Etude de suites récurrentes

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1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mi 06 Enoncés Etude de suites récurrentes Exercice [ 0304 ] [Correction] u 0 = R et n N, + = u n ) Justifier que l suite ( ) est bien définie et n N, [ ; ] b) Quelles sont les limites finies possibles pour ( )? c) Montrer que ( ) converge puis que lim = 0. En déduire lim. Exercice [ 0305 ] [Correction] Exercice 3 [ 0303 ] [Correction] Exercice 4 [ 0306 ] [Correction] Exercice 5 [ 0307 ] [Correction] Exercice 6 [ 0308 ] [Correction] u 0 R et n N, + = u n + u 0 = et n N, + = + u 0 et n N, + = + ln( ) u 0 R et n N, + = e un u 0 > 0 et n N, + = + Exercice 8 [ 030 ] [Correction] Soit C tel que 0 < < et ( ) l suite définie pr u 0 = et n N, + = Montrer que ( ) est bien définie et <. Étudier l limite de ( ). Exercice 9 [ 03 ] [Correction] Soit > 0 et ( ) l suite définie pr u 0 > 0 et n N, + = ( + ) ) Étudier l convergence de l suite ( ). b) On pose pour tout n N v n = + Clculer v n+ en fonction de v n, puis v n en fonction de v 0 et n. c) Montrer que, si u 0 >, on un u0.v n 0 Ainsi, rélise une pproximtion de à l précision u 0.v n 0 n 0. On peut lors pr des clculs élémentires, déterminer une pproximtion de. Exercice 7 [ 0309 ] [Correction] Soit ( ) l suite réelle définie pr u 0 = [ ; ] et n N, + = Exercice 0 [ 033 ] [Correction] On considère l éqution ln x + x = 0 d inconnue x > 0. ) Montrer que l éqution possède une unique solution α.

2 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mi 06 Enoncés b) Former, pr l lgorithme de Newton, une suite récurrente réelle ( ) convergent vers α. Exercice 5 [ 0038 ] [Correction] Étudier l suite définie pr Exercice [ 03 ] [Correction] Déterminer le terme générl de l suite ( ) définie pr : u 0 = > 0, u = b > 0 et n N, + = u n+ À quelle condition ( ) converge? Exercice [ 030 ] [Correction] Soit R +. On définit une suite ( ) pr ) Déterminer l limite de ( ). b) Déterminer l limite de +. u 0 = et n N, + = n Exercice 3 [ ] [Correction] Étblir = + + u k +... u 0 R + et n N, + = + 4 Exercice 6 [ ] [Correction] Soient > 0, u =, u = +, u 3 = + +, Montrer que ( ) est convergente. Exercice 7 [ 0033 ] [Correction] Soit et ( ) l suite définie pr f : x x3 + 3 u 0 R et n N, + = f( ) ) Justifier que l éqution f(x) = x possède trois rcines réelles (qu on n exprimer ps). b) Étudier le signe de f(x) x insi que l monotonie de f. c) Préciser le comportement de ( ) en discutnt selon l vleur de u 0. Exercice 4 [ 039 ] [Correction] Soit ( ) une suite réelle vérifint Soit (v n ) l suite déterminée pr n N, [/ ; ] v 0 = u 0 et n N, v n+ = v n v n Montrer que l suite (v n ) converge et déterminer s limite. Exercice 8 [ 0033 ] [Correction] Soient (vec > 0) et ( ) l suite définie pr f : x x3 + 3x 3x + u 0 > 0 et n N, + = f( ) Étudier les vritions de f, le signe de f(x) x et en déduire le comportement de ( ).

3 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mi 06 Enoncés 3 Exercice 9 [ ] [Correction] Soient u 0 ]0 ; [ et pour tout n N, + = u n Montrer que ( ) est monotone de limite nulle. Déterminer les limites des suites dont les termes générux sont les suivnts n u k et n ( u k ) Exercice 0 [ ] [Correction] Soit f : [ ; b] [ ; b] une fonction de clsse C telle que x [ ; b], f (x) < ) Montrer que f dmet un point fixe unique α. b) Montrer, pour tout u [ ; b], l convergence vers α de l suite ( ) définie pr u 0 = u et n N, + = f( ) Exercice [ ] [Correction] Soit f : [ ; b] [ ; b] une fonction lipschitzienne et α [ ; b]. On considère l suite définie pr u 0 = α et + = + f( ) Montrer que ( ) converge vers un point fixe de f. Exercice [ 0039 ] [Correction] Soit ( ) l suite définie pr u 0 ]0 ; 4[ et n N, + = 4 u n ) Montrer que ( ) est bornée. Quelles sont les limites possibles de ( )? b) Montrer que si ( ) converge lors ( ) est soit sttionnire égle à 0, soit sttionnire égle à 3. c) En posnt u 0 = 4 sin α, déterminer les vleurs de u 0 pour lesquelles l suite ( ) est sttionnire. Exercice 3 [ ] [Correction] Soient ρ R + et θ ] π ; π]. On considère l suite complexe (z n ) n N définie pr ) Exprimer z n à l ide d un produit. z 0 = ρ e iθ et n N, z n+ = z n + z n b) Déterminer l limite de l suite (z n ) n N. Exercice 4 [ ] [Correction] Soit ( ) une suite de réels positifs telle que n N, + ( + + ) Montrer que ( ) converge. On pourr commencer pr étudier l monotonie de v n = mx(+, ). Exercice 5 [ ] [Correction] Soient ( ) n N et (v n ) n N les suites récurrentes réelles définies pr : u 0, v 0 R + et n N, + = v n, v n+ = + v n Montrer que les suites ( ) n N et (v n ) n N convergent vers une même limite. Exercice 6 [ 0036 ] [Correction] Pour α ]0 ; π/], on étudie les suites ( ) et (v n ) définies pr { u0 = cos α v 0 = et n N, { un+ = ( + v n )/ v n+ = + v n ) Étblir que pour tout n N, = v n cos α n et v n = n cos α k k= b) Étudier sin α n v n et en déduire les limites de ( ) et (v n ).

4 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mi 06 Enoncés 4 Exercice 7 [ 0783 ] [Correction] Soit (x n ) n N une suite de réels positifs. On pose, pour tout n > 0, y n = x + x + + x n ) Ici x n = pour tout n, où > 0. Étudier l convergence de (y n ). b) Même question dns le cs où x n = b n pour tout n, vec b > 0. c) Montrer que (y n ) converge si, et seulement si, l suite (x n n ) est bornée. Exercice 8 [ 0365 ] [Correction] Soient ( n ) une suite réelle positive, bornée et ( ) l suite récurrente définie pr u 0 > 0 et + = + n + pour tout n N Montrer que l suite ( ) converge si, et seulement si, l suite ( n ) converge. Exercice 9 [ ] [Correction] Montrer que l suite réelle (x n ) définie pr x 0 [ ; b] et n N, x n+ = (f(x n) + x n ) où f est -lipschitzienne de [ ; b] dns [ ; b], converge vers un point fixe de f.

5 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mi 06 Corrections 5 Corrections Exercice : [énoncé] On u 0 =, u =, u = 4, pr récurrence = n. Pour < lors 0, pour =, et pour >, +. L suite ( ) est décroissnte. De plus elle est minorée pr, donc elle converge vers un réel l. En pssnt l reltion d itértion à l limite, on obtient l = + ln l i.e. g(l) = 0. Pr l étude de l fonction g, on conclut l =. Finlement ( ) converge vers. Exercice : [énoncé] L suite ( ) est bien définie et supérieure à à prtir du rng cr l fonction itértrice f : x x + est définie sur R et à vleurs dns [ ; + [. + = u n + 0 cr le discriminnt de x x + est = 3 < 0. L suite ( ) est croissnte. Si celle-ci converge vers un réel l lors en pssnt à l limite l reltion d itértion : l = l +. Or cette éqution ne possède ps de rcines réelles. Pr suite ( ) diverge, or elle est croissnte, donc ( ) diverge vers +. Exercice 3 : [énoncé] Pour tout n + = + un + + Puisque u u 0 = 0, l suite ( ) est croissnte. Si ( ) converge vers l lors + = + donne à l limite l = + l donc l l = 0 et l 0. Pr suite l = + 5 = α Pr récurrence on montre isément que n N, α et pr suite ( ) converge vers α. Exercice 4 : [énoncé] L suite ( ) est bien définie et à vleurs strictement supérieure à cr s fonction itértrice f : x + ln x est définie sur [ ; + [ à vleurs dns [ ; + [. Pour n : + = ln( ) ln( ) est du signe de. L suite ( ) est monotone et de monotonie déterminée pr le signe de u u 0 = + ln u 0 u 0. Étudions l fonction g(x) = x + ln x x définie sur [ ; + [. g est dérivble, g (x) = x 0 ne s nnulnt qu en, g() = 0 donc g est strictement négtive sur ] ; + [. Exercice 5 : [énoncé] L suite ( ) est bien définie cr s fonction itértrice f : x e x est définie sur R. Pour n, + = e un e un est du signe de. L suite ( ) est monotone et de monotonie déterminée pr le signe de u u 0 = e u0 u 0. Étudions l fonction g(x) = e x x définie sur R. g est dérivble et g (x) = e x du signe de x. g(0) = 0 donc g est positive. Si u 0 = 0 lors ( ) est constnte égle à 0. Si u 0 > 0 lors ( ) est croissnte. Si ( ) converge vers un réel l lors l = e l donc l = 0. Or ( ) est minorée pr u 0 > 0 donc ne peut converger vers 0. Pr suite ( ) diverge vers +. Si u 0 < 0 lors ( ) est croissnte et mjorée pr 0 donc ( ) converge vers l seule limite finie possible 0. Exercice 6 : [énoncé] L suite ( ) est bien définie et strictement positive cr de fonction itértrice f : x +x définie sur R + et à vleurs dns R +. Si l suite ( ) converge, s limite l vérifie l = +l et l 0 donc l = +. + l = + + l = l ( + )( + l) 4 l Pr récurrence, on montre l = 4 n u 0 l et on conclut l. Exercice 7 : [énoncé] ) L ppliction x x est définie de [ ; ] vers [0 ; ] [ ; ]. b) Supposons l. Puisque n, [0 ; ], à l limite l [0 ; ]. L reltion + = donne à l limite l = l donc l + l = 0 d où l = ou l =. Or l 0 donc l =.

6 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mi 06 Corrections 6 c) + = + donc ( ) est décroissnte et pr suite converge vers α 0. Si α > 0 lors + = + donc 0 puis. C est impossible. Nécessirement 0 et donc. Exercice 8 : [énoncé] Pr récurrence montrons existe et <. Pour n = 0 : ok Supposons l propriété étblie u rng n 0. Pr HR, existe et < donc 0 d où + = Récurrence étblie. + < + donc ( ) est décroissnte d où puis puis Pr suite 0. + ( ) n 0 un existe et Exercice 9 : [énoncé] L suite ( ) est bien définie et à vleurs dns [ ; + [ à prtir du rng cr de fonction itértrice f : x ( x + ) x définie sur R + et à vleurs dns [ ; + [. Si ( ) converge vers un réel l lors l = + = + = ( ) Pour n, donc Pr récurrence : ( l + l ) et l 0 donc l =. = u n + un n u donc. b) v n+ = = un + u n + + = = ( un ) + = vn donc v n = v n 0. c) un vn un + u0 v n = u 0 v n 0 Exercice 0 : [énoncé] ) f : x ln x + x rélise une bijection strictement croissnte de R + vers R. L éqution proposée possède une unique solution α = f (0). b) L lgorithme de Newton, propose de définir l suite ( ) pr l reltion : + = f() f ( ) = ln + / + = ( ln ) + L fonction f est de clsse C, f (x) = x + et f (x) = x ne s nnulent ps. Pour u 0 > 0 tel que f(u 0 )f (u 0 ) 0, l suite converge vers α. Exercice : [énoncé] Pr récurrence, on montre que existe et > 0. L reltion de récurrence donne lors + = + +

7 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mi 06 Corrections 7 L suite (+ / ) est constnte égle à u /u 0 = b/. L suite ( ) est donc géométrique de rison b/ et finlement = ( ) n b L suite ( ) converge si, et seulement si, b. Exercice : [énoncé] ) Pour n : b) + = n u k n u k = n u n k + u k donc ( ) n est croissnte. Supposons l R. On l u = > 0 En pssnt l reltion précédente à l limite : 0 = l l+l =. C est bsurde. Pr suite +. donc Pr suite + et + = = = + / + 0 (c est le nombre d Or). On + l = + l + l = + un + + l l Pr récurrence, on obtient et donc l. Ainsi l n u 0 l = l Posons (v n ) l suite déterminée pr v 0 = et pour tout n N, v n+ = + v n. L suite (v n ) est bien définie et à vleurs supérieures à. Si celle-ci converge, c est vers l vérifint l = + l. On retrouve l = l. On Pr récurrence, on obtient et donc v n l cr l >. Ainsi v n+ l = v n l v n l v n l v n l l n v 0 l + + = l... v n l l Exercice 4 : [énoncé] On vérifie sns difficultés que l suite (v n ) est définie et que ses termes sont positifs. De plus, on vérifie pr récurrence que + Exercice 3 : [énoncé] Posons ( ) l suite déterminée pr u 0 = et pour tout n N, + = +. L suite ( ) est bien définie et à vleurs positive. Si celle-ci converge, c est vers l 0 vérifint l = + l i.e. l = + 5 cr On lors n N, v n ( + )( v n ) 0 = v n v n v n+ v n = +( v n) + + v n 0

8 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mi 06 Corrections 8 et l suite (v n ) est donc croissnte et mjorée. Pr conséquent celle-ci converge vers une certine limite l R. Dns le cs où l suite ( ) est constnte égle à, on observe que l =. Peut-être est-ce encore vri dns le cs générl? Pour le voir, étudions l suite ( v n ). On donc pr récurrence et on en déduit 0 v n+ = ( +)( v n ) + + v n ( v n) 0 v n n ( v 0) v n Exercice 5 : [énoncé] Si ( ) converge s limite l vérifie l = + l /4 d où l =. + = 4 ( ) 0 ( ) est croissnte. Si u 0 > lors ( ) diverge vers +. Si u 0 [0 ; ] lors on vérifie isément que ( ) est mjorée pr et on conclut. Exercice 6 : [énoncé] + donc ( ) est croissnte. Pr récurrence montrons +. L reltion est vrie pour n = et l hérédité s obtient pr + = Exercice 7 : [énoncé] ) Il suffit de dresser le tbleu de vrition de f. On note α < β < γ ces trois rcines. x α β γ b) f est croissnte et f(x) x c) + = f( ) f(+ ) donc u 0 f(u 0 ) = ( ) croissnte. De même + = f( ) f(+ ) donc u 0 f(u 0 ) = ( ) décroissnte. Les seules limites finies possibles pour ( ) sont α, β, γ. Enfin si u 0 α (resp. β, γ) lors pour tout n, α (resp. β, γ) et de même pour. Au finl on peut conclure : u 0 ] ; α[ donne ( ) décroissnt vers. u 0 = α donne ( ) constnte égle à α. u 0 ]α ; γ[ donne ( ) convergent vers β. u 0 = γ donne ( ) constnte égle à γ. u 0 ]γ ; + [ donne ( ) croissnt vers +. Exercice 8 : [énoncé] f (x) est du signe de 3(x ) donc f est croissnte et pr suite ( ) est monotone. Les rcines de l éqution f(x) = x sont 0, et. Ce sont les seules limites possibles pour ( ). f(x) x est du signe de x x 3 = x(x )(x + ). Si u 0 ]0 ; ] l suite est croissnte est mjorée pr donc converge vers Si u 0 [ ; + [ l suite est décroissnte et minorée pr donc converge vers. Exercice 9 : [énoncé] + = u n 0 donc ( ) est décroissnte. Aisément, on montre que ]0 ; [ pour tout n N et donc on peut conclure que ( ) converge. S limite l vérifie l = l l d où l = 0. et n u k = Exercice 0 : [énoncé] n u k u k+ = u 0 + u 0 n ( u k ) = n u k+ u k = + u 0 0

9 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mi 06 Corrections 9 ) Soit g : [ ; b] R définie pr g(x) = f(x) x. g est continue, g() 0 et g(b) 0 donc g s nnule en un point α qui est lors point fixe de f. Si α et β sont deux points fixes distincts lors pr ppliction du théorème des ccroissements finis, il existe c [ ; b] tel que f (c) = ce qui est incomptible vec les hypothèses. b) L fonction x f (x) est continue sur le segment [ ; b], elle y dmet donc un mximum en un point c [ ; b] et en posnt k = f (c) on x [ ; b], f (x) k vec k [0 ; [ Pr l inéglité des ccroissements finis, f est k lipschitzienne et lors pr récurrence : n N, α k n u α 0 d où le résultt. Exercice : [énoncé] + = (f() f( )) + ( ) Puisque f est lipschitzienne on f( ) f( ) donc + est du signe de, (en fit l fonction itértrice est croissnte). Pr suite ( ) est monotone et étnt bornée elle converge vers un l [ ; b]. L reltion + = + f( ) donne à l limite l = l + f(l) donc f(l) = l. Exercice : [énoncé] b) Supposons que 0. S il existe un rng n tel que = 0 lors l suite ( ) est sttionnire égle à 0. Sinon on > 0 pour tout n N et donc + 3 > 0. Ainsi, à prtir d un certin rng, l suite est strictement croissnte. De même si 3 sns être sttionnire égle à 3, on observe que l suite 3 est strictement croissnte à prtir d un certin rng. c) On obtient isément = 4 sin n α. L suite est sttionnire si, et seulement si, il existe n N tel que = 0 ou 3 i.e. sin ( n α) = 0, 3/, 3/ soit encore n α = kπ/3 vec k Z. Ainsi les u 0 pour lesquels l suite est sttionnire sont les sin(kπ/3. n ) vec k Z et n N. Exercice 3 : [énoncé] ) z = ρ eiθ +ρ = ρ cos θ ei θ. Pr ce principe : b) e i θ n et z n = ρ cos θ cos θ 4 cos θ n ei θ n cos θ cos θ 4 cos θ n = sin θ n sin θ sin θ θ n Finlement z n sin θ θ. (ou si θ = 0) Exercice 4 : [énoncé] On v n et + v n, v n+ = mx(+, + ) vec + ( + + ) v n et + v n donc (v n ) est décroissnte. (v n ) est décroissnte et minorée pr 0 donc (v n ) converge. On + v n. ( ) ( v n+ mx (+ + ), + = mx (+ + ), ) (+ + + ) = ++ donc v n+ v n + v n donc ( ) converge vers l même limite que ( ). ) On observe que x 4x x est une ppliction de [0 ; 4] dns lui-même. Pr suite [0 ; 4] pour tout n N. Si ( ) converge lors, en posnt l s limite, on l = 4l l d où l = 0 ou l = 3. Exercice 5 : [énoncé] Les suites ( ) et (v n ) sont bien définies et à termes positifs.

10 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mi 06 Corrections 0 Schnt on puis, b R +, b + b n, v n + et v n+ v n Les suites ( ) n et (v n ) n sont respectivement croissnte et décroissnte et on n, u 0 v n v 0 Pr convergence monotone, ( ) et (v n ) convergent vers des limites l et l. En pssnt l reltion v n+ = + v n à l limite on obtient l = l. Exercice 6 : [énoncé] ) Exploiter + cos x = cos x et risonner pr récurrence. b) sin α n v n = n sin α vi sin cos = sin. Pr suite et ussi v n sin α n sin(α/ n ) sin α α sin α α Exercice 7 : [énoncé] Notons que l suite (y n ) est croissnte, elle est donc convergente si, et seulement si, elle est mjorée. ) Ici y n+ = + y n. Soit l l rcine positive de l éqution l l = 0 i.e. l = On remrque que y = l et on montre pr récurrence y n l. L suite (y n ) est croissnte et mjorée donc convergente. b) On observe que l nouvelle suite (y n ) est désormis égle à b fois l précédente, elle est donc convergente. y n l donc (x n n ) est bornée. ) est bornée pr une certin M lors x n M n, l suite (y n ) définie c) Si (y n ) converge vers l lors x n n Si (x n n pr (x n ) est lors inférieure à celle obtenue pr (M n ), cette dernière étnt convergente, l suite (y n ) converge. Exercice 8 : [énoncé] Posons M = sup n n N On vérifie isément que l suite ( ) est bien définie et que pour tout n M + Supposons l convergence de l suite ( ). S limite est strictement positive. En résolvnt l éqution définissnt + en fonction de, on obtient n = + On en déduit que l suite ( n ) converge. Inversement, supposons que l suite ( n ) converge vers une limite l, l 0. Considérons l suite (v n ) définie pr v 0 = et v n+ = v n + l + pour tout n N On vérifie que l suite (v n ) est bien définie et à termes strictement positifs. L éqution x = x + l + possède une rcine L > 0 et on v n+ L v n L + L ce qui permet d étblir que l suite (v n ) converge vers L. Considérons ensuite l suite (α n ) définie pr α n = v n On α n+ = α n + (l n ) ( + n + )(v n + l + )

11 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mi 06 Corrections et donc vec α n+ k ( α n + n l ) k = [0 ; [ m + où m > 0 est un minornt de l suite convergente (v n ). Pr récurrence, on obtient n α n k n α 0 + k n p p l p=0 Soit ε > 0. Puisque l suite ( n ) converge vers l, il existe p 0 tel que et lors Pour n ssez grnd n p p 0, p l ε p=p 0 k n p p l ε + k= k p = kε k On x n+ x n = (f(x n) f(x n )) + (x n x n ) Puisque f est -lipschitzienne, on f(x n ) f(x n ) x n x n et donc x n+ x n est du signe de x n x n. Pr conséquent, l suite (x n ) est monotone et s monotonie découle du signe de x x 0. L suite (x n ) étnt de plus bornée, elle converge vers une certine limite l vec l [ ; b]. L reltion x n+ = x n + f(x n ) donne à l limite schnt f continue donc f(l) = l. l = l + f(l) et on en déduit p 0 p=0 Ainsi α n 0 et pr conséquent k n p p l = C te k n ε et k n α 0 ε α n ε + kε k L Exercice 9 : [énoncé] L fonction itértrice de cette suite récurrente est g : x (f(x) + x) On vérifie isément que cette fonction est définie sur [ ; b] et à vleurs dns [ ; b]. On en déduit que l suite (x n ) est bien définie et que c est une suite d éléments de [ ; b].

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