Problèmes de mouvements dans un champ newtonien suivant une conique. r T

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1 Poblèms d mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu I 4 (tits mins 1998) Fomulai su ls lliss Pou un llis, d équation n coodonnés olais a aot à un foy =, d'xcnticité, d 1 + cos θ c b aamèt, d dmi-gand ax a, d dmi-tit ax b t d'ai A : a = b + c = A a a = a = π b Distanc -Solil : = 1,51 11 m ; = 1 an = 3,161 7 s ; mass d la : M = 61 4 kg ; ayon d la : R = 6,371 6 m ; constant d Cavndish : G = 6, Nm kg L Solil st considéé comm un ast dont la éatition d mass st à syméti shéiqu, d cnt S t d mass M S, tès suéiu à cll M d la L éféntil d Kl (R K ) = (S XYZ) cnté n S t dont ls axs SX, SY t SZ gadnt ds dictions fixs st considéé comm galilén La sa considéé co mm à syméti shéiqu d cnt t on suos qu'll n subit qu l'action du Solil On considè dans un mi tms (qustion 1 t ) qu l'obit tst st ciculai d cnt S t d ayon 1: Etabli la lation nt la vitss angulai d évolution Ω A d la su son obit, la constant d gavitation G, t M S En dédui la valu numéiqu d M S : Il st util d disos d satllits d suvillanc du Solil, lacés constammnt nt l Solil t la On tavailla dans l éféntil (R )=(S xyz) tounant autou d (SZ) a aot au éféntil d Kél n suivant l mouvmnt d la, toujous suosé ciculai d ayon, tl qu soit constammnt su la doit (Sx) Soit P un tl satllit, assimilabl à un oint matéil d mass m P doit toun autou d S su un obit ciculai, d façon qu S, P t soint constammnt alignés P st donc suosé n équilib dans l éféntil (R'), n un oint tl qu P = dx où x st l vctu dictu d l'ax (Sx), voi Figu 1-1 : L éféntil (R') st-il galilén? Effctu l bilan ds focs s'xçant dans c éféntil su P, qui y st à l'équilib, t éci la condition d'équilib d P lativmnt à (R ) En dédui un lation nt M S, M, t d - : Résoud ctt équation n d : on utilisa l fait qu d t M MS ; on all qu si ε 1, alos (1 + ε) α 1 + αε Calcul numéiqumnt la valu d d à l'équilib -3 : Discut sans calculs d la stabilité d ctt osition d'équilib vis à vis d un tit délacmnt ointé vs la 3 : En éalité, l'obit d la n'st as igouusmnt ciculai 3-1 : Justifi qu l'obit tst (tajctoi d son cnt dans l éféntil d Kl) st cndant lan ; on suosa dans la suit qu c lan, alé éclitiqu, st confondu avc l lan (S XY) La conséqunc incial d la non-ciculaité d l'obit tst st l'inégalité ds dués ds saisons Il s touv qu ls dats ds solstics d'hiv (d l'hémishè nod) t d'été coïncidnt sctivmnt avc l assag d la au éihéli H (oint d l obit l lus och du Solil) t à l ahéli E (oint d l obit l lus éloigné du Solil) d son obit : H st suosé êt su l'ax (SX) d (R K )

2 Ls ositions ds équinoxs d intms P t d'automn A coïncidnt aux assags d la su 1a doit (SY) ndiculai à la diction (SX) = (SH) La dué d l hiv, qui va du solstic d hiv à l équinox d intms, st H = 89,4 jous solais moyns d 86 4 s, cll du intms st P = 93, jous solais 3- : Résnt l obit tst su un schéma où figuont aussi S, H, P, E t A Pou lus d claté, on n cainda as d'n xagé l xcnticité 3-3 : Enonc t justifi la loi ds ais 3-4 : Soit l'xcnticité d l'obit tst Mont qu, comt tnu d << 1, l'ai du sctu SHP d l'llis πab st voisin d bc, a t b ésntant sctivmnt l dmi-gand ax t l dmi-tit ax d l'llis 4 tajctoi t c la distanc du cnt au foy 3-5 : Etabli alos la lation nt la dué d l hiv H, la dué d 1 anné t l'xcnticité 3-6 : En dédui la valu numéiqu d l'xcnticité d l'obit tst 3-7 : Donc, duant la «bll saison» (intms t été) d l'hémishè nod, la st n moynn lus éloigné du Solil qu duant la «mauvais saison» Qull caactéistiqu du mouvmnt d la st caus du hénomèn ds saisons? II 7 1) Soit k un constant ositiv t O un oint fix dans un éféntil galilén Un mobil M st soumis à la foc F k = u, où OM = st l ayon vctu t u = st l vctu unitai adial ds coodonnés shéiqus Mont qu son momnt cinétiqu L st un constant du mouvmnt ) Mont qu l mouvmnt a liu dans un lan fix à écis 3) Soit v v L la vitss du mobil Mont qu = u st un constant du mouvmnt k 4) En multiliant scalaimnt mmb à mmb la lation écédnt a, détmin l équation n coodonnés olais, θ d la tajctoi 5) On suos < 1 Dssin la fom d la tajctoi avc la osition d O t l vctu k 6) A ésnt F (1 ε = + ) u d ε, où st un longuu constant suffisammnt tit Mont qu ε = u dθ θ Calcul la vaiation d ou un vaiation d θ d π En dédui qu la tajctoi st aoximativmnt la mêm qu à la qustion 4, mais qu ll toun à chaqu évolution d un angl à écis III 33 X 1986 On considè un aticul P d mass m, animé d'un mouvmnt d vitss tit a aot à cll d la lumiè a aot à un è d'oigin O C mouvmnt st dû à un cham d focs F( ) = gad U( ) déivant d'un otntil cntal U( ), où = OP t = OP A l'instant t on not sctivmnt v( t), γ ( t ) t ( t) la vitss, l'accéléation t la quantité d mouvmnt d la aticul P 1 Exim la foc F t mont qu ll st adial Mont qu l vctu momnt cinétiqu L = st consvé au cous du mouvmnt 3 En dédui qu la tajctoi d P st situé dans un lan Π qu l'on caactéisa 1 4 Mont qu l'éngi mécaniqu E = mv +U st un constant du mouvmnt 5 Calcul L à l'aid ds coodonnés olais, θ dans l lan Π t n dédui la loi ds ais α 6 Dans tout la suit du oblèm, l otntil st d la fom U () = avc α > On définit l vctu d 1 Lnz A = L αm a Mont qu A st un vctu constant du lan Π b Mont qu A = 1+ LE mα En dédui, losqu L st fixé, un bon inféiu ou l'éngi E c Calcul A t obtni l'équation olai d la tajctoi sous la fom ( θ ) = Exim l 1 + cos θ aamèt t l'xcnticité n fonction d m, α, L t E Plac l vctu d Lnz A a aot à la tajctoi d Discut la natu d la tajctoi suivant la valu d E 7 Dans tout la suit du oblèm on s stint au cas ds états liés : E < La tajctoi st alos un llis Poblèms d mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu, ag

3 a Détmin son dmi-gand ax a t son dmi-tit ax b n fonction d m, α, L t E b Pou un valu fixé d l'éngi E, nt qulls limits l momnt cinétiqu L st-t-il comis? Calcul sa limit suéiu L n fonction d m, α t E c Pécis la tajctoi ou L = t ou L = L d Calcul la éiod du mouvmnt n fonction d m, α t a IV 47 Dans un éféntil galilén lié à un è catésin ( Ou,, u, u), un ast d x y z mass M st immobil au oint O oigin d c è Un mobil P d mass m s mut sous l action d l attaction gavitationnll d l ast situé n O φ P 1) Mont qu l momnt cinétiqu n O du mobil st consvé t qu l θ mobil s mut dans un lan, qu on choisia comm l lan ( Ou, x, uy) On not v 1 = v1u t x v O x la vitss du mobil tès loin d O avant t aès l assag ès d O, b 1 t b ls distancs nt O t ls asymtots du mouvmnt,, θ ls coodonnés olais du mobil à un instant t qulconqu, v la vitss à l instant t, φ l angl nt ls asymtots ) Donn tois xssions du aot du momnt cinétiqu à la mass n fonction ds coodonnés olais t (), θ() t du mobil à un instant qulconqu t, d v 1, b 1 t d v, b 3) Exim l éngi du mobil 4) Mont qu v 1 = v t qu b1 = b 5) Eci la ojction su l ax Oy d la loi fondamntal d la dynamiqu n fonction ds vaiabls v, t, θ t dvy GM En utilisant la lation d la qustion, élimin En dédui : = sin θ dθ b1v1 φ GM 6) En dédui qu tan = bv 1 1 7) En ximant la consvation d l éngi t du momnt cinétiqu nt l infini t l éiast, osition du mobil la lus och d l ast, éci l équation détminant la valu d à c éiast n fonction d b 1, v 1, G t M 8) En éalité, l mobil st un boul d ayon ρ t l ast un boul d ayon R ous dux ont la syméti shéiqu a) Pouquoi l ast n st il as immobil n O? b) A qull condition la théoi écédnt st-ll quand mêm aoximativmnt coct? c) Si tl st l cas, à qull condition otant su n y a-t-il as collision? 9) On ti d la un ojctil qui aès un voyag comlx fôl Mas En s laçant tantôt dans l éféntil héliocntiqu (lié au cnt du Solil t aux dictions ds étoils), tantôt dans l éféntil masocntiqu (lié au cnt d Mas t aux dictions ds étoils), xliqu commnt l hénomèn écédnt ut êt utilisé ou modifi l éngi du ojctil dans l éféntil héliocntiqu Dssin un xml d ointations d v 1 t d v, dans l éféntil masocntiqu, t d la vitss v M d Mas, dans l éféntil héliocntiqu t écis s il s agit d un accéléation ou d un finag dans l éféntil héliocntiqu V 39 All t tou ou Vénus Mass du Solil M S = 1 3 kg ; d la M = 61 4 kg ; d Vénus M V = 4,871 4 kg ; constant d la gavitation G = 6, SI ; ayon d l obit d la = 1,51 11 m ; d Vénus v = 1,81 11 m ; éiod d la su son obit autou du Solil = 1 an ; d Vénus V ; ayon d la R =6,371 6 m ; d Vénus R v = 6,51 6 m On considè ls éféntils suivants : l éféntil d Conic (C), fomé a l cnt d mass du systèm solai t ds dictions d étoils choisis d façon à c qu c éféntil soit aussi galilén qu ossibl ; l éféntil héliocntiqu (H), lié au cnt du Solil t n tanslation a aot à (C) l éféntil géocntiqu (G), lié au cnt d la t n tanslation a aot à (C) l éféntil vénusocntiqu (V), lié au cnt d Vénus t n tanslation a aot à (C) l éféntil tst () lié à la Si un satllit décit un obit llitiqu autou d un ast, on all éiast sa osition la lus och d l ast t aoast sa osition la lus éloigné 1) Exliqu qu moynnant ds hyothèss qu on écisa (G) ut êt considéé comm galilén ) On s lac dans (H) On considè qu la t Vénus y décivnt dans l mêm sns ds obits ciculais colanais Calcul lus vitsss v t v V 3) L voyag all t tou d la vs Vénus l lus économiqu s fait n tois tms : à l'all, d dué t 1, un dmi llis d Hohmann, c'st-à-di un obit tangnt n son ahéli à l'obit d la t n son éihéli à l'obit d Vénus ; ctt llis st décit dans l mêm sns qu clui dans lqul la t Poblèms d mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu, ag 3 y y

4 Vénus tounnt autou du Solil ; - un dué t assé n obit autou d Vénus ; - l tou su a un aut dmi llis d Hohmann d dué t 3 3a) Dssin d façon qualitativmnt just ls obits d la t d Vénus t l obit d tansft Qull st la longuu du gand ax d l obit d tansft? Donn l'équation numéiqu n coodonnés olais d ctt obit d tansft 3b) Enonc n bau langag la toisièm loi d Kl Calcul n anné la éiod d Vénus su son obit autou du Solil V 3c) Calcul la dué n anné t 1 d l'all t cll t 3 du tou 4) A l instant, l Solil, Vénus t la sont alignés dans ct od La diction cosondant st choisi comm oigin ds abscisss angulais θv t θ d Vénus t d la 4a) Exim cs abscisss angulais θv t θ n fonction du tms t t d t V 4b) Détmin ls dats t 5 oics au lanc d un mission all t tou vs Vénus Qul intvall d tms t 4 séa dux fnêts succssivs d ti vs Vénus? 4c) Détmin ls dats t 6 oics au déat d Vénus Calcul la dué t n anné du séjou minimum n obit autou d Vénus t la dué total du voyag 5) On s lac dans (G) On lanc duis la sufac d la un mobil d mass m à la vitss v 5a) Mont qu ou qu c mobil s écat indéfinimnt d la il faut qu v soit suéiu ou égal à un limit v L qu on calcula numéiqumnt 5b) Exim la vitss tès loin d la v n fonction d v t v L 6) Soit un satllit su un obit llitiqu autou d un ast fix d mass M 6a) Eci la consvation d l éngi t du momnt cinétiqu aux dux xtémités d son gand ax En dédui qu l éngi du satllit st égal à l éngi otntill qu il auait à un distanc d l ast égal à la longuu du gand ax d son obit 6b) En dédui ls xssions ds vitsss d c satllit aux dux xtémités d son gand ax 6c) En dédui numéiqumnt la vitss v 1 du véhicul -Vénus su son obit d tansft à son ahéli ; 6d) t la vitss v du véhicul -Vénus su son obit d tansft à son éihéli 6) Dans qul éféntil cs ésultats sont-ils valabls? 7a) Calcul la vitss v 1 ' du véhicul -Vénus a aot au éféntil géocntiqu su son obit d tansft à son ahéli 7b) Dans qull diction faut-il lanc l véhicul? 8) Calcul la vitss d lancmnt v duis la sufac tst 9) Qull st la fom d la tajctoi du véhicul dans l éféntil vénusocntiqu au voisinag d Vénus si l on n allum as ls motus? 1) L atmoshè d Vénus fin l véhicul sulmnt ès du oint d ctt tajctoi l lus och d Vénus, l éivénus, si bin qu on ut considé dans un vision simlifié qu l véhicul subit un diminution d sa vitss au éivénus Qu dvint alos sa tajctoi? Qul st l cas favoabl? Commnt st situé alos ctt tajctoi? 11) Dans c cas, mont qu sans utilis ls motus fusés on s aochait ogssivmnt d un obit ciculai autou d Vénus Qul défaut ésnt ctt manœuv t ouquoi faut-il n éalité utilis ls motus fusé ou obtni un obit stabl autou d Vénus mttant d attnd la dué t? A qul ndoit faut-il allum ls motus fusé t dans qull diction faut-il diig lu jt? 1) Exliqu qualitativmnt, mais avc écision, la manœuv nécssai ou nd la out d la VI L atom, d aès cntal MP 5 L oblèm qui suit étudi divs modèls d l atom qui s sont succédés au début du dni siècl Dès la fin du XIX siècl, ds xéincs ont mis n évidnc la notion d atom contnant un chag ositiv, ainsi qu un chag négativ, cll-ci idntifié comm étant constitué d élctons d chag t d mass m On connaît aussi l nomb d mass A caactéistiqu d chaqu sèc Ls valus numéiqus dmandés sont calculés avc ls donnés suivants : 9 1 4πε = 1/ 9 1 F m ( ) 31 Mass d l élcton : m = 9,1 1 kg 19 Chag élémntai : = 1, 6 1 C Céléité d la lumiè dans l vid : c = 3 1 m s Constant d Planck : 34 h = 6, 63 1 SI Mass d un atom d nomb d mass A : mat = A 1, 67 1 kg Ls divss atis sont atillmnt indéndants B 79 Cham élctiqu d un boul unifomémnt chagé Un boul d cnt O t d ayon a ot un chag Q ositiv unifomémnt éati dans son volum 1) Détmin a un agumnt écis la diction du cham élctiqu ) Exim sa gandu à la distanc d O n fonction d Qaε,,, Poblèms d mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu, ag 4

5 3) Détmin sa valu maximal quand vai C 73 Généalités su l oblèm à dux cos Soit un systèm S isolé constitué d dux aticuls A t B d masss sctivs m t m On étudi c systèm dans un éféntil R suosé galilén On s donn égalmnt un oint O fix dans c éféntil On all F b ls focs xcés a B su A t A su B On suos qu lu modul n dénd qu d la distanc nt ls dux aticuls 1) Soit C l cnt d mass du systèm S Détmin, n l démontant, l mouvmnt d C dans R ) Soit = AB Mont qu l étud du mouvmnt latif s éduit à l étud lus siml du mouvmnt d un sul aticul (qu l on nomma mobil fictif) d mass µ t d vctu osition soumis à la foc F b On donna l xssion d µ 3) Dans l cas aticuli où mb m a, qu vaut µ t où s touv l cnt d mass C? 4) Mont qu la vaiation d l éngi cinétiqu du systèm st égal à cll du mobil fictif a b F a t D 3 L modèl d homson, ou modèl d l élcton élastiqumnt lié à l atom En 194, l hysicin anglais Si Josh John homson ( ) oosa l modèl suivant ou l atom d hydogèn Il st constitué d un shè d cnt O t d ayon a La chag ositiv d l atom st éati unifomémnt dans l volum intéiu d ctt shè La shè st suosé fix dans un éféntil galilén auqul on associ l è othonomé dict ( O, x, y, z ) L élcton s délac libmnt à l intéiu d la shè ; on not = OM son vctu osition On néglig l intaction gavitationnll dvant l intaction élctomagnétiqu 1) Qull st l xssion d la foc ssnti a l élcton? On osa k = 3 4 πε a ) Mont qu l mouvmnt d l élcton st lan 3) Donn la loi hoai du mouvmnt d l élcton ou ls conditions initials suivants : à t =, = t x v = vz où x st l vctu unitai d l ax Ox t z l vctu unitai d l ax Oz 4) ac l allu d la tajctoi, l lan d figu étant clui d la tajctoi 5) En nant a =,1 nm, calcul la féqunc du mouvmnt t la longuu d ond associé Dans qul domain du sct élctomagnétiqu cll-ci st-ll situé? E 7 Invalidation du modèl d homson a l xéinc d Ruthfod L xéinc éalisé n 199 a Gig t Masdn t intété n 1911 a l hysicin néo-zélandais Ruthfod a été un éta caital dans l histoi d la hysiqu atomiqu Ell consist à bombad un minc fuill d o avc ls aticuls α émiss a un cos adioactif On constat qu cs aticuls α ssotnt d la fuill métalliqu, la majoité n étant as déviés, qulqus uns étant déviés : on dit qu lls sont diffusés Qulqus as aticuls sont mêm étodiffusés, c st-à-di qu ll sont déviés d un angl suéiu à 9 dgés On s lac dans l éféntil du laboatoi, suosé galilén, où la fuill d o st fix On étudi, ou l momnt, la diffusion d un aticul α a un atom cibl B La aticul α, d mass ma, aiv d l infini avc un vitss v (voi figu) t un aamèt d imact b (distanc minimal à laqull ll assait à côté d B n l absnc d tout intaction) L atom cibl B ossèd un mass mb tll qu mb ma On néglig tout intaction gavitationnll L éngi otntill d intaction nt la aticul α t l atom cibl B, distants d, st élctostatiqu t d fom a ioi qulconqu : on la not W ( ) t ll st is null à l infini Dans l cas d l xéinc d Ruthfod, ls aticuls cibls étaint ds atoms d o (nomb d mass A = 197, nu méo atomiqu Z = 79 ) On considè qu cs atoms d o sont fixs à caus d lus intactions avc ls auts atoms d o du solid dont ils font ati On suos, comm à l éoqu, qu la ati ssntill d la mass d l atom st lié à sa chag ositiv Un aticul α st u n atom d hélium ionisé, otant dux chags élémntais ositivs t d nomb d mass égal à 4 On admt qu l action d un atom d o su ctt aticul α st umnt élctostatiqu t qu ll st lus faibl qu cll d la sul chag ositiv d l atom d o, ls élctons d l atom d o comnsant la maju ati d la foc xcé a la chag ositiv d l atom Pou mont qu l xistnc d aticuls étodiffusés invalid l modèl d homson, on chch un majoation d l angl d déviation évu a c modèl L ayon d l atom st a =,1 nm 1) Avc ls hyothèss écédnts su l modèl d homson, la aticul α çoit un foc élctostatiqu inféiu à un bon F ; évalu numéiqumnt F max max Poblèms d mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu, ag 5

6 ) On donn la vitss d la aticul α incidnt : v = 1, 6 1 m s On suos qu un foc Fmax s aliqu à la aticul α su un longuu a afin d la fai dévi Évalu numéiqumnt un majoation d l angl d déviation ossibl 3) Un ivogn décit ds as succssifs ; chaqu as ossèd la mêm longuu a t un sns aléatoi, non coélé à clui ds as écédnts ; qul st l od d gandu du délacmnt d l ivogn au bout d N as? 4) En atiqu, la fuill d o utilisé comotait nvion 4 lans atomiqus succssifs Conclu quant à la validité du modèl d homson F 6 Confontation du modèl d Ruthfod à l xéinc Ruthfod oos dans son modèl, a aot au modèl d homson, un éatition diffént d la chag ositiv Z : cll-ci st concnté dans un noyau quasi-onctul autou duqul gavitnt ls élctons 1) Pouquoi ut-on suos avc un assz bonn aoximation l noyau d o fix? La discussion écédnt mont qu ou xliqu ls déviations constatés, il faut un foc lus gand qu cll dans l modèl d homson Ctt foc st lus gand losqu la aticul α st tès ès du noyau Exliqu ouquoi on ut alos néglig l action ds élctons t n considé qu l action du noyau su la aticul α, comm nous l fons dans la suit ) Mont qu l éngi otntill d intaction d la aticul α avc l noyau d l atom B, toujous d natu élctostatiqu, st dans l modèl d Ruthfod d la fom W ( ) = K / On écisa l xssion d K 3) Soit = BM l vctu osition d la aticul α On os v = d / = m v t l = Mont 7 1, a qu l momnt cinétiqu l, ximé n B, d la aticul α st constant au cous du tms Qull(s) conséqunc(s) n déduit-on ou son mouvmnt? 4) Qull st la natu d la tajctoi suivi a la aticul α? Pouquoi? (aucun calcul n st dmandé) La ésnt 5) On ut s ass d l équation d la tajctoi ou calcul l angl d déviation n utilisant l intégal miè du mouvmnt L = l + mak / Mont qu c vctu st bin un constant du mouvmnt 6a) Détmin la diction d L n considéant l assag au lus ès du noyau 6b) Détmin ls comosants d L su ls axs xy, d la figu écédnt quand la aticul α st tès loin du noyau 6c) En dédui la lation liant l aamèt d imact b à l angl d déviation φ (défini nt t π ) : β K b = avc β = tan ( φ/) mv a 7) En atiqu, l xéinc d Ruthfod n st as fait avc un sul aticul α, mais avc un faiscau homocinétiqu ; l unité d sufac ndiculai à l ax Bx çoit J aticuls a unité d tms Un détctu mt d étudi la statistiqu ds déviations ds aticuls α On not dω = πsinφdφ l angl solid sous lqul st vu, duis la cibl, la zon du détctu comtant ls aticuls déviés d un angl comis nt φ t φ + dφ 7a) Détmin l nomb dn / d aticuls déviés a unité d tms ayant initialmnt un aamèt d imact comis nt b t b + db, n fonction d J, b t db dσ dn / 7b) On all sction fficac difféntill d diffusion la quantité = L xim n fonction d β dω JdΩ t φ 7c) Gig t Masdn obtinnt xéimntalmnt un sction fficac difféntill ootionnll à 4 1/sin ( φ /) Commnt 7d) Mont qu la lus tit distanc m au cous du mouvmnt nt l noyau t la aticul α st m = β ( 1+ 1/sin ( φ /)) Calcul l od d gandu d m ou un aticul α notablmnt dévié t d éngi cinétiqu incidnt 5, 3 MV 4 7) En éalité, la loi n 1/sin ( φ /) n st valabl qu ou ds déviations φ < φ = 15 Qu ut-on n dédui su l intaction nt la aticul α t l noyau suivant lu distanc? On fa ssoti un distanc minimal m d aoch qu l on calcula numéiqumnt ou ls aticuls α écédnts dans l cas φ = φ 7f) Donn l od d gandu actul d la taill du noyau atomiqu Commnt ls ésultats écédnts G 9 Modèl smi-quantiqu d Boh Avant d s intéss à la stuctu d l atom, on avait détminé qu chaqu atom (sous l cou d un xcitation) était caabl d ayonn un ond élctomagnétiqu (afois aatnant au sct visibl) Pou l atom d hydogèn, ls longuus d ond caactéistiqus d cs ayonnmnts véifint la loi xéimntal d Balm- Poblèms d mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu, ag 6

7 1 1 Rydbg RH 1 = où n t sont ds ntis ositifs ( n < ) t R st la constant d Rydbg On λn n H souhait touv théoiqumnt c ésultat n s intéssant à l atom d hydogèn 1) Dans l modèl d Ruthfod, il st ossibl d nvisag un tajctoi ciculai d ayon R d l élcton autou du noyau fix Calcul la vitss v cosondant à ctt obit n fonction d ε, m, t R ) Mont qu la foc élctiqu ssnti a l élcton déiv d un éngi otntill qu l on xlicita En dédui l éngi mécaniqu E 3) On numéot a dux ntis n t dux obits ciculais distincts d éngis mécaniqus sctivs En t E On not L t L ls momnts cinétiqus sctifs a aot au noyau Mont qu n = 1/ n 1/ E E Y L L n ( ), où Y st un constant qu l on xlicita n fonction d, ε t m 4) En tnant comt d ésultats connus n 1913 (théoi du cos noi, théoi d l fft hotoélctiqu), Boh a osé la lation bin connu aujoud hui : E E = hν nt éngi t féqunc D lus, il a osé la condition n n d quantification du momnt cinétiqu suivant ou ls obits ciculais L = n (où = h /( π) st la constant éduit d Planck t n un nti ositif) Mont qu cs dux lations mttnt d touv la loi xéimntal d Balm-Rydbg En dédui un xssion d la constant d Rydbg RH n fonction d ε, m,, c t Fai l alication numéiqu 5) Qull st la diffénc lativ nt la valu éll d RH t l ésultat écédnt, noté R, si l on tint comt qu l noyau n a as d aison d êt immobil t si on utilis l fomalism du oblèm à dux cos? Fai l alication numéiqu H 11 Modèl d Boh t théoi quantiqu Un action n hysiqu, ou un systèm donné, st un gandu caactéistiqu d c systèm ayant ou unité cll 34 d la constant d Planck Ainsi = 1, 5 1 SI st alé un action On ut détmin un action n combinant ds aamèts tinnts ou la dscition ds hénomèns hysiqus n ju Un systèm dont l action caactéistiqu admt un valu och d st un systèm ou lqul on n ut lus fai abstaction ds hénomèns quantiqus Pa cont, si sa valu st tès suéiu à, alos l étud du systèm lèv d la hysiqu classiqu 1) Ral l unité d ctt constant dans l systèm intnational 1 4 ) Un cicuit oscillant d caacité 1 F, d inductanc 1 H t acouu a un couant d intnsité d amlitud 1mA lèv-t-il d la hysiqu quantiqu? 18 3) Examinons maintnant l atom d hydogèn Son éngi d ionisation st 1 J Son sct, a aillus, st caactéisé a un longuu d ond minimal λ = 1 nm L atom d hydogèn lèv-t-il d la hysiqu quantiqu? 4) Dans l modèl quantiqu d l atom d hydogèn, d qull maniè décit-on l comotmnt d l élcton? 5) Conclusion : à ati d cs xmls, écis l ôl joué a ls modèls dans ls scincs hysiqus On s dmanda n aticuli si l on ut di d un modèl qu il st vai ou faux VII 31 i duis la Un mobil P d mass m s mut à oximité d la Soit O l cnt d la suosé shéiqu, d mass M t d ayon R On not v la vitss d P, G la constant d Cavndish, = OP t u = / 1) Défini l éféntil géocntiqu t discut son caactè galilén Dans la suit, on s laca dans l éféntil géocntiqu t non dans l éféntil tst t on considéa l éféntil géocntiqu comm galilén ) Exim la foc F subi a P 3) Mont qu l momnt cinétiqu L d P calculé n O st un constant du mouvmnt t qu P s mut dans un lan fix à écis 4) Mont qu à F st associé un éngi otntill E ou qu F n déiv t xim E, n convnant qu E st nul à l'infini 5) En coodonnés olais (, θ), l équation d la tajctoi d P st =, où st un constant 1 + cos θ ositiv t un constant ositiv ou null A qull condition su la tajctoi st-ll un llis? 6) Dans c dni cas, donn ls xssions n fonction d t ds coodonnés olais (, θ ) d son éigé t (, θ ) d son aogé A A 7) Démont qu l éngi st E 1 1 GMm = où a = AA st la longuu du gand ax d l'llis a Poblèms d mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu, ag 7

8 On oua aisonn comm suit Soint v1 t v ls vitsss d P n A t A Qulls sont lus dictions? Exim l momnt cinétiqu L n O t l'éngi total E du mobil P n fonction d m, M, G, 1 t v1 losqu c mobil st n A t n fonction d m, M, G, t v losqu il st n A Du oint C d la sufac tst, on lanc un ojctil avc la vitss v C faisant l'angl γ avc l'hoizontal C ojctil tomb su la sufac tst n D avc la vitss v D faisant l'angl δ avc l'hoizontal outs cs gandus sont définis a aot au éféntil géocntiqu t non a aot au éféntil tst Ls oints C t D sont ls donnés du oblèm t on chch ls vitsss d lancmnt t d tombé On néglig l finag d l'ai 8) Pécisz l lan dans lqul il faut fai l lancmnt 9) Donn l tablau d vaiation d ( θ ) = Justifi qu la tajctoi st un ac d'llis t non d 1 + cosθ aabol ou d'hybol Qull st la lation nt ls coodonnés olais ds oints C t D, soit θc t θd? En dédui qull doit ot l gand ax d l'llis 1) Mont qu vc doit êt inféiu à un bon vl qu'on écisa 11) Exim vd n fonction d vc 1) Exim δ n fonction d γ 13) On étudi ls tajctois ossibls ou vc donné t γ vaiabl Mont qu la longuu a du gand ax d l'llis st fixé 14) S souvnant qu l'llis st l liu ds oints dont la somm ds distancs à ss dux foys st égal à a, mont a un constuction géométiqu qu, slon la valu d l éngi E qu on a choisi, il ut y avoi dux, un ou zéo tajctois ossibls ou all d C à D 15) On suos désomais qu l'un ds foys d l'llis st au miliu du sgmnt CD Mont qu ctt océdu st la lus économiqu ami ls océdus mttant d'attind D, c'st-à-di qu'll nd vc minimum vl 16) Mont qu alos v C =, où α st l angl ( OC, OD ) ac sommaimnt l gah d 1+ 1/sin ( α /) vc α ( ) 17) On all qu la tangnt n P à un llis d foys F t F st ndiculai à la bissctic d l'angl FPF Exim γ n fonction d α 18) On vut lanc d la un ojctil ou qu il tomb à 1 km Qull valu d γ faut-il choisi ou qu la vitss d lancmnt soit la lus tit ossibl? A qull vitss faut-il l lanc? Faits l calcul numéiqu On donn g = 1 ms 19) On vut lanc d la un ojctil ou qu il tomb aux antiods Qull valu d γ choisi? A qull vitss faut-il l lanc? Faits l calcul numéiqu On donn l ayon tst R = 6, 41 m 6 Réonss 3 4π 3 M 1 d I 1) MS = = 1 kg ; -1) non ; + = 3 G MSd ( d) M 9 -) d = = 1, 51 m ; -3) obablmnt instabl ; 3-1) voi cous ; 3 MS 3-) voi ci-cont ; 3-3) l ai balayé a l ayon vctu st ootionnll au H 1 tms ; 3-5) ; 3-6) ; 3-7) l ax ds Pôls n st as = 4 =, 164 π ndiculai au lan d l éclitiqu L II 1), ) t 3) voi cous ; 4) = = ; 5) voi ci-cont ; 1+ cosθ mk πε 6) = u y ; otation d πε / a évolution U III 1) n coodonnés shéiqus F = u ; ), 3) t 4) voi cous ; ; E B O P S A O H y x Poblèms d mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu, ag 8

9 5) L = m θ L d u z ; = θ m S mα = ; 6b) E ; 6c) = L / αm ; L LE = A = 1 + ; A oint vs m α α L mα l éihéli ; 6d) voi cous ; 7a) a = ; b = ; 7b) L L = ; 7c) sgmnt dont un E me E ma xtémité st n O ; ccl d cnt O ; 7d) = π α IV 1) vo i cous ; ) L = O m θ = mb1v1 = mbv ; 3) 1 GMm dvy E = mv ; 5) m bv 1 1 = ; 6) intég d à + : v v M θ 3 GMm = sin θ ; v M v 1 7) v 1 + GM bv 1 1 = ; 8) a) ast attié a l mob il ; b) m M ; c) > ρ + R ; 9) voi ci-cont v 1 Exml d accéléation v Exml d finag V 1) (G) galilén au voisinag d la n négligant ls focs d maé dus au GMS 1 Solil t à la Lun ; ) v = = 98 ms ; v V GMS 1 = = 351 ms ; 3a) voi figu ; a = + V ; V 11 1, 57 1 = (n mèts) ; 3b) 1 +,16189 cos θ V 3/ V + 1 = t3 = =, 4 an 3/ V = = 6164 an ; πt πt 3c) t ; 4a) θ V = t θ = ; V, b) miè fnêt d ti : t 5 = = 1, 34 an ; t = = 1, 584 an ; 1 1, 613 1, c ) t 6 = 1, 456 mod 1, 584 ; t = 1, 7 an ; dué total du voyag t6 + t3 t5 =, 7 ans ; 5a) v L L = mv GM 1 1 GMm 1 GMm = = 11 ms ; 5b) v = v vl ; 6a) E 1 R = mv mv = ; = m v ; V S 1 GMm G E = Mm 1 = ; 6b) v + 1 GM a = a ; 1 v = GM a ; c) v1 GMS 73 ms = = ; 6d + ) v = GMS 3785 m V = V s ; 6) dans + V 1 l éféntil héliocntiqu ; 7a) v = v v = 5 m ; 7b) ti dans l diction contai au mouvmnt 1 1 s 1 d la autou du Solil ; 8) v = v1 + vl = 115 ms ; 9) un banch d'hybol ; 1) llis tangnt n son éivénus à la banch d'hy bol slon laqull la sond st aivé VI Q Q Q B 1) E = E( ) u ; ) si > a, E = ; si < a, E = ; 3) E 3 max = 4πε 4πεa 4 πε a C 1) C a un mouvmnt ctilign unifom ; ) = + ; 3) µ m a ; cnt d µ ma m b mass voisin d B z D 1) F = k ; ) voi cous ; 3) ω = k/ m ; v x x = cos ω t y = z = sin ωt ; 4) voi ci-cont ; ω O 1 k 15 c 5) f = =,53 1 Hz ; λ = = 119 nm (ultaviolt) π m f E 1) F Z = = 3, 64 1 max 4πεa 4 3 4) déviation inféiu à 4 4, 3 1 = 8, 6 1 ad 6 N 1 Fmax a 4 ; ) φ max = = 4, 3 1 ad ; 3) x d l od d Na ; mv Poblèms d mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu, ag 9

10 Z F 1) mb ma ; noyau st baucou lus och ; ) K = ; 3) voi cous ; 4 πε 4) banch d hybol ésnté ci-cont ; 6a) aallèl à l ax d l hybol ; dn dσ β 6 b) L = mvu a y +mku a x ; 7a) = π bdbj ; 7b) = ; dω 4 4sin ( φ/) 7c) accod avc l modèl d Ruthfod ; 7d) m 1 = β 1 + sin ( /) ; φ β =,15 1 m ; 7) la loi d foc n st valabl qu si > m ; m = 4, 37 1 m ; 7f) ou 1 mèts G 1) v = ; ) E 4πε mr m = E = ; 3) Y = 4πε 8πε R 3 πε m 7 1 mm 4) R H = = 1, 9 1 m ; 5) mlac m a µ= 64πε c m + m RH R m = = 5, 44 1 R m + m 4 4, d où H 1) s xim n Js ; ) éiod o = π LC = 6 1 s ; éngi d la bobin E = Li = 5 1 J, donc E = 3 1 J s ; 3) = λ / c = 3 1 s, d où W i = 6 1 J s VII 1) cnt d la t dictions d étoils fix ; galilén au voisinag d la, n négligant ls focs d GMm maé ; ) F = u ; 3) P s mut dans l lan fix assant a O t ndiculai à L O ; GMm 4) E = ; 5) < 1 ; 6) éigé : θ 1 =, 1 = ; aogé : θ = π, = ; 8) dans l lan OCD ; 9) θ = θ ; l gand ax d l llis st la bissctic d COD ; C D GM 1) vc < vl = ; 11) v D = v C ; 1) δ = γ ; 14) l aut foy st à R l intsction d dux ccls d cnts C t D t d ayon a R, qui πα s cou nt n, 1 ou oints ; 17) γ = ; 18) Comm α st tit, 4 1 γ π/4 ; v gx = 1 ms ; 19) γ = ; v C = C Rg = 8kms 1 7 v L / O v C π α Poblèms d mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu, ag 1

11 Coigé I 1) Aliquons la loi fondamntal d la dynamiqu à la : GMSM GMS π 4π ( 1,51 ) M A A M 3 S G ( ) = Ω Ω = = = = 1 kg 3,161 6, 671-1) (R') n st as galilén, ca n otation d vitss angulai ΩA a aot à (RK), qui lui st galilén avc un bonn aoximation A l équilib d P dans (R'), la somm ds focs d attaction du Solil t d la t d la foc cntifug st null : GMm GMSm + mω ( ) A d = d ( d) M 1 d + = 3 Md ( d) S M d d ( d) d d d d d d 3d -) = = M 3 S ( d) + = 3 si on considè qu M / M t d sont tits S / 3 M 9 d = = 1, 51 m 3M S -3) Si P s écat d sa osition d équilib dans la diction d la, la l atti davantag, l Solil l atti moins t la foc cntifug augmnt ; chacun d cs tois ffts tnd à l écat davantag, donc on a l imssion qu l équilib st instabl En éalité, la foc d Coiolis dévi l mouvmnt t on n ut as conclu sans tni comt d son influnc 3-1) Soit L l momnt cinétiqu obital d la a aot à S dans (R K ) Comm la n st soumis qu à dl l attaction du Solil, qui st adial, F = =, donc L st indéndant du tms Comm L = S mv, L S, donc s mut dans l lan assant a S ndiculai à L, lan qui st fix dans (R K ) 3-) Voi ci-cont B P 3-3) L ai balayé a l ayon vctu st ootionnll au tms 1 1 L En fft, l ai balayé ndant st ds = d = v = m E O S H 3-4) L ai du sctu HSP st la diffénc ds ais d OBH t OBSP L ai d OBH st l quat d cll d l llis, soit πab /4 A L ai OBSP st aoximativmnt cll bc d un ctangl dont l un ds cotés OS = c st tit t l aut st OB = b D où la fomul oosé πab /4bc πab H 1 bc 1 3-5) = = = H 4 πab 4 π 1 89,4 3-6) = π =, , 5 3-7) Ls saisons sont dus à c qu ls lans d l équatu t d l éclitiqu font un angl d M 3 7', d où un dué du jou maximal l 1 juin dans l hémishè nod (ointe) t minimum l 1 éclitiqu décmb (oint H) L schéma ci-cont mont qu l Solil st moins longtms au dssus d équatu l hoizon du oint M d la quand l Solil st P mouvmnt diun du au oint H d l éclitiqu H Solil au Solstic d hiv lan d l hoizon d M DS : mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu, ag 11

12 II 1) L théoèm du momnt cinétiqu dl OM F = mont qu L st constant, uisqu OM st aallèl à F ) Comm L = OM mv, OM L : l mobil s mut dans l lan assant a O t ndiculai à L dv d L du 3) = k du dθ du dv k dv O = = θ uθ L = m θ uz = u L = θ k u uz = kθ d uθ D où dθ m = v L 4) = u Soit θ l angl (, ) La comosant adial d la vitss donn un contibution k vl θ L L L null au oduit mixt : cos θ = O v θ =, d où cos θ = = = k m mk 1+ cosθ mk 5) y θ π +π x O 6) Si ε st tit, on ut tnt un taitmnt n tubation n considéant l équation d la tajctoi touvé n 4 comm aoximativmnt valabl : dv k ε L ( 1 ) u m u d + θ du z m εθ = = θ uθ = uθ k k εdu θ θ ε ( 1+ cosθ) du θ θ d = πε ( 1+ cosθ) dθ πεcos θdθ = ( sin θ ux + cos θ uy ) = y u ε 1 πε = π uy = uy Cs intégals s calculnt lus facilmnt si on obsv qu su un intvall d π ls valus moynns ds fonctions suivants sont : cos x = sin x = sin x = ; cos x = 1/ La vaiation d st ndiculai à, donc gad son modul t toun d l angl πε / à chaqu évolution L mouvmnt a liu su un llis d gand ax t d xcnticité constants t qui toun lntmnt, d πε / a évolution III U du 1 U 1 U 1) En coodonnés shéiqus, F = = F θ = = Fϕ = = d θ sin θ ϕ dl ) D aès l théoèm du momnt cinétiqu, F = =, donc L st constant au cous du mouvmnt 3) L = OP mv OP L : P s mut dans l lan Π assant a O t ndiculai à L 4) D aès l théoèm d l éngi cinétiqu, de c = F d = du E = E c + U = cst 5) L = u ( mu + mθ u θ ) = m θu 1 z D aut at, ndant, l ayon vctu balay l ai ds = dθ L d D où = θ m S = 6a) F = gad ( α / ) = αu / da 1 d du 1 dθ du 1 = L = F L = u m θ uz θ uθ =, donc A st constant au αm αm dθ m cous du tms En out L st ndiculai à L, donc fait ati du lan Π, tout comm u, donc A n fait ati aussi DS : mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu, ag 1

13 6b) Élvons au caé la lation définissant A : 1 1 L 1 A = ( L u ) ( L u ) = ( L) u + 1 αm αm α m αm L u = (( mv u + mv u ) Lu ) u = mv L = L / A θ θ z θ L α L E = = + m mα mα mα A E L 1 1 mvθl L 6c) A = ( L) = (( mvu + mvθuθ ) Luz ) u = = αm αm αm αm Pnons la diction d A L 1 comm oigin ds θ : A = A cos θ D où = α m 1 + Acos qui st d la fom θ dmandé si = L / αm (attntion, st l aamèt d l llis, t non la quantité d mouvmnt) t LE = A = 1 + m α ( θ ) st minimum ou 6d) La tajctoi st : un llis si < 1 E < ; un aabol si = 1 E = ; θ =, donc A oint vs l éihéli un banch d hybol si > 1 E > L / αm α α 7a) a = max + min = + = = = a = L E/ mα E E α L b L = b = a = b = a E αm me LE mα mα 7b) A + 1 L L L = mα E E 7c) Pou L =, la tajctoi st un sgmnt dont un xtémité st n O Pou L = L, = A =, la tajctoi st un ccl d cnt O ds πab L α L a 7d) Comm la vitss aéolai st constant, = = O E =, b m a = L =, d où me m α = π 3 ma α IV dl 1) O = OP F = ca F OP Comm LO = OP mv, OP L O, donc P st dans l lan fix assant a O t ndiculai à L O ) LO = m θ = mb1v1 = mbv 1 GMm 3) E = mv 4) L éngi st la mêm à t = qu à t =+, donc v1 = v L momnt cinétiqu st l mêm à t = qu à t =+, donc b1 = b dv GMm dvy GMm 5) D aès l loi fondamntal d la dynamiqu, m u sin m bv 1 1 dvy GM sin θdθ dvy GM sin θ D aès la consvation du momnt cinétiqu, = ; d où = = θ b1v 1 dθ b1v 1 6) Intégons : vy ( t =+ ) vy ( t = ) = dvy GM GM θ=π+φ GM = sin d [ cos ] ( 1 cos ) bv θ θ = θ bv = + φ bv DS : mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu, ag 13

14 φ φ GM φ sin cos O ( ) 1 1 ( ) sin φ GM vy t =+ = v sin φ v sin φ = 1 + cos φ tan = = = bv 1 1 φ 1 + cos φ cos bv 1 1 7) Consvation d l éngi nt l infini t l éiast : GMm mv1 = mv v b 1 v 1 O Consvation du momnt cinétiqu nt cs oints : m v = mb v 1 1 Simlifions a m t éliminons v : v bv = GM ou 1 1 GM GM v 1 + GM bv 1 1= = + b 1+ v1 v 1 8) a) L ast n st as immobil ac qu il st attié a l mobil b) La théoi écédnt st coct si m M c) Il n y a as d collision si > ρ + R 9) L éféntil masocntiqu st aoximativmnt galilén, ca il n a guè l tms d chang d vitss ndant qu l mobil ass ès d Mas, soit un acous d qulqus ayons d Mas, alos qu Mas chang d vitss su un acous d un faction du ayon d son obit autou du Solil Mas chang la diction d la vitss, mais non son modul, la faisant ass d v 1 à v Si v M st la vitss d Mas, dans l éféntil héliocntiqu, la vitss du mobil ass d v1 + vm à v + vm tandis qu l éngi otntill n a as l tms d vai L éngi acquis st donc 1 m ( v vm ) ( v1 vm ) + + = m( v v1) vm v M v v M v 1 v 1 v Exml d accéléation Exml d finag V 1) (G) ut êt considéé comm aoximativmnt galilén au voisinag d la n négligant ls focs d maé dus au Solil t à la Lun ) La loi fondamntal d la dynamiqu aliqué à la donn GMSM v = M, d'où 11 3 GMS 6, v = = = 98 ms 11 1, 5 1 D mêm ou Vénus, 11 3 GMS 6, vv = = = 351 ms 11 V 1, 8 1 3a) Voi figu a + c = a = ( + V )/ c 1,5 1, 8,16 a c = = = = V c = ( V )/ a 1, 5 + 1, 8 b a c ( + V ) ( V ) V 1,5 1, , = = = = = = m a a ( + ) + 1,5 + 1, 8 1 V V 1, 57 1 L'équation d l'obit d tansft st = (n mèts) 1 +,16189 cos θ 3b) Enoncé d la toisièm loi d Kl : ou lusius satllits d'un mêm ast, l caé d la éiod st ootionnl au cub du gand ax V V V 1, 8 Aliquons ctt loi à la t à Vénus : = V 6164 an = = = 1, / 3/ V S DS : mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu, ag 14

15 3c) Aliquons la toisièm loi d Kl à la t à l'obit d tansft t t sont égaux à la dmi éiod d t / 3/ t1 V + V + 1 1, 8 + 1,5 ctt llis d Hohmann : = t1 t3 = = = =, 4 an 1,5 πt πt 4a) θ V = t θ = V (t 6 +t 3 ) 4b) θ ( t + t ) = θ ( t ) + π modπ V t1 t5 = mod 1 =,1553 mod 1 =, 847 mod 1 V V, 847 La miè dat d ti st t 5 = = 1, 34 an 1 1, Dux fnêts d ti vs Vénus sont séaés a t 4 = = 1, 584 an 1 1, c) θ ( t + t ) = θ ( t ) + π mod π 6 3 V 6 V(t 5 +t 1 ) (t 5 ) V(t 6 ) 1 1 t3 1 t6 = mod 1 =, 4, 5 mod 1 =,9 mod 1 V, 9 mod 1 t6 = = 1, 456 mod 1, , t6 > t5 + t1 t6 = 3, 1 an La dué n obit autou d Vénus st t6 t 5 t1 = 3,1 1,34,4 = 1,7an La dué total d l all t tou st t6 + t 3 t5 = 3, 1 +, 4 1, 34 =, 7 ans 1 GMm 5a) La tajctoi doit êt un banch d'hybol ou un aabol, donc l'éngi E = mv st ositiv ou null ; calculons ctt éngi au lancmnt : GMm GM 6, mv v vl = = R 6 R 6, = 11 ms 1 GMm 1 5b) L éngi a mêm valu au lancmnt t à l infini : mv = mv v = v vl R 6a) Soit E l'éngi, L l momnt cinétiqu, 1 la distanc à l ast t v 1 la vitss à un xtémité du gand ax t t v ls gandus cosondants à l'aut xtémité Vu la consvation d l éngi t du momnt cinétiqu : 1 GMm 1 GMm GMm GMm E = mv1 = mv v1 = E v E 1 m + = + 1 m GMm GMm L = m1v mv 1v1 v 1 E E 1 = = + = + 1 GMm ( 1) GMm GMm E = = = a 6b) 1 GMm GMm 1 = v1 v1 GM = = 1 a 1 a 1 = M a 6c) v1 = GMS 6, = 1 = 73 m s + V 1, 5 1,5 + 1, 8 6d) v = GMS 6, = 1 = 3785 m s V + V 1, 8 1, 5 + 1, 8 6) Cs ésultats sont valabls dans l éféntil héliocntiqu 7a) v1 = v 1 v 1 = = 5 m s 7b) L sign signifi qu'il faut ti dans l diction contai au mouvmnt d la autou du Solil 8) v = v 1 + vl = = 115 m s 9) La sond décit un banch d'hybol DS : mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu, ag 15

16 1) Slon l'imotanc d la diminution d vitss, la sond s'écat du éivénus slon un dmi banch d'hybol, un dmi aabol ou un llis L cas favoabl st clui d l'llis Ctt llis st tangnt n son éivénus, situé au oint où s'st oduit l finag écédnt, à la banch d'hybol slon laqull la sond st aivé 11) A chaqu assag au éivénus, la sond st finé ; l'llis qu'll décit voit donc son éngi diminu, donc ll gad mêm éivénus t mêm diction d son gand ax, l'altitud d l'aovénus diminuant à chaqu obit Il faut allum ls motus fusé à un aovénus, n diigant l jt vs l'aiè d façon à augmnt la vitss Ctt manœuv mt d'accoît l'altitud du éivénus, sans chang cll d l'aovénus, donc d mtt fin au finag a l'atmoshè Faut d ctt manœuv, la sond finiait a s'écas su Vénus 1) Il faut accélé avant qu la vitss d la sond autou d Vénus ait la diction t l sns d v la vitss d Vénus autou du Solil, d sot qu l véhicul déciv dans l éféntil V vénusocntiqu un dmi banch d hybol dont l asymtot soit aallèl à la vitss d Vénus dans l éféntil héliocntiqu La sond étant n obit autou d Vénus, ll ut ofit d la vitss déjà acquis ou édui la vaiation d vitss au lancmnt Dans la éalité, ls obits Vénus t d la sont faiblmnt llitiqus t non ciculais ; n out, lls n sont as xactmnt dans l mêm lan Ls fnêts, d ti qu nous avons calculés n sont as absolumnt équivalnts VI L atom, d aès cntal MP 5 B 1) Comm ctt boul st invaiant a otation autou d tout doit assant a O, son cham élctiqu st adial t n coodonnés shéiqus d la fom E = E( ) u ( ) Q ) Aliquons l théoèm d Gauss à un shè d cnt O t d ayon : E ds = 4π E = où ε Q( ) st la chag dans ctt shè Si > a, Q ( Q ) = Q E = 4 πε, fonction décoissant d ; si < a, 4 3 Q( ) = ( ) 3 3 π ρ = Q E a = Q fonction coissant d 3 4 πε a Q 3) L caactè coissant uis décoissant d E( ) mont qu E st maximum n = a : Emax = 4 πε a C 1) doa ma dob mb = F a = Fb doa dob moa Comm S st isolé t R galilén, Fa + Fb =, donc ma + m b = O a + mob b OC = ma + mb doc Donc = : l mouvmnt d C st un mouvmnt ctilign unifom ) Divisons a ma la miè équation d la éons à la qustion 1, a mb la scond équation t tanchons-ls d 1 1 mmb à mmb : = F + b m a m où F ( ) b = F L mouvmnt latif st l mêm qu clui du mobil b fictif t 1 = µ ma mb 3) Si mb ma, µ ma ; l cnt d mass st voisin d B 4) D aès l théoèm d l éngi cinétiqu, dec = d ( mava ) + d ( mbvb ) = Fa da + Fb db = Fb ( db da ) = Fb d = d ( µ v ) d 1 1 Aut justification : si v =, Ec = ( m a + mb ) v ( C ) + µ v Comm l mi tm st constant, la vaiation d l éngi cinétiqu st cll d l éngi cinétiqu du mouvmnt fictif D 1) F = E = = k 3 4πε a DS : mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu, ag 16

17 ) La déivé a aot au tms du momnt cinétiqu n O st égal au momnt d la foc, qui st nul (foc cntal) L momnt cinétiqu L = OM mv st donc constant ; o L st ndiculai à OM ; donc M st dans l lan fix assant a O t ndiculai à L 3) Si ω = k/ m, ls équations du mouvmnt sont x + ω x = y + ω y = z + ω z = Avc ls conditions initials sécifiés, v x = cos ω t y = z = sin ωt ω 4) Voi ci-cont 5) k 1, f = = = =, 53 1 Hz ; λ = c = 119 nm π m π 4πε ma π 9,1 1 1 f (ultaviolt) ( ) E 1) La foc xcé a l atom d o st obablmnt inféiu à cll F = E xcé a sa chag ositiv, uisqu ll st comnsé a l action ds élctons ; E st l cham élctiqu d un boul d chag Z t d ayon a, calculé dans la ati B : ( ) 1 ( ) 19 9 Z 79 1, Fmax = = = 3, 64 1 N 4πεa 1 dv ) Pndant, un foc F = m ndiculai à la vitss v fait toun ctt vitss d un angl 6 1 dv F Fds Fmaxa 3, dφ = = = φ max = = = 4, 3 1 ad v mv 7 7 mv mv 4 1,67 1 1,6 1 ( ) 3) Si on ajout N nombs (ou vctus) d modul d l od d a t d sign (ou d diction) égi a l hasad, la somm st d l od d Na j N N N N N i= 1 i i= 1 i j= 1 j i= 1 j= 1 i Démonstation : x = x x = x x = x x O si i j, xx = t si i j, xx = x = a D où x = Na t x d l od d Na = i j i 4) D aès l modèl d homson, la déviation ds aticuls α dvait êt inféiu à 4 4 4, = 8, 6 1 ad ; l xistnc d aticuls étodiffusés xig un foc baucou lus gand F 1) L noyau d o st aoximativmnt fix, ca m b m a (qustion B3) On n ut lus invoqu l action ds auts atoms, ca la foc xcé a la aticul α st lus gand qu dans l cas écédnt L action ds élctons st négligabl ac qu cs élctons sont à ds distancs d l od d la taill d l atom, alos qu l noyau st baucou lus och Z ) D aès la loi d Coulomb, F = u, qui déiv d l éngi otntill W ( ) : 4 πε Z Z Z dw = F d = d W K 4πε = 4πε = 4πε 3) Slon l théoèm du momnt cinétiqu, dl st égal au momnt d la foc ; c momnt st nul ac qu la foc st cntal Donc l st un vctu fix L mouvmnt a liu dans l lan fix ndiculai à l t assant a B l ds m = θ =, où ds st l ai balayé a l ayon vctu ndant a 4) La tajctoi st un banch d hybol ésnté ci-cont dont B st l foy l 1 lus éloigné En fft, c st un coniqu, l éngi mv st ositiv t la foc st éulsiv a O z i j x DS : mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu, ag 17

18 d 5) L d du K dθ du = l + mak = u ma θ uz + mak = makθ uθ + makθ uθ = dθ L st la somm sont tous dux diigé slon l ax d la tajctoi, donc 6a) Ls dux vctus dont aallèl à ct ax 6b) L = mvu a x mvbu a z + mku a x = mvu a y + mku a x 6c) L vctu L, oté a l ax d la tajctoi, st diigé slon la bissctic d l angl nt ls asymtots Comm l angl nt ls asymtots πφ st πφ, L fait avc l ax ds x l angl t avc l ax ds y l angl φ/ En évaluant ls dux tms dont la somm donn L losqu la aticul φ mk K = = = mvb L α st à l infini vs la doit, on n déduit : tan x a L y mvl a a φ B y L L st 7a) Cs aticuls tavs un couonn comis nt ls ccls d ayons b t b + db, d sufac πbdb, donc dn lu débit st = π bdbj 7b) L aisonnmnt qui suit donn un sction fficac négativ, bin qu n éalité ll soit ositiv Cla st dû à c qu l énoncé n tint as comt, n définissant db t d φ, d c qu la fonction b ( φ) st décoissant dσ dn / Jπbdb bdb = = = dω JdΩ Jπsinφdφ sinφdφ db β b = βcotan ( φ /) = dφ sin ( φ/) dσ β cotan ( φ/) β = = dω 4 sin ( φ/) sin φ 4 sin ( φ/) 7c) La loi xéimntal st n accod avc l modèl d Ruthfod, alos qu ll st contai au modèl d homson K 1 K 7d) D aès la consvation d l éngi, E = m a v a a = = mv = β a a On a monté qu b = acotan ( φ/) c = a + b = a ( 1 + cotan ( φ /)) c = sin ( φ/) 1 m = a + c = β 1 + sin ( φ/) Pou un déviation imotant, m st d l od d ( ) 19 9 Z 79 1, β = = =,15 1 m πεmv a 5,3 1 1, ) Soit m =, = 4, 37 1 m La loi d foc n st valabl qu si sin( 15/) > m f) L ayon du noyau d l atom st d l od d 1 ou 1 mèts Dans l cas d l o, il st lus gand, ca Z st élvé L ésultat écédnt st donc n accod avc c ayon Pou ls distancs lus tits, il faut tni comt d l intaction fot G 1) La loi fondamntal d la dynamiqu donn F = v a m v 4πεR = m = R = 4πεmR d 1 1 ) = F de d = E E mv m 4πε = 4πε = 4πε R = 4πε m R 4πε R = 8πε R mr Y m 3) L = m R v = = si Y = qui donn la lation oosé 4πε E 3 πε 4) E R H hc 1 Y 1 1 En = = λ n λn hc n ( ) ( ) 34 8 ( ) 4 4 9,1 1 1, c m = = = 1, 9 1 m 64πε 4π 6,63 1 /π x DS : mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu, ag 18

19 5) Il faut mlac m a mm µ= m + m, d où m R R m R = R = = = 5, 44 1 m m R m m H 31 H 9, , , 67 1 H 1) s xim n Js ) La éiod o st = π LC = 6 1 s t l éngi d la bobin E = Li = 5 1 J, donc 17 E = 3 1 J s, donc c cicuit n st as un objt quantiqu 7 8 3) La éiod d la adiation d λ = 1 nm st = λ / c = 1 /3 1 1 = s, d où W i = = 6 1 J s qui st d l od d h t mont qu l atom d hydogèn st un objt quantiqu 4) La éons attndu a l énonc st qu on ut ésnt l état d l élcton a sa fonction d ond ψ( t, ), qui obéit à l équation d Schöding Dans un vsion lus élaboé, il n y a as dux aticuls, l oton t l élcton, mais lutôt ds chams d aticuls, avc ossibilité d céation t d dstuction d aticuls : c st l oint d vu d l élctodynamiqu quantiqu, dont ls évisions su l sct d l atom d hydogèn sont maquablmnt véifiés a l xéinc 5) Un modèl st un ésntation simlifié d un oblèm, qui n facilit l calcul Il xist ds modèls lus ou moins simls t lus ou moins fuctuux Il n faut as considé l modèl d Boh comm faux, mais comm lus ou moins commod t util slon la qustion à laqull on chch à éond Cux qui disnt l modèl d Boh st faux coint n généal l modèl d la fonction d ond just, alos qu il n donn qu imafaitmnt l sct d l atom d hydogèn Un modèl st faux, s il imliqu un u comm + = 5 ; il n l st as nécssaimnt s il simlifi a to la éalité VII 1) L éféntil géocntiqu st constitué a l cnt d la t ls dictions d étoils fix On ut l considé comm galilén au voisinag d la, n n tnant as comt d l'action su l mobil ds asts auts qu la, ni ds focs d inti dus au mouvmnt d tanslation d la, c st-à-di n négligant ls focs d maé GMm ) F = u dl 3) Comm l ayon vctu t la foc sont aallèls, l théoèm du momnt cinétiqu donn O = F = t L O st constant au cous du tms O LO = OP mv imliqu qu OP st ndiculai au momnt cinétiqu, donc P s mut dans l lan fix assant a O t ndiculai à L O GMm GMm 4) de = F d = d E = 5) < 1 L cas = 1 ut signifi, soit un llis alati éduit à un sgmnt joignant ls dux foys, soit un aabol 6) L éigé cosond au minimum d () θ, soit θ 1 =, 1 = L aogé cosond au maximum d () θ, 1 + soit θ = π, = 1 7) Au éigé t à l aogé, qui sont ls xtémités du gand ax, la vitss st ndiculai au ayon vctu La consvation du momnt cinétiqu nt cs dux oints s écit : L = mv = mv v = v GMm v 1 E 1 GMm 1 GMm = + m 1 D mêm, la consvation d l éngi s écit E = mv1 = mv 1 GMm v E = + m En otant cs xssions dans la consvation du momnt cinétiqu, on obtint : DS : mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu, ag 19

20 GMm GMm E E 1 m + = + 1 m ( 1 ) E = GMm( 1) soit n utilisant = ( )( ) GMm GMm E = = 1 + a 8) La tajctoi st dans l lan OCD Si C t D sont diamétalmnt oosés, l lan d ti st indétminé 9) Pou un llis, l tablau d vaiation d () θ, fonction ai d θ, st : θ π π 1 Il y a dux acs qui joignnt C t D, l un st à l intéiu d la, l aut à l xtéiu d la ; c dni convint Pou un banch d hybol, l tablau d vaiation st : θ θ M θ M Il n y a qu un ac qui joint C à D ; il st à l intéiu d la, donc n convint as Pou un aabol, il n va d mêm, avc θ = π Comm, θ = θ ; l gand ax d l llis st la bissctic d COD C = D C D M 1) E < 1 GMm GM m vc < vc < vl = R R 1 GMm 1 GMm 11) D aès la consvation d l éngi, mvc = mvd vd R R = vc 1) D aès la consvation du momnt cinétiqu, L = R mvc, θ = RmvD, θ vd, θ = v C, θ Comm cos γ = vc, θ / vc t cos δ = vd, θ / vd, il n ésult qu δ = γ Un aut démonstation consist à maqu qu l gand ax d l llis st un ax d syméti d la t d la tajctoi t qu ls oints C t D sont symétiqus a aot à ct ax, donc qu ls angls γ t δ, symétiqus a aot à ct ax, sont égaux 1 GMm GMm 13) Comm E m vc, si v st fixé, st fixé R a 14) L un ds foys d l llis st O Soit F l aut D aès la définition bifocal d l llis, CF = DF = a R ; o si E st fixé, a l st aussi ; F st à l intsction d dux ccls d cnts C t D t d ayon a R Cs dux ccls s count n, 1 ou oints 15) F st su la bissctic d COD ; a = CF + R st minimum quand F st la ojction d C su ctt bissctic, c st-à-di quand F st au miliu d CD Alos, l éngi C 1 GMm GMm mvc R a C st minimum 16) α / α α CF = R sin a = R 1 sin + 1 GMm GMm E = mvc = R a O F v 1 D C = GM v = L R a 1+ sin( α /) v v C L vc = 1+ 1/sin ( α /) v L / 17) Comm la nomal à l llis n C st la bissctic d l angl OCF, 1 π α l angl nt la vtical OC t la nomal à l llis vaut Si l on fait toun d 9 ct angl, on obtint l angl nt l hoizontal t v C (la πα tangnt à l llis), soit γ ; d où γ = 4 O π α DS : mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu, ag

21 18) Comm α st tit, γ π/4 ; α x/ R v gr / 1 + R / x gx = 1 ms C Si on aisonn dans l éféntil tst, on aboutit à la mêm conclusion : 1 v sinγ z = gt + v sin γt = t = g v v sin γcos γ sin γ x = v cos γt = = g g γ = π/ 4 v = xg = 1 1 = 1 ms 1 19) α = π γ = L ti otimum st hoizontal (c st un cas limit lutôt qu un solution éalist) ; la vitss 6 1 d lancmnt st la vitss d satllisation v = Rg = 6, 41 1 ms = 8 kms 1 C 1 DS : mouvmnts dans un cham nwtonin suivant un coniqu, ag 1