Un filtre monochromatique à bande passante étroite : l nnterféromètre de Fabry Pérot

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Jean-Pascal St-Germain
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1 Un fltre monochromatque à bande passante étrote : l nnterféromètre de Fabry Pérot Jean-Mare Malherbe, Août 2007 I - Prncpe On consdère un mleu d ndce n d épasseur e placé dans l ar r 1 t 2 t 2 E 0 n=1 ar e t 1 r 2 r 2 r 2 r 2 n délectrque sn = n sn r r t 2 t 2 n=1 ar 1 2 Le déphasage entre les rayons réfléchs 1-2, 2-3, et transms 1-2, 2-3, est égal à : δ = (4 π / λ) e n cos r Sot r j et t les coeffcents de réflexon et transmsson en supposant le champ éléctrque E 0 ncdent perpendculare au plan d ncdence : r 1 = (cos n cos r) / (cos + n cos r) réflexon d ndce 1 vers ndce n r 2 = (n cos r cos ) / (cos + n cos r) = - r 1 réflexon d ndce n vers ndce 1 t 1 = 2 cos / (cos + n cos r) transmsson d ndce 1 vers ndce n t 2 = 2 n cos r / (cos + n cos r) transmsson d ndce n vers ndce 1

2 Champ transms: On a E t = E 0 t 1 t 2 ( 1 + r 2 2 e δ + r 4 2 e 2δ + r 6 2 e 3δ +...) Il y a dans le second terme une progresson géométrque de premer terme 1 et de rason r 2 e δ de module < 1, donc convergente vers 0. On en dédut : E t = E 0 t 1 t 2 / ( 1 - r 2 2 e δ ) Intenstés Les ntenstés transmses sont données par I t = E t E t * I t = I 0 (t 1 t 2 ) 2 / ( (1 - r 2 2 ) r 2 2 sn 2 (δ/2) ) Appelons R = r 2 2 et T = t 1 t 2 les coeffcents de réflexon et transmsson énergétques. Alors I t = I 0 T 2 / ( (1 - R) R sn 2 (δ/2) ) Il s agt d un spectre cannelé. Poston des maxma (cannelures) : δ = 2 k π = (4 π / λ) e n cos r d où λ = 2 e n cos r / k avec k enter, ordre d nterférence Dstance entre cannelures : Dλ = 2 e n cos r / k 2 avec k enter, ordre d nterférence Contraste : I max / I mn = [ (1+R) / (1-R) ] 2 Largeur à m hauteur : λ = (λ 2 / 2 e n cos r ) (1-R) / (π R) Fnesse : Dλ / λ = π R / (1-R) En ncdence normale, r 1 = (1 n) / (1 + n) r 2 = (n 1) / (1 + n) = - r 1 t 1 = 2 / (1 + n) t 2 = 2 n / (1 + n) R = [(1 n) / (1 + n)] 2 et T = 4 n / (1 + n) 2

3 Pour un mleu ordnare (verre) on a une smple réflexon vtreuse peu effcace avec n=1.5 d où R = 0.04, contraste 1.17, fnesse 0.65, c est un très mauvas nterféromètre! On réalse le Fabry Pérot en déposant une couche métallque réfléchssante sur les deux faces du mleu d ndce n, de sorte que l on at mantenant R proche de 1. Par exemple, pour l argent, R = 0.94, et pour l alumnum, R = Pour l argent, le contraste monte alors à 1000 et la fnesse à 50, on a là un très bon nterféromètre. II dépendance angulare On a vu que la poston des cannelures est donnée par : λ = 2 e n cos r / k avec k enter, ordre d nterférence et sn = n sn r donne cos r 1 ½ r 2 = 1 ½ (/n) 2 S on appelle λ 0 la poston de la cannelure en ncdence nulle, alors elle se déplace en ncdence non nulle de la pette quantté λ / λ 0 = ½ (/n) 2 Pour le solel enter et un Fabry Pérot en plene ouverture, alors = 16 au maxmum. Avec n = 1, on obtent λ / λ 0 = 10-5 sot λ = 0.07 A pour la rae Hα, ce qu est excellent compte tenu de la largeur de la rae (1A), mas oblge à travaller en plene ouverture. Le fltre de LYOT possède une dépendance angulare ben plus fable lu permettant d être ncorporé à une optque nstrumentale plus ouverte. III Déplacement de la bande passante On reprend la formule donnant la poston des cannelures : λ = 2 e n cos r / k avec k enter, ordre d nterférence On déplacera la bande passante d une pette quantté (0.5 A typque) selon pluseurs façons : - en nclnant le fltre (varaton de donc de r) selon la lo λ / λ 0 = ½ (/n) 2 : c est la technque utlsée par la frme commercale CORONADO, on a vu plus haut un déplacement de 0.07 A pour une nclnason de 16 seulement, ou encore 0.7 pour un déplacement de 0.5 A - en fasant varer l épasseur de l nterféromètre e selon la lo λ / λ 0 = e / e avec des actuateurs de grande précson (l ordre de grandeur est 10 nm car e est de l ordre de 0.1 mm): c est ce que propose la frme QUEENSGATE - en fasant varer l ndce de réfracton n du mleu selon la lo λ / λ 0 = n / n : c est ce que propose la frme MEADOWLARK avec les crstaux lqudes dont l ndce de réfracton devra varer seulement 10-4 à 10-5 ( pour un déplacement de 0.5 A). IV Double Fabry Pérot On constate sur les fgures c dessous, pour un fltre de 0.5 A à m hauteur (haut, valeur adoptée par nous) et de 0.7 A à m hauteur (bas, valeur adoptée par CORONADO), que le sgnal est ben pollué par les ales de la rae parce que la cannelure possède des peds trop

4 étendus, ben plus larges qu avec un fltre de LYOT (vor document sur le fltre de LYOT). On observera donc un mélange du cœur et des ales, ce qu provoquera une perte de contraste des structures. Pour corrger ce défaut, l est possble d utlser 2 Fabry Pérot dentques en cascade. C est par exemple ce que propose la frme commercale CORONADO. Fabry Pérot, largeur à m hauteur de 0.5 A, R = 0.9, e = 0.15 mm Rae Hα en treté nor (-----) Rae Hα au travers du fltre en treté rouge (------) Fabry Pérot, largeur à m hauteur de 0.7 A, R = 0.9, e = 0.10 mm Rae Hα en treté nor (-----) Rae Hα au travers du fltre en treté rouge (------) Sur la fgure c dessous, on a ms 2 fltres dentques en cascade, ce qu permet de passer de 0.5 A à 0.3 A de bande passante pour le premer exemple, ou de 0.7 A à 0.45 A de bande passante pour le second exemple. On vot clarement qu avec ce type de montage, le sgnal provenant du cœur de la rae n est plus pollué par les ales de la rae.

5 Double Fabry Pérot ; pour chacun des deux fltres en cascade : largeur à m hauteur de 0.5 A, R = 0.9, e = 0.15 mm. Largeur à m hauteur du fltre résultant : 0.3 A Rae Hα en treté nor (------) Rae Hα vue au travers du fltre en treté rouge (------) Double Fabry Pérot ; pour chacun des deux fltres en cascade : largeur à m hauteur de 0.7 A, R = 0.9, e = 0.10 mm largeur à m hauteur du fltre résultant : 0.45 A

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