TS Physique Cassini a rendez-vous avec Saturne Exercice résolu

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1 P a g e 1 T Physique Cassini a endez-ous aec atune Execice ésolu Enoncé Les tois paties sont indépendantes. La planète atune est entouée de nombeux satellites et anneaux. Données : - Distance oleil-atune : D = 1,45 x 1 9 km - Rayon de atune R = 6 x 1 km - Le tableau suiant donne les caactéistiques des obites ciculaies de cetains satellites de atune : atellites Duée de éolution Rayon de l obite (x 1 km) Janus 17 h 58 min 159, Mimas h 7 min 185,8 Encelade 1 j 8 h 5 min 8, Dione j 17 h 41 min 77,9 - Les anneaux sont fomés de dies éléments (cailloux, poussièes et blocs de glace) non egoupés ente eux et tounant autou de atune : Rayon intéieu du pemie anneau : 7,4 x 1 4 km Rayon extéieu du denie anneau : 1,6 x 1 5 km - Constante de gaitation unieselle : G = 6,67 x -11.I - Tous les astes et satellites sont considéés à épatition sphéique de masse (objets ponctuels). A. Pemièe patie : masse de atune 1. Pou étudie le mouement des satellites de atune, il conient de se place dans un éféentiel paticulie que l on peut appele «satunocentique» (pa analogie aec «géocentique»). Comment défini le éféentiel «satunocentique»?. A pati du bilan des foces execées su un satellite de atune de masse m (on négligea l action des autes astes et des autes satellites) : a) Monte que le mouement du satellite est nécessaiement unifome. b) Démonte la elation = qui lie la aleu de la itesse du satellite, le ayon de son obite, la masse M de atune et la constante de gaitation unieselle G.. a) Enonce la toisième loi de Keple dans l appoximation des obites ciculaies, et établi la elation : T 4π =, aec T la péiode de éolution du satellite autou de atune. b) En utilisant les données elaties à l un des satellites, en déduie la masse de atune. 4. A et B sont deux éléments de deux anneaux difféents. Le cente de atune, A et B étant initialement su une même doite, cet alignement sea-t-il ultéieuement conseé? Cassini a endez-ous aec atune Document : M.Moppet - CPF - Beyouth

2 P a g e B. Deuxième patie : sphèe de Roche Il existe une distance R, appelée ayon de la sphèe de Roche (centée su le cente de atune), qui maque la limite ente une zone où les satellites peuent se fome pa assemblage de poussièes, cailloux qui s étaient fomés en même temps que l aste, et une zone où cet assemblage est endu impossible pa l action de l aste. Dans cette patie, il s agit de détemine les aisons de l existence de cette limite qui explique en patie l existence des anneaux de atune. 1. On considèe donc deux sphèes homogènes identiques, de masse m et de ayon, en contact de telle façon que la distance de leu cente A et B soit AB =. Le cente de gaité P de l ensemble des deux sphèes toune à une distance d du cente de atune. Les points, A, P et B sont alignés (oi schéma ci-conte). d P A B Expime, en fonction des paamètes utiles choisis pami m, M, G,, R et d, la aleu la aleu F de la foce d attaction qui s exece ente les sphèes de cente A et B.. Les deux sphèes sont attiées pa atune pa deux foces F / A et F/B. On monte.m. que la difféence des aleus de ces foces est : F /A F /B = 4, et que cette d difféence d attaction a tendance à sépae les deux sphèes. Pouquoi les deux sphèes ne sont-elles pas attiées de la même façon pa atune?. Le ayon R de la sphèe de Roche est tel que, pou d = R, on a F = F /A F /B. a) L espace pou lequel F /A F /B < F où les deux éléments A et B peuent se egoupe pou donne naissance à un élément plus gos est-il défini pa d < R ou pa d > R? b) Les données founies au début du texte sont-elles en accod aec l existence de la sphèe de Roche? C. Toisième patie : la descente de la sonde Huygens es Titan En 8, la sonde Huygens de l Agence patiale Euopéenne (empotée pa le module Cassini de la NAA) plongea à la découete de Titan, le plus gos satellite satunien, sote de tee pimitie qui est l'un des objets les plus étanges du système solaie. Pendant cette phase, le champ de pesanteu de Titan g sea supposé unifome (g = 1,4 m.s - ). Pou note étude, dans le éféentiel de Titan (pa analogie au éféentiel teeste), on choisit un epèe (O, i, k ) aec : - l axe Oz (de ecteu unitaie k ) paallèle et de sens contaie à g, - l axe Ox (de ecteu unitaie i ) su le sol de Titan, supposé hoizontal. On suppose que la sonde, feinée pa un paachute, descenda dans le plan xoz d un mouement etical unifome aec une itesse de aleu 1 = 1 m.s -1. Cassini a endez-ous aec atune Document : M.Moppet - CPF - Beyouth

3 P a g e La sonde, étant aiée au point M de coodonnées (x = et z =, km), à un instant pis comme oigine des temps, une balise adio sea éjectée hoizontalement dans le plan xoz aec le ecteu itesse de aleu = m.s -1 pa appot à la sonde : cela signifie qu au point M, la balise adio a un ecteu itesse initiale = 1+. Le mouement de la sonde est supposé non modifié pa l éjection de la balise. Celle-ci tombe dans le champ de pesanteu de Titan, les fottements gazeux étant supposés négligeables. 1. On appelle z l altitude instantanée de la sonde, x B et z B les coodonnées instantanées de la balise. Détemine les équations hoaies littéales : z (t), x B (t) et z B (t).. Détemine les expessions littéale et numéique de l équation de la tajectoie de la balise adio.. Lequel des deux objets, la sonde ou la balise, touchea le sol de Titan en pemie? Quel est l intealle de temps t qui sépaea les deux aiées? Cassini a endez-ous aec atune Document : M.Moppet - CPF - Beyouth

4 P a g e 4 Coigé A. Pemièe patie : masse de atune 1.Comment défini le éféentiel «satunocentique»? Le éféentiel «satunocentique» a pou oigine O le cente de atune et ses tois axes pointent es tois étoiles fixes..a) Monte que le mouement du satellite est nécessaiement unifome. Le satellite, de cente d inetie G, est soumis à la seule action de la foce F de gaitation. En appliquant la deuxième loi de Newton : = F m.a G. O, F est adiale et centipète : il s ensuit que ag est adial et centipète. Dans une base de Fenet (G, τ, n ) la composante tangentielle a τ du ecteu accéléation est donc nulle. On a alos a = d = => = Cte : le mouement est unifome. τ dt b) Démonte la elation = qui lie la aleu de la itesse du satellite, le ayon de son obite, la masse M de atune et la constante de gaitation unieselle G. m.m M La loi de gaitation unieselle pemet d écie : F = - G. u = m. a G a G = - G. u M (aec u ecteu unitaie colinéaie et de sens contaie à F ) => a G = G. a G = Pa ailleus : a n et donc a = a G n = => = M G. et =. a) Enonce la toisième loi de Keple dans l appoximation des obites ciculaies, et établi la elation : T 4π =, aec T la péiode de éolution du satellite autou de atune. Le caé de la péiode T de éolution d une planète autou d un aste est popotionnelle au cube du ayon de son obite. T = O : π (ω : itesse angulaie) et ω = ω =>. π. T = et T = = => T 4π = 4π b) En utilisant les données elaties à l un des satellites, en déduie la masse de atune. T 4.π = 4.π. M = G.T Dans le cas de Janus ( = 159, x 1 6 m et T = 17 h 58 min ou 6,468 x 1 4 s) 6 4.π (159, 1 ) M = 6,67 1 (6,468 1 ) = 5,69 x 1 6 kg 4. A et B sont deux éléments de deux anneaux difféents. Le cente de atune, A et B étant initialement su une même doite, cet alignement sea-t-il ultéieuement conseé? Les itesses des éléments A et B seont difféentes ca leu altitude est difféente. L alignement ne poua pas ête conseé. Cassini a endez-ous aec atune Document : M.Moppet - CPF - Beyouth

5 P a g e 5 B. Deuxième patie : sphèe de Roche 1. Expime, en fonction des paamètes utiles choisis pami m, M, G,, R et d, la aleu la aleu F de la foce d attaction qui s exece ente les sphèes de cente A et B. La loi de gaitation unieselle pemet d écie diectement l expession de la aleu de la foce d attaction qui s exece ente les sphèes A et B : F =. Pouquoi les deux sphèes ne sont-elles pas attiées de la même façon pa atune? Les sphèes ne se touent pas à la même distance de atune : A, plus poche, sea soumise à une inteaction plus impotante..a) L espace pou lequel F /A F /B < F où les deux éléments A e B peuent se egoupe pou donne naissance à un élément plus gos est-il défini pa d < R ou pa d > R? G.m.m. Pou d = R : F = F /A F /B soit = 4 4 R i F /A F /B < F, alos les éléments A et B peuent se egoupe ca l attaction de A su B l empote su l attaction de atune su A et B. La condition s écit :.m. G.m.m..m. 4 < soit 4 < 4 => d > R d 4 d R b) Les données founies au début du texte sont-elles en accod aec l existence de la sphèe de Roche? Tous les satellites de atune se touent à une distance supéieue à celle des anneaux ce qui confime l inégalité ci-dessus. G.m C. Toisième patie : la descente de la sonde Huygens es Titan 1. Détemine les équations hoaies z (t), x B(t) et z B(t). Etude du mouement de la sonde : La sonde est animée d un mouement etical unifome : le ecteu accéléation de son cente d inetie est égal au ecteu nul. Pa pojection dans le epèe (O, i, k ) : = Cte = 1 => z = - 1.t + z Etude du mouement de la balise : La balise, de masse m et de cente d inetie G, n est soumise qu au champ de pesanteu de Titan. La deuxième loi de Newton pemet d écie : P= m.g= m.ag ag = g Conditions initiales : A la date t =, le cente d inetie de la balise est en M aec une itesse initiale de aleu. x = x = OM V z =, x 1 m z = -1 dx a x = = Pojection dans le epèe (O, i dt, k ) : a G = g ag dz a z = -g = dt Pa intégation et en tenant compte des conditions initiales, on obtient successiement les coodonnées des ecteus itesse et position : dx dx a x = = x = x = x = x = = dt x B =.t dt a G V dz dz a z = -g = z = - g.t z = - g.t - 1= z B = -.g.t - 1.t + z dt dt 4 Cassini a endez-ous aec atune Document : M.Moppet - CPF - Beyouth

6 P a g e 6. Détemine les expessions littéale et numéique de l équation de la tajectoie de la balise adio. x 1 x x g 1 x =.t t = et z = -.g z z= - (. x ) - (. x) + z. 1,4 1 oit : z = - (.x ) - (. x) + z = -,175.x - 5.x +. Lequel des deux objets, la sonde ou la balise, touchea le sol de Titan en pemie? Quel est l intealle de temps t qui sépaea les deux aiées? La date t B à laquelle la balise touche le sol est donnée pa : 1 -.g.tb - 1.t B + z = soit : -, 7.tB - 1.t B + = La acine positie de cette équation du second degé est : t B = 59 s. La date t à laquelle la sonde touchea le sol est donnée pa : z - 1.t + z = => t = soit t = = s. 1 1 La balise touchea le sol en pemie et la sonde aiea apès un intealle de temps : t = t t B soit t = 59 = 41 s. Cassini a endez-ous aec atune Document : M.Moppet - CPF - Beyouth