CORRIGES EXERCICES SCILAB EXERCICE 10 :

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1 CORRIGES EERCICES SCILAB EERCICE : Ls somms d Rima prm d obir valr approché d iégral I U ar méhod d approimaio d iégral, di méhod d Mo Carlo, ilis ds chiqs probabiliss L iégral I s mis sos la form E où s variabl aléaoir La loi faibl ds grads ombrs do à pari d si d variabls aléaoirs idépdas aya mêm spérac m E mêm variac simar... I sas biais covrg d m E... O a doc, por grad, I Rmarq : O p mr parallèl c résla avc cli ds somms d Rima Soi f focio coi sr l sgm ab, ; o a o a C's-à-dir b lim prd valr proch d I E b a b a b a b lim s lim f d f a k lim f a k f d a k k b a b a f d s la valr moy d la focio f sr ab, a Applicaio : Ecrir focio qi prm d cojcrr la valr d l I d La focio f : l( ) s doé par dff ('y=f()','y=*log(+)')

2 Calcl ac d I l d Calclos c iégral à l aid d iégraio par paris l ' v', j prds v Ls focios v so d class C sr, I l d O p écrir 4 Applicaio : Soi la focio F défii sr F( ) p( ). Morr q la focio F s la focio d répariio d crai variabl aléaoir à dsié oét.. Morr q la variabl aléaoirt adm spérac. O adm q la variabl aléaoir T adm variac.

3 3. Morr q F réalis bijcio d sr, 4. Eplicir la bijcio réciproq G d la focio F. 5. Soi U variabl aléaoir siva la loi iform sr,, Qll s la loi d la variabl aléaoirg U? 6. Ecrir scrip Scilab qi prm d rvoyr valr mériq approché d ET ilisa la méhod d Mo Carlo. Corrcio Qsio La focio F s coi d class ) C sr (composé d focios d class C, F ' F s (sricm) croissa sr lim lim F ; lim lim F O p doc affirmr q la focio F s la focio d répariio d crai variabl aléaoir oé T Qsio J prds por dsié la focio f défii sr par f Sos résrv d absol covrgc, E T f d Soi I f d La focio : f s coi posiiv sr, : la covrgc simpl sffi 3 f, doc f o Comm d covrg, par l crièr d égligabilié ds focios posiivs I Soi J f d covrg f d La focio : f s coi posiiv sr, : la covrgc simpl sffi f Comm (por A, 3 3 l d covrg A l égligabilié ds focios posiivs covrg A A, doc f o d d covrg), par l crièr d A f d covrg doc J f d

4 I J covrg ET is Par ds raisoms aalogs, o provrai q ET is doc T adm variac Qsio 3 La focio F s coi, sricm croissa sr sr F, O o G F doc ll réalis bijcio d Qsio 4,, G y G y F y G y l( ) y y y G y l( ), avc l( ) pisq, G y l( l( )) y Fialm,, G l( l( )) Qsio 5 La variablu a por focio d répariio la focio F U défii sr si F si, U GU si Noos H la focio d répariio d la variabl aléaoir GU, H P G U P U F FU F F, pisq F, Nos avos doc H E T E G U F, G U a mêm loi q T G U... G U Si os rpros ls oaios d préambl I E G U E T Avc G U,..., G U idépdas d mêm loi q GU aya mêm spérac mêm variac Qsio 6 Prmièr solio avc FOR par

5 Scod solio Applicaio 3 : O v dérmir valr approché d l iégral I d O p écrir I E où E, sos résrv d isc d l spérac.. Morr q Y s variabl aléaoir à dsié do o précisra dsié.. Morr qy adm spérac variac. 3. Ecrir scrip qi prm d rvoyr valr mériq approché d E ilisa la méhod d Mo Carlo 4. Dor la valr ac d EY à l aid d chagm d variabl Corrcio Qsio Y,, F P Y P F si La focio F Y s coi sr, d class C sr la focio d répariio d variabl aléaoir à dsié O p affirmr q Y s variabl aléaoir à dsié J prds por dsié la focio f Y défii sr par : ' si, fy FY f f F ' Y si, Y Y f Y si saf p-êr : la focio F Y s Qsio

6 Sos résrv d absol covrgc E Y d La focio s coi posiiv sr, : la covrgc simpl sffi 4 doc o Comm d covrg, par l crièr d égligabilié ds focios posiivs d covrg, EY is E Y E is doc Y adm variac Qsio 3... Si os rpros ls oaios d préambl I E Avc,..., idépdas d mêm loi q aya mêm spérac mêm variac Rmarq : d E Y d, posa

7 E Y d d.8867 E ff d V U E U =+= avcu N, Applicaio 4 : O v dérmir valr approché d l iégral I d O p écrir ) Morr q I E où E, sos résrv d isc d l spérac. Y s variabl aléaoir à dsié do o précisra dsié. ) Morr qy adm spérac variac. 3) Ecrir scrip qi prm d rvoyr valr mériq approché d I E ilisa la méhod d Mo Carlo. 4) Dor la valr ac d l iégral I ( posa ) à l aid la focio d répariio d la loi ormal cré rédi. Comparr ls réslas ds d drièrs qsios ilisa la focio cdfor Si variabl aléaoir Z N, si p so d réls rliés par l égalié p s calclabl Scilab par cdfor " PQ",,, ( P PZ, Q P ) P Z p alors Corrcio Y,. Noos G la focio d répariio d Y F la focio d répariio d.,, G P Y,, l G P Y P P car la focio l s sricm croissa sr *.,, l l G P P. Si,, l l l l l G P F F l l G Si,, l G P l Récapilos :

8 si l G si, si La focio G s coi d class C sr, sr, car ll. La focio G s coi d class C sr, comm composé d focios d class l E : lim G ; lim lim G lim G G() l E : lim G ; lim lim G lim G G() La focio G coi sr C sr saf p-êr. La focio G s la focio d répariio d variabl aléaoir à dsié. C. O p affirmr q Y s variabl aléaoir à dsié. J prds por dsié la focio g défii sr par : g G ' si g g G l g g l ' si,. o mor (à fair) sas problèm qy adm spérac : d mom d ordr : E ilisa l crièr d égligabilié ds focio s posiivs d pisq Y ( ) doc variac Rpros ls oaios d préambl : I E idépdas, d mêm loi q, avc, aya mêm spérac mêm variac.,..., U scrip Scilab =ip ('doz ir arl o l') T=zros (, ) for k=: =grad (,,"p",/) T(k)=p(-^) d disp (sm(t)/) U éécio d c scrip do por =, O

9 Calcl d I d. I d d d Posos, chagm d variabl affi. d I d ( ) Uilisos scilab la focio cdfor La méhod d Mo Carlo do valr approché d c iégral. Commair : N, Si P = P, Q= P =-P.