u (y) = t (AX) (AY ) = t X ( t AA ) Y et l mtrice de ϕ dns B est t AA. Exercice 1.18 Montrer que l ppliction (P, Q) P Q = un produit sclire sur R [x]. Donner une bse orthonormée. ( t) P (t) Q (t) dt définit Solution 1.18 L fonction t t étnt à vleurs strictement positives sur ], [, il est fcile de vérifier que est un produit sclire. En utilisnt l lgorithme de Grm-Schmidt, on définit l bse orthonormée (P i ) i pr : Q = 1, Q = Q 1 = x x P P = x 3, ( t) dt =, P = 1 Q 1 = Q 1 x = 4 9, P 1 = 3 x 1, Q = x x P P x P 1 P 1 = x 8 5 x + 5, Q = Q x = , P = 4 (5x 8x + ) Une bse orthonormée de R [x] est donc : ( 1, 3 6 x 1, ( 5x 8x + )) 4

18 3 Espces préhilbertiens Exercice 1.19 Montrer que l ppliction (P, Q) P (t) Q (t) dt définit un produit sclire sur R 3 [x]. Donner l mtrice dns l bse cnonique et déterminer une bse orthonormée. Solution 1.19 On sit déjà que est un produit sclire. En utilisnt l lgorithme de Grm-Schmidt, on définit l bse orthonormée (P i ) i 3 pr : Q = 1, Q = dt =, P = 1 Q 1 = x x P P = x, Q 1 = Q 1 x = 3, P 1 = 3 x, Q = x x P P x P 1 P 1 = x 1 3, Q = Q x = 8 45, P = 3 ( 1 x 1 ) 4 3 Une bse orthonormée de R [x] est donc : ( 1 3, x, 3 ( 1 x 1 ) ) 4 3 Exercice 1. On note le produit sclire défini sur R [X] pr : 1. Montrer que : (P, Q) P Q = n N, +1 t n 1 t dt = P (t) Q (t) dt. 1 t (n)! π n (n!).. En utilisnt le procédé d orthogonlistion de Grm-Schmidt, déduire de l bse cnonique (1, X, X ) de R [X], une bse orthonormée de R [X]. Solution Pour tout entier nturel n, on note : T n = t n 1 t dt. L fonction à intégrer est positive et équivlente u voisinge de 1 à l fonction elle est donc intégrble sur [, 1]. On : T = 1 dt = rcsin (1) = π 1 t et pour n 1, une intégrtion pr prties donne : T n = = (n 1) t n t (n) t 1 dt = (n 1) x n 1 t dt 1 t 1 t ( 1 t ) dx = (n 1) (T n T n ). 1 1 t,

19 Le procédé d orthogonlistion de Grm-Schmidt 33 On donc l reltion de récurrence : n 1, T n = n 1 n T n et vec l vleurs initile T, on déduit que :. On pose Q = 1 et on Donc : = n n Q = n 1 n T n = n 1 n 3 n (n 1) 3 1 π 4 n n 3 (n 1) (n 1) 3 1 π 4 = (n)! π n (n!). 1 1 dt = 1 dt = π. 1 t 1 t P = 1 Q Q = 1 π. Puis Q 1 (X) = X λp où λ est tel que P Q =, ce qui donne : pr prité. On Q 1 (X) = X et : Donc : Q 1 = λ = P X = t dt = 1 t t dt = 1 t t P 1 = 1 Q 1 Q 1 = π X. 1 t dt = π = π. Puis Q (X) = X λp µp 1 où λ, µ sont tels que P Q = P 1 Q =, ce qui donne : λ = P X = 1 t dt = 1 π π π 1 t π = et : µ = P 1 X 1 t 3 = π dt = 1 t π pr prité. On Q (X) = X λp = X 1 = X 1 π et : Q = Q X λp = Q X = t 4 t dt 1 1 t dt 1 t = 4! 4 π 1 π = π 8.

20 34 Espces préhilbertiens Donc : P = 1 Q Q ( = X 1 ). π Conclusion, une bse orthonormée de R [X] est donnée pr : ( 1 (P, P 1, P ) =, π π X, ( X 1 )) π Exercice 1.1 Pour tout entier n positif ou nul, on note π n (x) = (x 1) n et R n = π (n) n. On munit E = R [x] du produit sclire défini pr : (P, Q) E, P Q = P (x) Q (x) dx. 1. Montrer que R n est un polynôme de degré n de l prité de n.. Clculer, pour n 1, les coefficients de x n et x n dns R n. 3. Montrer que, pour n 1, pour tout entier k compris entre 1 et n et tout P R [x], on : π (k) n (t) P (t) dt = π (k) n (t) P (t) dt. 4. Montrer que, pour n 1 et tout polynôme P R n [x], on R n P =. 5. En déduire que l fmille (R n ) n N est orthogonle dns E. 6. Clculer R n, pour tout entier n positif ou nul. Les polynômes P n = 1 R n R n sont les polynômes de Legendre normlisés. Solution Pour n = on R = π = 1. Pour n 1 le polynôme : π n (x) = () n k Cnx k k est de degré n et s dérivée d ordre n : R n (x) = () n k C k (k)! n n (k n)! xk n k n est un polynôme de degré n. Le polynôme π n est pir donc s dérivée d ordre n, R n est de l prité de n.. Le coefficient dominnt de R n est β (n) n k= = (n)! n! et le coefficient de x n est nul du fit que R n est de l prité de n. 3. Une intégrtion pr prties donne, pour tout entier k compris entre 1 et n et tout P R [x] : [ ] 1 π (k) n (t) P (t) dt = π (k) n (t) P (t) π (k) n (t) P (t) dt Et utilisnt le fit que et 1 sont rcines d ordre n du polynôme π n (x) = (x 1) n (x + 1) n, on π (k) n (±1) =, de sorte que : π (k) n (t) P (t) dt = π (k) n (t) P (t) dt.

21 Le procédé d orthogonlistion de Grm-Schmidt En effectunt n intégrtions pr prties, on obtient : π (n) n (t) P (t) dt = () n π n (t) P (n) (t) dt Pour P R n [X], on P (n) = et : R n P = π (n) n P = π n P (n) =. 5. Chque polynôme R k étnt de degré k, on déduit de l question précédente que R n R m = pour n < m et pr symétrie R n R m = pour n m dns N. L fmille {R n n N} est donc orthogonl dns R [x]. 6. En utilisnt 4. on : R n = π (n) n (t) R n (t) dt = () n = () n β (n) n n! π n (t) R n (n) (t) dt π n (t) dt = (n)! () n I n où : Pour n 1, on : I n = π n (t) dt = ( t 1 ) n dt. I n = ( t 1 ) n ( t 1 ) ( dt = t 1 ) n t tdt In et une intégrtion pr prties donne : ( t 1 ) n t tdt = [t 1 ( t 1 ) ] n n soit l reltion de récurrence : I n = 1 n I n I n soit I n = n n + 1 I n. Il en résulte que : et : soit R n = n n! n ( t 1 ) n dt n = 1 n I n I n = () n (n) ( (n 1)) (n + 1) (n 1) 1 I = () n n (n!) (n + 1)! R n = (n)! n (n!) (n + 1)! = n + 1 n (n!)

22 36 Espces préhilbertiens 1.5 Projection orthogonle sur un sous-espce de dimension finie (E, ) est toujours un espce préhilbertien de dimension finie ou non. Théorème 1.7 (projection orthogonle) Soit F un sous espce vectoriel de dimension finie de E non réduit à {}. Pour tout vecteur x E, il existe un unique vecteur y dns F tel que : x y = d (x, F ) = inf x z. z F Ce vecteur est églement l unique vecteur pprtennt à F tel que x y F. Son expression dns une bse orthonormée (e i ) 1 i n de F est donnée pr : et on : y = x e k e k x y = x y = x x e k. (1.1) Démonstrtion. Soit (e i ) 1 i n une bse orthonormée de F (le théorème de Grm Schmidt nous ssure l existence d une telle bse). Pour x dns E, on définit le vecteur y F pr : y = x e k e k. On lors x y e j = pour tout j {1,, n}, c est-à-dire que x y F. Le théorème de Pythgore donne lors, pour tout z F : x z = (x y) + (y z) = x y + y z x y et on bien x y = d (x, F ). S il existe un utre vecteur u F tel que x u = d (x, F ) = δ, de : δ = x u = x y + y u = δ + y u, on déduit lors que y u = et y = u. On sit déjà que le vecteur y F est tel que x y F. Supposons qu il existe un utre vecteur u F tel que x u F, pour tout z F, on lors : x z = (x u) + (u z) = x u + u z x u, donc x u = d (x, F ) et u = y d près ce qui précède. L dernière églité se déduit de : x = (x y) + y = x y + y.

23 Projection orthogonle sur un sous-espce de dimension finie 37 Si x est un vecteur de E, lors le vecteur y de F qui lui est ssocié dns le théorème précédent est l meilleure pproximtion de x dns F. En considérnt l crctéristion géométrique x y F, on dit ussi que y est l projection orthogonle de x sur F. On note y = p F (x). On donc : (y = p F (x)) ( y F et x y F ) (y F et x y = d (x, F )) et dns une bse orthonormée de F, une expression de p F est : x E, p F (x) = x e k e k. On dit que l ppliction p F est l projection orthogonle de E sur F. Remrque 1.1 Si F = {}, on peut définir p F et c est l ppliction nulle. On suppose donc, priori, F non réduit à {}. Dns le cs où E est de dimension finie et F = E, p F est l ppliction identité. Remrque 1. p F (x) = x équivut à dire que x F et p F (x) = équivut à dire que x F. ( ) 1 Exemple 1. Si D = R est une droite vectorielle, une bse orthonormée de D est x et pour tout x E, on p D (x) =. De l inéglité (1.1), on déduit que pour tout vecteur x E, on : p F (x) = x e k x. Cette inéglité est l inéglité de Bessel. Exercice 1. On munit l espce vectoriel R [x] du produit sclire : (P, Q) P Q = + P (t) Q (t) e t dt. 1. Justifier l convergence des intégrles P Q pour tous P, Q dns R [x] et le fit qu on bien un produit sclire.. Construire une bse orthonormée de R 3 [x]. 3. Soit P = 1 + x + x 3. Déterminer Q R [x] tel que P Q soit miniml. Solution On vérifie pr récurrence que : k N, + t k e t dt = k! et de ce résultt on déduit que l ppliction est bien définie sur R [x]. On vérifie ensuite fcilement que c est un produit sclire.

24 38 Espces préhilbertiens. En utilisnt le procédé de Grm-Schmidt sur l bse (1, x, x, x 3 ) de R 3 [x], on : Q = 1, Q = 1, P = Q Q = 1 P 1 = x x P P = x 1, Q 1 = 1, P 1 = Q 1 Q 1 = x 1, Q = x x P P x P 1 P 1 = x 4x +, Q = 4, P = Q Q = 1 (x 4x + ), Q 3 = x 3 x 3 P P x 3 P 1 P 1 x 3 P P = x 3 9x + 18x 6, Q 3 = 36, P 3 = Q 3 Q 3 = 1 6 (x3 9x + 18x 6). 3. Le polynôme Q est l projection orthogonle de P sur F = R [x] donnée pr : Q = P P k P k. k= Le clcul des P P k peut être évité en remrqunt que dns l bse orthonormée (P, P 1, P, P 3 ) de E = R 3 [x], on : P = 3 P P k P k = Q + P P 3 P 3 k= le coefficient P P 3 s obtennt en identifint les coefficients de x 3 dns cette églité (P est de degré u plus), soit : P P 3 = 6. On donc : et : Q = P P P 3 P 3 = 9x 17x + 7 d (P, R [x]) = P Q = P P 3 = 6. Il est prfois commode d exprimer (1.1) sous l forme : inf (λ 1,,λ n) R n x λ k e k = x y = x où (e i ) 1 i n est un système orthonormé dns E et x E. Exercice 1.3 Clculer inf (x x b) dx. (,b) R x e k, Solution 1.3 En munissnt l espce E = C ([, 1]) du produit sclire : f, g = f (x) g (x) dx

25 Projection orthogonle sur un sous-espce de dimension finie 39 on : M = ( inf x x b ) dx = inf f Q (,b) R Q R 1 [x] où f (x) = x. Le théorème de projection orthogonle donne : M = f P = f P où P est l projection orthogonle de f sur R 1 [x], soit P = f, P P + f, P 1 P 1 où (P, P 1 ) est une bse orthonormée de R 1 [x]. Le procédé de Grm-Schmidt donne : P (x) = 1, P 1 (x) = 3 x et on : f, P = 1, f, P 1 = 3 donc : P (x) = 1 3 et : M = 5 9 = 8 45 Remrque 1.3 Si (e i ) 1 i n est une bse (non nécessirement orthonormée) de F, lors l projection orthogonle d un vecteur x de E sur F est le vecteur y = n y j e j, où les composntes y j, pour j compris entre 1 et n, sont solutions du système linéire : soit : x y e i = (1 i n), e i e j y j = x e i (1 i n). j=1 Ce système est ppelé système d équtions normles. Pour l exercice précédent, (1, x) est une bse de R 1 [x] et le système d équtions normles est : { 1 1 y1 + 1 x y = x 1 x 1 y 1 + x x y = x x j=1 soit : y 1 = 3 3 y = ce qui donne y 1 = 1 3 et y =, soit P = 1 3 et M = f P = Exercice 1.4 Clculer inf (,b) R x (ln (x) x b) dx.

26 4 Espces préhilbertiens Solution 1.4 On munit l espce vectoriel E = C ([, 1]) du produit sclire : (f, g) f g = f (x) g (x) dx et on note f l fonction définie sur [, 1] pr : { x ln (x) si x ], 1], f (x) = si x =. Avec lim x x ln (x) =, on déduit que f E. Avec ces nottions il s git donc de clculer : δ = d (f, F ) = inf f x bx, (,b) R où F = Vect {x, x }. On sit que si (P 1, P ) est une bse orthonormée de F, lors : δ = f f P 1 P 1 f P P = f f P 1 f P. Une telle bse orthonormée s obtient vec le procédé de Grm-Schmidt : { P1 = 3x, P = 5 (4x 3x). Puis vec : n N, f x n = x n+1 1 ln (x) dx = (n + ), f = x ln (x) dx = 7, on obtient : 3 f P 1 = 9, 5 f P = 1 et : δ = = L projection orthogonle de f sur F étnt donnée pr : P = f P P 1 + f P P = 5 3 x 19 1 x. On peut ussi déterminer cette projection orthogonle P = x + bx en utilisnt le système d équtions normles : { f P x =, soit : f P x =, 3 + 4b = 4 3, 4 + 5b = 5 4,

27 Projection orthogonle sur un sous-espce de dimension finie 41 ce qui donne = 5 3 et b = 9. Le minimum cherché est lors : 1 δ = f P = = Sur l espce vectoriel F des fonctions continues et π-périodiques muni du produit sclire : (f, g) f g = f (x) g (x) dx, l meilleure pproximtion, pour l norme déduite de ce produit sclire, d une fonction f F pr un polynôme trigonométrique de degré inférieur ou égl à n est donnée pr : c c c S n (f) = f k ck s + f k sk + f π π π π π π = 1 π f c c + 1 π f c k c k + 1 π f s k s k où c k : x cos (kx) pour k et s k : x sin (kx) pour k 1. Soit : S n (f) (x) = (f) + k (f) cos (kx) + b k (f) sin (kx) où les k (f) et b k (f) sont les coefficients de Fourier trigonométriques de f définis pr : k (f) = 1 π f (t) cos (kt) dt et b k (f) = 1 π f (t) sin (kt) dt L opérteur S n de projection orthogonle de F sur l espce P n des polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égl à n est l opérteur de Fourier. L série : (f) + ( n (f) cos (nx) + b n (f) sin (nx)) est l série de Fourier de f. L inéglité de Bessel s écrit : ou encore : f c π + (f) + f ck π + ( k (f) + b k (f) ) 1 π f sk π f f (t) dt Il en résulte que l série numérique (f) + 1 ( n (f) + b n (f)) converge vec : (f) + + n=1 ( n (f) + b n (f) ) 1 π f (t) dt (théorème de Bessel). On peut monter qu on fit l églité (théorème de Prsevl). De l inéglité de Bessel, on déduit que lim n (f) = lim b n (f) = (théorème de Riemnnn + n + Lebesgue).

28 4 Espces préhilbertiens Exemple 1.3 Si f F est l fonction π-périodique, pire vlnt x (π x) sur [, π], on b n (f) = pour tout n 1 puisque f est pire et : (f) = π t (π t) dt = π 3 pour n 1. L identité de Prsevl nous donne : n (f) = t (π t) cos (nt) dt π = si n = p + 1 n (1 + ()n ) = 1 si n = p p π p = t (π t) dt = π4 4 π 15 p=1 soit : + p=1 1 p 4 = π4 9. Du théorème de projection orthogonle, on déduit le résultt suivnt vlble en dimension finie. Corollire 1. Pour tout sous espce vectoriel F de dimension finie de E on E = F F et ( F ) = F. Démonstrtion. Pour tout x F F, on x = x x = et x =. Donc F F = {}. Soit x E et y F s projection orthogonle dns F. On x y F et x = y + (x y) F + F. D où l églité E = F F. Il en résulte que dim ( F ) = dim (E) dim (F ). On donc dim ( (F ) ) = dim (F ) et vec l inclusion F ( F ), on déduit qu on l églité. Remrque 1.4 Pour F de dimension infinie, on toujours F F = {} mis ps nécessirement E = F F, ni même ( F ) = F. On considère pr exemple l espce vectoriel E = C ([, 1], R) muni du produit sclire f g = f (t) g (t) dt. Pour F = R [x], du théorème de Weierstrss on déduit que F = {} et pourtnt on E F F et ( F ) = E F. Avec le théorème qui suit, on donne les principles propriétés des projections orthogonles. Théorème 1.8 Soit F un sous espce vectoriel de dimension finie de E. 1. Pour x E, on x F si, et seulement si, p F (x) = x.. p F p F = p F. 3. L projection orthogonle p F de E sur F est une ppliction linéire surjective de E sur F.

29 Projection orthogonle sur un sous-espce de dimension finie Le noyu de p F est F. 5. Pour tous x, y dns E, on : (on dit que p F est uto-djoint). p F (x) y = x p F (y) = p F (x) p F (y) 6. Pour E de dimension finie, on p F + p F = Id. 7. Pour E de dimension finie, on p F p F = p F p F =. Démonstrtion. 1. Si x = p F (x), on lors x F. Réciproquement si x F, vec x x = F, on déduit que p F (x) = x.. Résulte de p F (x) = x pour tout x F. 3. Si (e i ) 1 i n est une bse orthonormée de F, on lors : x E, p F (x) = x e k e k et p F est linéire puisque chque ppliction x x e k e k est linéire. L églité p F (x) = x pour tout x F nous dit en prticulier que p F est surjective de E sur F. 4. Si x ker (p F ), on p F (x) = et x = x p F (x) F. Réciproquement si x = x F, on p F (x) = puisque F. 5. Pour x, y dns E, on p F (x) F et y p F (y) F, donc : p F (x) y = p F (x) y p F (y) + p F (y) = p F (x) p F (y) l expression p F (x) p F (y) étnt symétrique en x, y. Il en résulte que p F (x) y = x p F (y). En utilisnt une bse orthonormée (e i ) 1 i n de F on peut ussi écrire que p F (x) = x e k e k, p F (y) = n y e k e k et : p F (x) y = x e k y e k = x p F (y) = p F (x) p F (y). 6. Dns E = F F, on les deux écritures : x = (x p F (x)) + p F (x) = (x p F (x)) + p F (x) vec (p F (x), x p F (x)) et (x p F (x), p F (x)) dns F F, ce qui entrîne x p F (x) = p F (x) du fit de l unicité de l écriture dns une somme directe. On donc bien p F (x) + p F (x) = x pour tout x E. 7. On en déduit que : p F (x p F (x)) = p F (p F (x)) = p F (x) et p F (p F (x)) =. L églité p F p F = se montre de mnière nlogue.

30 44 Espces préhilbertiens Exercice 1.5 On suppose que E est euclidien et on se donne une bse orthonormée B de E. 1. Déterminer l mtrice dns B de l projection orthogonle sur l droite D = R engendrée pr un vecteur non nul.. Déterminer l mtrice de l projection orthogonle sur un hyperpln H de E dns B. Solution Pr définition de p D, on, pour tout x E, p D (x) = i e i, on, pour tout j compris entre 1 et n : x. En écrivnt que = p D (e j ) = e j = et l mtrice A de p D dns B est A = (( )) i j i j e i 1 i,j n, ce qui peut ussi s écrire A = 1 C t C, où C est le vecteur colonne formé des composntes de dns B.. On H = {} = (R) vec et pour tout x E, p H (x) = x mtrice de p H dns B est donc : B = I n A = I n 1 C t C = (( δ ij )) i j 1 i,j n x. L 1.6 Crctéristion des projecteurs orthogonux dns un espce euclidien On rppelle que, sur un espce vectoriel E, un projecteur est une ppliction linéire p de E dns E telle que p p = p. Il est fcile de vérifier que si p est un projecteur de E, lors ker (p) et Im (p) sont en somme directe et pour tout x = y + z vec (y, z) ker (p) Im (p), on p (x) = y. En effet, si x ker (p) Im (p), on x = p (y) et = p (x) = p p (y) = p (y) = x, donc ker (p) Im (p) = {} et tout x E s écrit x = x p (x) + p (x) vec x p (x) ker (p) et p (x) Im (p), donc E = ker (p) + Im (p). On donc bien E = ker (p) Im (p) et pour tout x = y + z E vec (y, z) ker (p) Im (p), on p (x) = p (y) + p (z) = p (z) = z. On dit que p est le projecteur sur F = Im (p) prllèlement à ker (p). Réciproquement si E = F G, l ppliction qui ssocie à x = y + z, où (y, z) F G, le vecteur y est un projecteur sur F prllèlement à G. Les projecteurs orthogonux sont des cs prticuliers de projecteurs. Ce sont en fit les projecteurs de E crctérisés pr l propriété 5. du théorème 1.8 ou pr p (x) x pour tout x E. Théorème 1.9 Soit p un projecteur d un espce euclidien E. Les propriétés suivntes sont équivlentes : 1. p est un projecteur orthogonl ;

31 Réduction des mtrices symétriques réelles 45. pour tous x, y dns E, on : p (x) y = x p (y) ; 3. pour tout x E, on p (x) x. Démonstrtion. Si p = p F est un projecteur orthogonl, on sit déjà qu il est uto-djoint, c est-à-dire que 1. implique. Si p est un projecteur qui vérifie. on, en utilisnt l inéglité de Cuchy-Schwrz, pour tout x E : p (x) = p (x) p (x) = x p (p (x)) = x p (x) x p (x) et p (x) x pour x, l églité étnt rélisée pour x =. Supposons que p soit un projecteur vérifint 3. On E = ker (p) Im (p) et si p est un projecteur orthogonl sur F, on nécessirement ker (p) = F et Im (p) = F = (ker (p)). Réciproquement si Im (p) = (ker (p)), on lors pour tout x E, p (x) F = Im (p) et x p (x) ker (p) = F, ce qui signifie que p (x) est le projeté orthogonl de x sur F. Il s git donc de montrer que Im (p) = (ker (p)). Pour x ker (p) et y Im (p), en notnt z = y λx où λ est un réel, on p (z) = p (y) = y et : y = p (z) z = y λ x y + λ x soit : λ ( λ x x y ) ce qui entrîne λ x x y pour λ > et λ x x y pour λ <. Fisnt tendre λ vers pr vleurs positives et négtives respectivement, on obtient x y et x y, soit x y =. Le projecteur p est donc un projecteur orthogonl. 1.7 Réduction des mtrices symétriques réelles Pour ce prgrphe, (E, ) désigne un espce euclidien de dimension n 1 et B = (e i ) 1 i n est une bse orthonormée de E. Définition 1.8 On dit qu un endomorphisme u de E est symétrique si : (x, y) E E, u (x) y = x u (y). Théorème 1.1 Un endomorphisme u de E est symétrique si, et seulement si, s mtrice A dns l bse orthonormée B de E est symétrique. Exemple 1.4 Un projecteur orthogonl est un endomorphisme symétrique et on vu que réciproquement si un projecteur est symétrique, c est lors un projecteur orthogonl (théorème 1.9). Définition 1.9 Si u est un endomorphisme de u, on dit qu un réel λ est vleur propre de u si l endomorphisme u λid n est ps inversible. Dire que u λid n est ps inversible équivut à dire que son noyu ker (u λid) n est ps réduit à {}, ce qui équivut à dire qu il existe un vecteur x tel que u (x) = λx. Il est encore équivlent de dire que det (u λid).

32 46 Espces préhilbertiens Les vleurs propres de u sont donc les rcines du polynôme P u (λ) = det (u λid). Ce polynôme est ppelé polynôme crctéristique de u. Comme P u est de degré n, l endomorphisme u u plus n vleurs propres réelles. Pour toute vleur propre réelle λ d un endomorphisme u de E, le sous-espce vectoriel E λ = ker (u λid) est ppelé l espce propre ssocié à l vleur propre λ. En désignnt pr A l mtrice de u dns une bse de u, on det (u λid) = det (A λi n ). Le polynôme P A (λ) = det (A λi n ) est ppelé polynôme crctéristique de A et les rcines de ce polynôme (réelles ou complexes) ( sont ) ppelées les vleurs propres de A. Pr exemple, pour A =, on P 1 A (λ) = λ + 1 qui n ps de rcines réelles, mis deux rcines complexes i et i. Théorème 1.11 Si u est un endomorphisme symétrique de E, lors son polynôme crctéristique n rcines réelles distinctes ou confondues. Corollire 1.3 Les vleurs propres d une mtrice symétrique réelle sont toutes réelles. Théorème 1.1 Soient u un endomorphisme symétrique de E, λ, µ deux vleurs propres (réelles) distinctes de u et E λ, E µ les espces propres ssociés. Pour tout x E λ et y E µ, on s x y =. C est-à-dire que les espces propres ssociés à des vleurs propres distinctes de u sont orthogonux. Théorème 1.13 Si u un endomorphisme symétrique de E, il existe lors une bse orthonormée de E dns lquelle l mtrice de u est digonle. Corollire 1.4 Si A est une mtrice symétrique réelle d ordre n, il existe lors une mtrice inversible P telle que P = t P (une telle mtrice est dite orthogonle) et P AP = t P AP est une mtrice digonle. Ce corollire s exprime en disnt que toute mtrice symétrique réelle est digonlisble dns une bse orthonormée de R n. Corollire 1.5 Si q une forme qudrtique sur E, il existe lors une bse orthonormée de E dns lquelle l mtrice de q est digonle. On retrouve insi le théorème de réduction de Guss reltif ux formes qudrtiques réelles.