Cours - Chapitre 2 - Fonction exponentielle et équations différentielles. Table des matières. 1 Première approche des équations diérentielles 3

Transcription

1 Cours - Chpitre 2 - Fonction exponentielle et équtions différentielles Terminle S M.Guéry Tble des mtières 1 Première pproche des équtions diérentielles 3 2 Dénition et propriétés 4 3 Résolution des équtions diérentielles de l forme y = y + b Cs où b = 0, c'est-à-dire y = y Cs où b Un mthémticien fou (pléonsme) monte dns un bus et se met à mencer tout le monde : " Je vis vous dériver!" Tout le monde est eryé et se suve, suf une jeune dme qui reste trnquille. Le mthémticien fou rrive vers elle et dit : L jeune dme répond : " Tu n's ps peur? Je vis te dériver!" "Non, je n'i ps peur, je suis e x." 1

2 Introduction Nous llons étudier dns ce chpitre une fonction extrêmement importnte pour l suite : l fonction exponentielle! Elle entre dns le top 5 des fonctions à connître prfitement (vec l fonction crrée, rcine crrée, inverse...), occupnt même, à mon humble vis, l première plce du podium. Pourquoi est-elle si importnte? "M'sieur, à quoi v-t-elle nous servir?" L'étude des nombres complexes, que vous étudierez en cours d'nnée, s'ppuie sur l connissnce de l fonction exponentielle (vous llez voir, elle v grndement nous simplier l vie!). Vous llez de nouveu l rencontrer en probbilités (je vous vois vous grtter l tête, en vous demndnt quel lien peut-il y voir entre des probs et cette fonction!). Elle permet ussi de résoudre des équtions diérentielles (que nous llons étudier ici). Et ce ne sont que certines des utilités de l'exponentielle, en clsse de Terminle S! Elle est ussi à l bse de l théorie de Fourier, que les élèves de physiques ou de mths étudieront près le lycée. Vous llez me dire : "Oui mis moi près le bc, je vis en biologie, lors je m'en che!" Eh bien détrompezvous! Cr même en biologie l fonction exponentielle est utile. Si vous continuez vos études dns les sciences, quel qu'en soit l brnche, vous llez l retrouver. Alors sympthisez vec elle de suite! Je vous l'rme : cette fonction est un véritble couteu suisse. Grdez-l toujours sur vous, elle vous ider dns votre survie d'étudint, u milieu de l jungle de l Connissnce. L'pprition de l fonction exponentielle est essentiellement due ux trvux des diérents stronomes, notmment u cours du XVIIème siècle vec Nepler et Kepler, qui eurent besoin de nouveux outils (notmment les logrithmes, que l'on étudier en surfce plus trd) pour réliser des clculs devenus bien compliqués. C'est Descrtes qui, toujours u XVIIème siècle, donn une première dénition de l'exponentielle. Puis Leibniz et Euler étudièrent cette fonction, qui donn un véritble coup d'ccélérteur dns l'vncée scientique. René Descrtes Leonhrd Euler Gotfried Wihelm von Leibniz On peut introduire de multiples fçons l fonction exponentielle. Celle que je vous propose est utile en terminle S cr en lien vec les équtions diérentielles. 2

3 1 Première pproche des équtions diérentielles Dénition : Une éqution diérentielle est une éqution dont l vrible est une fonction, le plus souvent notée y, et fisnt intervenir un lien entre cette fonction et ses dérivées successives. exemple : y = 2y + 1. Cel signie que, pour tout x dns le domine de dénition de y, y (x) = 2 y(x) + 1. Proposition 1 : 1. Si une éqution diérentielle dmet une solution, lors elle dmet une innité de solutions. 2. Si une éqution diérentielle dmet des solutions, lors elle dmet une unique solution vérint une condition initile, du type y() = b, où et b sont des réels, étnt dns le domine de dénition de l fonction y. exemple : Soit (E) : y = 3 une éqution diérentielle. On clirement que toutes les solutions de (E) sont du types y(x) = 3x + k, pour tout x réel, où k est réel (pr exemple, y(x) = 3x + 2). On donc bien une innité de solutions de l'éqution (E). Deux solutions se diérencient pr l vleur du réel k. Prmi cette innité de solutions, une seule vérie l condition initile y(0) = 5. Votre mission, si vous l'cceptez, est de trouver cette unique solution, que l'on noter f. On lors f qui vérie (E) : y = 3 et f(0) = 5. Comme f vérie (E), on que f(x) = 3x + k, pour tout x réel, où k est un réel. Il ne reste donc plus qu'à trouver l vleur de k, grâce à l condition initile : f(0) = k = 5 k = 5. Donc l solution de (E) : y = 3 vec pour condition initile y(0) = 5 est l fonction f dénie sur R pr f(x) = 3x + 5. L résolution des équtions diérentielles du type y =, où est un réel est très fcile. Pour résoudre les équtions diérentielles du type y = y + b, où et b sont réels, vec 0, on besoin de notre Super Fonction exponentielle, que nous introduisons dns l prtie qui suit. 3

4 2 Dénition et propriétés Dénition : L fonction exponentielle, notée exp, est l'unique solution de l'éqution diérentielle : { y = y y(0) = 1. L proposition suivnte découle directement de l dénition. Proposition 2 : 1. L fonction exponentielle est dérivble sur R. 2. exp(0) = 1. Corollire : L fonction exponentielle est continue sur R. Démonstrtion : Pr l Proposition 2.1, l fonction exponentielle est dérivble sur R. On en déduit donc, pr le Théorème 6 du Chpitre 1, que l fonction exponentielle est continue sur R. Nottion : Plus souvent, on écrir e x à l plce de exp(x). Retenez les deux nottions! On note ussi e 1 = e 2, 71. Dns ce qui suit, nous llons donner des petites propriétés de l'exponentielle, à bien retenir! Les méthodes de démonstrtions sont intéressntes à svoir refire. Elles ne sont ps longues, donc stiquer votre coude vec de l'huile, et u trvil! Proposition 3 : 1. x R, e x = 1 e x. 2. x R, e x > x R, y R, e x+y = e x e y. 4. x R, y R, e x y = e x e y = ex e y. 5. x R, y R, (e x ) y = e xy = (e y ) x. Démonstrtion : 1. Le but est de montrer que, pour tout x réel, e x e x = 1. On ur le résultt voulu. Pr l règle de dérivtion du produit de deux fonctions, on : (exp(x)exp( x)) = exp(x) exp( x) + exp(x) exp( x). Or, exp(x) = exp(x), et pr composée, exp( x) = exp ( x) ( 1) = exp( x) ( 1). Donc : (exp(x)exp( x)) = exp(x) exp( x) exp(x) exp( x) = 0, pour tout x réel. Or, une fonction dont l dérivée est prtout nulle est une fonction constnte. Donc il existe c R tel que, pour tout x réel, e x e x = c. Or, on e 0 e 0 = e 0 e 0 = 1. Pr conséquent, c = 1 (cr l'églité e x e x = c est vrie en prticulier pour x = 0!). Ainsi : x R, e x e x = 1 x R, e x = 1 e x. 4

5 2. Ce point découle (mis ps directement) du premier! En eet, si pour tout x réel, e x = 1, on nécessirement que, pour tout x réel, e x 0. e x De plus, e 0 = 1 et l fonction exponentielle est continue sur R. Nous llons mintennt procédé pr l'bsurde (revoir si nécessire son mode de fonctionnement dns le Chpitre 1, Proposition 1). On suppose donc le contrire de ce qu'on veut montrer pour tomber sur une contrdiction. Question : Quel est le contrire de "Toutes les personnes en fce de moi sont des femmes."?... Fcile non? Eh bien oui, le contrire est : "Il y u moins une personne en fce de moi qui n'est ps une femme" (donc un homme... Fut suivre les enfnts!). Ici, puisqu'on veut montrer que pour tout x réel, e x > 0, supposons qu'il existe u moins un réel x 0 tel que e x 0 0. Or, pr 1, e x 0, x R. Donc e x 0 < 0. On donc e 0 = 1 > 0 et e x 0 < 0. De plus l fonction exponentielle est continue, donc pr le théorème des vleurs intermédiires (cf Chpitre 1), il existe y R tel que e y = 0, ce qui est impossible pr le point 1. Donc il n'existe ps de x 0 R tel que e x 0 0. Ainsi, pour tout x réel, e x > Admis 4. Soit x R et y R. Pr 3, on : e x y = e x e y. Or, pr 1, e y = 1. D'où le résultt. e y 5. Admis. (Vous pouvez cependnt montrer que, pour tout x R et pour tout n Z, exp(nx) = exp(x) n.) Théorème 1 : L fonction exponentielle est strictement croissnte sur R. Démonstrtion : Pr l Proposition 3.2, on que, pour tout x réel, exp (x) = exp(x) > 0. Ainsi, d'près l Proposition 10 du Chpitre 1, exp est strictement croissnte sur R. Corollire : x R, y R : x < y e x < e y. Démonstrtion : C'est l dénition même d'une fonction strictement croissnte sur R!!! Proposition 4 : lim x ex = 0 + ; lim x + ex = +. On désormis tous les éléments nécessires pour trcer l courbe de l fonction exponentielle, dns un repère orthonormé. Fonction exponentielle. 5

6 Théorème 2 : (Croissnce comprée) n N : e lim x = + ; lim x + x n x xn e x = 0. Remrques : 1. Si on regrde les limites bien droit dns les yeux, on remrquer qu'on obtient deux FI. Il fut donc voir l fonction exponentielle comme le chef. Elle dicte s loi devnt les puissnces de x, et donc c'est s limite qui l'emporte, dns les deux cs. Cel provient du fit que l fonction exponentielle "croit plus vite, à prtir d'un certin rng", que n'importe quelle puissnce de x. 2. Ce théorème est ussi vri pour n Z, mis si n < 0, il n'y plus de FI!! L limite qui suit est importnte! Le style de l démonstrtion est à connître bsolument!. Si vous l mîtrisez, vous surez retrouver très rpidement cette limite, et bien d'utres encore! Les excuses du genre "Je ne me souvenis plus de l vleur de l limite..." ou "Alzheimer me guette!" ne seront ps recevbles!! Théorème 3 : lim x 0 e x 1 x = 1 Démonstrtion : Cette démonstrtion repose exclusivement sur l dénition du nombre dérivée (cf si besoin est le Chpitre 1, Prgrphe 4). On rppelle que e 0 = 1. Ainsi : e lim x 1 x 0 x = lim x 0 e x e 0 x 0 = exp (0) = exp(0) = 1. Corollire : Pour x u voisinge de 0 (c'est-à-dire très proche de 0) : e x 1 + x. Proposition 5 : Soit I un intervlle de R, et u : I R une fonction dérivble. On lors : exp(u) est dérivble sur I et (exp(u(x))) = u (x) exp(u(x)), x I. exemple : Soit u l fonction dénie sur R pr u(x) = 2x 2 + 5x 1. u est évidemment dérivble sur R, cr c'est une fonction polynômile. De plus, u (x) = 4x + 5, x R. On pose f l fonction dénie sur R pr f(x) = e 2x2 +5x 1. On donc, pr l Proposition 5, que f est dérivble sur R et : x R, f (x) = ( 4x + 5)e 2x2 +5x 1. Démonstrtion : On utilise seulement l dérivée de l composée de deux fonctions. A vous de jouer (oui oui, je vous ssure, on joue qund on fit des mths!). 6

7 3 Résolution des équtions diérentielles de l forme y = y + b Les physiciens tombent prfois sur des équtions diérentielles, comme pr exemple lors de l'étude du circuit RLC, u progrmme de terminle S (en tout cs à mon époque!). Et comme ils sont un peu finénts sur les bords, ils demndent ux mthémticiens de résoudre leurs problèmes... On ne peut donc mlheureusement que constter que les mtheux sont utiles, et pourtnt incompris et méprisés dns ce monde ô combien hostile Cs où b = 0, c'est-à-dire y = y Théorème 4 : Soit (E) : y = y une éqution diérentielle, vec réel non nul. Les solutions de (E) sont les fonctions dérivbles sur R de l forme : f : x Ce x, où C R. Autrement dit, f est solution de (E) x R, f(x) = Ce x, où C R. exemple : Soit (E) : y = 5y une éqution diérentielle. Les solutions de (E), dénies et dérivbles sur R, sont de l forme : f(x) = Ce 5x, x R, où C R. Démonstrtion : Il est évident que l fonction x e x est solution de (E). Soit f une fonction dénie sur R. On peut toujours écrire f sous l forme : f(x) = k(x)e x (Il sut pour cel de poser k(x) = f(x) ; ce qui est possible cr e x > 0, x R!). e x On lors : f (x) = k (x) e x + k(x) e x, x R. Ainsi : f solution de (E) f f = 0 k (x)e x = 0, x R k (x) = 0, x R (cr e x 0, x R) k(x) = C, x R, où C R est une constnte Ainsi, f est solution de (E) f(x) = Ce x, x R. 3.2 Cs où b 0 Théorème 5 : Soit (E) : y = y + b une éqution diérentielle, vec et b des réels, et 0. Les solutions de (E) sont les fonctions dérivbles sur R de l forme : f : x Ce x b, où C R. Autrement dit, f est solution de (E) f(x) = Ce x b, où C R. exemple : Soit (E) : y = 2y +5 une éqution diérentielle. Les solutions de (E), dénies et dérivbles sur R, sont de l forme : f(x) = Ce 2x 5 = 2 Ce 2x + 5, x R, où C R. 2 On peut contrôler que les fonctions de cette forme vérient bien (E) : on les dérive, et on croise les doigts pour que l'éqution diérentielle soit vériée! 7

8 Démonstrtion : On doit démontrer une équivlence, c'est-à-dire les deux implictions! = (L'impliction l plus dicile... Tenez bon!) Soit g l fonction constnte, dénie sur R, pr g(x) = b. g étnt constnte, on que g est dérivble sur R et g (x) = 0, x R. On donc : g(x) + b = ( b ) + b = 0 = g (x), x R. Ainsi, g est solution de (E)!! Soit f une utre solution de (E). On lors : { (1) h = h + b. En fisnt (2)-(1), on obtient : Ainsi, d'près le Théorème 4, on que : Pr conséquent, on bien que : (2) f = f + b. f g = (f g) (f g) = (f g). f(x) g(x) = Ce x, où C R. f solution de (E) = f(x) = Ce x b, x R. = Montrons que l fonction f dénie sur R pr f(x) = Ce x b, où C R, est bien solution de (E). f est clirement dérivble sur R. On de plus : Pr conséquent : Donc : f (x) = C e x, x R. x R, f(x) + b = (Ce x b ) + b = Cex b + b = f (x). f(x) = Ce x b, x R = f solution de (E). Corollire : L'éqution diérentielle (E) : y = y + b dmet une unique solution vérint l condition initile y(x 0 ) = z 0 (où x 0 et z 0 sont des réels quelconques). { y exemple : Soit (E) : = y + 1. y(0) = 4 Pr le Théorème 5, les solutions de y = y + 1 sont de l forme : y(x) = Ce x + 1, x R. Ici, on veut y(0) = 4, donc : Ce = 4 C + 1 = 4 C = 3. Donc l'unique solution de (E) est l fonction f dénie sur R pr f(x) = 3e x + 1. Est-ce que je vous fit sliver d'imptience en vous disnt que ce que vous venez de voir n'est qu'une toute petite prtie de l puissnce colossle de l fonction exponentielle??!! TO BE CONTINUED!!! 8