LE CHAMP MAGNÉTOSTATIQUE

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1 LE CHAP AGNÉTSTATQUE DÉFNTN Une chage ponctuelle q placée dans un champ électique et un champ magnétique est soumis à la foce de Loent : F = qe + qv ^ B Le champ électostatique est défini à pati de la foce électique qui s exece su une chage q : F = qe électique Le champ magnétostatique est défini à pati de la foce magnétique qui s exece su une chage q : F = qv ^ B Le champ magnétostatique est donc défini à pati d un poduit vectoiel l magnétique dépend d une convention d oientation de l espace (tiède diect n dit que le champ magnétostatique est un pseudo vecteu ou vecteu axial alos que le champ électostatique est un vai vecteu NTERPRÉTATN DES ACTNS AGNÉTQUES SUBES PAR UN TRNÇN DE CRCUT n vea dans le cous de mécanique su l effet Hall que la foce de Laplace est égale à la somme des foces des foces de Loent subies pa les électons Les foces de Loent, appliquées en fait aux électons, sont tansmises au tonçon de fil, c'est-à-die au éseau cistallin pa un pocessus physique (champ de Hall NTERPRÉTATN DES ACTNS AGNÉTQUES SUR UN AANT CURANTS APÉRENS n s intéesse à l action de Laplace subie pa un cicuit plan placé dans un champ magnétique extéieu B unifome 1 Couple execé pa un champ magnétique extéieu su un cicuit plan vue de dessus D u a A H 1 H C α H 1 F AB n α F CD H B B b Le cade est compis dans un plan vetical Le moment magnétique du cade est : = Sn= S Le vecteu nomal n est oienté avec la ègle de la main doite Résultante des foces de Laplace : F = AB ^ B + BC ^ B + CD ^ B + DA ^ B = AB + BC + CD + DA ^ B = L ( La ésultante des foces de Laplace est nulle L action mécanique de Laplace est donc un couple de foces Nous allons calcule le moment de l action mécanique de Laplace Ce moment étant indépendant du point, nous le calculons au cente du cade Le champ magnétique étant unifome, ces foces sont épaties unifomément su AB ; le point d application de la ésultante F est donc le milieu 1 H 1 de AB AB 1 n peut véifie facilement su un schéma que le moment ésultat des foces de Laplace su AB est nul en H Cous de Physique (36-13 Page 1 su 7 JN Beuy

2 Γ ^ = H F La foce de Laplace F AB, 1 AB AB dessus F = ab Γ est othogonal à F et à H Γ AB ext AB, AB 1 AB, n a donc : b Γ = H F sin 1 ( H, F 1 u = H F cosα u = ab cosα u AB AB AB 1 AB b De même, on a Γ cos CD = ab α u Les autes contibutions sont nulles Le moment du couple est donc Γ= abb cosα u n peut l expime en fonction de = Sn= abn n a alos Γ = ^ B est othogonale à AB et à B (voi vue de oment magnétique d une distibution de couant Le moment magnétique d une distibution de couant est défini de la manièe suivante : Dans le cas d un cicuit filifome femé plan de suface S, on appelle n le vecteu nomal au plan du cicuit coespondant au sens positif de l intensité dans le cicuit n peut utilise la ègle de la main doite pou touve apidement le vecteu nomal n = Sn= S est donc colinéaie à u est diigé de la face Sud ves la face Nod Dans le cas d un enoulement de fil, le moment magnétique est la somme des moments magnétiques des spies : = S n spie spie spies En paticulie, le moment magnétique d une bobine compotant N spies identiques de suface S est : = NSn= NS L expession du moment magnétique d une distibution quelconque ne figue pas au pogamme Remaques : Le moment magnétique ne dépend pas du sens conventionnel choisi pou l intensité : si l on change le sens positif du couant, on invese aussi le vecteu nomal Le moment magnétique dépend de l oientation de l espace (choix d un tiède diect et ègle de la main doite, c est donc un pseudo-vecteu (ou vecteu axial 3Généalisation n admet la généalisation du ésultat pécédent : Un dipôle magnétique de moment magnétique plongé dans un champ magnétique extéieu B est soumis à un couple de moment : Γ= ^ B ext Ce couple tend à aligne le moment magnétique su le champ magnétique l s annule losque est paallèle à B L expession Γ= ^ B est aussi valable pou un champ unifome ou quasi unifome ainsi que pou un champ magnétique vaiant dans le temps 4 Couants ampéiens Le ésultat emaquable a suggéé à Ampèe (18 l hypothèse des couants ampéiens : il existe des couants dans la matièe Les popiétés des aimants peuvent s intepéte en imaginant que la matièe de ceux-ci est pacouue pa des couants micoscopiques En 18, on ne connaissait pas la stuctue atomique de la matièe Les modèles d atomes élaboés au début du ème siècle ont pemis de pécise l intuition d Ampèe : odèle atomique de Boh (1913 : le mouvement obital d un électon autou du noyau est équivalent à une spie pacouue pa un couant 195 : aute cause micoscopique du magnétisme : le spin de l électon mage classique : «otation de l électon su lui-même» 5 Les souces de champ magnétostatique Les couants ampéiens et les aimants sont au même tite des souces de champ magnétostatique La aison de cette équivalence ente les deux types de souces du champ magnétostatique est qu il y a des couants qui ciculent dans la matièe Cous de Physique (36-13 Page su 7 JN Beuy

3 La desciption des phénomènes magnétostatiques peut donc ête amenée à l action de couants, souces de champ B su d autes couants V LEN DU CHAP AGNÉTSTATQUE AVEC SES SURCES : L DE BT ET SAVART Soit un élément de cicuit dl pacouu pa un couant n postule la loi de Biot et Savat db est la µ dl^u contibution appotée au champ B( pa un élément situé en : db( = ATTENTN : db est une notation Ce n est pas la difféentielle de B C est simplement la contibution de dl au champ magnétostatique au point dl u Le champ magnétostatique s obtient pa intégation su le cicuit (C : ( ( C B µ dl^u = 7 µ est la peméabilité du vide µ = 1 Hm -1 Dans le cous su les ondes électomagnétiques (voi cous de Spé, on monte que : µε c = 1 1 dqu n peut etouve ce ésultat pa analogie avec la loi de Coulomb : d E = ε L analogie est : 1 µ ; dq d l ; de db ; ε Ne pas oublie de emplace la multiplication pa un poduit vectoiel La loi de Biot et Savat peut se démonte à pati des équations de axwell La loi de Biot et Savat est valable même s il y a des couants à l infini Appoximation sufacique : B( = souces des couants µ j ds ^u S C Appoximation volumique : B( = souces des couants µ jdτ ^u pa n etouve facilement les autes elations en emplaçant dl j d S S ou pa jdτ V CHAP CRÉÉ PAR UN TRNÇN RECTLGNE dl ψ u u u 1 1 Cous de Physique (36-13 Page 3 su 7 JN Beuy

4 Soit un fil ectiligne 1 pacouu pa un couant epésenté su le schéma ci-dessus Le plan = (, u, u est un plan de symétie pou les couants, souces du champ, donc B(, c'est-à-die B( // u (voi chapite su les plans de symétie cosψ µ dl^u µ d µ La loi de Biot et Savat s écit : db = = ^ = cosψ d sinψ La pojection su u µ d est donc : db = cosψ l faut choisi un paamète pou intége Comme en électostatique, pou le segment fini, on pend souvent l angle ψ l faut expime d en fonction de dψ La méthode est d expime en fonction de ψ et de difféencie n appelle la distance de au fil Pou décie la distibution :, et ψ vaient PAR CNTRE, NE VARE PAS db est la contibution de l élément de couant dl au champ en l faut donc compléte le schéma n ajoute l altitude du point n a donc tan ψ = ; d = dψ cos ψ 1 cos ψ n a aussi : cosψ =, d où = l este à emplace dans l expession de db µ cos ψ µ 1 D où : db = cosψ d cos d ψ = ψ ψ n intège ente ψ et ψ avec tanψ = 1 1 cos ψ µ µ et tanψ = n obtient : B = ( sinψ sinψ 1 et B = ( sinψ sinψ 1 u Remaque : Quand on fait la sommes des difféentes contibutions, il faut bien faie attention à intége dans le sens des coissants ntepétation physique : Le champ magnétostatique en est diigé ves la gauche d un obsevateu egadant, couché su le fil, le couant entant pa les pieds et lui sotant pa la tête : ègle du bonhomme d Ampèe Le sens des lignes de champ est aussi donné pa la ègle du tie-bouchon : un tie-bouchon dont la pointe pogesse dans le sens de l intensité le long d un fil a son manche qui toune dans le sens des lignes de champ qui entouent cet élément pouce n peut cite encoe plus simplement la ègle de la main doite : Si la main doite toune dans le sens de B, alos le pouce doit ête dans le même sens que Le champ B toubillonne autou des souces de couant main π π µ doite Cas paticulie du fil illimité : ψ et ψ n a alos B = u 1 π n va voi dans le chapite su le théoème d Ampèe comment calcule beaucoup plus simplement le champ magnétostatique pou des distibutions hautement symétiques V RDRES DE GRANDEUR DES CHAP AGNÉTSTATQUES 4 Soit un fil infini pacouu pa un couant = 1 A Pou = cm, on a B = 1 T La composante hoiontale 5 du champ magnétique teeste vaut 1 T l faut éalise des enoulements (ou bobinages de fils pou poduie à l aide de couants des champs magnétiques d un ode de gandeu acceptable Dans un bobinage odinaie, l échauffement pa effet Joule limite les intensités admissibles et le champ magnétique est inféieu à la faction de Tesla Si on intoduit de la matièe aimantée à l intéieu d un bobinage (noyau de fe doux, on peut atteinde T Depuis 197, on s affanchit de l effet Joule avec des bobinages supaconducteus n peut obteni quelques diaines de Tesla mais il faut tavaille à tès basse tempéatue (tempéatue de l hélium liquide 4 ou de l aote liquide 77 pa exemple Cous de Physique (36-13 Page 4 su 7 JN Beuy

5 V PRPRÉTÉS D NVARANCE ET DE SYÉTRE V1 nvaiance Un système est invaiant dans une tansfomation si le ésultat de T (déplacement engende une situation identique à la situation initiale Pincipe de Cuie ( : Un phénomène physique possède au moins les éléments de symétie de ses causes n admet que le champ magnétostatique possède les mêmes popiétés d invaiance que les souces qui sont la cause Exemple : cylinde infini avec des couants volumiques unifomes suivant u La distibution de couants D est invaiante pa otation d angle et pa tanslation d axe, donc B aussi, ses coodonnées ne dépendent pas de et V Symétie aplan de symétie est un plan de symétie pou les couants si la distibution de couants D peut ête décomposée en éléments et deux à deux symétiques tels que d C' = sym( L élément de couant vaut = dl, j dτ ou j ds S ' d C' = sym( b Plan d antisymétie ( π est un plan d antisymétie pou les couants si la distibution de chages D peut ête décomposée en d C' = sym éléments et deux à deux symétiques tels que ( d C' = sym d ( C ' ( π V3 Relation ente le champ en et le champ en = plan de symétie B( B( ( π = plan d'antisymétie ' B( ' = sym( B( ' B( ' = sym( B( Remaque : B est défini à pati d un poduit vectoiel C est donc un pseudo-vecteu ou vecteu axial Les plans de symétie pou les souces sont donc des plans d antisymétie pou B Cous de Physique (36-13 Page 5 su 7 JN Beuy

6 V4 Champ en un point appatenant à un plan de symétie ou d antisymétie Si appatient ( B π + B π + plan de symétie pou les couants, alos ( ( Si appatient ( π plan d antisymétie pou les couants, alos ( ( π Soit un point appatenant à un plan de symétie et deux à deux symétiques tels que d C' = sym( db+ d B' d B ' db d C ' ' La distibution peut ête décomposée en éléments En sommant deux pa deux, on a bien Soit un point appatenant à un plan d antisymétie ( π éléments et deux à deux symétiques tels que d C' = sym( db+ d B' ( π ( db π d B ' La distibution peut ête décomposée en En sommant deux pa deux, on a bien d C ' ' V EXEPLES D UTLSATN DES PRPRÉTÉS DE SYÉTRE V1 Fil illimité filifome Γ u u u Soit un point epéé pa ses coodonnées cylindiques Le plan = (, u, u est un plan de symétie pou les couants, souces du champ, donc B(, c'est-à-die B( // u La distibution D est invaiante pa otation d angle et pa tanslation d axe, donc B aussi Bilan : B = B( u Cous de Physique (36-13 Page 6 su 7 JN Beuy

7 V Fil illimité non filifome n considèe un cylinde illimité de ayon R pacouu pa un couant épati unifomément en volume En égime pemanent, on peut monte que l intensité se épatit de façon unifome dans la section L intensité est oientée ves le haut n a : = j ds = jπ R S j Γ u u u est un plan de symétie pou les couants, souces du champ, donc // u La distibution D est invaiante pa otation d angle et pa tanslation d axe, donc B aussi Bilan : B = B( u Le plan = (, u, u B(, c'est-à-die B( V3 Spie ciculaie Calculons le champ céé pa une spie ciculaie su l axe dl db R db Pojection dans le plan ( Tous les plans passant pa et contenant l axe sont des plans d antisymétie pou les couants, donc // u B( appatient à l intesection des plans d antisymétie n en déduit que B( Cous de Physique (36-13 Page 7 su 7 JN Beuy