CHAPITRE 1 SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES

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1 PARTIE I ANALYSE

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3 CHAPITRE SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES

4 I. Les nombres réels Progrmme officiel Propriétés des nombres réels Reltion d ordre, prtie entière, vleur bsolue, intervlles (ouverts, fermés, semi-ouverts), mjortions et minortions, borne supérieure et inférieure. Les cndidts doivent connître l propriété une prtie non vide et mjorée de R dmet une borne supérieure et svoir l utiliser à bon escient (suites monotones et djcentes, en prticulier). Suites de nombres réels Définition d une suite de réels, d une suite extrite. Définition d une suite convergente et de s limite. R-lgèbre des suites convergentes et opértions lgébriques sur les limites. Comprisons (nottions O et o, équivlence). Définition d une suite de Cuchy. Une suite de nombres réels est convergente si et seulement si elle est de Cuchy (le si est dmis). Densité de Q dns R et pproximtion décimle. Théorème de Bolzno- Weierstrss. II. Fonctions réelles d une vrible réelle Propriétés locles Limite en un point R et en ±, limites à droite et à guche. Continuité en un point R. Opértions lgébriques sur les limites, limite d une fonction composée. Reltions de comprison, équivlence et développements limités. Fonctions continues sur un intervlle R-lgèbre C(I) des fonctions continues sur un intervlle I. Continuité d une fonction composée, continuité de f. L imge continue d un intervlle est un intervlle et l imge continue d un segment est un segment (les deux résultts sont dmis). Une ppliction f C(I) est bijective si et seulement si elle est monotone, son ppliction réciproque est lors continue sur f(i). Clcul différentiel Dérivée en un point, dérivées à droite et à guche. Opértions lgébriques sur les dérivées. Dérivée d une fonction composée. Fonction dérivée d une fonction définie sur un intervlle. Dérivée d une fonction réciproque. R-lgèbre C p (I) des fonctions de clsse C p sur un intervlle I. Théorème de Rolle ; théorème des ccroissements finis et pplictions usuelles. Formule de Tylor-Lgrnge à l ordre p pour une fonction de clsse C p+. Formule de Tylor-Young à l ordre p pour une fonction de clsse C p et clcul du développement limité à l ordre p en un point I d une fonction de C p (I). Intégrtion Intégrles générlisées bsolument convergentes Vu plus trd dns le semestre. Applictions Discussion d une éqution f(x) =, et résolution pprochée (pr l méthode de Newton, pr dichotomie). Étude de suite récurrentes : u n+ = f(u n ).

5 III. Nombres complexes Corps C des complexes : les nombres complexes x + iy sont les points (x, y) du pln Euclidien R R sur lequel est défini, de plus, une multipliction. Définition de e iθ =cos(θ) +i sin(θ), formules d Euler et formule de Moivre. Définition de l exponentielle d un nombre complexe e x+iy = e x e iy et des fonctions ssociées (sin, cos, tn, sinh, cosh, tnh). Module et rgument d un nombre complexe. Résolution dns C de z n =, rcines de l unité. Les cndidts doivent connître les interpréttions géométriques des trnsformtions : z z, z + z, z z + b. Inéglité tringulire. Suites de nombres complexes. Suite convergente et limite. Critère de Cuchy pour les suites de nombres complexes. IV. Séries de nombres réels ou complexes Définition d une série. Définition d une série convergente et de s somme. Condition de Cuchy : une série est convergente si et seulement si l suite de ses sommes prtielles est de Cuchy. Séries bsolument convergentes. Espce vectoriel des séries convergentes. Séries à termes réels positifs : séries de Riemnn et série géométrique. Théorème de comprison, règle de d Alembert utilisnt l limite usuelle. Convergence d une série lternée dont l vleur bsolue du terme générl décroît vers et mjortion du reste. Dns le progrmme de l prtie II Compléments sur les séries de nombres réels ou complexes Définition du produit de Cuchy de deux séries. Convergence de l série produit de deux séries bsolument convergentes.

6 Suites numériques I. Exemples A. u n = f(n) u n = n 2 + (polynôme en n), u n = n 4, u n = 3n 2 (frctions rtionnelles en n), 4n + u n = k n (suite géométrique de rison k), u n = sin(n),... B. Suites définies pr récurrence u = et u n+ = u 2 n +5, u =, u = et u n+ = u n + u n (suite de Fiboncci, 22), u = et u n+ = 2u n +3 (suite homogrphique), { u n un+ = u système : n v n v n+ = (u 2 n + v n ) C. Suites définies pr des sommes. séries : S n = u + u u n = n u k. k= S n = n n = k k= S n = n n = 2 k 2 k= n S n = (série géométrique). 2k k= 2. sommes de Riemnn : v n = n ( ) k f n n k= 3. sommes de Césro : u n = n n (série hrmonique), (série de Riemnn), (moyenne des k ).

7 II. Étude d une suite A. L suite est-elle bien définie pour tout n? S il s git d une suite de l forme u n = f(n), il suffit d étudier le domine de définition de f. S il s git d une suite définie pr récurrence, il fut en générl fire une démonstrtion pr récurrence. Rppel: pour fire une démonstrtion pr récurrence:. On définit l hypothèse de récurrence u rng n. 2. On vérifie l hypothèse de récurrence u premier rng. 3. On montre que si l hypothèse de récurrence est vrie u rng n, lors elle est vrie u rng n +. B. On peut s intéresser u sens de vrition de l suite. Définition. (u n ) est croissnte si u n+ u n pour tout n. (u n ) est décroissnte si u n+ u n pour tout n. Dns le cs d une suite u n = f(n), il suffit d étudier le sens de vrition de f. Dns le cs d une suite définie pr récurrence u n+ = f(u n ), il fut en générl étudier le signe de f(x) x. III. Suite convergente Définition 2. L suite (u n )convergeversl R si : ε >, n N, n n, u n l ε. Autrement dit, pour tout ε>, u n pprtient à l intervlle [l ε, l + ε] pourn ssez grnd. On dit que u n tend vers l. On dit que l est l limite de l suite u n.onnoteu n ou plus simplement u n l. l n + Proposition (unicité de l limite). Si(u n ) dmet une limite, elle n en qu une. Proposition 2 (opértions sur les limites). Soient (u n )et(v n ) deux suites convergentes. Alors (u n + v n ), (u n v n )et(u n v n ) convergent. C est ussi le cs de (u n /v n )si lim v n. De plus : lim(u n + v n ) = lim u n + lim v n, lim(u n v n ) = lim u n lim v n, lim(u n v n ) = lim u n lim v n, lim u n v n = lim u n lim v n. Proposition 3. Soit (u n ) une suite bornée et (v n ) une suite de limite nulle. Alors, (u n v n ) converge vers zéro.

8 Proposition 4. Soit (u n )et(v n ) deux suites réelles convergentes telles que u n v n à prtir d un certin rng. Alors lim u n lim v n. Attention, même si u n <v n pour tout n, on ne peut ps dire plus que lim u n lim v n. On peut perdre l inéglité stricte en pssnt à l limite. C est le cs pr exemple pour u n = /n et v n =/n. Proposition 5 (théorème des gendrmes). Soit ( n )et(b n ) deux suites réelles ynt même limite l. Si (u n ) est une suite réelle vérifint n u n b n à prtir d un certin rng, lors (u n )convergeversl. Proposition 6. Si l suite (u n ) est définie pr récurrence u R et u n+ = f(u n ), si u n converge vers l et si f est continue en l, lors f(l) =l. Définition 3. L suite u n tend vers + qund n tend vers + si : On note u n +. n + A R, n N, n n, u n A. Définition 4. L suite u n tend vers qund n tend vers + si : On note u n. n + A R, n N, n n, u n A. Il fut fire ttention losrque l on mnipule des opértions sur les limites infinies. En prticulier, on des formes indéterminées lorsque l on est mené à fire les opértions suivntes : (+ ) (+ ) ou(+ )+( ).. /.. Exemple à connître pr coeur : ( + /n) n e. IV. Reltions de comprison Définition 5 (Nottions de Lndu).. équivlent : u n v n si u n = s n v n vec lim n + s n =. 2. petit o : u n =o(v n )siu n = ε n v n vec lim n + ε n =. 3. grnd O : u n =O(v n )siu n = A n v n vec A n une suite bornée. Proposition 7. u n v n si et seulement si v n u n. Proposition 8. Siu n v n lors les deux suite sont de même nture: Si l une converge, l utre converge vers l même limite. Si l une diverge, l utre diverge. Si u n +, lors v n +. Si u n, lors v n. u n et v n sont de même signe pour n ssez grnd.

9 V. Suites de Cuchy Définition 6. On dit que (u n ) est une suite de Cuchy si : ε >, n N, n n, p N, u n+p u n ε. Proposition 9. Une suite réelle est convergente si et seulement si elle est de Cuchy. VI. Suites monotones Théorème et définition. Toute prtie non vide et mjorée A R dmet un plus petit mjornt. C est l borne supérieure de A notée sup(a) : { x A, x sup(a) ε >, x ε A, x ε > sup(a) ε. Théorème et définition. Toute prtie non vide et minorée A R dmet un plus petit minornt. C est l borne inférieure de A notée inf(a). { x A, x inf(a) ε >, x ε A, x ε < inf(a)+ε. Ce résultt sert à démontrer que toute suite croissnte et mjorée converge et que deux suites djcentes convergent et ont même limite. Les démonstrtions doivent être connues. Proposition. Toute suite croissnte et mjorée converge. Toute suite décroissnte et minorée converge. Définition 7. Deux suites (u n )et(v n ) sont djcentes si l une est croissnte, l utre est décroissnte et si u n v n. n + Proposition. Deux suites djcentes sont convergentes et convergent vers l même limite. VII. Théorème de Bolzno-Weierstrss Définition 8. On dit que (v n ) est une suite extrite de l suite (u n ) s il existe une ppliction ϕ : N N strictement croissnte telle que v n = u ϕ(n). Proposition 2. L suite (u n ) converge vers l si et seulement si toute suite extrite converge vers l. Proposition 3 (théorème de Bolzno-Weierstrss). De toute suite bornée, on peut extrire une sous-suite convergente.

10 Activités tritées en cours Activité (Annles 23). Soit deux suites de réels (v n )et(w n ) djcentes c est-àdire que : (v n ) est croissnte, (w n ) est décroissnte et lim n + (v n w n )=.. Montrer qu il existe un entier nturel n tel que, pour tout entier n n, v n w n +. En déduire que l suite (v n )estmjorée. 2. Montrer que l suite (w n ) est minorée. 3. En déduire que les suites (v n ) et (w n ) sont convergentes et convergent vers une même limite réelle. Activité 2 (Annles 26). Étude d une suite récurrente. ] On note I l intervlle ; [. Soit (u n ) l suite définie pour tout entier non nul n 6 pr u n+ = u n 2u 3 n et u =. On note f l fonction définie sur I pr f(x) =x 2x 3.. Étude de l convergence () Déterminer les vritions de f sur I puis comprer f(i) eti. (b) Déterminer l monotonie de l suite (u n ). (c) Montrer que l suite (u n ) est convergente et déterminer s limite. 2. Théorème de Cesàro Soit (v n ) une suite définie pour tout entier nturel non nul n, quiconvergeversun réel l. On définit lors l suite (M n ) pour tout entier nturel non nul n, prm n = n (v +v 2 + +v n ). M n est l moyenne rithmétique des n premiers termes de l suite (v n ). () Trduire à l ide de quntificteurs le fit que l suite (v n )convergeversl. (b) Soit n un entier nturel non nul, et p un entier tel que p n. Montrer que M n l n p k= v k l +mx p<k n v k l. (c) Conclure vec soin que si l suite (v n )convergeversl, lors (M n )converge ussi vers l (ce résultt porte le nom de théorème de Cesàro). 3. Applictions à l recherche d un équivlent de (u n ) () Déterminer l limite de (x 2x 3 ) lorsque x tend vers. 2 x2 En déduire l limite de l suite (v n ) définie pr v n =. u 2 n+ u 2 n (b) Utiliser tous les résultts précédents pour donner un équivlent u voisinge n de + de l suite (u n ) (on pourr simplifier v k ). k=

11 Développements limités et é q u i v l e n t s Revoir les développements limités usuels et les équivlents. I. Définition d un DL Définition (Développement limité à l ordre n en x ). Soit f définie u voisinge de x. On dit que f dmet un développement limité à l ordre n en x si on peut écrire f(x) = + (x x )+ 2 (x x ) n (x x ) n +(x x ) n ε(x) vec lim x x ε(x) =. Proposition (Unicité). Il y u plus un développement limité d ordre n en x. Proposition 2 (Prité et DL en ). Sif est pire, le DL en ne contient que des exposnts pirs. Si f est impire, le DL en ne contient que des exposnts impirs. Proposition 3 (DL de Tylor). Soit f une fonction C n u voisinge de x. Alors, f dmet un DL à l ordre n en x et f(x) =f(x )+ f (x )! (x x )+ f (x ) 2! vec lim x x ε(x) =. II. Opértions sur les DL (x x ) f (n) (x ) (x x ) n +(x x ) n ε(x), n! N.B. Ne ps oublier que pour les fonctions C (cs usuel), on peut toujours utiliser le théorème fondmentl (Proposition 3). Supposons que f et g dmettent un DL d ordre n en. Proposition 4 (Addition de deux DL). f + g dmet un DL d ordre n en obtenu en joutnt les DL de f et de g. Proposition 5 (Produit de deux DL). f g dmet un DL d ordre n en obtenu en multiplint les DL de f et de g et en ne conservnt que les termes de degré n. Proposition 6 (Quotient de deux DL). Si g(), lors, f/g dmet un DL d ordre n en obtenu en divisnt suivnt les puissnces croissntes à l ordre n le DL de f pr le DL de g. Proposition 7 (Composition). Sif() =, lors, g f dmet un DL d ordre n en obtenu de l mnière suivnte : dns le DL de g on remplce x pr le DL de f on ne conserve que les termes de degré n. Proposition 8 (Dérivtion). Si on connît un DL de f en à l ordre n, on obtient un DL de f en à l ordre n en dérivnt terme à terme le DL de f.

12 Proposition 9 (Intégrtion). Si on connît un DL de f en à l ordre n, on obtient un DL de f en à l ordre n + en intégrnt terme à terme le DL de f et en rjoutnt f(). III. Formulire de DL en Trois formules fondmentles :. DL de Tylor 2. x =+x + x2 + x x n + x n ε(x) 3. ( + x) α =+αx + A l ide de () : α(α ) x ! n termes {}}{ e x = +x + x2 2! + x3 xn ! n! + xn ε(x) α(α )(α 2)...(α n +) x n + x n ε(x). n! cos(x) = x2 2! + x4 x2n +...+( )n 4! (2n)! + x2n+ ε(x) sin(x) = x x3 3! + x5 5! +...+( )n x 2n+ (2n +)! + x2n+2 ε(x) ch(x) = + x2 2! + x4 x2n ! (2n)! + x2n+ ε(x) sh(x) = x + x3 3! + x5 x2n ! (2n +)! + x2n+2 ε(x) En dérivnt et à l ide de (2) : ln( + x) = x x2 2 + x3 xn +...+( )n+ 3 n + xn ε(x) Arctn(x) = x x3 3 Argth(x) = x + x3 3 En dérivnt et à l ide de (3) : Arcsin(x) = x + 2 x x Arccos(x) = π 2 Arcsin(x) Argsh(x) = x 2 x x ( )n x2n+ 2n + + x2n+2 ε(x) x2n+ 2n + + x2n+2 ε(x) ( )n n termes {}}{ 3... (2n ) (2n) }{{} n termes n termes {}}{ 3... (2n ) (2n) }{{} n termes x 2n+ 2n + + x2n+2 ε(x) x 2n+ 2n + + x2n+2 ε(x)

13 Pour mieux mémoriser : le cln des huit fonctions impires Tous les DL commencent ps x. Le coefficient du terme en x 3 chnge de signe qund on psse de f à f. sin(x) =x x3 6 + x4 ε(x) Arcsin(x) =x + x3 6 + x4 ε(x) sh(x) =x + x3 6 + x4 ε(x) Argsh(x) =x x3 6 + x4 ε(x) tn(x) =x + x3 3 + x4 ε(x) Arctn(x) =x x3 3 + x4 ε(x) IV. Équivlents th(x) =x x3 3 + x4 ε(x) Argth(x) =x + x3 3 + x4 ε(x) Définition 2. Soient f et g deux fonctions définies et non nulles u voisinge de R {, + }. f(x) On dit que f et g sont équivlentes en si et seulement si lim =. On note lors x g(x) f g (ou plus simplement f g). Proposition. Sif g, lors g f. Proposition (Théorème fondmentl). Si f et g sont équivlentes en, soit elles ont toutes deux l même limite (finie ou infinie) en, soit ucune d elles n de limite en. Proposition 2. Une fonction est équivlente en x u premier terme non nul de son D.L. en x. V. Opértions sur les équivlents Proposition 3. Sif g et si f 2 g 2, lors f f 2 g g 2. Proposition 4. Sif g et si f 2 g 2, lors f /f 2 g /g 2. Proposition 5. Sif g, lors f g. Proposition 6. Sif g, lors pour x suffismment proche de, f(x) etg(x) sont de même signe.

14 Attention : on n ps le droit d jouter des équivlents. En effet, même si f g et f 2 g 2, il se peut que f + f 2 et g + g 2 ne soient ps équivlentes en. Pr exemple, sin(x) x, x x mis sin(x) x x3 6 x x =. Attention lorsque l on veut composer des équivlents : x + x mis e+/x = e e /x e /x.

15 Exercices. Feuille. Exercice : Clculer les limites des suites suivntes : () ln n2 + n + n 2 + n, (b) n! (d) n n +2n + ln(n), (e) nln n n2, (f) nn n! Exercice 2 : L suite de terme générl v n = ( ) n n2 + est-elle convergente? Si oui, déterminer l limite. Exercice 3 : Déterminer l limite de u n+ ( 3 n) 2n, (c) n 2 + n + n 2 n + 2n + sin ( ) n u n pour les suites suivntes : (g) n, n R +, n! (h), n R +, (i) Exercice 4 : (Annles 28) Justifier que pour n u voisinge de +, on Exercice 5 : (Annles 29) Pour n N,onposeu n = n! n n e n 2πn. Démontrer que pour n u voisinge de +, ln ( ) n. n + n + = n ( ) n +o. 2 n 2 ( un+ u n ) α n 2 où α est un réel à determiner. Exercice 6 : Théorème de Cesàro (Annles 26) Soit (v n ) une suite définie pour tout entier nturel non nul n, quiconvergevers un réel l. On définit lors l suite (M n ) pour tout entier nturel non nul n, pr M n = n (v + v v n ). M n est l moyenne rithmétique des n premiers termes de l suite (v n ).. Trduire à l ide de quntificteurs le fit que l suite (v n )convergeversl. 2. Soit n un entier nturel non nul, et p un entier tel que p n. Montrer que M n l n p k= v k l +mx p<k n v k l. 3. Conclure vec soin que si l suite (v n )convergeversl, lors (M n )converge ussi vers l.

16 Suggestion d exos u choix en supplément de l feuille. Exercice :. Donner un équivlent simple de n 2 +3n lorsque n. 2. Etudier l limite éventuelle lorsque n de u n = ln(n 2 +3n) ln(n 2 ). 3. Donner un équivlent simple de u n lorsque n. ln(cos x) Exercice 2 : Déterminer le développement limité à l ordre 4 en de x (sin x). 2 Exercice 3 : (Annles 26) Étude d une suite récurrente. Les questions. et 2. ont déjà été tritées. ] On note I l intervlle ; [. Soit (u n ) l suite définie pour tout entier non 6 nul n pr u n+ = u n 2u 3 n et u =. On note f l fonction définie sur I pr f(x) =x 2x 3.. Étude de l convergence () Déterminer les vritions de f sur I puis comprer f(i) eti. (b) Déterminer l monotonie de l suite (u n ). (c) Montrer que l suite (u n ) est convergente et déterminer s limite. 2. Théorème de Cesàro Soit (v n ) une suite définie pour tout entier nturel non nul n, quiconverge vers un réel l. On définit lors l suite (M n ) pour tout entier nturel non nul n,prm n = n (v +v 2 + +v n ) M n est l moyenne rithmétique des n premiers termes de l suite (v n ). () Trduire à l ide de quntificteurs le fit que l suite (v n )convergevers l. (b) Soit n un entier nturel non nul, et p un entier tel que p n. Montrer que M n l n p k= v k l +mx p<k n v k l. (c) Conclure vec soin que si l suite (v n )convergeversl, lors (M n )converge ussi vers l (ce résultt porte le nom de théorème de Cesàro). 3. Applictions à l recherche d un équivlent de (u n ) () Déterminer l limite de (x 2x 3 ) lorsque x tend vers. 2 x2 En déduire l limite de l suite (v n ) définie pr v n =. u 2 n+ u 2 n (b) Utiliser tous les résultts précédents pour donner un équivlent u voisinge de + de l suite (u n ) (on pourr simplifier v k n ). k=

17 Exercice 4 : Soit f : x R x x + 8 et (u n) n N l suite définie pr récurrence pr : u R et n,u n+ = f(u n ).. Donner le tbleu de ] vrition [ de f et déterminer ses points fixes. 2. Montrer que u 2, +, l suite u n est croissnte. Est-elle convergente? [ 3. () Montrer que les intervlles 4, ] [ et, ] sont stbles pr f. [ 2 4 (b) Montrer que u 4, ], l suite (u n ) est décroissnte. Est-elle convergente? [ 2 (c) Montrer que u, ], l suite (u n ) est croissnte. Est-elle conver- 4 gente? 4. Conclusion.

18 Séries numériques I. Définitions Définition. Soit ( k ) k une suite de nombres réels (ou complexes). L série de terme n générl k est l suite (S n ) n définie pr S n = k (on dit que S n est une somme prtielle de l série). L série de terme générl k se note k ou k= k. Définition 2. On dit que l série n converge (respectivement diverge) si l suite des sommes prtielles S n converge (respectivement ne converge ps). Dns ce cs, on note S = k l vleur de l limite. On dit que S est l somme de l série. k= k= Attention, qund l série n converge, l nottion k= k est utilisée à l fois pour désigner l série et l vleur de l somme (c est-à-dire l limite de l suite (S n )). II. Exemples. k =, S n = n + +, l série diverge. n + 2. série géométrique : k = n 2, S k n = k = 2 n+ 2 + k= 2 k =2. k= 2, l série converge et n + 3. série téléscopique : k =, voir exercice 3 de l feuille 2 de TD. k(k+) Pour tous ces exemples, on sit clculer S n. Mis ce n est générlement ps le cs. III. Critère de Cuchy Proposition (critère de Cuchy). L série k converge si, et seulement si : ε >, n, n n, p, n+ + n n+p ε. Preuve : c est le critère de Cuchy pour l suite (S n )enobservntque: S n+p S n = n+ + n n+p. Corollire. Si l série k converge, lors k Si k, lors l série k diverge. k +. k +

19 Preuve : on pplique le critère de Cuchy vec p =. Attention : k n implique ps k converge. k + Contre-exemple : l série hrmonique n diverge. k= Preuve : le critère de Cuchy n est ps stisfit. En effet, pour tout n, n } n {{ + }} n {{ +2 }} n {{ + n } 2n = 2. /2n /2n /2n IV. Espce vectoriel des séries convergentes Proposition 2. Si k et b k sont deux séries convergentes, lors ( k + b k )estune série convergente et : ( k + b k )= k + b k. k= Si λ R et si k est une série convergente, lors (λ k ) est une série convergente et : (λ k )=λ k. k= Corollire. Si k converge et si b k diverge, lors ( k + b k ) diverge. Preuve: b k =( k + b k ) k.si k converge et si ( k + b k ) converge, lors b k converge. V. Séries à termes positifs Proposition 3. Si k est une série à termes positifs, l suite (S n )dessommesprtielles est croissnte. Corollire. Si k est une série à termes positifs, elle est convergente si et seulement si elle est mjorée. Preuve : une suite croissnte est convergente si, et seulement si, elle est mjorée. Proposition 4 (comprison). Supposonsque k b k. Si b k converge, lors k converge. Si k diverge, lors b k diverge. Preuve : Soit (A n ) (respectivement (B n )) l suite des sommes prtielles de l série de terme générl k (respectivement b k ). Alors, bk converge (B n )estmjorée (A n )estmjorée k converge. k= k= k=

20 Proposition 5 (équivlents). Si k b k, lors k et b k sont de même nture (l une est convergente si, et seulement si, l utre est convergente). Si elles divergent, les sommes prtielles sont équivlentes. Si elles convergent, les restes sont équivlents. Preuve que les séries sont de même nture : Comme k /b k, si k est suffismment grnd, lors k 2 b k 3.Prconséquent, 2 2 b k k 3 2 b k. Le résultt suit du théorème de comprison. Attention, si k b k sns que les k soient positifs, les séries k et b k ne sont ps nécessirement de même nture. ( ) k ( ) k Contre-exemple : et (voir exercice 4 de l feuille 2 de TD). k k +( ) k k= k= Séries à termes positifs de référence. séries géométriques : r n converge si, et seulement si, r <. Alors : r k = r. 2. séries de Riemnn : k α VI. Séries lternées k= converge si, et seulement si, α>. Définition 3. L série k est une série lternée si k pourk pir et k pourk impir (ou vice et vers), l suite k est décroissnte l suite k converge vers. Proposition 6. Si k est une série lternée (il fut vérifier les 3 conditions), lors l série k est convergente. De plus : + n k k n+. k= k= ( ) k Exemple : l série est convergente. k k= Preuve : On v le montrer dns le cs où 2n 2n+. L utre cs est similire. Soit S n l somme prtielle de rng n. On montre que les suites (S 2n ) n et (S 2n+ ) n sont des suites djcentes. Plus précisément, comme 2n+2 2n+ 2n,on: et De plus : S 2n+ = S 2n + 2n + 2n+ S 2n S 2n+2 = S 2n + 2n+ + 2n+2 S 2n. S 2n+ S 2n = 2n+ n.

21 Comme les suites sont djcentes, elles convergent vers l même limite S (qui est l somme de l série). De plus, pour tout n, on : S S n S n+ S n = n+. VII. Séries bsolument convergentes Définition 4. On dit que l série k est bsolument convergente si l série k est convergente. Proposition 7. Si l série k est bsolument convergente, lors elle est convergente. Preuve : on pplique le critère de Cuchy dns les deux sens. L série k converge. Donc, étnt donné ε>, il existe n tel que pour n n et p, on : Alors, d près l inéglité tringulire : n+ + n n+p ε. n+ + n n+p ε. Attention, il y des séries qui sont convergentes sns être bsolument convergente, pr ( ) k exemple l série. k k= Proposition 8 (critère de d Alembert). Si k+ / k l lors, si l<, l série k converge, si l>, l série k diverge, si l =, on ne peut rien dire. Attention, il se peut que l série k soit convergente sns que l suite k+ / k n it de limite.

22 Exercices. Feuille 2. Exercice : Déterminer si les séries suivntes convergent : () ln n2 + n + n 2 + n, (b) ( 3 ) 2n, (c) n2 + n + n n 2 n + n n n (d) n! n n +2n + ln(n), (e) n ln n n, (f) n 2 n n! n n n Exercice 2 : En utilisnt le critère de d Alembert, déterminer l nture des séries de terme générl suivnt: (g) n, n! n R +, (h), n R +, (i) ( ) n. n + n Exercice 3 : Soit l série de terme générl u n =, n. Clculer u k en n(n +) k= décomposnt u n en éléments simples. En déduire que cette série converge et donner l vleur de s somme. ( ) n Exercice 4 : On considère les suites équivlentes u n = et v n +( ) n n = ( )n. n Montrer que v n est convergente. En fisnt un développement limité de u n, montrer que u n est divergente. ( ) n 2 n Exercice 5 :. Démontrer que l série de terme générl u n =, n> n + converge. ( ) n ln(n) n 2. Démontrer que l série de terme générl v n =, n> diverge. n + Exercice 6 : Etudier l convergence bsolue et l convergence des séries de terme générl suivnt ( :. ( ) n tn sin ) (, 2. n ) ) n, 3. ln (+ ( )n n n ln n n ( ) n 4. n n n, 5. cos n sin n, 6. ( ) n 2 n, R. (+n ) Exercice 7 : Déterminer si les séries suivntes convergent :. ( ) k ln k, 2. ( ) k k +, 3. ( ) k sin k k k 2 k 2 k k 4. ( ) k, α R, 5. ( ) k k α k α +( ), α R. k k k 2

23 Annles sur les séries numériques. Exercice : (Annles 29 et 2) Répondre pr vri ou fux, et surtout justifier vec précision votre réponse pr une démonstrtion ou un contre-exemple. Attention, toute réponse sns justifiction ne ser ps prise en compte.. Pour n, on pose u n = ( )n n + n + n 2. L série n u n converge. 2. Soit n n une série à termes strictement positifs. Si cette série converge, lors l suite ( n+ n ) Exercice 2 : (Annles 23) n converge vers un réel l<. Un développement symptotique de H n =. Un équivlent de H n n k= Soit n un entier nturel non nul, on pose H n = () Si k est un entier non nul, montrer que : k. n k= k. k + k+ k t dt k. (b) En déduire l encdrement suivnt : ln n + n H n ln n +. (c) Donner un équivlent de H n en Suites djcentes (déjà trité en cours) Soit deux suites de réels (v n )et(w n ) djcentes c est-à-dire que : (v n ) est croissnte, (w n ) est décroissnte et lim n + (v n w n )=. () Montrer qu il existe un entier nturel n tel que, pour tout entier n n, v n w n +. En déduire que l suite (v n )estmjorée. (b) Montrer que l suite (w n ) est minorée. (c) En déduire que les suites (v n )et(w n )sontconvergentesetconvergent vers une même limite réelle. 3. Constnte d Euler On pose, pour n, c n = H n ln n et d n = c n n. () Montrer que, pour n, n + ln(n +) ln(n) n. (b) Montrer que les suite (c n )et(d n ) convergent vers une même limite. On note lors γ cette limite (γ est ppelée constnte d Euler). (c) Montrer que : H n = ln n + γ + o().

24 Exercice 3 : (Annles 24) Etude de séries dont le terme générl est le reste d une série convergente. Soit n un entier nturel fixé. Soit n n n une série convergente. On définit pour n entier nturel supérieur ou égl à n, r n son reste de rng n : r n = + k=n+ k.le but de l exercice est d étudier l convergence de l série n n r n dns trois exemples différents.. On pose pour n, n = 2 n. Clculer r n puis montrer que n 2. On pose pour n, n = n 2. r n converge et clculer s somme. Nous llons chercher un équivlent de (r n ). Soit k un entier supérieur ou égl à. () Montrer que t [k, k +], (k +) 2 t 2 k. 2 (b) En déduire que pour tout entier nturel non nul n et pour tout entier N N N+ supérieur à 2 et à n +,on: (k +) dt 2 t N 2 k. 2 k=n+ n+ (c) En déduire que pour tout entier nturel non nul n, on: n + r n n + + (n +). 2 k=n+ (d) Donner lors un équivlent de (r n ) lorsque n est u voisinge de +. Que peut-on conclure sur l nture de l série r n? n 3. On pose pour n, n = ( )n n. () Justifier l convergence de n n. (b) Expression intégrle de r n. Soit n un entier nturel non nul. On définit l suite (I n )pr I n =( ) n k= + x n +x dx. (i) Montrer que lim I n =. n + n ( ) k n (ii) Montrer que I n = ln 2 +. On pourr clculer ( x) k. k (iii) En déduire l vleur de I n. n= k= ( ) n n, puis exprimer r n en fonction de

25 (c) Conclusion (i) En utilisnt une intégrtion pr prties, montrer que l on : ( ) I n = ( )n (n +) + O n α Exercice 4 : (Annles 23) où R et α> sont à déterminer. (ii) En déduire l nture de l série r n. n Règle de Rbe-Duhmel.. Soit u n et v n deux séries à termes strictement positifs telle qu il existe u n+ n N vérifint : n n, v n+,montrerque: si v n converge u n v n lors u n converge. 2. Soit β un réel non nul et (u n ) une suite de réels strictement positifs stisfisnt u n+ à : = β ( ) u n n + o. n () Montrer que, si l on pose, pour n etα réel α>, v n = n,on: α v n+ u n+ = β α ( ) + o. v n u n n n (b) Si β>, montrer que l série u n converge. (On pourr choisir le réel α ],β[). (c) Si β<, montrer que l série u n diverge. 3. Déterminer, en utilisnt l règle de Rbe-Duhmel (résultts 2b et 2c ci-dessus), l nture des séries de terme générl u n : () u n = (2n)! 2 2n (n!). 2 ( +) ( + n ) (b) u n = où et b sont deux réels qui ne sont ps b(b +) (b + n ) des entiers négtifs. (On discuter selon l vleur de b ) Exercice 5 : (Annles 28) Etude d une série produit Si S = n et S b = b n sont deux séries convergentes, on ppelle série produit n n de S pr S b l série c n où c n = n k= kb n k. Le but de cet exercice est d étblir n 2 l nture de l série produit de S α = n. Equivlent de l série hrmonique ( ) n n α pr elle-même. Pour n, on pose H n = , cel définit l série hrmonique. n () Montrer qu une suite (u n ) n converge si et seulement si l série n+ u n ) n (u converge.

26 (b) Justifier que pour n u voisinge de +, on n + = n ( ) n +o. 2 n 2 (c) Désormis on pose u n = H n ln n. Montrerqueu n+ u n est équivlent lorsque n tend vers + à une expression de l forme p où p et q sont n q deux réels à déterminer. (d) En déduire l nture de l suite (u n ) et enfin un équivlent simple de H n lorsque n tends vers Un série produit. Pour quelles vleurs de α, l série S α converge-t-elle? Jusqu à l fin de l exercice, on choisit α de l sorte. On considère c n l série produit de S α n 2 pr S α. 3. Jusqu à l fin de l exercice on considère n 2 un entier. () Déterminer le mximum de l fonction x x(n x) définie sur R. (b) En déduire que c n 4α (n ) n 2α. (c) Conclure que pour <α 2, l série n 2 c n diverge. 4. Désormis, on suppose que α =. () Décomposer en éléments simples l frction rtionnelle (b) En déduire une expression de c n en fonction de H n ( ) n. Hn (c) Déterminer l monotonie de l suite n (d) En déduire l nture de l série n 2 Exercice 6 : (Annles 2) c n.. n 2 X(n X). Clcul de l somme d une série. Justifier l convergence de l série ( ) n n. n 2. Soit n un entier nturel supérieur ou égl à et x un réel positif ou nul. Démontrer que : ln( + x) = On pourr prtir de n k= ( ) k x k+ x +( ) n k + n ( t) k puis intégrer. k= 3. Démontrer à l ide d un encdrement que lim 4. En déduire l vleur de l somme + n= n + ( ) n n. t n +t dt. t n +t dt =.

27 Évlution I. Progrmme Réels Définition de sup et inf. Suites Svoir définir et mnipuler u n =o(v n ), u n =O(v n )etu n v n. Svoir démontrer que si (u n )estbornéeet(v n ) converge vers, lors (u n v n )converge vers. Svoir démontrer que si deux suites sont djcentes, lors elles convergent et ont même limite. Svoir énoncer le théorème de Bolzno-Weierstrss : de toute suite bornée, on peut extrire une sous-suite convergente. Svoir clculer l limite d une suite, pr exemple à l ide d équivlents qund il y une forme indéterminée. Séries Définition d une série, d une série convergente, et de s somme. Svoir ce qu est une série bsolument convergente. Svoir que si une série est bsolument convergente, lors elle est convergente. Svoir que pour les séries à termes positifs, deux séries de termes équivlents sont de même nture. Ne ps oublier de préciser que les séries sont à termes positifs pour utiliser ce résultt. Séries de Riemnn. Règle de d Alembert : si u n+ u n converge vers une limite l<, lors l série u n est bsolument convergente (donc convergente). Svoir ce qu est une série lternée. Ne ps oublier de vérifier d hypothèse, en prticulier, u n doit être décroissnt. Il fut vérifier 3 points : ( ) n u n ne chnge ps de signe, u n et u n est décroissnte. Svoir qu une série lternée est convergente. Connître un exemple de suite telle que ( ) n u n etu n, mis telle que l série un soit divergente. Pr exemple, ( )k + k k.

28 Nom : Prénom : Les étudint(e)s répondnt correctement à cette question dns les 2 prochines minutes uront /2 point en plus pour l exmen du 26 septembre. Pour quels réels α l série n Question de cours est-elle convergente? nα Nom : Prénom : Les étudint(e)s répondnt correctement à cette question dns les 2 prochines minutes uront /2 point en plus pour l exmen du 26 septembre. Pour quels réels α l série n Question de cours est-elle convergente? nα

29 Test de 5mn. Mthémtiques. Lundi 9 septembre Merci de répondre directement sur l feuille en justifint votre réponse.. Déterminer un réel tel que n 2 + n + n +2 (n + ) n En déduire un équivlent simple de e (n2 +n+)/(n+2) qund n +.

30 EPCM. Contrôle continu n. Sujet type. Durée h3. N.B. Les clcultrices, les documents et les téléphones portbles sont interdits. Il est demndé de soigner l présenttion. Brême indictif: Exercice : 4 pts ; Exercice 2 : pts ; Exercice 3 :5pts. Exercice :. L suite de terme générl u n = ln n2 + n + est-elle convergente? Si oui, n 2 + n déterminer l limite. 2. Justifier que pour n u voisinge de +, on n + = n ( ) n +o. 2 n 2 n Exercice 2 : Un développement symptotique de H n = k. k=. Un équivlent de H n n Soit n un entier nturel non nul, on pose H n = k. () Si k est un entier non nul, montrer que : k= k + k+ k t dt k. (b) En déduire l encdrement suivnt : ln n + n H n ln n +. (c) Donner un équivlent de H n en Suites djcentes (déjà trité en cours) Soit deux suites de réels (v n )et(w n ) djcentes c est-à-dire que : (v n ) est croissnte, (w n ) est décroissnte et lim n + (v n w n )=. () Montrer qu il existe un entier nturel n tel que, pour tout entier n n, v n w n +. En déduire que l suite (v n )estmjorée. (b) Montrer que l suite (w n ) est minorée. (c) En déduire que les suites (v n )et(w n )sontconvergentesetconvergent vers une même limite réelle. 3. Constnte d Euler On pose, pour n, c n = H n ln n et d n = c n n. () Montrer que, pour n, n + ln(n +) ln(n) n. (b) Montrer que les suite (c n )et(d n ) convergent vers une même limite. On note lors γ cette limite (γ est ppelée constnte d Euler). (c) Montrer que : H n = ln n + γ + o().

31 Exercice 3 : Un vri-fux. Pour toutes les propositions, répondre pr vri ou fux, et surtout justifier vec précision votre réponse pr une démonstrtion ou un contre-exemple. Attention, toute réponse sns justifiction ne ser ps prise en compte.. Pour n, on pose L série n u n converge. u n = ( )n n + n + n Soient ( n ) n et (b n ) n deux suites équivlentes qund n +. Alors, les séries n et b n sont de même nture. n n

32 EPCM. Contrôle continu n. Lundi 26 septembre 2. Durée h3. N.B. Les clcultrices, les documents et les téléphones portbles sont interdits. Il est demndé de soigner l présenttion. Brême indictif: Exercice : 4 pts ; Exercice 2 : pts ; Exercice 3 :5pts. Exercice :. L suite de terme générl u n = déterminer l limite. 2. L suite de terme générl v n =( ) n n2 + oui, déterminer l limite. ( 3 n) 2n est-elle convergente? Si oui, 2n + sin ( ) n est-elle convergente? Si Exercice 2 : Etude de séries dont le terme générl est le reste d une série convergente. Soit n un entier nturel fixé. Soit n n n une série convergente. On définit pour n entier nturel supérieur ou égl à n, r n son reste de rng n : r n = + k=n+ k.le but de l exercice est d étudier l convergence de l série n n r n dns trois exemples différents.. On pose pour n, n = 2 n. Clculer r n puis montrer que n 2. On pose pour n, n = n 2. r n converge et clculer s somme. Nous llons chercher un équivlent de (r n ). Soit k un entier supérieur ou égl à. () Montrer que t [k, k +], (k +) 2 t 2 k. 2 (b) En déduire que pour tout entier nturel non nul n et pour tout entier N N N+ supérieur à 2 et à n +,on: (k +) dt 2 t N 2 k. 2 k=n+ n+ (c) En déduire que pour tout entier nturel non nul n, on: n + r n n + + (n +). 2 k=n+ (d) Donner lors un équivlent de (r n ) lorsque n est u voisinge de +. Que peut-on conclure sur l nture de l série r n? n

33 Exercice 3 : Un vri-fux. Pour toutes les propositions, répondre pr vri ou fux, et surtout justifier vec précision votre réponse pr une démonstrtion ou un contre-exemple. Attention, toute réponse sns justifiction ne ser ps prise en compte.. Pour n, on pose ( ) n u n =. n +( ) n L série n u n converge. 2. Soit n n une série à termes strictement positifs. Si cette série converge, lors l suite ( n+ ) n n converge vers un réel l<.

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35 CHAPITRE 2 INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

36 I. Intégrtion Progrmme officiel Définition de l intégrle d une fonction en esclier sur un segment. Approximtion des fonctions continues pr des fonctions esclier : on dmet que si f est continue sur [, b], pour tout ε> il existe des fonctions ϕ et ψ, en esclier sur [, b], telles que : ϕ f ψ et telles que x [, b] :ψ(x) ϕ(x) ε. Définition de l intégrle d une fonction continue sur un segment. Linérité, monotonie et reltion de Chsles, intégrle b b des fonctions continues pr morceux. Reltion: f(t) dt f(t) dt et première formule de l moyenne pour les fonctions continues. Le théorème suivnt : Une fonction continue et positive, définie sur un segment [, b], est nulle si et seulement si son intégrle est nulle doit être connu. Primitives d une fonction continue. Intégrtion pr prties des fonctions de clsse C. Chngement de vrible. Formule de Tylor-Lgrnge vec reste intégrl. Primitives des frctions rtionnelles n ynt que des pôles simples ou doubles. Primitives des frctions rtionnelles en sin et cos. II. Intégrles générlisées bsolument convergentes Définition de l intégrle, sur un intervlle quelconque, d une fonction continue positive ; théoréme de comprison, équivlents. Définition d une fonction continue bsolument intégrble à vleurs réelles et définition de son intégrle générlisée. Chngement de vrible dns les intégrles générlisées de fonctions bsolument intégrbles.

37 Intégrles générlisées III. Définitions, Exemples Définition., b R {, + }. b f(t)dt est une intégrle clssique si, et seulement si,, b R et f :[, b] R continue. dns tous les utres cs, Pr exemple. f(t)dt, b f(t)dt est dite générlisée. f(t)dt, b Ou bien,, b R et f non continue sur [, b] : Exemples. Fonction Gmm d Euler : Pour x =2, Γ(2)= Γ(x) := f(t)dt. t x e t dt. x dx, x 2 dx. te t dt. L ire sous l courbe est-elle finie? 2 Fonction Bet d Euler : Pour r = s =/2, β(/2, /2) = β(r, s) := x r ( x) s dx. dx x( x). L ire sous l courbe est-elle finie? 3 2

38 Définition 2. Soit f :[, + [ R continue ( R). L intégrle seulement si, X lim X + f(t)dt existe. Dns ce cs, on pose : f(t)dt := X lim f(t)dt. X + Soit f :],b] R continue (b R). L intégrle seulement si, b lim X X b Si f : R R est continue, b f(t)dt existe. Dns ce cs, on pose : f(t)dt := f(t)dt convergent. On pose : f(t)dt := b lim f(t)dt. X X f(t)dt converge si, et seulement si, X lim f(t)dt. X + Y Y idem pour f :[, b[ R, f :], b] R et f :], b[ R continue. si f[, b] \{c} R est continue, et b c b f(t)dt convergent. On pose : Retour ux exemples. X ε ε b f(t)dt := c f(t)dt converge si, et f(t)dt converge si, et f(t)dt converge si, et seulement si, f(t)dt + b c f(t)dt. [ te t dt = ] X te t X + e t dt = (X +)e x. IPP x + dx x( x) = x=sin 2 θ dx=2 sin θ cos θ dθ IV. Limite à l infini Arcsin ε Arcsin ε 2 sin θ cos θ sin θ cos θ dθ =2 ( Arcsin ε Arcsin ε ) 2(π/2 ) = π. Proposition. Soit f :[, + [ R continue telle que Si f(t)dt converge lors l =. lim f(x) =l. x + f(t)dt et c f(t)dt

39 Si l lors f(t)dt diverge. Proposition 2. Sif :[, + [ R continue, lors f(x) f(t)dt converge. n implique ps que x + Proposition 3. Sif :[, + [ R continue, lors que f(x) x +. f(t)dt converge n implique ps V. Convergence bsolue b f(t) dt converge, lors f(t)dt con- Proposition 4. Sif :], b[ R continue et verge. b Définition 3. Sif :], b[ R continue et bsolument convergente. Si b b f(t)dt est semi-convergente. b f(t)dt converge mis que b f(t) dt converge, on dit que f(t)dt est b f(t) dt diverge, on dit que Exemple: pr prties. sin t t dt et semi-convergente. Pour le montrer, on utilise une intégrtion VI. Chngement de vrible Proposition 5. Sif :], b[ R est continue et g :]α, β[ ], b[ est C, croissnte et bijective, lors Alors : β f ( g(x) ) g (x)dx converge si, et seulement si, α β α f ( g(x) ) g (x)dx = b VII. Comprison série-intégrle f(t)dt. b f(t)dt converge. Proposition 6. Si f : [, + [ R est une fonction continue et décroissnte, lors l intégrle générlisée f(t)dt et l série k f(k) sontdemêmenture.

40 VIII. Nture des intégrles générlisées Proposition 7. Sif,g :[, + [ R + sont continues positives, si f g et si converge, lors Si f(t)dt converge. f(t) dt diverge, lors g(t)dt diverge. g(t)dt Proposition 8. Sif,g :[, + [ R + sont continues positives et si f(x) g(x), x + lors les intégrles Proposition 9 (Riemnn). f(t)dt et dx x α g(t)dt sont de même nture. converge si, et seulement si, α>. Proposition. Sif,g :],b] R + sont continues positives. Alors si f g et si si f g et si b b g(t) dt converge, lors f(t) dt diverge, lors si f(x) g(x), lors les intégrles x Riemnn : b b b f(t)dt converge. g(t)dt diverge. f(t)dt et b dx converge si, et seulement si,α <. xα g(t)dt sont de même nture.

41 Exercices. Feuille 3. Exercice. Clculer lorsqu elles convergent les intégrles générlisées suivntes:. (x +)(x +2) dx 2. +x dx e x cos x dx ln( + x)dx Exercice 2. Etudier l convergence des intégrles générlisées suivntes:. t 4t 2 + t + dt 2. α 2 + t dt 2 e t 3. t dt ln t dt ( + t) 2 dt +t 2 e t +t dt cos t +t dt 2 cos t dt t Exercice 3. Déterminer pour quelles vleurs de couple (α, β) R 2 les intégrles suivntes sont convergentes. (on dessiner dns le pln l ensemble des couples (α, β) pour lesquels il y convergence).. x α ( + x β ) dx ln( + x α ) 2. dt e x β ( + t) α t α dt t β t α (ln t) β Exercice 4. Soit I = : intégrles de Bertrnd, e>. En déduire e t e 2t dt. t e t α (ln t) β

42 . Montrer que I est convergente. 2. Pour ε>, étblir, en posnt x =2t l reltion 3. En déduire I. Exercice 5. ε e t e 2t dt = t 2ε e t ε t dt. sin x. Montrer que x 2. Posons, pour n N dx est convergente. u n = (n+)π nπ sin x x 2 Montrer que pour tout n, on u (n+)π n. En déduire que diverge. dx sin x x dx

43 Annles sur les intégrles générlisées. Exercice : (Annles 27, 29) Pour toutes les propositions, répondre pr vri ou fux, et surtout justifier vec précision votre réponse pr une démonstrtion ou un contre-exemple. Attention, toute réponse sns justifiction ne ser ps prise en compte. Toutes les fonctions considérées sont de vrible réelle et à vleurs dns R.. Si f est une fonction continue sur un intervlle I, lors l intégrle f est convergente. 2. Si f et g sont deux fonctions continues sur l intervlle ], [ telles que les intégrles f et g convergent, lors 3. Soit f une fonction positive et telle que f(t) dt =, lors f est nulle sur [, ]. Exercice 2 : (Annles 26). Question préliminire Pour quelle(s) vleur(s) de β l intégrle fg converge. f(t) dt converge sur [, ]. I Si t β dt est-elle convergente? On ne demnde ps de justifier. L fonction Gmm d Euler. Soit x un réel strictement positif, justifier l existence d un réel A strictement positif, tel que pour tout réel t strictement supérieur à A, on it e t t x < t 2, puis montrer que l intégrle t x e t dt est convergente. On peut donc définir sur ], + [, l fonction Gmm d Euler notée Γ pr Γ(x) = t x e t dt. 2. Clculer Γ() puis montrer l reltion fondmentle suivnte : En déduire Γ(2). simple de Γ(n). x ], + [, Γ(x +)=xγ(x). Soit n un entier nturel non nul, donner une expression

44 Exercice 3 : (Annles 25) sin t Clcul de l intégrle de Dirichlet I = dt. t. Existence de I On définit sur [, + [ l fonction f pr f(x) = sin x x pour x>etf() =. sin t Justifier que f est continue sur [, + [ puis montrer que I = dt est t A sin t convergente. On pourr intégrer pr prties l intégrle dt (A >). t (2n+) π 2 sin t 2. Pour tout entier nturel non nul n, on définit I n et J n pr : I n = dt t π 2 sin(2n +)t et J n = dt. sin t π 2 sin(2n +)t () Montrer que I n = dt. ] t (b) Soient x ; π ] et k un entier nturel non nul. 2 Ecrire sin x cos(2kx) à l ide d une différence de deux sinus et en déduire n une reltion entre et cos(2kx). sin(2n +)x sin x (c) Clculer J n. 3. Lemme de Lebesgue Soit g une fonction de clsse C k= sur un intervlle [, b] où et b sont des réels vec <b. On pose, pour tout entier nturel n, L n = b g(t) sin(nt) dt. Montrer en utilisnt une intégrtion pr prties que l suite (L n )tendvers lorsque n tend vers On définit l fonction ϕ sur [ ], π 2 pr ϕ(x) = x sin x pour x ] ], π 2 et ϕ() =. () Donner le développement limité à[ l ordre en de ϕ. (b) Montrer que ϕ est dérivble sur ; π ]. 2 [ On dmet pour l fin de l exercice que ϕ est en fit de clsse C sur ; π ] 2 (cel se démontre vec des clculs de développements limités). 5. Conclusion Montrer que lim (I n J n ) = et en déduire l vleur de l intégrle I. n = Exercice 4 : (Annles 28) Etude d une fonction définie pr une intégrle. Questions préliminires () Donner l nture de l série n tend vers + de n k= k +. n +. En déduire l limite lorsque n

45 (b) Donner l llure de l courbe de l fonction t sin t sur [, 2π] puis clculer pour tout entier k, (k+)π kπ sin t dt. 2. Donner un équivlent simple en + de l fonction t sin t. En déduire que l t fonction F : x x 3. () Donner l nture de l intégrle sin t dt est bien définie et est de clsse C sur [, + [. t cos t t 3 2 dt. (b) Montrer à l ide d une intégrtion pr prties que x sin t t dt dmet une limite finie lorsque x tend vers Montrer vec soin qu une fonction continue sur [, + [ et qui dmet une limite finie en + est bornée. En déduire que F est une fonction bornée. 5. Montrer que pour tout entier n 2, L intégrle nπ π sin t dt 2 n. t π k + k= sin t t dt est-elle bsolument convergente?

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47 CHAPITRE 3 SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS

48 Progrmme officiel L étude générle des suites et des séries de fonctions n est ps u progrmme de l prtie I. I. Séries entières de l vrible réelle (prtie I) Définition d une série entière n x n de l vrible réelle x ssociée à l suite de nombres réels n. Définition du ryon de convergence R. Règles de d?alembert et de Cuchy. L somme est de clsse C sur ] R, R[ qund R> : intégrtion et dérivtion termes à termes. Définition d une fonction développble en série entière u voisinge d?un point x R. Développements en série entière des fonctions usuelles u voisinge d un point x. Applictions: utilistion du développement en série entière pour l pproximtion de fonctions ; emploi des séries entières dns l recherche de solutions d équtions différentielles linéires à coefficients non constnts. II. Suites et séries de fonctions définies sur un intervlle à vleurs dns K (prtie II) Toutes les pplictions dont il est question ici sont définies sur un intervlle I de R et à vleurs dns l espce vectoriel K vec K = R ou K = C. Définition de l convergence uniforme d?une suite de fonctions définies sur I à vleurs dns K. Critère de Cuchy de convergence uniforme. L limite uniforme d?une suite de fonctions bornées sur I est bornée sur I et celle d?une suite de fonctions continues sur I est continue sur I. Théorème d intégrtion : si (f n ) est une suite de fonctions de clsse C ([, b],k)qui converge uniformément sur [, b], lors : lim b f n (t) dt = b lim f n (t) dt. Théorème de dérivtion : si (f n ) est une suite de fonctions de clsse C ([, b],k) qui converge simplement en un point x [, b] et qui est telle que l suite (f n) converge uniformément sur [, b] vers une fonction g, lors (f n ) dmet une limite uniforme f sur [, b], f est de clsse C ([, b],k)etf = g. Extension ux suites de fonctions de clsse C p (p ). Définition de l convergence uniforme d une série de fonctions, f n, définies sur I. Critère de Cuchy de convergence uniforme. Définition de l convergence normle d une série de fonctions bornées sur I. Toute série normlement convergente sur I, est uniformément convergente sur I. Utilistion d une série mjornte pour étblir l convergence normle. Théorèmes de dérivtion et d intégrtion terme à terme pour les séries de fonctions de C ([, b],k)etc ([, b],k) respectivement.

49 Suites de fonctions On s intéresse ux fonctions définies pr des limites : f(x) = Pr exemple : Les questions que l on se pose : e x = ( lim + x n. n + n) lim f n(x). n + f est-elle bien définie? quelles propriétés de f n impliquent quelles propriétés de f? En prticulier : si pour tout n, f n est continue, est ce que f est continue? si pour tout n, f n est C,estcequef est C? si on sit clculer b b lim n + III. Convergence simple f n (x) dx, -t-on f n (x) dx = b f(x) dx. Définition. Une suite de fonctions (f n : X R) converge simplement vers f : X R sur X si : x X, f n (x) f(x). n + Exemple : f n (x) =x n pour x [, ]. Si x =, lors f n (x) =pourtoutn et f n (x). Si x [, [, f n(x). Pr conséquent, l suite (f n) converge n + n + simplement vers f sur [, ] vec : { f(x) =six [, [ f() = Dns l exemple précédent, les fonctions f n sont continues mis l limite f ne l est ps. IV. Convergence uniforme Définition 2. Une suite de fonctions (f n : X R) converge uniformément vers f : X R sur X si : sup fn (x) f(x). x X n + Dns l exemple précédent, l suite (f n ) ne converge ps uniformément vers f sur [, ] (ni sur [, [). En effet, pour tout n, fn (x) f(x) =. sup x [,/2] sup x [,] En revnche, l même suite (f n ) converge uniformément vers f sur [, /2]. En effet, fn (x) f(x) = 2 n n +.

50 Proposition (Critère de Cuchy pour l convergence uniforme) Si (f n : X R) est une suite de fonctions telle que : ε >, n, n n, p, x X, fn+p (x) f n (x) ε lors l suite (f n : X R) converge uniformément sur X vers une limite f : X R. V. Continuité Proposition 2. Supposons que l suite (f n : X R) converge uniformément sur X vers f : X R et soit x X. Si les fonctions f n sont continues en x, lors f est continue en x. Si les fonctions f n sont continues sur X, lors f est continue sur X. Preuve. Étnt donné ε>, on : f(x) f(x ) f(x) f n (x) + f n (x) f n (x ) + f n (x ) f(x ) 2sup fn (y) f(y) + fn (x) f n (x ). y X On voit donc qu il existe n tel que : x X, f(x) f(x ) fn (x) f n (x ) + ε/2. On utilise lors l continuité de f n en x ce qui montre l existence de η>telquepour tout x X vérifint x x η, on it : fn (x) f n (x ) ε/2. Alors, pour tout x X vérifint x x η, on: f(x) f(x ) ε/2+ε/2 =ε. Cel montre l continuité de f en x. VI. Intégrbilité Proposition 3. Soit (f n :[, b] R) une suite de fonctions continues. Si (f n )converge uniformément sur [, b] versf, lors : lim n + b f n (x) dx = b f(x) dx. Preuve. L fonction f est continue sur [, b], donc intégrble sur [, b]. Pour tout ε>, si n est suffismment grnd, on : Donc : ( b Autrement dit : x [, b], f(x) ε f n (x) f(x)+ε. ) b ( b ) f(x) dx ε (b ) f n (x) dx f(x) dx + ε (b ). b b f n (x) dx f(x) dx ε (b ).

51 VII. Dérivbilité Proposition 4. Soit I R un intervlle. Supposons que (f n : I R) est une suite de fonctions telles que : f n est C sur I, f n (x ) l pour un certin x I, n + l suite des dérivées (f n ) converge uniformément sur I vers une fonction g. Alors,. (f n ) converge simplement sur I vers une fonction f, 2. f est de clsse C sur I, x 3. f(x )=l, f = g et f(x) =l + g(t) dt. x Si de plus I est un intervlle borné, lors (f n ) converge uniformément vers f sur I. Preuve. On pplique le résultt d intégrbilité sur [x,x]: Donc : L limite f n (x) f n (x )= x x f n(t) dt n + x f n (x) l + g(t) dt. n + x x x x g(t) dt. f(t) =l + g(t) dt x est donc une primitive de g. C est donc une fonction C de dérivée f = g. Si I [, b] est un intervlle borné : fn (x) f(x) x = f ( n(x ) l + f n (t) g(t) ) dt x fn (x ) l +(b ) sup f n (t) g(t) t I L convergence de (f n )versf est donc uniforme sur I. n +.

52 Séries de fonctions On s intéresse ux fonctions définies pr des séries : f(x) = k f k (x). Deux exemples :. les séries entières : f(x) = + k= vec ( k ) une suite de nombres réels ou complexes. Pr exemple : exp(x) = k x k 2. les séries de Fourier : f(x) = + + x k k= + k= k!. k cos(kx)+ + k= b k sin(kx). I. Convergence simple, bsolue, uniforme et normle Dns tout ce qui suit, (f k : X R) est une suite de fonctions. Définition (Convergence simple). L série de fonctions f k converge simplement sur X si pour tout x X, l série numérique f k (x) converge. On note lors : f(x) = + k= f k (x) l somme de l série. Exemple : le critère de d Alembert montre que l série de fonctions est convergente. On ppelle exp s somme. + k= x k k! Définition 2 (Convergence bsolue). L série de fonctions f k converge bsolument sur X si pour tout x X, l série numérique fk (x) est convergente. Proposition. Si l série de fonctions f k convergente. est bsolument convergente, lors elle est Exemple : l série x k /k! est bsolument convergente. Définition 3 (Convergence uniforme). L série de fonctions f k converge uniformément sur X vers f si l suite des sommes n prtielles S n : x f k (x), converge uniformément sur X. k= Proposition 2. Si l série de fonctions f k est uniformément convergente, lors elle est convergente.

53 Proposition 3 (Critère de Cuchy). L série de fonctions f k converge uniformément sur X vers f si, et seulement si, ε >, n, n n, p, x X, un+ (x)+ u n+p (x) ε. Définition 4 (Convergence normle). L série f k converge normlement sur X si l série sup fk (x) est convergente. x X Exemple : [ M,M]. pour tout M >, l série x k /k! est normlement convergente sur Proposition 4. Si l série de fonctions f k est normlement convergente, lors elle est uniformément convergente et bsolument convergente. Preuve. Critère de Cuchy et inéglité tringulire. On voit donc que pour tout M>, l série x k /k! est uniformément convergente sur [ M,M]. II. Continuité L limite uniforme d une série de fonctions continues est continue. Proposition 5. Si les fonctions f k : X R sont continues et si l série f k converge uniformément sur X, lors f k est une fonction continue. Preuve. Les sommes prtielles S n sont continues. L suite (S n ) converge uniformément sur X. S limite est donc continue (théorème de continuité pour les suites de fonctions. L fonction exp est donc continue sur R. III. Intégrtion sur un segment S il y convergence uniforme sur un segment, on peut permuter série et intégrle. Proposition 6. Si les fonctions f k :[, b] R sont continues et si l série f k converge uniformément sur [, b], lors : b ( + ) f k (x) dx = k= + k= ( b ) f k (x) dx.

54 Preuve. On pplique le théorème d échnge de limite et intégrle pour l suite des sommes prtielles S n qui converge uniformément vers l somme de l série : b + b n f k = def k= = échnge limite et intégrle = linérité de l intégrle = def lim n + b lim n + k= f k ( n ) f k k= n b lim f k n + k= + b k= f k. Pour tout b R, on: b exp(x) dx = + b k= x k + k! dx = k= b k+ =exp(b). (k +)! L fonction exp est donc s propre primitive. On voit donc que exp est une fonction dérivble et que exp =exp. IV. Dérivbilité Si l série des dérivées converge uniformément, lors on peut dériver terme à terme. Proposition 7. Si f k : I R est C sur un intervlle I R, f k (x )convergepourunx I et f k converge uniformément sur I, lors l série f k converge sur I, l somme et : ( + ) f k = De plus, si I est borné, l série f k converge uniformément sur I. k= + k= + k= f k est une fonction de clsse C sur I Preuve. Appliquer le théorème de dérivbilité pour l limite d une suite de fonctions à l suite des sommes prtielles. V. Séries lternées Proposition 8. Soit (f k : X [, + [) une suite de fonctions qui converge simplement (respectivement uniformément) sur X vers, vec pour tout x X, f k+ (x) f k (x). Alors, l série ( ) k f k converge simplement (respectivement uniformément) vers une fonction f sur X. f k.

55 Preuve. On pplique le théorème sur les séries lternées en observnt que : + n x X, ( ) k f k (x) ( ) k f k (x) f n+(x). k= k=

56 Feuille d exercice sur les suites de fonctions Exercice. Étudier l convergence des suites de fonctions suivntes sur le domine I : ( x ). n (x) = sin, I =[, ] ( 2 n x ) 2. b n (x) = sin, I = R 2 n 3. c n (x) = +ncos(x), I = [,π] 4. d n (x) =xe nx, I = R + 5. f n (x) =nx n ln(x), I =], ] 6. g n (x) =n 2 ( x) n sin ( π 2 x ), I = [, 2] nx Exercice 2. Soit f n (x) = +n 2 x. 2 Étudier l convergence simple, puis uniforme sur R + et enfin sur [α, + [, vec α>. Exercice 3.. Soit (f n ) une suite de fonctions continues convergent uniformément vers une fonction f. Soit (x n ) une suite convergent vers x. Montrer que l suite (f n (x n )) converge vers f(x). On définit mintennt l suite (g n : [, ] R) pr nx si x< n g n (x) = 2 nx si n x< 2 n si 2 x. n 2. Étudier l convergence simple de l suite (g n). 3. Étudier l convergence de l suite ( g n (/n) ). Que peut-on en conclure sur l convergence uniforme de l suite (g n )? Exercice 4 (Non inversion limite intégrle). Soit f n (x) =n cos n (x)sin(x).. Déterminer l limite simple de l suite (f n ). 2. Clculer lim n π/2 t= f n (t)dt. Exercice 5 (Annles 24). II. Intégrtion sur un intervlle non borné de l limite d une suite de fonctions Si (f n ) est une suite convergente de fonctions définies sur l intervlle non borné[, + [, on souhite trouver une condition suffisnte pour pouvoir permuter limite et intégrle,

57 c est-à-dire voir lim n + f n (x)dx = est donc de donner cette condition suffisnte. A. L convergence uniforme est insuffisnte... lim f n(x)dx. Le but de ce prgrphe n + 2. Pour tout entier nturel n non nul, on définit sur [, + [ l suite de fonctions (g n ) pr : x si x [,n[ n 2 g n (x) = x n + 2 si x [n, 2n[ 2 n si x [2n, + [. () Représenter le grphe de g 2. (b) Soit n, montrer que g n est continue sur [, + [ et clculer g n (x)dx en utilisnt des conditions géométriques. (c) Montrer que l suite (g n ) converge uniformément sur [, + [ vers l fonction nulle. A-t-on lim n + g n (x)dx = lim f n(x)dx? n + B. Une condition suffisnte : convergence uniforme sur tout segment et domintion Soit (f n ) n une suite de fonctions continues sur [, + [ qui converge uniformément sur tout segment [,] inclus dns [, + [ vec> vers une fonction f. On suppose en plus que l suite (f n ) est dominée, c est-à-dire qu il existe une fonction g continue sur [, + [ telle que 3. Montrer que f est continue sur [, + [ etque 4. Soit ε>. g(x)dx converge et telle que n, f n g. () On définit sur [, + [ l fonction ϕ pr ϕ(t) = f(x)dx converge. t g(x)dx. Déterminer l limite de ϕ en + puis justifier l exsitence d un réel A>tel que A g(x)dx< ε 4. (b) En déduire que pour tout n, fn (x) f(x) A dx fn (x) f(x) ε dx + 2. (c) En déduire que lim f n (x)dx = f(x)dx. n +

58 Nom : Prénom : Test de 5mn. Mthémtiques. Lundi 4 novembre Merci de répondre directement sur l feuille en justifint votre réponse. Pour n, on pose f n (t) =2nt( t 2 ) n.. Montrer que l suite (f n ) converge simplement vers l fonction nulle sur [, ] (on pourr distinguer le cs t = et le cs t>). 2. Montrer que pour tout n, on f n (t) dt = n n Que peut-on conclure qunt à l convergence uniforme de l suite (f n ) sur [, ]?

59 Feuille d exercice sur les séries de fonctions Exercice (Étude de domine de convergence de séries de fonctions) Étudier l convergence des séries de fonctions suivntes sur le domine I :. x n vec n (x) = x 2 + n, I = R 2 2. b n vec b n (x) =e n x, I =[, + ], > 3. c n vec c n (x) =, I = [, + [ +n 2 x2 4. d n vec d n (x) = ( )n e nx, I = R + n 5. f n vec f n (x) = cos(nx), I = R n 2 Exercice 2 (Un clcul de série numérique). n+ xn Soit u n (x) =( ) n et v n(x) =( ) n+ x n.. Montrer que l série n u n converge normlement sur tout intervlle [, ], vec <<. L limite, notée f, de cette série est-elle continue sur ], [? 2. Montrer que l série n v n converge normlement sur tout intervlle [, ], vec <<. 3. En déduire que l fonction f est dérivble sur ], [ et donner une expression simple de f. En déduire une expression de f sur ], [. 4. En mjornt le reste u n (x), montrer que l série converge uniformément sur n=n [, ]. En déduire que f est continue sur [, ]. ( ) n+ 5. Déduire de tout ce qui précéde l vleur de. n n= Exercice 3 (Un équivlent de ζ u voisinge de ). Soit ζ(x) = n. x n=. Montrer que l série définissnt l fonction ζ converge normlement sur [, + [ pour tout >. En déduire que ζ est continue sur ], + [. 2. Montrer que l fonction ζ est C sur ], + [. 3. Trcer le grphe de l fonction ζ sur ], + [. Soit (x) = n= ( ) n+ n x.

60 4. Montrer que l série définissnt l fonction converge uniformément sur [, + [. En déduire que est continue sur [, + [. ( 5. Montrer que l on : (x) = ) ζ(x). 2 x 6. En déduire un équivlent de ζ lorsque x tend vers +.

61 CHAPITRE 4 SÉRIES ENTIÈRES

62 I. Définition, exemples Séries entières Définition. Une série entière est une série de fonctions de l forme : n x n vec n R et x R. n Toute série entière converge u moins en point : x =. Les sommes prtielles sont des polynômes. Exemple. n x n.six =, l somme prtielle d ordre N vut N +,etsi x : N n= x n = xn+ x. Si x <, l série converge et l somme vut /( x). Si x, l série diverge. Exemple 2. exp(x) = x n. L série converge sur R. n! n II. Ryon de convergence Proposition. Soit n n x n une série entière. Il existe un ryon R [, + ] telque pour x <R, l série converge, pour x >R, l série diverge. Le réel R s ppelle le ryon de convergence de l série entière. Attention, on ne dit rien pour x = R. L démonstrtion de ces résultts s ppuie sur les résultts intermédiires suivnts. Proposition 2. Si n n x n converge pour un x R, lors pour tout x vec x < x, l série n n x n convege. Preuve. L série n n x n converge. Le terme générl tend vers, ce qui montre que l suite n x n est bornée : Si x < x, on lors : n x n = nx n M, n n x n M. x n x n M x x n = Mλ n vec <λ= x/x <. L série Mλ n est une série géométrique de rison <. Elle est donc convergente. L série n x n est donc bsolument convergente.

63 Le ryon de convergence R est : { R := sup x } n x n converge. n Proposition 3. Si n+ n une limite l, lors R =/l. Proposition 4. Si n n une limite l, lors R =/l. Attention. Il se peut que les limites précédentes n existent ps. Cependnt, le ryon de convergence est toujours bien défini. III. Continuité de l somme d une série entière Proposition 5. Soit n n z n une série entière de ryon de convergence R. Pour tout <r<r, l série n n x n converge normlement sur le segment [ r, r]. Corollire. Soit n n z n une série entière de ryon de convergence R. L somme de l série entière est continue sur ] R, R[. IV. Primitive de l somme d une série entière Proposition 6. Les séries entières : n x n n et n n x n+ n + ont même ryon de convergence R. Soit f :] R, R[ R et g :] R, R[ R les fonctions définies pr : f(x) := n x n et g(x) := x n+ n n +. n n Alors, g est dérivble sur ] R, R[ etg = f. V. Dérivées successives de l somme d une série entière Proposition 7. Les séries entières n x n et n n x n ont même ryon de convergence R. Soit f :] R, R[ R et g :] R, R[ R les fonctions définies pr n n : f(x) := n Alors, f est dérivble sur ] R, R[ etf = g. n x n et g(x) := n n n x n. Corollire. L somme d une série entière n n x n de ryon de convergence R est C sur ] R, R[. Les dérivées successives s obtiennent en dérivnt terme à terme.

64 VI. Opértions sur les séries entières On peut jouter terme à terme deux séries entières. Proposition 8. Soient n x n une série entière de ryon de convergence R et b n x n n n une série entière de ryon de convergence R 2. L série entière n + b n )x n ( n unryon de convergence R min(r,r 2 ) (vec églité si R R 2 ). Pour tout x ] R, R[, on : n + b n )x n ( n = n x n + b n x n. n n Le produit de deux séries entières est plus délict. Définition 2. Soient n x n et b n x n deux séries entières. L série produit est l n n série entière c n x n vec : n c n := n k b n k = b n + b n + n b + n b. k= Proposition 9. Soient n n x n une série entière de ryon de convergence R et n b n x n une série entière de ryon de convergence R 2. L série produit n c n x n unryonde convergence R R 3 := min(r,r 2 )etpourtoutx ] R 3,R 3 [, on : ( ) ( ) n x n b n x n = c n x n. n n n

65 Développement en séries entières VII. Définition, premiers exemples Définition. Une fonction f :]x R, x + R[ est développble en série entière en x sur ]x R, x + R[ si, et seulement si, f(x) = R. + n= n (x x ) n vec ryon de convergence Proposition. Sif est DSE en x vec ryon de convergence R lors f est de clsse C sur ]x R, x + R[ et sur ]x R, x + R[. f(x) = + n= f (n) (x ) (x x ) n n! Corollire. Il y unicité du développement en série entière. Attention. L fonction f : R R définie pr f(x) =e /x2 si x etf() = est C sur R et toutes ses dérivées en sont nulles. Cependnt f n est ps développble en série entière puisque sinon, f serit nulle. VIII. Premiers exemples x n =. Le ryon de convergence est. Donc l fonction f(x) = x x est n DSE en vec ryon de convergence et x = n En remplçnt x pr x, on voit que /(+x) estdseenvecryondeconvergence et +x = ( ) n x n. n En remplçnt x pr x 2, on voit que /(+x 2 )estdseenvecryondeconvergence et +x = ( ) n x 2n. 2 n L fonction exponentielle est développble en série entière en vec ryon de convergence + et e x = x n n!. n x n.

66 IX. Dérivtion, intégrtion Proposition 2. Sif(x) = n x n sur ] R, R[ vecryondeconvergencer lors f n est DSE en vec ryon de convergence R et f (x) = n n x n n sur ] R, R[. Exemple. En dérivnt /( + x), on voit que f(x) =/( + x) 2 est DSE en vec ryon de convergence et ( ) ( + x) = = 2 +x n ( ) n nx n = ( ) k (k +)x k. k Proposition 3. Sif :] R, R[ R est dérivble et si s dérivée est DSE en vec ryon de convergence R, lors f est DSE en vec ryon de convergence R et f(x) =f() + n n x n+ n +. Exemples. L fonction f(x) = ln( + x) est une primitive de /( + x). Elle est donc DSE en vec ryon de convergence et pour x ], [ ln( + x) =+ n ( ) n xn+ n + = k+ xk ( ) k. k L fonction f(x) =Arctn(x) est une primitive de /( + x 2 ). Elle est donc DSE en vecryondeconvergenceetpourx ], [ Arctnx =+ n X. Equtions différentielles ( ) n x2n+ 2n +. Si f est solution d une éqution différentielle et si f est développble en série entière, lors l éqution différentielle permet générlement d étblir une reltion de récurrence sur les coefficients de l série entière. Pr exemple, l unique solution de l éqution différentielle y + y = telle que f() = et f () = est l fonction f(x) =cos(x) (cf cours de l n pssé). Or, cette éqution dmet une solution développble en série entière en vec ryon de convergence + x2n f(x) = ( ) n (2n)!. n En effet, le ryon de convergence est +, l somme est donc C sur R. On peut dériver deux fois terme à terme. On voit lors que l somme est solution de l éqution

67 différentielle. De plus f() = et f () =. Donc cette somme est égle à cos(x). On doncpourx R x2n cos(x) = ( ) n (2n)!. n De même, ou en dérivnt terme à terme l série précédente sin(x) = ( ) n x 2n+ (2n +)!. n Si l on cherche une solution développble en série entière en de l éqution différentielle ( + x)y αy =, on obtient l reltion suivnte: ( + x) n n n x n α n n x n = ce qui s écrit églement +) n+ x n (n n + n On donc l reltion de récurrence (n α) n x n =. (n +) n+ +(n α) n =. C est-à-dire n+ = α n n + n. Si α N, les n sont tous nuls à prtir d un certin rng et le ryon de convergence ets +. Si α/ N et si, les coefficients n ne sont jmis nuls et lim n+ n + n = lim α n n + n + =. Le ryon de convergence est lors égl à. Il y donc une solution développble en série entière en vec ryon de convergence. L solution qui prend l vleur en, c est-à-dire pour =, est l fonction ( + x) α. Cel montre que ( + x) α est DSE en vecryondeconvergence.

68 Si α/ N, x = n x n R = ln( + x) = x x2 2 + x3 xn +...+( )n R= 3 n Arctn(x) = x x3 3 Argth(x) = x + x3 3 ( + x) α = +αx + Arcsin(x) = x + 2 x x Arccos(x) = π Arcsin(x) R = 2 Argsh(x) = x 2 x x5 x2n ( )n +... R= 2n + x2n R= 2n + n termes {}}{ α(α ) x 2 α(α )(α 2)...(α n +) x n +... R= 2! n! ( )n n termes {}}{ 3... (2n ) (2n) }{{} n termes n termes {}}{ 3... (2n ) (2n) }{{} n termes x 2n R= 2n + x 2n R= 2n + e x = +x + x2 2! + x3 xn R=+ 3! n! cos(x) = x2 2! + x4 x2n +...+( )n 4! (2n)! +... R=+ sin(x) = x x3 3! + x5 5! + x 2n+...+( )n +... R=+ (2n +)! ch(x) = + x2 2! + x4 x2n ! (2n)! +... R=+ sh(x) = x + x3 3! + x5 x2n R=+ 5! (2n +)!

69 Feuille d exercices sur les séries entières Exercice. Déterminer le ryon de convergence R de l série entière n x n et étudier l convergence pour x = R lorsque :. n = vec α>, α 2. n = n 2 n 3. n = n!, n n = sin ( ) nπ 2, 5. ( n ) n définie pr > et n+ = ln( + n ), 6. ( n ) n une suite telle que n l. Exercice 2. Soit R le ryon de convergence de l série entière n x n. Quel est le ryon de convergence de l série 2 n xn? Exercice 3. Développer en série entière les fonctions suivntes (préciser le ryon de convergence de l série entière obtenue).. f(x) = x+x g(x) =e +x2. 3. h(x) = x e t2 dt. Exercice 4. Développer en série entière u voisinge de x les fonctions suivntes (en précisnt l intervlle de vlidité du développement obtenu). f(x) = x (x =2), 2. g(x) =e x (x = ). Exercice 5. On considère l frction rtionnelle f(x) = ( x) 2 ( + 2x).. Décomposer f en éléments simples. 2. En déduire le développement en série entière de l fonction f u voisinge de. 3. Quel est le ryon de convergence de cette série entière?

70 Annles sur les suites et séries de fonctions Exercice (Annles 26). Problème : utilistion des séries de Grégory pour l pproximtion de π. Le problème propose l étude d une pproximtion de π. I. Séries de Grégory Pour tout réel de ], ], on définit l série de Grégory de prmètre pr : G = + n= n ( ) n 2n +.. Convergence de l série G () Montrer que l série G est convergente. Est-elle bsolument convergente? Justifier votre réponse. (b) En utilisnt le critère de d Alembert, montrer que pour ], [, l série G est bsolument convergente. On noter, dns l suite, G() l somme de l série G, c est-à-dire G() = + n= n ( ) n 2n Soit ], ]. () Étudier les vritions de l suite (u n) définie pour n N pr u n = n 2n +. (b) Pour tout entier nturel n, onnoteg n, l somme prtielle de l série G, c est-à-dire n G n, = ( ) k k 2k +. Justifier que k= n N, G() G n, n+ 2n +3. II. Expression de l fonction rctngente à l ide de séries de Grégory 3. Donner le développement en série entière u voisinge de de l fonction x +x 2 puis déterminer le ryon de convergence de cette série entière. 4. Justifier que pour x ], [, Arctn(x) = + n= ( ) n x2n+ 2n +. En déduire une expression de Arctn() à l ide d une série de Grégory lorsque ], [.

71 III. Formule de John Mchin Pour toute cette prtie, on pourr utiliser l formule suivnte de trigonométrie : tn(u + v) = tn u +tnv tn u tn v. 5. Clculer ( ( )) tn 2Arctn, puis ( ( 5)) tn 4Arctn, puis ( ( 5) tn 4Arctn π ). 5 4 On donner les résultts sous forme de rtionnels. 6. En déduire l formule de Mchin π 4 =4Arctn ( ) ( ) Arctn IV. Appliction de l formule de Mchin pour pproximer π 7. Expression de π comme combinison linéire de 2 séries de Grégory À l ide de l formule de John Mchin, déterminer 4 réels strictement positifs λ,λ 2,, 2 tels que π = λ G( ) λ 2 G( 2 ). 8. Précision de l pproximtion () Montrer que n N, π (λ G n, λ 2 G n,2 ) λ n+ + λ 2 n+ 2. (b) En déduire un réel K tel que n N, π (λ G n, λ 2 G n,2 ) K 25 n+. (c) Trouver un entier N 2 pour lequel n N 2, π (λ G n, λ 2 G n,2 ) 6. Remrques : Cette méthode d pproximtion de π utilisée pr John Mchin (68-752) permit à ce dernier de clculer à l min décimles exctes de π en 76. Les pproximtions de π à l ide de séries de Grégory permirent d obtenir à l ide d ordinteurs un million de décimles en 974. (J. Guilloud et M. Bouyer) Aujourd hui, les mthémticiens ont trouvé d utres types de techniques encore plus performntes, qui leur permettent de clculer plusieurs millirds de décimles. Exercice 2 (Annles 27). Etude d une série. Quelques premiers résultts. () Déterminer le ryon de l série entière n ln n n xn.

72 (b) Montrer que l suite de terme générl ln n n est monotone à prtir d un certin rng que l on préciser. En déduire l nture de l série ( ) n ln n. n n (c) Déterminer l nture de ln n n. L série ( ) n ln n est-elle bsolument n n n convergente? b ln t (d) Clculer dt où et b sont des réels strictement positifs. t 2. Equivlent de l somme prtielle Soit n un entier et f une fonction continue et décroissnte sur [n, + [. k+ () Montrer que pour tout entier k [n, + [, on f(k+) f(t)dt f(k). k n (b) En déduire un encdrement de f(k) pr deux intégrles que l on préciser. k=n + Expliciter cet encdrement dns le cs où f est l fonction x ln x (on clculer les intégrles et on préciser n ). x n ln k (c) Déterminer, en justifint, un équivlent simple de lorsque n est u k k= voisinge de + (on l exprimer à l ide de ln n). Exercice 3 (Annles 27).. Montrer que l série de fonctions n f n où f n est définie sur [, + [ pr f n (x) = nx n 4 + x 2 converge simplement sur [, + [. On peut donc définir sur [, + [ l fonction S pr S(x) = + f n (x). n= 2. Clculer f n = sup n (x). L série x f f n converge-t-elle normlement sur n [, + [? 3. Soit A>. Montrer que n f n converge normlement sur [,A]. En déduire que l fonction S est continue sur [, + [. Exercice 4 (Annles 2). Soit f l fonction définie sur R pr f(t) =e t2.onposei = e t2. Démontrer que l fonction f est développble en série entière (on déterminer l série entière et on préciser son ryon de convergence). dt.

73 2. En déduire vec soin que : 3. Pour n N, onposes n = n k= I = s n I + n= ( ) n n!(2n +). ( ) k. Justifier que pour tout n N, on: k!(2k +) (n + )!(2n +3). 4. En déduire un entier N tel que pour n N,on s n I 6. Exercice 5 (Annles 2). Clcul de l somme d une série. Justifier l convergence de l série ( ) n n. n 2. Soit n un entier nturel supérieur ou égl à et x un réel positif ou nul. Démontrer que : n ( ) k x k+ x ln( + x) = +( ) n t n k + +t dt. On pourr prtir de k= n ( t) k puis intégrer. k= 3. Démontrer à l ide d un encdrement que lim 4. En déduire l vleur de l somme + n= n + ( ) n n. t n +t dt =. Exercice 6 (Annles 2). Autour de l fonction Dilogrithme. Dns ce problème, on propose une étude de l fonction Dilogrithme définie pour x [, [ pr : x Li(x) = On définit sur [, [ l fonction f pr f(t) = ln( t) dt t ln( t) t si t et f() =. I Fonction Dilogrithme. Montrer que l fonction f est continue sur [, [. 2. Justifier que l fonction Li est de clsse C sur [, [ et déterminer s dérivée. 3. Démontrer que l intégrle f(t)dt est convergente. On en déduit (il est inutile de le redémontrer) que l fonction Li se prolonge pr continuité en sur [, [, en posnt : Li() = f(t)dt On continue à noter Li ce prolongement pr continuité.

74 4. Etude d une série de fonctions ) Démontrer que l série de fonctions converge normlement sur [, ]. n2 n On note lors S l somme de cette série, c est à dire : x [, ],S(x) = x n + x n n 2 n= b) Démontrer, en énonçnt précisément le théorème utilisé, que l fonction S est continue sur [, ]. 5. Développement en série entière de Li ) Démontrer que pour tout t ], [, on f(t) = n +. n= b) Soit x un réel de ], [ fixé. Démontrer vec soin que Li(x) =S(x) (on pourr étudier le mode de convergence de l série de fonctions n + sur n [,x]). c) Justifier vec soin que l on ussi Li() = S(). En déduire l vleur de ln( t) dt (on dmettr que = π2 n t ) 2 6 n II Une reltion fonctionnelle du Dilogrithme On définit sur ], [ les fonctions g et h pr : + g(x) = Li(x) + Li( x) et h(x) = ln( x) ln(x) 6. Justifier que l fonction g est dérivble sur ], [ et comprer s dérivée vec celle de l fonction h. 7. Déterminer l limite de h lorsque x tend vers, puis démontrer vec soin l reltion fonctionnelle : x ], [, Li(x) + Li( x) = π2 6 t n ln( x) ln(x) t n

75 Test de 5mn. Mthémtiques. Lundi 28 novembre Merci de répondre directement sur l feuille en justifint votre réponse.. Déterminer le ryon de convergence R de l série entière x n 2 n n. n 2. Etudier l convergence de l série en x = R. 3. Etudier l convergence de l série en x = R.

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77 PARTIE II ALGÈBRE

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79 CHAPITRE RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES

80 Progrmme officiel I. Espces vectoriels et lgèbre linéire Définitions générles Définition d un espce vectoriel, d un sous espce, d une ppliction linéire, d un endomorphisme, d un isomorphisme, d un utomorphisme, d une forme linéire. Définition d une lgèbre (ssocitive, unitire). Définition de l espce L(E,F) des pplictions linéires de E dns F. Définition du noyu et de l imge d une ppliction linéire. Définition d une combinison linéire, d un sous espce engendré pr une prtie, de l somme de deux sous espces, de deux sous espces supplémentires. Définition d une homothétie et crctéristion des projecteurs pr l reltion p 2 = p. Générlités sur les espces de dimension finie Définition d une fmille libre, d une fmille liée, d une fmille génértrice, d une bse, d un espce de dimension finie. Invrince du nombre d éléments d une bse et théorème de l bse incomplète, sous-espces et somme de sous-espces, espces K n. Crctéristions des pplictions linéires entre espces de dimension finie. Formes linéires : définition du dul et éqution d un hyperpln. Rng d une fmille de vecteurs, rng d une ppliction linéire, théorème du rng et crctéristion des isomorphismes. Clcul mtriciel Espce M n,p (K) des mtrices à n lignes et p colonnes à coefficients dns K et produit mtriciel. Algèbre M n (K), groupe GL n (K). Mtrice d une ppliction linéire entre deux espces de dimension finie, isomorphisme entre M n,p (K) et L(E,F), rng d une mtrice. Définition de l trnsposée d une mtrice, d une mtrice crrée symétrique ou ntisymétrique. Mtrice d un endomorphisme sur une bse, chngements de bse, mtrices semblbles. Trce d une mtrice crrée et reltion : Tr(AB) = Tr(BA). Systèmes linéires Discussion des systèmes linéires : description de l espce des solutions. Inversion et inversibilité d une mtrice crrée pr l méthode du pivot et ppliction à l résolution des systèmes de Crmer. Déterminnts Définition du groupe des permuttions d un ensemble fini, définition d une trnsposition et de l signture d une permuttion : ( ) p où p est l prité de l décomposition en trnspositions. Formes n-linéires lternées sur un espce de dimension n, déterminnt sur une bse d un système de vecteurs, chngement de bse, orienttion. Déterminnt d une ppliction linéire, déterminnt d une mtrice crrée. Crctéristion d une bse, d un isomorphisme, d une mtrice crrée inversible. Déterminnt de l composée de deux endomor - phismes, du produit de deux mtrices crrées. Développement pr rpport à une ligne ou une colonne, cofcteurs et mtrice des cofcteurs, déterminnt de l trnsposée d une mtrice crrée. Déterminnts extrits et crctéristion du rng d une mtrice. Réduction des endomorphismes et des mtrices crrées Définition d une vleur propre d un endomorphisme, d un vecteur propre ssocié ( n est

81 ps vecteur propre), d un sous espce propre. Définition du polynôme crctéristique d un endomorphisme, de l trce d un endomorphisme. Ordre de multiplicité d une vleur propre. Exemples clssiques : homothéties, projecteurs, symétries. Définition d un endomorphisme digonlisble : l espce est somme directe des sous espces propres, crctéristion des endomorphismes digonlisbles : l ordre de multiplicité d une vleur propre est égle à l dimension du sous espce propre ssocié. Définition d une vleur propre d une mtrice de M n (K) ssociée à un endomorphisme de K n, d un vecteur propre ssocié et d un sous espce propre. Polynôme crctéristique d une mtrice crrée et invrince pr chngements de bse. Mtrices digonlisbles et crctéristion des mtrices digonlisbles. Les cndidts doivent svoir étudier une suite vérifint une reltion de récurrence linéire d ordre n à coefficients constnts et connître l forme générle des solutions de u n+2 + bu n+ + cu n =.

82 Réduction des endomorphismes II. Motivtions. Suites à récurrence linéire. Exemple : l suite de Fiboncci. u = u =,etu n+2 = u n+ + u n. Comment fire pour clculer u? On introduit un système mtriciel : ( ) un+ = u n+2 ( ) ( un u n+ ) et ( u ) ( = u En posnt X n =(u n,u n+ ), on doit donc clculer X n = A n X.Onestdoncrmené u problème du clcul de A n vec A une mtrice crrée. Supposons que l on puisse trouver une bse de vecteurs (v,v 2 ) tels que Av = λ v et Av 2 = λ 2 v 2. Alors A n v = λ n v et A n v 2 = λ n 2 v 2. De plus, tout vecteur v R 2 s écrit v = x v + x 2 v 2 et : A n v = x A n v + x 2 A n v 2 = x λ n v + x 2 λ n 2 v Systèmes différentiels. Comment résoudre un système différentiel? Pr exemple : { x = x + y y = x. On peut l écrire sous l forme : ( ) ( x y = ) ( x y On est donc rmené à résoudre l éqution différentielle X = A X. Nous verrons plus trd que les solutions sont de l forme : vec X(t) =exp(ta) X() ). exp(ta) =Id+tA + 2 (ta)2 + + k! (ta)k + = + k= ). k! (ta)k. Pour le moment, supposons que l on puisse trouver une bse de vecteurs (v,v 2 ) tels que Av = λ v et Av 2 = λ 2 v 2. Les fonctions f : t e λ t v, f 2 : t e λ 2t v 2 sont lors solutions de l éqution différentielle. En effet : f (t) =λ e λ t v = e λ t Av = Af (t) et f 2(t) =λ 2 e λ2t v 2 = e λ 2t Av 2 = Af 2 (t). Les solutions sont les combinisons linéires de f et de f Trnsformtions géométriques. Comment peut-on crctériser les trnsformtions linéires simples, telle qu une homothétie, une rottion, une projection? Que se pssse-t-il si on les compose?

83 III. Vecteurs propres, vleurs propres, sous-espces propres Dns toute l suite, K = R ou C, E et F sont des K -espces vectoriels ( on peut jouter deux vecteurs; on peut multiplier un vecteur pr un sclire, c est-à-dire pr un réel ou un nombre complexe). Définition. Une ppliction f : E F est une ppliction linéire si { x, y E, f(x + y) =f(x)+f(y) λ K, x E, f(λx) =λf(x). Si F = E, une ppliction linéire f : E E est ppelée un endomorphisme de E. Exemples. Une rottion de R 2 centrée à l origine. Une homothétie ou une similitude de R 2 centrée à l origine. Dns R 2, une projection sur une droite pssnt pr l origine prllèlement à une utre droite pssnt pr l origine. Dns R 3, une projection sur un pln contennt l origine prllèlement à une droite qui n est ps contenue dns le pln. Une trnsltion de vecteur non nul n est ps une ppliction linéire. Définition 2 (cs des endomorphismes). Soit f : E E un endomorphisme. λ K est une vleur propre de f s il existe v E un vecteur non nul, tel que f(v) =λv. un vecteur v E est un vecteur propre de f si v et s il existe λ K tel que f(v) =λv ; on dit lors que v est un vecteur propre ssocié à λ). si λ K est une vleur propre de f, le sous-espce propre ssocié à λ est l ensemble E λ = {x E f(x) =λx}. Proposition. Sif : E E est un endomorphisme et si λ est une vleur propre de f, lors l espce propre ssocié à λ est E λ =Ker(f λid). On des définitions similires pour les mtrices. Définition 3 (cs des mtrices). Soit A M n (K) (une mtrice crrée de tille n n dont les coefficients pprtiennent à K ). λ est vleur propre de A s il existe un vecteur non nul X K n tel que A X = λx. X est un vecteur propre de A si X (,,, ) et si A X = λx pour un λ K. On dit lors que X est un vecteur propre ssocié à λ. Le sous-espce propre ssocié à λ est E λ = {X K n A X = λx}. IV. Exemples.. f =oua =. Il n y qu une seule vleur propre : λ =. L espce propre E est égl à E.Toutvecteurnonnulestunvecteurpropressociéà. 2. f =Id ou A =I n. Il n y qu une seule vleur propre : λ =. L espce propre E est égl à E.Toutvecteurnonnulestunvecteurpropressociéà.

84 3. mtrice digonle A = λ... λ n vec λ i λ j si i j. Les vleurs propres sont les λ i. L espce propre E λi est l droite vectorielle Vect(e i ). 4. mtrice digonle A =. Les vleurs propres de A sont et 2 (les 2 termes digonux). Les epces propres sont : E =Vect(e,e 2 )={(x, y, ) x K, y K} et E 2 =Vect(e 3 )={(,,z) z K}. ( ) 2 5. mtrice tringulire A =. Les vleurs propres sont et 3 (les termes 3 digonux). Les espces propres sont E =Vect { (, ) } et E 3 =Vect { ( 2, ) } ( ) mtrice tringulire A =. Il n y qu une seule vleur propre :. L espce propre ssocié est E =Vect(e ). 7. endomorphisme de polynômes : f : R[X] R[X] définit pr f(p )=XP. Les vleurs propres sont les entiers n. Et l espce propre E n est égl à Vect(X n ). 8. endomorphisme de suites : soit f l endomorphisme qui à une suite (u n ) n ssocie l suite (v n ) n définie pr v =,v = u, v 2 = u,... Il n y ucune vleur propre 9. homothéties : il n y qu une seule vleur propre λ et E λ = E.. projecteurs (p p = p) : il y deux vleurs propres, et. On : E =Ker(p) et E =Im(p). De plus, E E = E.. symétries (s s = Id) : il y deux vleurs propres, et. De plus, s est l symétrie pr rpport à E prllèlement à E. V. Cs de l dimension finie A. Rppels sur le déterminnt Définition 4 (déterminnt d une mtrice 2 2). b c d := d bc. Définition 5 (déterminnt d une mtrice 3 3). 2 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 := b 2 b 3 c 2 c 3 2 b b 3 c c b b 2 c c 2.

85 Définition 6 (pr récurrence). SiA =( i,j ), on multiplie chque terme,j de l première ligne pr ( ) +j puis pr le déterminnt j obtenu en supprimnt l première ligne et l j -ème colonne. Le déterminnt cherché est égl à l somme des termes ( ) +j,j j insi obtenus. Proposition 2. det(ab) =det(a) det(b). Corollire. A est inversible si et seulement si det(a). Dnscecs, det(a )= det(a). Attention : det(a + B) det(a)+det(b). Proposition 3. Sif : E E est un endomorphisme, si A est l mtrice de f dns une bse E et si A est l mtrice de f dns une bse E, lors det(a) =det(a ). Définition 7 (déterminnt d un endomorphisme). Si f : E E est un endomorphisme, le déterminnt de f est le déterminnt de l mtrice de f dns une bse quelconque de E. Proposition 4. Soit f : E E un endomorphisme. Alors B. Polynôme crctéristique f est un isomorphisme det(f). Proposition 5. Soit f un endomorphisme de E et A l mtrice de f dns une bse quelconque de E. Alors, λ est vleur propre de f det(f λid) = det(a λi) =. Définition 8. On ppelle polynôme crctéristique de A : On ppelle polynôme crctéristique de f : P A (X) =det(a XI n ). P f (X) =det(f XId). Les vleurs propres sont donc les rcines du polynôme crctéristique. Exemple. A = 2 2 P A (X) =( X)(2 X) 2. Définition 9. Siλ est vleur propre de A (ou de f ), elle est rcine du polynôme crctéristique : P A (X) =(X λ) n λ Q(X) vecq(λ). L entier nλ s ppelle l ordre de multiplicité de λ. Définition (trce). Ltrce tr(a) d une mtrice A M n (R) est l somme des coefficients de l digonle. Proposition 6. SiA = P AP, lors tr(a )=tr(a).

86 Proposition 7. Soit P A le polynôme crctéristique de A M n (R). Alors P A est un polynôme de degré n. Le terme de plus hut degré est ( ) n X n. Le coefficient constnt est P A () = det(a). Le coefficient de X n est ( ) n tr(a). VI. Sous-espces propres Digonlisbilité A. Les sous-espces propres sont en somme directe Proposition 8. Siλ, λ 2,...,λ p sont des vleurs propres deux à deux distinctes et si v, v 2,...,v p sont des vecteurs propres ssociés, lors {v,v 2,...,v p } est libre. On une somme directe E λ E λ2 E λp. Corollire. dim(e λ E λ2 E λp ) = dim E λ + dim E λ2 + + dim E λp. B. Digonlisbilité Définition. Un endomorphisme f : E E est digonlisble s il existe une bse de E formée de vecteurs propres de f. Une mtrice A M n (R) est digonlisble s il existe une bse de R n formée de vecteurs propres de A. Proposition 9. Une mtrice A M n (R) est digonlisble si, et seulement s il existe une mtrice inversible P M n (R) telle que P AP est une mtrice digonle. Proposition. f est digonlisble si, et seulement si : E = E λ E λ2 E λp. Corollire. Un endomorphisme ou une mtrice est digonlisble si, et seulement si : dim E = dim E λ + dim E λ2 + + dim E λp. Proposition. Soit λ une vleur propre et n λ s multiplicité. Alors : dim E λ n λ. Un polynôme P est scindé sur K s il s écrit sous l forme : vec α i K. P (X) = (X α i ) n i Corollire. Si le polynôme crctéristique est scindé sur K lors f (ou A) est digonlisble si, et seulement si, dim E λi = n λi pour tout i. Corollire. Si le polynôme crctéristique n est ps scindé sur K lors f (ou A) n est ps digonlisble.

87 Corollire. Si le polynôme crctéristique est scindé et n que des rcines simples, lors f ou A est digonlisble. C. Mtrices symétriques Définition 2. Une mtrice A M n (R) est symétrique si ij = ji pour tout i, j. Proposition 2. SiA M n (R) est symétrique, lors A est digonlisble dns M n (R). Nous reprlerons de ce résultt dns le chpitre d lgèbre suivnt.

88 Exercices. Feuille 4. Exercice : Soit f l endomorphisme de R 3 dont l mtrice dns l bse cnonique est M = Clculer le déterminnt de M. 2. Déterminer Ker f. 3. Quelle est l dimension de Im f? 4. Soient u =(,, ), u 2 =(,, ) et u 3 =(,, ). Montrer que (u,u 2 ) est une bse du pln P = {(x, y, z) R 3 x + y + z =}. 5. Montrer que f(p )=P. 6. Sns clculer de mtrice de pssge, trouver l mtrice de f dns l bse (u,u 2,u 3 ). Exercice 2 : On considère l endomorphisme de R 3 (muni de s bse cnonique e =(e,e 2,e 3 )) défini pr : f(e )=2e +3e 2 + e 3, f(e 2 )= 4e 2 2e 3, f(e 3 )=4e +2e 2 +5e 3.. Déterminer le noyu de f. 2. Trouver une bse de Im f. Soit (x, y, z) Im f, donner une éqution vérifiée pr x,y et z. 3. On considère l bse ε = (ε,ε 2,ε 3 ) où ε = ( 4, 3, 2), ε 2 = ( 4,, ), ε 3 =(2,, ). Chercher l mtrice de pssge entre e et ε. En déduire l mtrice de f dns ε. Exercice 3 : Pour les mtrices [ ] 3 2 A =, B = 2 2 C = , 2 2. trouver les vleurs propres et les espces propres ssociés ; 2. lorsque cel est possible, digonliser en précisnt l mtrice de pssge. Exercice 4 : Les mtrices suivntes sont-elles digonlisbles? A = [ ], B = [ ] 2, C = 2 2 2, D = Exercice 5 : Vri ou fux?. L réunion de deux sous-espces vectoriels de E en est un. 2. L somme de deux sous-espces vectoriels de E en est un. 3. L ensemble des vecteurs propres d un endomorphisme f : E E est un sous-espce vectoriel de E. 4. Le noyu d un endomorphisme est un sous-espce propre. 5. L imge d un endomorphisme est un sous-espce propre. 6. Un sous-espce propre n est jmis réduit à {}. 7. Une mtrice crrée et s trnsposée ont les mêmes vleurs propres. 8. Une mtrice crrée et s trnsposée ont les mêmes vecteurs propres.

89 Exercice 6 : Soit l mtrice... B = Trouver ses vleurs propres, ses sous-espces propres, leur dimension. Quel est son rng? Est-elle digonlisble [ ]? Exercice 7 : Soit A =. Clculer A 2 4 pour n Z. Exercice 8 : Déterminez explicitement (en fonction de t), les fonction u(t), v(t) et w(t) définies pr trois conditions initiles u() = u R, v() = v R et w() = w R, et pr le système différentiel : u (t) = 3u(t) 4v(t)+2w(t) v (t) = u(t)+w(t) w (t) = 6u(t) 6v(t)+5w(t)

90 Annles sur l lgèbre linéire. Exercice : (Annles 23) Endomorphismes f vérifint : Ker f =Imf. A. Propriétés. Soit E un R-espce vectoriel de dimension n et soit f un endomorphisme de E vérifint : Ker f =Imf. () Montrer que nécessirement n est un entier pir et déterminer le rng de f en fonction de n. (b) Montrer que, pour tout vecteur x de E,(f f)(x) =. 2. Soit f un endomorphisme de E vérifint f f = et dim E =2rng(f). () Montrer que Imf Ker f. (b) En déduire que Ker f =Imf. B. Cs générl Soit n N, soit E un R-espce vectoriel de dimension n et soit f un endomorphisme de E de rng p vérifint Ker f =Imf. 3. Donner p en fonction de n. 4. Soit F un supplémentire de Ker f dns E, soit (e,e 2,...,e p )unebsede F et soit (e,e 2,...,e p)unebsedeker f. () Que peut-on dire de l fmille (e,e 2,...,e p,e,e 2,...,e p )? (b) Montrer que l fmille ( f(e ),f(e 2 ),...,f(e p ) ) est une bse de Imf. (c) Posons, pour tout entier i compris entre et p, e p+i = f(e i ) ; clculer f(e p+i ). (d) montrer que l fmille (e,e 2,...,e p,e p+,...,e 2p )estunebsedee et écrire l mtrice de f dns cette bse. C. Appliction Soit E un R-espce vectoriel de dimension 4 de bse B =(e,e 2,e 3,e 4 ) et soit f un endomorphisme de E dont l mtrice dns l bse B est : A = 5. Déterminer, en fonction des vecteurs de l bse B, unebsedeker f et une bse deimf et, sns ucun clcul, déterminer A Montrer qu il existe une bse B de E dns lquelle l mtrice de f est tringulire. 7. Déterminer les vecteurs d une telle bse B en fonction des vecteurs de l bse B. Exercice 2 : (Annles 24) Rcines crrées de mtrices On rppelle que M 3 (R) désigne l ensemble des mtrices crrées de tille 3 à coefficients réels. Soit A M 3 (R), on dit qu une mtrice R M 3 (R) est une rcine

91 crrée de A si R 2 = A. Le but de l exercice est de chercher les rcines crrées de l mtrice A dns les deux exemples suivnts qui sont indépendnts. Exemple Cs où A = Réduction de A Déterminer le polynôme crctéristique de A puis justifier l existence d une mtrice P M 3 (R) inversible telle que A = PDP où D = Montrer que R est une rcine crrée de A, si et seulement si l mtrice S = P RP est une rcine crrée de D. 3. Rcines crrées de D Soit S une rcine crrée de D. () Montrer que DS = SD. (b) Montrer que l mtrice S est digonle. (c) Pour i {, 2, 3}, on note respectivement s i et d i les coefficients digonux des mtrices S et D. Exprimer s i en fonction de d i puis en déduire les rcines crrées de l mtrice D. 4. Ecrire toutes les rcines crrées de A à l ide de l mtrice P.(Onnedemnde ps de clculer P.) Exemple 2 Cs où A =. 5. Question préliminire : Endomorphismes nilpotent Soit f un endomorphisme non nul de R 3 nilpotent, c est-à-dire vérifint f N = pour un certin entier nturel N. Il existe lors un entier non nul k tel que f k et f k =. Le but de l question est de montrer que k 3. Soit x un vecteur de R 3 tel que f k (x). () Montrer que pour i {,,...,k }, le vecteur f i (x) est non nul. (on rppelle que f (x) =x) (b) Montrer que les vecteurs ( f i (x) ) forment une fmille libre. i k (c) Que peut-on en déduire pour k? Justifier votre réponse.. Remrque Si une mtrice M représente dns une bse un endomorphisme f niltpotent, on dit que M est nilpotente. 6. Supposons qu il existe R une rcine crrée de A. () Clculer A 2, A 3. En déduire que R est nilpotente. (b) Clculer lors R 4.ComprervecA 2 puis conclure. Exercice 3 : (Annles 25) Quelques propriétés des endomorphismes nilpotents. Soit n un entier nturel non nul. On note M n (R) le R-espce vectoriel des mtrices crrés réelles d ordre n.

92 On dit qu un endomorphisme de R n (respectivement une mtrice M de M n (R)) est nilpotent (respectivement nilpotente) s il existe un entier k tel que f k = (respectivement M k =).. Etude d un exemple On considère l mtrice A = () Montrer que A est nilpotente. (b) Déterminer l dimension du noyu de A. (c) Clculer le polynôme crctéristique de A. A est-elle digonlisble? 2. Etude d endomorphismes nilpotents prticuliers Les deux questions suivntes sont indépendntes. () Soit f un endomorphisme nilpotent de R 3 tel que f 2 =etf. Comprer Ker f et Imf, puis clculer l dimension de Ker f. (b) Soit f un endomorphisme nilpotent de R n tel que f n =etf n. Soit x un vecteur de R n tel que f n (x). Montrer que l fmille B = { x, f(x),f 2 (x),...,f n (x) } est une bse de R n puis écrire l mtrice de f dns cette bse. 3. Digonlistion des mtrices nilpotentes. () Déterminer les mtrices nilpotentes de M n (R) qui sont digonlisbles. (b) Appliction : Déterminer les mtrices symétriques de M n (R) qui sont nilpotentes. Exercice 4 : (Annles 26) Etude d un endomorphisme sur l espce des polynômes n désigne un entier nturel, on note R n [X] le R-espce vectoriel des polynômes à coefficients dns R, de degré inférieur ou égl à n. On définit sur R n [X], l ppliction f : R n [X] R n [X] pr: P R n [X], f ( P (X) ) = X ( P (X) P (X ) ).. Résultts préliminires () Clculer f(), f(x), f(x 2 ). (b) Si P (X) = n X n + n X n +...+,vec n, quel est le terme de plus hut degré du polynôme P (X )? (c) Soit P R n [X] vérifint P (X) =P (X ). On pose Q(X) =P (X) P (). Montrer que Q(X) est un polynôme constnt que l on préciser. 2. Montrer que f est un endomorphisme de R n [X]. 3. Déterminer le noyu de f, en déduire l dimension de l imge de f. 4. Dns cette question uniquement, onsupposequen = 2. () Quelle est l bse cnonique de R 2 [X]? Ecrire l mtrice de l endomorphisme f dns cette bse cnonique. (b) L endomorphisme f est-il digonlisble? 5. Etude de l digonlistion dns le cs générl. Pour tout entier nturel k, on définit les polynômes P k pr : P (X) =,P (X) =X,etpourtoutk 2, P k (X) =X( X)(2 X) (k X). () Montrer que l fmille (P,P,P 2,...,P n )estunebseder n [X]. (b) Soit k un entier nturel, déterminer un nombre réel c k tel que f(p k )=c k P k.

93 (c) Déterminer les vleurs propores de f. L endomorphisme f est-il digonlisble? Exercice 5 : (Annles 27) Notion de sous-espce stble Soit E un R-espce vectoriel et u un endomorphisme de E. On dit qu un sous-espce vectoriel F de E est stble pr u si u(f ) F. {} et E sont évidemment des espces stbles pour u, on les ppelle sous-espces triviux. On rppelle que si λ est une vleur propre de u, Ker(u λid) est le sous-espce propre ssocié à λ (Id désigne l endomorphisme identité).. Quelques générlités () Montrer que Ker u et Im u sont des sous-espces stbles pr u. (b) Un résultt fondmentl : si λ est une vleur propre de u, montrerque le sous-espce propre ssocié Ker(u λid) est stble pr u. (c) Soient x et x 2 deux vecteurs propres de u ssociés respectivement ux vleurs propres λ et λ 2. Montrer que Vect{x,x 2 } est stble pr u (Vect{x,x 2 } est l ensemble des combinisons linéires des vecteurs x et x 2 ). 2. Un exemple en dimension 3 On considère A = l mtrice d un endomorphisme u dns l 4 4 bse cnonique B =(e,e 2,e 3 )der 3. () Déterminer le polynôme crctéristique de A sous forme fctorisée (on vérifier qu il s écrit sous l forme (X + )(X ) 2 vec >). (b) En déduire, sns ucun clcul, Keru puis Im u. (c) Montrer que le sous-espce propre ssocié à l vleur propre est un pln P dont on donner une bse (v,v 2 ) (on exprimer les vecteurs v et v 2 en fonction des vecteurs de B). (d) Montrer que le sous-espce propre ssocié à l vleur propre est une droite D dirigée pr un vecteur w que l on exprimer en fonction des vecteurs de B. (e) L endomorphisme u est-il digonlisble? (f) Déterminer 6 espces stbles pr u, non triviux ; on expliciter une bse de chcun de ces espces à l ide des vecteurs v, v 2 et w. 3. Quelques exemples géométriques Pour cette question uniquement, on prendr E = R 2. Déterminer à l ide de considértions géométriques les droites stbles, insi que leur nombre, des endomorphismes suivnts : () l symétrie orthogonle pr rpport à l droite = Vect(e e 2 ) où B =(e,e 2 ) est l bse cnonique de R 2, (b) l rottion d ngle π/4, (c) l homothétie de rpport Un résultt générl pour finir On suppose que l dimension de E est impire et que u est un endomorphisme de E.

94 Déterminer les limites en + et du polynôme crctéristique ssocié à u. En déduire que u dmet u moins une droite stble. Exercice 6 : (Annles 28) Etude de l digonlistion d une fmille de mtrices 2 2 Pour tout réel, onposem = () Montrer en justifint vos clculs, que le polynôme crctéristique de M s écrit χ M (X) =( X)(3 X)(2 +3 X). (b) En déduire les vleurs de pour lesquelles l mtrice M est inversible. 2. Justifier que pour {, }, l mtrice M est digonlisble. 3. Déterminer dim Ker(M 3I 3 )oùi 3 désigne l mtrice unité. L mtrice M est-elle digonlisble (on répondr sns ucun clcul supplémentire)? 4. L mtrice M est-elle digonlisble? Exercice 7 : (Annles 28) Un vri-fux. Soi A M n (R) vecn 2. Si rngm =, lors est vleur propre de M. 2. Si deux mtrices de M n (R) sont semblbles, elles ont le même polynôme crctéristique (on rppelle que deux mtrices A et B de M n (R) sont semblbles s il existe une mtrice P GL n (R) telle que A = PBP ). 3. Si A M n (R), l mtrice A + t A est digonlisble ( t A désigne l trnsposée de A). Exercice 8 : (Annles 29) Etude d un système linéire de suites récurrentes Soit A = 2 2 et N = A 2I 3 où I 3 désigne l mtrice unité de M 3 (R). 2. L mtrice A est-elle inversible? Justifier votre réponse. 2. L mtrice A est-elle digonlisble? Justifier votre réponse. 3. Clculer N Soit n N. Clculer A n en utilisnt l formule du binôme de Newton (donner l réponse sous l forme d un tbleu de nombres 3 lignes 3 colonnes). 5. On définit pour n N, les suites (u n ), (v n )et(w n )pr u n+ =2u n + v n v n+ =2v n + w n w n+ =2w n, vec les conditions initiles u = v =etw =2. Onpose X n = u n v n. w n Soit n N. () Exprimer X n+ en fonction de X n et de A puis en déduire X n en fonction de X. (b) En déduire u n, v n et w n en fonction de n.

95 Exercice 9 : (Annles 2) Commutnt d une mtrice On note M 3 (R) l ensemble des mtrices crrées réelles d ordre trois et on considère les mtrices suivntes de M 3 (R) : 2 2 A = 2 4 D = 2. 3 Pour toute mtrice K de M 3 (R), on ppelle commutnt de K l espce vectoriel noté C(K) des mtrices de M 3 (R) quicommutentveck, c est-à-dire : C(K) ={M M 3 (R) KM = MK}. Le but de l exercice est de déterminer l dimension de C(A), le commutnt de A.. Démontrer que pour toute mtrice K de M 3 (R), l ensemble C(K) est bien un sous-espce vectoriel de M 3 (R). 2. Démontrer que l mtrice A est digonlisble et déterminer une mtrice P inversible de M 3 (R) telle que A = PDP (on pourr utiliser s clcultrice et ne ps détiller tous les clculs). L expression de l mtrice P n est ps utile pour l suite. 3. Démontrer que l mtrice M = b c d e f commute vec D si et seulement g h i si M = e f. h i 4. En déduire une bse de l espce vectoriel C(D) (on pourr exprimer l bse à l ide des mtrices élémentires E ij : E ij désigne l mtrice de M 3 (R) dont tous les coefficients sont nuls suf celui de l ligne i et de l colonne j qui vut ). 5. On note ϕ l endomorphisme de M 3 (R) qui à une mtrice M ssocie l mtrice P MP. () Démontrer que M C(A) si et seulement si ϕ(m) C(D). (b) Démontrer que l ppliction ϕ est un isomorphisme de l espce vectoriel C(A) dns l espce vectoriel C(D). En déduire l dimension de l espce vectoriel C(A). Exercice : (Annles 2) Une trigonlistion Soit A = et B =(e,e 2,e 3 ) l bse cnonique de R 3. On note 4 u l endomorphisme de R 3 dont l mtrice dns l bse B est l mtrice A. On rppelle que si v est un endomorphisme, l nottion v 2 désigne l endomorphisme v v.. Questions préliminires () Déterminer une bse de Ker(u 2id).

96 (b) Déterminer une bse du noyu de l endomorphisme de R 3 dont l mtrice dns l bse cnonique est B = Donner le polynôme crctéristique de A sous forme fctorisée (il est inutile de détiller les clculs) puis indiquer, sns ucun clcul supplémentire, si A est digonlisble. 3. Ecrire l mtrice dns l bse cnonique de l endomorphisme (u 2id) 2.Comprer vec l mtrice B. 4. Un clcul non demndé montre que Ker(u 3id) est l droite engendrée pr le vecteur e =(,, ). Démontrer que : R 3 =Ker(u 3id) Ker ( (u 2id) 2). 5. Un résultt utile : soit v un endomorphisme de R 3 de rng 2, tel que v 2 et tel que Ker v Kerv 2. () Démontrer que Ker v Ker v 2. (b) Déterminer vec soin l dimension de Ker v et de Ker v 2. (c) En déduire que si est un vecteur de Ker v 2 qui n est ps dns Ker v, lors l fmille (, v()) est une bse de Ker v Jusqu à l fin de l exercice, on pose v = u 2id. On considère le vecteur e 2 =(2,, ) qui est dns Ker v2 mis ps dns Ker v. Onposee 3 = v(e 2 )et on rppelle que e =(,, ) est un vecteur de Ker(u 3id). Enfin, on note B =(e,e 2,e 3). () Indiquer le numéro de deux questions précédentes qui permettent de conclure directement que l fmille B est une bse de R 3. (b) Ecrire l mtrice de l endomorphisme u dns l bse B.

97 Nom : Prénom : L mtrice Question de cours -t-elle des vleurs propres? Si oui, lesquelles? Nom : Prénom : L mtrice Question de cours -t-elle des vleurs propres? Si oui, lesquelles?

98 Nom : Prénom : Test de 5mn. Mthémtiques. Lundi octobre Merci de répondre directement sur l feuille en justifint votre réponse.. Etudier l convergence de l intégrle générlisée e x x dx. 2. Quelles sont les vleurs propres de l mtrice A = digonlisble? [ ]? Cette mtrice est-elle

99 Nom : Prénom : Test de 5mn. Mthémtiques. Lundi 24 octobre Merci de répondre directement sur l feuille en justifint votre réponse.. Déterminer le polynôme crctéristique, les vleurs propres de l mtrice A = 2 2, et l multiplicité de chque vleur propre. 2. Déterminer l espce propre ssocié à l vleur propre 2. Quelle est s dimension? 3. L mtrice A est-elle digonlisble? (On pourr comprer dimension d espce propre et multiplicité de vleur propre)

100 Évlution I. Progrmme Intégrles Linérité : b λf(t)+g(t) dt = λ b f(t) dt + b Monotonie : si f g, lors b b f(t) dt c b g(t) dt. g(t) dt. Reltion de Chsles : f(t) dt + f(t) dt = f(t) dt. b b b f(t) dt f(t) dt. Première formule de l moyenne : si f est continue sur [, b], lors il existe c [, b] tel b que f(t) dt = f(c). b Une fonction continue et positive, définie sur un segment [, b], est nulle si et seulement si son intégrle est nulle. Primitives d une fonction continue. Intégrtion pr prties des fonctions de clsse C. Chngement de vrible. Intégrles générlisées Svoir reconnître une intégrle générlisée et identifier les problèmes (bornes infinies ou discontinuité de l fonction). En une borne infinie, si l fonction dmet une limite et si l intégrle converge, lors l limite est nulle. Attention, le fit que l limite soit nulle n implique ps l convergence de l intégrle. Le fit que l intégrle converge n implique ps que f une limite. En une borne finie, si l fonction dmet une limite finie, l intégrle est convergente. Attention, le fit que l intgérle converge n implique ps que f une limite. Chngement de vrible. Comprison série intégrle : si f :[, + [ R est continue et décroissnte, l intégrle générlisée b c f(t) dt et l série k f(k) sontdemêmenture. Théorème sur les équivlents en une borne finie ou infinie. Si f,g :[, + [ R + sont + continues, positives et si f(x) g(x), lors f(t) dt et g(t) dt sont de x + même nture. Si f,g :], b] R + sont continues, positives et si f(x) g(x), lors x b f(t) dt et b Critère de Riemnn : g(t) dt sont de même nture. dt t α converge ssi α>et dt t α converge ssi α<.

101 Digonlistion Je fis les rppels pour les mtrices crrées A M n (R). C est églement vlble pour les endomorphismes f : E E. Connître l définition d un vecteur propre ( n est ps vecteur propre), d une vleur propre et d un sous-espce propre. Svoir clculer un polynôme crctéristique : χ A (X) =det(a XI n ). Le terme de plus hut degré est ( ) n X n. Svoir démontrer que deux mtrices semblbles ont même polynôme crctéristique. Les vleurs propres sont les rcines du polynôme crctéristique. L multiplicité d une vleur propre λ est le plus grnd exposnt n λ tel que χ A (X) se fctorise pr (X λ) n λ. On toujours dim(e λ ) n λ. Définition : A est dgonlisble ssi il existe P inversible et D digonle telles que A = PDP. A est digonlisble ssi il existe une bse de vecteurs propres. A est digonlisble ssi χ A (X) est scindé et l dimension de chque espce propre E λ est égl à l ordre de multiplicité n λ de l vleur propre λ. Une mtrice réelle symétrique est digonlisble.

102 EPCM. Contrôle continu n 2. Sujet type. Durée h3. N.B. Les clcultrices, les documents et les téléphones portbles sont interdits. Il est demndé de soigner l présenttion. Brême indictif: Exercice : 7 pts ; Exercice 2 : pts ; Exercice 3 :3pts. Exercice :. Donner un équivlent simple en + de l fonction t sin t. En déduire que l t fonction F : x x 2. () Donner l nture de l intégrle sin t dt est bien définie et est de clsse C sur [, + [. t cos t t 3 2 dt. (b) Montrer à l ide d une intégrtion pr prties que x sin t t dt dmet une limite finie lorsque x tend vers Montrer vec soin qu une fonction continue sur [, + [ et qui dmet une limite finie en + est bornée. En déduire que F est une fonction bornée. Exercice 2 : Etude de l digonlistion d une fmille de mtrices 2 2 Pour tout réel, onposem = () Montrer en justifint vos clculs, que le polynôme crctéristique de M s écrit χ M (X) =( X)(3 X)(2 +3 X). (b) En déduire les vleurs de pour lesquelles l mtrice M est inversible. 2. Justifier que pour {, }, l mtrice M est digonlisble. 3. Déterminer dim Ker(M 3I 3 )oùi 3 désigne l mtrice unité. L mtrice M est-elle digonlisble (on répondr sns ucun clcul supplémentire)? 4. L mtrice M est-elle digonlisble? Exercice 3 : Un vri-fux. Soit A M n (R) vecn 2. Si rnga =, lors est vleur propre de A. 2. Si deux mtrices de M n (R) sont semblbles, elles ont le même polynôme crctéristique (on rppelle que deux mtrices A et B de M n (R) sont semblbles s il existe une mtrice P GL n (R) telle que A = PBP ). 3. Si A M n (R), l mtrice A + t A est digonlisble ( t A désigne l trnsposée de A).

103 EPCM. Contrôle continu n 2. Lundi 7 novembre 2. Durée h3. N.B. Les clcultrices, les documents et les téléphones portbles sont interdits. Il est demndé de soigner l présenttion. Brême indictif: Exercice : 7 pts ; Exercice 2 : pts ; Exercice 3 :3pts. Exercice :. Donner un équivlent simple en + de l fonction t cos t. En déduire x t cos t que l fonction F : x dt est bien définie et est de clsse C sur t [, + [. sin t 2. () Donner l nture de l intégrle dt. t 2 x cos t (b) Montrer à l ide d une intégrtion pr prties que dt dmet une t limite finie lorsque x tend vers En déduire l limite de F (x) qundx +. Exercice 2 : Etude de l digonlistion d une fmille de mtrices 3 2 Pour tout réel, onposem = () Montrer en justifint vos clculs, que le polynôme crctéristique de M s écrit χ M (X) =(2 X)(4 X)(4 2 X). (b) En déduire les vleurs de pour lesquelles l mtrice M est inversible. 2. Justifier que pour {, }, l mtrice M est digonlisble. 3. Déterminer l trnsposée de M. L mtrice M est-elle digonlisble? 4. Déterminer dim Ker(M 2I 3 )oùi 3 désigne l mtrice unité. L mtrice M est-elle digonlisble (on répondr sns ucun clcul supplémentire)? Exercice 3 : Un vri-fux. Soit f : [, + [ [, + [ une fonction continue positive. L intégrle est convergente si, et seulement si, f(x) tendversqundx tend vers Soit A une mtrice digonlisble dont l seule vleur propre est. Alors A est l mtrice idendité. 3. Soit A une mtrice dont le polynôme crctéristique est scindé. Alors A est digonlisble. f(t)dt

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105 CHAPITRE 2 GÉOMÉTRIE

106 Progrmme officiel Espces ffines de dimensions 2 et 3 Définition, pplictions et trnsformtions ffines. Repères crtésiens, équtions de droites et de plns. Brycentres et utilistion des coordonnées brycentriques. Espces vectoriels Euclidiens de dimension finie Produit sclire et norme Euclidienne, sous espces orthogonux, bses orthonormles. Identifiction des formes linéires et des vecteurs. Orienttion et produit vectoriel. Projections orthogonles. Trnsformtions orthogonles et mtrices orthogonles. Toute mtrice symétrique réelle, A, est digonlisble sur R et A = QD t Q,vecQ orthogonle (l démonstrtion de ce théorème n est ps exigible des cndidts). Angle de deux vecteurs dns le pln orienté et ngle de deux vecteurs dns l espce. Géométrie ffine Euclidienne en dimensions 2 et 3 Distnces, ngles. Aire du prllélogrmme et volume du prllélépipède. Définition d une isométrie. Crctéristion des isométries directes du pln et de l espce. Similitudes directes du pln : écriture à l ide des complexes. Cercle et sphère.

107 I. Définition, exemples Espces Euclidiens Définition. E espce vectoriel sur R (dimension finie ou non) et ϕ : E E R une ppliction. ϕ est une forme bilinéire si les pplictions x ϕ(x, y) et y ϕ(x, y) sont linéires : ϕ(λx + x,y)=λϕ(x, y)+ϕ(x,y)etϕ(x, λy + y )=λϕ(x, y)+ϕ(x, y ). ϕ est symétrique si ϕ(x, y) =ϕ(y, x). ϕ est positive si ϕ(x, x) pourtoutx. ϕ est définie positive si ϕ(x, x) pourtoutx vec églité si et seulement si x =. Définition 2. E ev sur R muni d une forme ϕ bilinéire symétrique définie positive est dit préhilbertien et ϕ est un produit sclire. Si E est de dimension finie, E est un espce euclidien. Exemples. E = R n et ϕ(, y) = x i y i. E = R n et ϕ(x, y) = λ i x i y i vec λ i >. E = M n (R) etϕ(a, B) =Trce( t AB) = i,j b i,j. E = C ([, ], R) etϕ(f,g) = f(t)g(t)dt. Définition 3. ( ) produit sclire sur E. L norme d un vecteur x E est : x := ( x x ). Proposition (Inéglité de Cuchy-Schwrz). ( ) produit sclire sur E. Alors : ( x y ) x y vec églité si, et seulement si, x et y sont colinéires. Preuve. Le polynôme P (λ) =(x+λy x+λy ) est un polynôme de degré 2 qui soit n ps de rcine, soit une rcine double. Son discriminnt b 2 4c est et ne s nnule que si P une rcine double. Proposition 2 (Propriétés de l norme). Pour tous vecteurs x et y et pour tout λ R, on les trois propriétés suivntes :. x et x = si, et seulement si, x =. 2. λx = λ x. 3. x + y x + y (inéglité tringulire). Preuve de l inéglité tringulire. pplique Cuchy-Schwrz. On x + y 2 = x 2 + y 2 +2(x y ) et on

108 II. Orthogonlité Définition 4. Deuxvecteursx et y sont orthogonux si ( x y )=. Onnote x y. Proposition 3 (Pythgore). Lesvecteursx et y sont orthogonux si, et seulement si : x + y 2 = x 2 + y 2. Définition 5. Unebseestorthonormée si les vecteurs de l bse sont de norme et sont deux à deux orthogonux. Proposition 4. Si(e,e 2,...,e n )estunebseorthonorméedee, lors pour tout vecteur x de E,on: x =(e x )e +(e 2 x )e 2 + +(e n x )e n. Proposition 5 (Procédé d orthgonlistion de Schmidt) Si (e,...,e n )estunebsedee, il existe une bse orthonormée (e,...,e n ) telle que pour tout k n, Vect(e,...,e k )=Vect(e,...,e k ). Proposition 6. Si F est un sous-espce vectoriel de E, l ensemble : F := { x E ( x F )(x y )= } est un sous espce vectoriel de E. Définition 6. SiF est un sous-espce vectoriel de E, l ensemble F est ppelé l orthogonl de F.Six F, x est orthogonl à F. Proposition 7. LesespcesF et F sont supplémentires. Définition 7. SiF est un sev de E, l projection orthogonle sur F est l projection orthogonle sur F prllèlement à F. Proposition 8. Si(e,...,e k )estunebsedef,sevdee,etsip F orthogonle sur F, lors : p F (x) =(e x )e + +(e k x )e k. est l projection Proposition 9. SiF sev de E et si p F est l projection orthogonle sur F, lors pour tout x dns E, p F (x) est l unique vecteur de F qui minimise l fonction y y x : y F, pf (x) x y x vec églité si, et seulement si, y = p F (x). III. Isométries et mtrices orthogonles Définition 8. Une ppliction f : E E est une isométrie sur f(x) = x. Exemple. Rottion dns R 2. Proposition. f est un isométrie si, et seulement si, ( f(x) f(y) ) =(x y ). En prticulier, si x y, lors f(x) f(y). Proposition. Soit (e,...,e n ) est une bse orthonormée. Alors, f est une isométrie si, et seulement si, ( f(e ),...,f(e n ) ) est une bse orthonormée.

109 Définition 9. Une mtrice Q M n (R) est orthogonle si t Q Q = I n. ( ) cos(θ) sin(θ) Exemple.. sin(θ) cos(θ) Proposition 2. Si(e,...,e n ) est une bse orthonormée, f est une isométrie si, et seulement si, l mtrice de f dns l bse (e,...,e n ) est orthogonle. Proposition 3. Si Q est une mtrice orthogonle, lors det(q) = ±. IV. Endomorphismes symétriques et mtrices symétriques Définition. f : E E est symétrique si pour tout x, y,on: ( f(x) y ) = ( x f(y) ). Définition. A M n (R) est une mtrice symétrique si t A = A. Proposition 4. (e,...,e n )estunebseorthonormée,f est symétrique si, et seulement si, l mtrice de f dns l bse (e,...,e n ) est symétrique. Proposition 5. Si f est un endomorphisme symétrique, lors f est digonlisble dns une bse orthonormée. Corollire. Si A est une mtrice symétrique, lors A est digonlisble dns une bse orthonormée : il existe une mtrice Q orthogonle telle que : vec D digonle. t QAQ(= Q AQ) =D

110 Feuille d exercices sur l lgèbre bilinéire Exercice : Dns chcun des cs suivnts, déterminer si l ppliction ϕ : E E R définit un produit sclire sur l espce vectoriel E :. E = R 2, ϕ((x,y ), (x 2,y 2 )) = x x 2 y y E = R 2, ϕ((x,y ), (x 2,y 2 )) = x x 2 (x 2 y 2 + x 2 y )+y y E = {f : R R continue 2π-périodique}, ϕ(f,g) = 2π Exercice 2 : Soient x,...,x n R +. Montrer que ( n i= cs d églité. x i ) 2 n 2π f(t)g(t) dt. n Exercice 3 : Soient x,...,x n R + tels que x i =. Montrerque Etudier le cs d églité. Exercice 4 : Soit f : [, ] R continue et positive. On pose I n = i= n i= x 2 i. Etudier le n i= x i n 2. t n f(t) dt. Montrer que In+p 2 I 2n I 2p. Exercice 5 : Appliquer l méthode d orthonormlistion de Grm-Schmidt dns les cs suivnts :. v = 2, v 2 =, v 3 = 3 dns R 3 muni du produit sclire usuel P =,Q = X, R = X 2 dns R[X] muni du produit sclire (f,g) = Exercice 6 : Soit ϕ l forme bilinéire symétrique sur R 3 définie pr ϕ(x, y) =(x 2x 2 )(y 2y 2 )+x 2 y 2 +(x 2 + x 3 )(y 2 + y 3 ). f(t)g(t)dt.. Montrer que ϕ est un produit sclire. 2. A l ide de l méthode de Grm-Schmidt, orthonormliser l bse cnonique de R 3 pour le produit sclire ϕ. Exercice 7 : Prmi les mtrices suivntes, lesquelles sont orthogonles? A = [ ] 3 2, B = [ ] 3 3 2, C = [ ] 3 3 2, D = [ 3 ] Exercice 8 : Pour chque mtrice orthogonle de l exercice précédente, décrire géométriquement l isométrie de R 2 correspondnte. Exercice 9 : On munit R 3 du produit sclire usuel (, ). Soit B =(e,e 2,e 3 ) l bse cnonique de R 3, P le pln d éqution x + y + z = et σ l symétrie orthogonle pr rpport à P.. Montrer que les vecteurs v = e e 3 et v 2 = e 2 e 3 fomrent une bse de P et que v 3 = e + e 2 + e 3 engendre l droite D = P. Appliquer l méthode de Grm-Schmidt à l bse B =(v,v 2,v 3 ) pour obtenir une bse orthonormée

111 C =(u,u 2,u 3 ) puis écrire l mtrice de pssge Q de l bse B à l bse C et déterminer Q. 2. Ecrire l mtrice S =Mt C (σ), puis clculer A =Mt B (σ) en l exprimnt en fonction de S et Q. Exercice : (Annles 25) Exercice : quelques propriétés de l ensemble des mtrices orthogonles Dns cet exercice, n est un entier nturel non nul et on note : M n (R) le R-espce vectoriel des mtrices crrées réelles d ordre n. Pour une mtrice A de M n (R), t A est s mtrice trnsposée et Tr(A) strce. I n l mtrice unité de M n (R). O n (R) l ensemble des mtrices orthogonles de M n (R), c est-à-dire des mtrices M vérifint : t MM = I n. Un produit sclire sur l espce des mtrices réelles Si A et B sont deux mtrices de M n (R), on pose (A B )=Tr( t AB).. Soit A M n (R). Exprimer Tr( t AA) en fonction des coefficients de A. 2. Montrer que ( ) définit un produit sclire sur M n (R). L norme ssociée à ce produit sclire (norme de Schur) est notée : pour A M n (R), A = ( A A ). Ensemble des mtrices orthogonles 3. Soit A O n (R), quelle(s) vleur(s) peut prendre le déterminnt de A? O n (R) est-il un espce vectoriel? 4. O n (R) est-il une prtie bornée de M n (R) pour l norme de Schur? Répondre à l même question, pour une norme quelconque sur M n (R). J i recopié le sujet tel quel. Il ne vous est ctuellement ps possible de répondre à l question: Répondre à l même question, pour une norme quelconque sur M n (R).

112 Évlution I. Progrmme Réels Définition de sup et inf. Suites numériques Svoir définir et mnipuler u n =o(v n ), u n =O(v n )etu n v n. Svoir démontrer que si (u n )estbornéeet(v n ) converge vers, lors (u n v n )converge vers. Svoir démontrer que si deux suites sont djcentes, lors elles convergent et ont même limite. Svoir énoncer le théorème de Bolzno-Weierstrss : de toute suite bornée, on peut extrire une sous-suite convergente. Svoir clculer l limite d une suite, pr exemple à l ide d équivlents qund il y une forme indéterminée. Séries numériques Définition d une série, d une série convergente, et de s somme. Svoir ce qu est une série bsolument convergente. Svoir que si une série est bsolument convergente, lors elle est convergente. Svoir que pour les séries à termes positifs, deux séries de termes équivlents sont de même nture. Ne ps oublier de préciser que les séries sont à termes positifs pour utiliser ce résultt. Séries de Riemnn. Règle de d Alembert : si u n+ u n converge vers une limite l<, lors l série u n est bsolument convergente (donc convergente). Svoir ce qu est une série lternée. Ne ps oublier de vérifier d hypothèse, en prticulier, u n doit être décroissnt. Il fut vérifier 3 points : ( ) n u n ne chnge ps de signe, u n et u n est décroissnte. Svoir qu une série lternée vérifint les trois points précédents est convergente. Connître un exemple de suite telle que ( ) n u n etu n, mis telle que l série un soit divergente. Pr exemple, ( )k + k k. Intégrles Linérité : b λf(t)+g(t) dt = λ b f(t) dt + b Monotonie : si f g, lors b b f(t) dt c b g(t) dt. g(t) dt. Reltion de Chsles : f(t) dt + f(t) dt = f(t) dt. b b b f(t) dt f(t) dt. Première formule de l moyenne : si f est continue sur [, b], lors il existe c [, b] tel c

113 b que f(t) dt = f(c). b Une fonction continue et positive, définie sur un segment [, b], est nulle si et seulement si son intégrle est nulle. Primitives d une fonction continue. Intégrtion pr prties des fonctions de clsse C. Chngement de vrible. Intégrles générlisées Svoir reconnître une intégrle générlisée et identifier les problèmes (bornes infinies ou discontinuité de l fonction). En une borne infinie, si l fonction dmet une limite et si l intégrle converge, lors l limite est nulle. Attention, le fit que l limite soit nulle n implique ps l convergence de l intégrle. Le fit que l intégrle converge n implique ps que f une limite. En une borne finie, si l fonction dmet une limite finie, l intégrle est convergente. Attention, le fit que l intégrle converge n implique ps que f une limite. Chngement de vrible. Comprison série intégrle : si f :[, + [ R est continue et décroissnte, l intégrle générlisée b f(t) dt et l série k f(k) sontdemêmenture. Théorème sur les équivlents en une borne finie ou infinie. Si f,g :[, + [ R + sont + continues, positives et si f(x) g(x), lors f(t) dt et g(t) dt sont de x + même nture. Si f,g :], b] R + sont continues, positives et si f(x) g(x), lors x b f(t) dt et b Critère de Riemnn : g(t) dt sont de même nture. dt t α converge ssi α>et dt t α converge ssi α<. Suites de fonctions Définition et vérifiction : convergence simple, convergence uniforme. Continuité de l limite, échnge limite et intégrle, dérivbilité de l limite. Attention, pour psser à l limite sur les dérivées, il fut l convergence uniforme de l suite des dérivées. Svoir pr exemple dire que l convergence n est ps uniforme si les f n sont continues mis que l limite ne l est ps. Il n y cependnt ps équivlence : si les f n sont continues et que l limite f est ussi continue, ceci n implique PAS l convergence uniforme. Séries de fonctions Définition et vérifiction : convergence normle (qui implique) convergence uniforme et convergence bsolue (qui impliquent chcune) convergence simple. Continuité de l somme, intégrtion terme à terme, échnge série et intégrle, dérivbilité de l somme. Attention pour dériver l somme, on vérifie en générl l convergence normle de l série des dérivées. Séries lternées de fonctions. Séries entières Svoir ce qu est une série entière : n nx n.

114 Ryon de convergence. Définition : si x <Rlors l série converge et si x >Rlors l série diverge. On ne sit ps priori ce qui se psse pour x = R. Propriétés : si x <R, lors l suite n x n est bornée et tend vers. Si x >R, lors l suite n x n n est ps bornée. Règle de d Alembert : si n+ / n tend vers l, lors R =/l. Attention, n+ / n n ps nécessirement une limite. Convergence normle sur [ r, r] pourtoutr<r. Continuité de l somme sur ] R, R[. L somme est C sur ] R, R[ etonpeut dériver termes à termes. Intégrtion terme à terme sur [, b] ] R, R[. Ryon de convergence de l somme de deux séries entières. Développement en série entière en x d une fonction. Solutions développbles en séries entières d une éqution différentielle. Digonlistion Je fis les rppels pour les mtrices crrées A M n (R). C est églement vlble pour les endomorphismes f : E E. Connître l définition d un vecteur propre ( n est ps vecteur propre), d une vleur propre et d un sous-espce propre. Svoir clculer un polynôme crctéristique : χ A (X) =det(a XI n ). Le terme de plus hut degré est ( ) n X n. Svoir démontrer que deux mtrices semblbles ont même polynôme crctéristique. Les vleurs propres sont les rcines du polynôme crctéristique. L multiplicité d une vleur propre λ est le plus grnd exposnt n λ tel que χ A (X) se fctorise pr (X λ) n λ. On toujours dim(e λ ) n λ. Définition : A est dgonlisble ssi il existe P inversible et D digonle telles que A = PDP. A est digonlisble ssi il existe une bse de vecteurs propres. A est digonlisble ssi χ A (X) est scindé et l dimension de chque espce propre E λ est égl à l ordre de multiplicité n λ de l vleur propre λ. Une mtrice réelle symétrique est digonlisble vec mtrice de pssge orthogonle. Produit sclire Connître l définition d un produit sclire et svoir le vérifier. En prticulier, svoir montrer que (f,g) b f(t)g(t) dt est un produit sclire sur l espce des fonctions continues de [, b] dnsr. Pour cel, il fut svoir que si f est continue sur [, b] etsi b f 2 (t) dt =, lors f =. Définition de l norme ssociée à un produit sclire. Propriétés de l norme : x et x = ssi x =; λx = λ x ; x + y x y. Définition de l orthogonlité entre deux vecteurs. Inéglité de Cuchy-Schwrz. : (x y) x y. Svoir que x + y 2 = x 2 + y 2 +2(x y) insi que le théorème de Pythgore : si x y, lors x + y 2 = x 2 + y 2. Procédé d orthonormlistion de Grm-Schmidt. Définition de l orthogonl F d un sous espce vectoriel F E. Définition d une isométrie : c est une ppliction linéire qui vérifie f(x) = x pour tout x.

115 Propriétés : une isométrie préserve le produit sclire : (f(x) f(y)) = (x y) ; une ppliction linéire est une isométrie ssi elle envoie une bse orthonormée sur une bse orthonormée. Définition de mtrice orthogonle : t Q Q = I. Propriété : une ppliction linéire est une isométrie ssi s mtrice dns une bse orthonormée est orthogonle.

116 EPCM. Exmen finl. Sujet type. Durée 3h. N.B. Les clcultrices, les documents et les téléphones portbles sont interdits. Il est demndé de soigner l présenttion. Exercice : Clcul de l somme d une série. Justifier l convergence de l série ( ) n n. n 2. Soit n un entier nturel supérieur ou égl à et x un réel positif ou nul. Démontrer que : ln( + x) = n k= ( ) k x k+ k + +( ) n x t n +t dt. On pourr prtir de n ( t) k puis intégrer. k= t n 3. Démontrer à l ide d un encdrement que lim dt =. n + +t + ( ) n 4. En déduire l vleur de l somme n. n= Exercice 2 : Soit ζ(x) = n. x n=. Montrer que l série définissnt l fonction ζ converge normlement sur [, + [ pour tout >. 2. En déduire que ζ est continue sur ], + [. Exercice 3 : Commutnt d une mtrice On note M 3 (R) l ensemble des mtrices crrées réelles d ordre trois et on considère les mtrices suivntes de M 3 (R) : 2 2 A = 2 4 D = 2. 3 Pour toute mtrice K de M 3 (R), on ppelle commutnt de K l espce vectoriel noté C(K) des mtrices de M 3 (R) quicommutentveck, c est-à-dire : C(K) ={M M 3 (R) KM = MK}. Le but de l exercice est de déterminer l dimension de C(A), le commutnt de A.. Démontrer que pour toute mtrice K de M 3 (R), l ensemble C(K) est bien un sous-espce vectoriel de M 3 (R). 2. Démontrer que l mtrice A est digonlisble et déterminer une mtrice P inversible de M 3 (R) telle que A = PDP (on pourr utiliser s clcultrice et ne ps détiller tous les clculs). L expression de l mtrice P n est ps utile pour l suite.

117 3. Démontrer que l mtrice M = b c d e f commute vec D si et seulement g h i si M = e f. h i 4. En déduire une bse de l espce vectoriel C(D) (on pourr exprimer l bse à l ide des mtrices élémentires E ij : E ij désigne l mtrice de M 3 (R) dont tous les coefficients sont nuls suf celui de l ligne i et de l colonne j qui vut ). 5. On note ϕ l endomorphisme de M 3 (R) qui à une mtrice M ssocie l mtrice P MP. () Démontrer que M C(A) si et seulement si ϕ(m) C(D). (b) Démontrer que l ppliction ϕ est un isomorphisme de l espce vectoriel C(A) dns l espce vectoriel C(D). En déduire l dimension de l espce vectoriel C(A). Exercice 4 : Répondre pr vri ou fux, et surtout justifier vec précision votre réponse pr une démonstrtion ou un contre-exemple. Attention, toute réponse sns justifiction ne ser ps prise en compte.. L mtrice ([ nulle ] est-elle [ ]) digonlisble? x x2 2. L forme ϕ, = x y y x 2 +x y +x 2 y 2 +y y 2 définit un produit sclire 2 sur R 2. sin t 3. L intégrle générlisée dt est convergente. t 2

118 EPCM. Exmen finl. Durée 3h. N.B. Les clcultrices, les documents et les téléphones portbles sont interdits. Il est demndé de soigner l présenttion. Brême indictif: Exercice : 7 pts ; Exercice 2 : 3 pts ; Exercice 3 : 7 pts ; Exercice 4 : 3pts. Exercice : Séries entières. Déterminer le ryon de convergence R de l série entière x n n(n ). n 2 2. Montrer que l somme S est de clsse C 2 sur ] R, R[ etques (x) = x. 3. En déduire l vleur de S (x) pourx ] R, R[. 4. En utilisnt une intégrtion pr prties, montrer que pour tout x ] R, R[, x ln( t) dt = x +( x) ln( x). 5. En déduire l vleur de S(x) pourx ] R, R[. 6. Montrer que l somme S(x) est continue sur [ R, R] (on pourr étudier l convergence normle). 7. Déterminer S(R) et S( R). Exercice 2 : Suites et séries de fonctions Pour n, on définit f n : R R pr x f n (x) = x 2 + n. 2. Déterminer le tbleu de vritions de f n. 2. Etudier l convergence uniforme de l suite de fonctions (f n ) n sur R. 3. Etudier l convergence normle de l série de fonctions n f n sur R. Exercice 3 : Etude d un système linéire de suites récurrentes [ ] 3 Soit A =.Pourn N, on définit les suites (u 3 n )et(v n )pr { un+ =3u n + v n v n+ = u n +3v n ( ) un vec les conditions initiles u =et v =. Onpose X n =. v n. L mtrice A est-elle inversible? Justifier votre réponse. 2. L mtrice A est-elle orthogonle? Justifier votre réponse. 3. L mtrice A est-elle digonlisble? Justifier votre réponse. 4. Déterminer les vleurs propres de A.

119 ( 5. On pose e = ) et e 2 ( ). Montrer que e et e 2 sont des vecteurs propres de A. 6. Montrer que X = αe + βe 2 où α et β sont des réels à déterminer. 7. Exprimer X n en fonction de X n et de A puis en fonction de X et A n. 8. En déduire X n en fonction de α et β. 9. Déterminer u n et v n en fonction de n. Exercice 4 : Répondre pr vri ou fux, et surtout justifier vec précision votre réponse pr une démonstrtion ou un contre-exemple. Attention, toute réponse sns justifiction ne ser ps prise en compte.. L mtrice ([ nulle ] est [ digonlisble. ]) x x2 2. L forme ϕ, = x y y x 2 x y 2 x 2 y +y y 2 définit un produit sclire 2 sur R L intégrle générlisée sin t t 2 dt est convergente.

120 EPCM. Exmen de rttrpge. Durée 2h. N.B. Les clcultrices, les documents et les téléphones portbles sont interdits. Il est demndé de soigner l présenttion. Exercice : Série entière Soit f : R R l fonction définie pr f(x) = 2+x 2.. Déterminer le développement en série entière en de f. 2. On note R le ryon de convergence. Que vut R? 3. L convergence de l série entière est elle normle sur [ R/2,R/2]? 4. L convergence de l série entière est elle normle sur [ R, R]? Exercice 2 : Puissnces [ ] d une mtrice Soit A = L mtrice A est-elle inversible? Justifier votre réponse. 2. Quelles sont les vleurs propres de A? 3. Sns clculs supplémentires, déterminer si l mtrice A est digonlisble. Justifier votre réponse. 4. Déterminer les espces propres? 5. Clculer A n pour n N. Exercice 3 : Répondre pr vri ou fux, et surtout justifier vec précision votre réponse pr une démonstrtion ou un contre-exemple. Attention, toute réponse sns justifiction ne ser ps prise en compte.. L mtrice 2 est digonlisble. 2 3 ([ ] x 2. L forme ϕ, y sur R 2. [ x2 3. L intégrle générlisée ]) = x y x 2 +y y 2 x y 2 x 2 y définit un produit sclire 2 t 4 dt est convergente.