Résumé 07 : Intégrales généralisées

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1 Résumé 07 : Intégrles générlisées Dns tout ce chpitre, K ser le corps R ou C 1 INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 1 Convergence d une intégrle impropre Dns cette section, f ser ici indifféremment à vleurs dns R ou C Définition 11 Soient < b deu éléments de R Si R et si f est une ppliction continue pr morceu sur [, b[, l intégrle dite convergente lorsque pose f(t)dt est f(t)dt une limite finie l qund tend vers b Dns ce cs, on f(t)dt = lim f(t)dt b Si b R et si f est une ppliction continue pr morceu sur ], b], l intégrle dite convergente lorsque pose f(t)dt est f(t)dt une limite finie l qund tend vers + Dns ce cs, on f(t)dt = lim f(t)dt + Si f est une ppliction continue pr morceu sur ], b[, l intégrle f(t)dt est dite convergente lorsque pour u moins un réel c ], b[ (et dns ce cs en fit tout réel c ], b[), c f(t)dt et c f(t)dt convergent Dns ce cs, on pose f(t)dt = c f(t)dt + c f(t)dt Ce type d intégrle est dite générlisée, ou impropre Lorsqu une de ces intégrles ne converge ps, on dit qu elle est divergente Résumé 07 : Intégrles générlisées Pge 1

2 REMARQUES : 1 L nture de l intégrle (ie s divergence oiu s convergence) ne dépend que du comportement locl de f en b 2 Ainsi, si f est une fonction continue sur [, b[, elle dmet u moins une primitive F Alors, l intégrle f(t)dt est convergente si et seulement si F dmet une limite finie en b Dns ce cs, lim b F () F () f = EXEMPLES : Intégrles de Riemnn + d converge α > 1 α 1 Si < b, R d converge α < 1 ( ) α d diverge toujours α ln converge e α d converge α < 0 dt 1 + t 2 converge 2 Quelques propriétés de l intégrle générlisée Propriétés 12 L ensemble E des fonctions f continues pr morceu sur un intervlle [, b[ et telles que converge est un sous-espce vectoriel de C 0 m([, b[, K) De plus, f E f K est une forme linéire sur E Cette forme linéire, dns le cs où K = R, est positive f Proposition 13 Si f est continue sur [, b[, et si l intégrle f converge, lors F : F = f f(t)dt est de clsse C 1 sur [, b[ 3 Intégrbilité On introduit ici une hypothèse plus forte sur f que l seule convergence de son intégrle Définition 14 Une fonction f C 0 ([, b[, K) est dite intégrble sur [, b[ lorsque L 1 (I, K) l ensemble de ces fonctions On dit ussi dns ce cs que l intégrle f converge On noter f converge bso- Résumé 07 : Intégrles générlisées Pge 2

3 lument Comme dns le cs des séries, l convergence bsolue est une condition suffisnte de convergence : Théorème 15 Si f C 0 ([, b[, E) est intégrble, lors REMARQUES : Il n y ps d équivlent de l divergence grossière ici, ie qu une fonction peut être intégrble sur R + et ne ps tendre vers 0 en + En revnche, si elle dmet une limite finie en +, celle-ci est nulle 2 CAS DES FONCTIONS POSITIVES Evidemment, l intégrle d une fonction positive converge si et seulement si elle est intégrble Théorème 21 Si f est continue pr morceu sur [, b[ et POSITIVE, Dns ce cs, on f converge f est intégrble n + { n f(t)dt est mjorée lim f eiste et est réelle qund b n b } f, où [, b] I est mjoré f = lim b n = lim n + { = sup f(t)dt f(t)dt } f, où [, b] I Commençons pr le cs où l intégrle est fussement générlisée : Proposition 22 (Cs des fonctions prolongebles pr continuité) Si f : [, b[ C est une fonction continue qui dmet une limite finie en b, lors Enonçons quelques théorèmes de comprisons Vous remrquerez un fit essentiel : l fonction de référence est toujours positive Proposition 23 Soit g : [, b[ R continue pr morceu à vleurs positives, et f : [, b C continue pr morceu Si 0 f g et si g converge, lors Résumé 07 : Intégrles générlisées Pge 3

4 Si f = O b (g) et si g converge, lors Si b = + et s il eiste α > 1 tel que α f() lors + Si f est à vleurs réelles, et si f b g, lors + O, g converge 1 Deu outils essentiels Ils permettent de trnsformer une intégrle donnée en intégrle plus simple Proposition 24 Si f et g sont de clsse C 1 sur [, b] à vleurs dns K, lors f (t)g(t)dt = [ f(t)g(t) ] b b f(t)g (t)dt EXEMPLES : sin t sin t On se souviendr de l preuve de l convergence de dt, et de celle de l divergence de dt R + t R + t D une mnière générle (mis ce n est ps une régle bsolue), on ser bien inspiré pour prouver l convergence d un intégrle semi-convergente, d effectuer une intégrtion pr prties fin d obtenir une nouvelle intégrle, mis cette fois-ci d une fonction bsolument convergente Proposition 25 (Chngement de vrible) Soit f continue de ], b[ dns K, et ϕ :]α, β[ ], b[ bijective, strictement croissnte, et de clsse C 1 Les intégrles f(t)dt et β α f ϕ(s)ϕ (s)ds sont de même nture, et égles en cs de convergence On ppliquer ce théorème sns justifier lorsque ϕ est ffine, eponentielle, puissnce ou logrithme 2 Intégrtion des reltions de comprison On se fie une fonction f C 0 ([, b[, R) positive, et g C 0 ([, b[, R) Cs de divergence - On suppose ici que f diverge, ie que f(t)dt + Alors b 1 Si g() = O ( f() ) ( ) en b, lors g(t)dt = O f(t)dt qund b 2 Si g() = o ( f() ) ( ) en b, lors g(t)dt = o f(t)dt qund b 3 Si g() f() en b, lors g(t)dt f(t)dt qund b Cs de convergence - On suppose ici que f converge, ie que f(t)dt est bornée sur [, b[ Alors 1 Si g() = O ( f() ) ( b ) b en b, lors g(t)dt = O f(t)dt qund b 2 Si g() = o ( f() ) ( b ) b en b, lors g(t)dt = o f(t)dt qund b Résumé 07 : Intégrles générlisées Pge 4

5 3 Si g() f() en b, lors g(t)dt f(t)dt qund b Résumé 07 : Intégrles générlisées Pge 5

6 A ANNEXE LES PREUVES À CONNAITRE + sin t L intégrle dt est semi-convergente 0 t 1 ep ε d = 1 2ε ε 2 ln ε + O(ε 2 ) qund ε 0 + B 0 QUELQUES EXERCICES CLASSIQUES EXERCICES : CCP Anlyse 28 1 L fonction e est-elle intégrble sur ]2, + [? Soit un réel strictement positif L fonction ln est-elle intégrble sur ]0, + [? Résumé 07 : Intégrles générlisées Pge 6