LES RADICAUX D INDICE n

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Flavie Laurin
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1 Chpitre 1 LES RADICAUX D INDICE n 1 Nomres réels et puissnces (rppels) Exercice 1 Démontrer que l ddition et l multipliction confèrent à l ensemle des réels une structure de chmps ( corps commuttif) Exercice Pour quelle(s) rison(s), l ensemle des nturels muni de l ddition ne possède ps l structure de groupe? Exercice Effectuer et à retenir! ( + ) ( ). ( )( + ) ( + ) 5. ( ) 6. ( + )( + ) 7. ( )( + + ) 8. ( + + c) Exercice 4 Résoudre les équtions suivntes : x 4 x 7. x + 6 x x 8 x x + x 5

2 CHAPITRE LES RADICAUX D INDICE N 4 7. x x 5 8. x x Exercice 5 Effectuer ( 1) + 1 (+1) 1 1 Exercice 6 Effectuer c 0c c 4d. c d Rcines crrées - Rdicux d indice (rppels) Exercice 7 Simplifier c 6 Exercice 8 Préciser sous quelle(s) condition(s) les rdicux suivnts existent : x ; ( x) ;. x + 1 ; (x ) ; 5. (x 1) ; Exercice 9 Rendre le dénominteur rtionnel: Exercice 10 Elever u crré +. Exercice 11 Prouver que, IR + 0 : Exercice 1 Ecrire sns rdicux les expressions suivntes x + (x 1) + (x + 1). (x 1) (x + ) (x ) (x + 1) (x ) x

3 CHAPITRE LES RADICAUX D INDICE N 5 Rcines cuiques - Rcines d indice Définition L rcine cuique d un nomre réel x est le nomre réel r tel que r x. Exemples : est l rcine cuique de 8 cr 8 ; est l rcine cuique de 8 cr ( ) 8 ; est l rcine cuique de 7 cr 7 ; est l rcine cuique de 7 cr ( ) 7. Nottion L rcine cuique se note qui est ppelé rdicl d indice. Comme dns le cs des rcines crrées, ce qui se trouve sous le rdicl s ppelle le rdicnd. Exercices Clculer 7, 8, 6 Remrque On pr exemple 7 7. Dns l suite, nous utiliserons lors l nottion si < 0. Cel revient à sortir le moins! Règles de clcul Rcine cuique d un produit, IR :. Rcine cuique d un quotient IR, IR 0 :. Exercice 1 Effectuer

4 CHAPITRE LES RADICAUX D INDICE N 6 4 Rcines d indice n Définition L rcine nème d un nomre réel x est le nomre (positif si n est pir) r tel que r n x, n pouvnt prendre toutes les vleurs nturelles à prtir de, c est-à-dire n,, 4, Exemples est l rcine qutrième de 16 cr 4 16 ; est l rcine cinquième de cr ( ) 5 ; Propriétés Si n est pir, le réel 0 dmet l rcine nème 0; tout nomre strictement négtif n dmet ps de rcine nème. Si n est impir, tout nomre réel dmet une rcine nème. Nottion Si n est pir, l rcine n ième se note n ; Si n est impir, l rcine nème se note n et on n n si < 0. Règles de clcul Rcine nème d un produit Rcine nème d un quotient n. n. n vec {, IR + si n est pir;, IR si n est impir. n n n vec { IR +, IR + 0 si n est pir; IR, IR 0 si n est impir. Exercice 14 Simplifier les rdicux suivnts si on suppose que,, c sont (strictement) positifs c c

5 CHAPITRE LES RADICAUX D INDICE N c c Les exposnts frctionnires Définition Si n est un entier non nul, si p est un entier positif supérieur ou égl à, lors pour tout nomre réel strictement positif, on écrit p n n p. Remrque Le nomre n p est un nomre rtionnel. Exemples Exercices Clculer à l ide des propriétés des rdicux ( 5 ) Règles de clcul Les règles de clcul vues pour les exposnts entiers sont étendues ux exposnts frctionnires. Si r et s sont des nomres rtionnels, si et sont des réels strictement positifs, lors on r 1 r r s r+s r r s s ( r ) s rs () ( r r r ) r r r

6 CHAPITRE LES RADICAUX D INDICE N 8 Exercices Clculer 1) 8 1 7) 4 1 1) 16 4 ) 1 14) 6 5 ) ) ) 5 1 9) 4) ) 5) ) ( ( 4 9)1 15) 7 ( 16 ) 1 5 ( ) ) ) 6) 1 1) 8 18) ( 1 5)5 ( 4 9) Si est strictement positif, écrire sns exposnt frctionnire : 1) 1 5) ( ) 9) ) 1 1 6) ( ) 10) ) ) ( 1 5 ) 5 11) 4) 1 1. A l ide de l clcultrice ( décimles) : ) ( ) 4 Remrque (extension ux réels strictement négtifs) On pr exemple ( 8) Si est négtif, si n est impir et si p est impir, lors on p n n p. ( 1 ) 1 4 ( ) 1 ( ) ( ( ) 1 1 ) Exemples 5 ( ) 5 5.

7 CHAPITRE LES RADICAUX D INDICE N 9 6 Quelques exercices supplémentires... I. Ecrire sous forme d une puissnce à exposnt rtionnel ( 0) 1) ) 1 ) 5 4) 4 5) 1 6) 1 5 II. Trnsformer en n écrivnt que des rdicux et des puissnces à exposnts nturels On > 0 1) 1 ) 5 4 ) 4) 1 5 5) 4 6) 0 III. Clculer sns mchine (trnsformer l écriture) 1)16 1 )7 1 )0, ) )4 6) )8 1 8) ( ) 1 IV. Simplifier en utilisnt les propriétés ( ) 5 1) 1. ) 5 ( ) 6 ( ) ) 4) 4 5)8. 1 V. étnt un réel strictement positif, déterminer x tel que : 1). x ) 4. x 1 ) x. 1 4) 1 x. x x 5) 1 +x. 1 +x x VI. Evluer à l ide de l clcultrice (décrire l séquence) 1)( 0, 4) 9 ) 1 ) 1 0,1 4)( 1) 5) 9 6)0, 1 7 7) 4 5 8) 1 5 9) 8 0, 0 10) 4 1

8 CHAPITRE LES RADICAUX D INDICE N 10 VII. A quelle(s) condition(s) les expressions suivntes désignent-elles des nomres réels? On n et p IN 0 \ {1} 1) n 8 ) 4 ) 6 4) 4 5) 4 ( ) n 6) n 7) 6 1 8) 7 1 9) n p 10) n p VIII. Si, et c IR + 0, simplifier (n IN 0 \ {1}) 1) 7 ) 8 5 ) ) c 8 5) ) ) ) n 4 n n+ n+1

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