CHAPITRE 1 SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES

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1 PARTIE I ANALYSE

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3 CHAPITRE SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES

4 I. Les nombres réels Progrmme officiel Propriétés des nombres réels Reltion d ordre, prtie entière, vleur bsolue, intervlles (ouverts, fermés, semi-ouverts), mjortions et minortions, borne supérieure et inférieure. Les cndidts doivent connître l propriété une prtie non vide et mjorée de R dmet une borne supérieure et svoir l utiliser à bon escient (suites monotones et djcentes, en prticulier). Suites de nombres réels Définition d une suite de réels, d une suite extrite. Définition d une suite convergente et de s limite. R-lgèbre des suites convergentes et opértions lgébriques sur les limites. Comprisons (nottions O et o, équivlence). Définition d une suite de Cuchy. Une suite de nombres réels est convergente si et seulement si elle est de Cuchy (le si est dmis). Densité de Q dns R et pproximtion décimle. Théorème de Bolzno- Weierstrss. II. Fonctions réelles d une vrible réelle Propriétés locles Limite en un point R et en ±, limites à droite et à guche. Continuité en un point R. Opértions lgébriques sur les limites, limite d une fonction composée. Reltions de comprison, équivlence et développements limités. Fonctions continues sur un intervlle R-lgèbre C(I) des fonctions continues sur un intervlle I. Continuité d une fonction composée, continuité de f. L imge continue d un intervlle est un intervlle et l imge continue d un segment est un segment (les deux résultts sont dmis). Une ppliction f C(I) est bijective si et seulement si elle est monotone, son ppliction réciproque est lors continue sur f(i). Clcul différentiel Dérivée en un point, dérivées à droite et à guche. Opértions lgébriques sur les dérivées. Dérivée d une fonction composée. Fonction dérivée d une fonction définie sur un intervlle. Dérivée d une fonction réciproque. R-lgèbre C p (I) des fonctions de clsse C p sur un intervlle I. Théorème de Rolle ; théorème des ccroissements finis et pplictions usuelles. Formule de Tylor-Lgrnge à l ordre p pour une fonction de clsse C p+. Formule de Tylor-Young à l ordre p pour une fonction de clsse C p et clcul du développement limité à l ordre p en un point I d une fonction de C p (I). Intégrtion Intégrles générlisées bsolument convergentes Vu plus trd dns le semestre. Applictions Discussion d une éqution f(x) =, et résolution pprochée (pr l méthode de Newton, pr dichotomie). Étude de suite récurrentes : u n+ = f(u n ).

5 III. Nombres complexes Corps C des complexes : les nombres complexes x + iy sont les points (x, y) du pln Euclidien R R sur lequel est défini, de plus, une multipliction. Définition de e iθ =cos(θ) +i sin(θ), formules d Euler et formule de Moivre. Définition de l exponentielle d un nombre complexe e x+iy = e x e iy et des fonctions ssociées (sin, cos, tn, sinh, cosh, tnh). Module et rgument d un nombre complexe. Résolution dns C de z n =, rcines de l unité. Les cndidts doivent connître les interpréttions géométriques des trnsformtions : z z, z + z, z z + b. Inéglité tringulire. Suites de nombres complexes. Suite convergente et limite. Critère de Cuchy pour les suites de nombres complexes. IV. Séries de nombres réels ou complexes Définition d une série. Définition d une série convergente et de s somme. Condition de Cuchy : une série est convergente si et seulement si l suite de ses sommes prtielles est de Cuchy. Séries bsolument convergentes. Espce vectoriel des séries convergentes. Séries à termes réels positifs : séries de Riemnn et série géométrique. Théorème de comprison, règle de d Alembert utilisnt l limite usuelle. Convergence d une série lternée dont l vleur bsolue du terme générl décroît vers et mjortion du reste. Dns le progrmme de l prtie II Compléments sur les séries de nombres réels ou complexes Définition du produit de Cuchy de deux séries. Convergence de l série produit de deux séries bsolument convergentes.

6 Suites numériques I. Exemples A. u n = f(n) u n = n 2 + (polynôme en n), u n = n 4, u n = 3n 2 (frctions rtionnelles en n), 4n + u n = k n (suite géométrique de rison k), u n = sin(n),... B. Suites définies pr récurrence u = et u n+ = u 2 n +5, u =, u = et u n+ = u n + u n (suite de Fiboncci, 22), u = et u n+ = 2u n +3 (suite homogrphique), { u n un+ = u système : n v n v n+ = (u 2 n + v n ) C. Suites définies pr des sommes. séries : S n = u + u u n = n u k. k= S n = n n = k k= S n = n n = 2 k 2 k= n S n = (série géométrique). 2k k= 2. sommes de Riemnn : v n = n ( ) k f n n k= 3. sommes de Césro : u n = n n (série hrmonique), (série de Riemnn), (moyenne des k ).

7 II. Étude d une suite A. L suite est-elle bien définie pour tout n? S il s git d une suite de l forme u n = f(n), il suffit d étudier le domine de définition de f. S il s git d une suite définie pr récurrence, il fut en générl fire une démonstrtion pr récurrence. Rppel: pour fire une démonstrtion pr récurrence:. On définit l hypothèse de récurrence u rng n. 2. On vérifie l hypothèse de récurrence u premier rng. 3. On montre que si l hypothèse de récurrence est vrie u rng n, lors elle est vrie u rng n +. B. On peut s intéresser u sens de vrition de l suite. Définition. (u n ) est croissnte si u n+ u n pour tout n. (u n ) est décroissnte si u n+ u n pour tout n. Dns le cs d une suite u n = f(n), il suffit d étudier le sens de vrition de f. Dns le cs d une suite définie pr récurrence u n+ = f(u n ), il fut en générl étudier le signe de f(x) x. III. Suite convergente Définition 2. L suite (u n )convergeversl R si : ε >, n N, n n, u n l ε. Autrement dit, pour tout ε>, u n pprtient à l intervlle [l ε, l + ε] pourn ssez grnd. On dit que u n tend vers l. On dit que l est l limite de l suite u n.onnoteu n ou plus simplement u n l. l n + Proposition (unicité de l limite). Si(u n ) dmet une limite, elle n en qu une. Proposition 2 (opértions sur les limites). Soient (u n )et(v n ) deux suites convergentes. Alors (u n + v n ), (u n v n )et(u n v n ) convergent. C est ussi le cs de (u n /v n )si lim v n. De plus : lim(u n + v n ) = lim u n + lim v n, lim(u n v n ) = lim u n lim v n, lim(u n v n ) = lim u n lim v n, lim u n v n = lim u n lim v n. Proposition 3. Soit (u n ) une suite bornée et (v n ) une suite de limite nulle. Alors, (u n v n ) converge vers zéro.

8 Proposition 4. Soit (u n )et(v n ) deux suites réelles convergentes telles que u n v n à prtir d un certin rng. Alors lim u n lim v n. Attention, même si u n <v n pour tout n, on ne peut ps dire plus que lim u n lim v n. On peut perdre l inéglité stricte en pssnt à l limite. C est le cs pr exemple pour u n = /n et v n =/n. Proposition 5 (théorème des gendrmes). Soit ( n )et(b n ) deux suites réelles ynt même limite l. Si (u n ) est une suite réelle vérifint n u n b n à prtir d un certin rng, lors (u n )convergeversl. Proposition 6. Si l suite (u n ) est définie pr récurrence u R et u n+ = f(u n ), si u n converge vers l et si f est continue en l, lors f(l) =l. Définition 3. L suite u n tend vers + qund n tend vers + si : On note u n +. n + A R, n N, n n, u n A. Définition 4. L suite u n tend vers qund n tend vers + si : On note u n. n + A R, n N, n n, u n A. Il fut fire ttention losrque l on mnipule des opértions sur les limites infinies. En prticulier, on des formes indéterminées lorsque l on est mené à fire les opértions suivntes : (+ ) (+ ) ou(+ )+( ).. /.. Exemple à connître pr coeur : ( + /n) n e. IV. Reltions de comprison Définition 5 (Nottions de Lndu).. équivlent : u n v n si u n = s n v n vec lim n + s n =. 2. petit o : u n =o(v n )siu n = ε n v n vec lim n + ε n =. 3. grnd O : u n =O(v n )siu n = A n v n vec A n une suite bornée. Proposition 7. u n v n si et seulement si v n u n. Proposition 8. Siu n v n lors les deux suite sont de même nture: Si l une converge, l utre converge vers l même limite. Si l une diverge, l utre diverge. Si u n +, lors v n +. Si u n, lors v n. u n et v n sont de même signe pour n ssez grnd.

9 V. Suites de Cuchy Définition 6. On dit que (u n ) est une suite de Cuchy si : ε >, n N, n n, p N, u n+p u n ε. Proposition 9. Une suite réelle est convergente si et seulement si elle est de Cuchy. VI. Suites monotones Théorème et définition. Toute prtie non vide et mjorée A R dmet un plus petit mjornt. C est l borne supérieure de A notée sup(a) : { x A, x sup(a) ε >, x ε A, x ε > sup(a) ε. Théorème et définition. Toute prtie non vide et minorée A R dmet un plus petit minornt. C est l borne inférieure de A notée inf(a). { x A, x inf(a) ε >, x ε A, x ε < inf(a)+ε. Ce résultt sert à démontrer que toute suite croissnte et mjorée converge et que deux suites djcentes convergent et ont même limite. Les démonstrtions doivent être connues. Proposition. Toute suite croissnte et mjorée converge. Toute suite décroissnte et minorée converge. Définition 7. Deux suites (u n )et(v n ) sont djcentes si l une est croissnte, l utre est décroissnte et si u n v n. n + Proposition. Deux suites djcentes sont convergentes et convergent vers l même limite. VII. Théorème de Bolzno-Weierstrss Définition 8. On dit que (v n ) est une suite extrite de l suite (u n ) s il existe une ppliction ϕ : N N strictement croissnte telle que v n = u ϕ(n). Proposition 2. L suite (u n ) converge vers l si et seulement si toute suite extrite converge vers l. Proposition 3 (théorème de Bolzno-Weierstrss). De toute suite bornée, on peut extrire une sous-suite convergente.

10 Activités tritées en cours Activité (Annles 23). Soit deux suites de réels (v n )et(w n ) djcentes c est-àdire que : (v n ) est croissnte, (w n ) est décroissnte et lim n + (v n w n )=.. Montrer qu il existe un entier nturel n tel que, pour tout entier n n, v n w n +. En déduire que l suite (v n )estmjorée. 2. Montrer que l suite (w n ) est minorée. 3. En déduire que les suites (v n ) et (w n ) sont convergentes et convergent vers une même limite réelle. Activité 2 (Annles 26). Étude d une suite récurrente. ] On note I l intervlle ; [. Soit (u n ) l suite définie pour tout entier non nul n 6 pr u n+ = u n 2u 3 n et u =. On note f l fonction définie sur I pr f(x) =x 2x 3.. Étude de l convergence () Déterminer les vritions de f sur I puis comprer f(i) eti. (b) Déterminer l monotonie de l suite (u n ). (c) Montrer que l suite (u n ) est convergente et déterminer s limite. 2. Théorème de Cesàro Soit (v n ) une suite définie pour tout entier nturel non nul n, quiconvergeversun réel l. On définit lors l suite (M n ) pour tout entier nturel non nul n, prm n = n (v +v 2 + +v n ). M n est l moyenne rithmétique des n premiers termes de l suite (v n ). () Trduire à l ide de quntificteurs le fit que l suite (v n )convergeversl. (b) Soit n un entier nturel non nul, et p un entier tel que p n. Montrer que M n l n p k= v k l +mx p<k n v k l. (c) Conclure vec soin que si l suite (v n )convergeversl, lors (M n )converge ussi vers l (ce résultt porte le nom de théorème de Cesàro). 3. Applictions à l recherche d un équivlent de (u n ) () Déterminer l limite de (x 2x 3 ) lorsque x tend vers. 2 x2 En déduire l limite de l suite (v n ) définie pr v n =. u 2 n+ u 2 n (b) Utiliser tous les résultts précédents pour donner un équivlent u voisinge n de + de l suite (u n ) (on pourr simplifier v k ). k=

11 Développements limités et é q u i v l e n t s Revoir les développements limités usuels et les équivlents. I. Définition d un DL Définition (Développement limité à l ordre n en x ). Soit f définie u voisinge de x. On dit que f dmet un développement limité à l ordre n en x si on peut écrire f(x) = + (x x )+ 2 (x x ) n (x x ) n +(x x ) n ε(x) vec lim x x ε(x) =. Proposition (Unicité). Il y u plus un développement limité d ordre n en x. Proposition 2 (Prité et DL en ). Sif est pire, le DL en ne contient que des exposnts pirs. Si f est impire, le DL en ne contient que des exposnts impirs. Proposition 3 (DL de Tylor). Soit f une fonction C n u voisinge de x. Alors, f dmet un DL à l ordre n en x et f(x) =f(x )+ f (x )! (x x )+ f (x ) 2! vec lim x x ε(x) =. II. Opértions sur les DL (x x ) f (n) (x ) (x x ) n +(x x ) n ε(x), n! N.B. Ne ps oublier que pour les fonctions C (cs usuel), on peut toujours utiliser le théorème fondmentl (Proposition 3). Supposons que f et g dmettent un DL d ordre n en. Proposition 4 (Addition de deux DL). f + g dmet un DL d ordre n en obtenu en joutnt les DL de f et de g. Proposition 5 (Produit de deux DL). f g dmet un DL d ordre n en obtenu en multiplint les DL de f et de g et en ne conservnt que les termes de degré n. Proposition 6 (Quotient de deux DL). Si g(), lors, f/g dmet un DL d ordre n en obtenu en divisnt suivnt les puissnces croissntes à l ordre n le DL de f pr le DL de g. Proposition 7 (Composition). Sif() =, lors, g f dmet un DL d ordre n en obtenu de l mnière suivnte : dns le DL de g on remplce x pr le DL de f on ne conserve que les termes de degré n. Proposition 8 (Dérivtion). Si on connît un DL de f en à l ordre n, on obtient un DL de f en à l ordre n en dérivnt terme à terme le DL de f.

12 Proposition 9 (Intégrtion). Si on connît un DL de f en à l ordre n, on obtient un DL de f en à l ordre n + en intégrnt terme à terme le DL de f et en rjoutnt f(). III. Formulire de DL en Trois formules fondmentles :. DL de Tylor 2. x =+x + x2 + x x n + x n ε(x) 3. ( + x) α =+αx + A l ide de () : α(α ) x ! n termes {}}{ e x = +x + x2 2! + x3 xn ! n! + xn ε(x) α(α )(α 2)...(α n +) x n + x n ε(x). n! cos(x) = x2 2! + x4 x2n +...+( )n 4! (2n)! + x2n+ ε(x) sin(x) = x x3 3! + x5 5! +...+( )n x 2n+ (2n +)! + x2n+2 ε(x) ch(x) = + x2 2! + x4 x2n ! (2n)! + x2n+ ε(x) sh(x) = x + x3 3! + x5 x2n ! (2n +)! + x2n+2 ε(x) En dérivnt et à l ide de (2) : ln( + x) = x x2 2 + x3 xn +...+( )n+ 3 n + xn ε(x) Arctn(x) = x x3 3 Argth(x) = x + x3 3 En dérivnt et à l ide de (3) : Arcsin(x) = x + 2 x x Arccos(x) = π 2 Arcsin(x) Argsh(x) = x 2 x x ( )n x2n+ 2n + + x2n+2 ε(x) x2n+ 2n + + x2n+2 ε(x) ( )n n termes {}}{ 3... (2n ) (2n) }{{} n termes n termes {}}{ 3... (2n ) (2n) }{{} n termes x 2n+ 2n + + x2n+2 ε(x) x 2n+ 2n + + x2n+2 ε(x)

13 Pour mieux mémoriser : le cln des huit fonctions impires Tous les DL commencent ps x. Le coefficient du terme en x 3 chnge de signe qund on psse de f à f. sin(x) =x x3 6 + x4 ε(x) Arcsin(x) =x + x3 6 + x4 ε(x) sh(x) =x + x3 6 + x4 ε(x) Argsh(x) =x x3 6 + x4 ε(x) tn(x) =x + x3 3 + x4 ε(x) Arctn(x) =x x3 3 + x4 ε(x) IV. Équivlents th(x) =x x3 3 + x4 ε(x) Argth(x) =x + x3 3 + x4 ε(x) Définition 2. Soient f et g deux fonctions définies et non nulles u voisinge de R {, + }. f(x) On dit que f et g sont équivlentes en si et seulement si lim =. On note lors x g(x) f g (ou plus simplement f g). Proposition. Sif g, lors g f. Proposition (Théorème fondmentl). Si f et g sont équivlentes en, soit elles ont toutes deux l même limite (finie ou infinie) en, soit ucune d elles n de limite en. Proposition 2. Une fonction est équivlente en x u premier terme non nul de son D.L. en x. V. Opértions sur les équivlents Proposition 3. Sif g et si f 2 g 2, lors f f 2 g g 2. Proposition 4. Sif g et si f 2 g 2, lors f /f 2 g /g 2. Proposition 5. Sif g, lors f g. Proposition 6. Sif g, lors pour x suffismment proche de, f(x) etg(x) sont de même signe.

14 Attention : on n ps le droit d jouter des équivlents. En effet, même si f g et f 2 g 2, il se peut que f + f 2 et g + g 2 ne soient ps équivlentes en. Pr exemple, sin(x) x, x x mis sin(x) x x3 6 x x =. Attention lorsque l on veut composer des équivlents : x + x mis e+/x = e e /x e /x.

15 Exercices. Feuille. Exercice : Clculer les limites des suites suivntes : () ln n2 + n + n 2 + n, (b) n! (d) n n +2n + ln(n), (e) nln n n2, (f) nn n! Exercice 2 : L suite de terme générl v n = ( ) n n2 + est-elle convergente? Si oui, déterminer l limite. Exercice 3 : Déterminer l limite de u n+ ( 3 n) 2n, (c) n 2 + n + n 2 n + 2n + sin ( ) n u n pour les suites suivntes : (g) n, n R +, n! (h), n R +, (i) Exercice 4 : (Annles 28) Justifier que pour n u voisinge de +, on Exercice 5 : (Annles 29) Pour n N,onposeu n = n! n n e n 2πn. Démontrer que pour n u voisinge de +, ln ( ) n. n + n + = n ( ) n +o. 2 n 2 ( un+ u n ) α n 2 où α est un réel à determiner. Exercice 6 : Théorème de Cesàro (Annles 26) Soit (v n ) une suite définie pour tout entier nturel non nul n, quiconvergevers un réel l. On définit lors l suite (M n ) pour tout entier nturel non nul n, pr M n = n (v + v v n ). M n est l moyenne rithmétique des n premiers termes de l suite (v n ).. Trduire à l ide de quntificteurs le fit que l suite (v n )convergeversl. 2. Soit n un entier nturel non nul, et p un entier tel que p n. Montrer que M n l n p k= v k l +mx p<k n v k l. 3. Conclure vec soin que si l suite (v n )convergeversl, lors (M n )converge ussi vers l.

16 Suggestion d exos u choix en supplément de l feuille. Exercice :. Donner un équivlent simple de n 2 +3n lorsque n. 2. Etudier l limite éventuelle lorsque n de u n = ln(n 2 +3n) ln(n 2 ). 3. Donner un équivlent simple de u n lorsque n. ln(cos x) Exercice 2 : Déterminer le développement limité à l ordre 4 en de x (sin x). 2 Exercice 3 : (Annles 26) Étude d une suite récurrente. Les questions. et 2. ont déjà été tritées. ] On note I l intervlle ; [. Soit (u n ) l suite définie pour tout entier non 6 nul n pr u n+ = u n 2u 3 n et u =. On note f l fonction définie sur I pr f(x) =x 2x 3.. Étude de l convergence () Déterminer les vritions de f sur I puis comprer f(i) eti. (b) Déterminer l monotonie de l suite (u n ). (c) Montrer que l suite (u n ) est convergente et déterminer s limite. 2. Théorème de Cesàro Soit (v n ) une suite définie pour tout entier nturel non nul n, quiconverge vers un réel l. On définit lors l suite (M n ) pour tout entier nturel non nul n,prm n = n (v +v 2 + +v n ) M n est l moyenne rithmétique des n premiers termes de l suite (v n ). () Trduire à l ide de quntificteurs le fit que l suite (v n )convergevers l. (b) Soit n un entier nturel non nul, et p un entier tel que p n. Montrer que M n l n p k= v k l +mx p<k n v k l. (c) Conclure vec soin que si l suite (v n )convergeversl, lors (M n )converge ussi vers l (ce résultt porte le nom de théorème de Cesàro). 3. Applictions à l recherche d un équivlent de (u n ) () Déterminer l limite de (x 2x 3 ) lorsque x tend vers. 2 x2 En déduire l limite de l suite (v n ) définie pr v n =. u 2 n+ u 2 n (b) Utiliser tous les résultts précédents pour donner un équivlent u voisinge de + de l suite (u n ) (on pourr simplifier v k n ). k=

17 Exercice 4 : Soit f : x R x x + 8 et (u n) n N l suite définie pr récurrence pr : u R et n,u n+ = f(u n ).. Donner le tbleu de ] vrition [ de f et déterminer ses points fixes. 2. Montrer que u 2, +, l suite u n est croissnte. Est-elle convergente? [ 3. () Montrer que les intervlles 4, ] [ et, ] sont stbles pr f. [ 2 4 (b) Montrer que u 4, ], l suite (u n ) est décroissnte. Est-elle convergente? [ 2 (c) Montrer que u, ], l suite (u n ) est croissnte. Est-elle conver- 4 gente? 4. Conclusion.

18 Séries numériques I. Définitions Définition. Soit ( k ) k une suite de nombres réels (ou complexes). L série de terme n générl k est l suite (S n ) n définie pr S n = k (on dit que S n est une somme prtielle de l série). L série de terme générl k se note k ou k= k. Définition 2. On dit que l série n converge (respectivement diverge) si l suite des sommes prtielles S n converge (respectivement ne converge ps). Dns ce cs, on note S = k l vleur de l limite. On dit que S est l somme de l série. k= k= Attention, qund l série n converge, l nottion k= k est utilisée à l fois pour désigner l série et l vleur de l somme (c est-à-dire l limite de l suite (S n )). II. Exemples. k =, S n = n + +, l série diverge. n + 2. série géométrique : k = n 2, S k n = k = 2 n+ 2 + k= 2 k =2. k= 2, l série converge et n + 3. série téléscopique : k =, voir exercice 3 de l feuille 2 de TD. k(k+) Pour tous ces exemples, on sit clculer S n. Mis ce n est générlement ps le cs. III. Critère de Cuchy Proposition (critère de Cuchy). L série k converge si, et seulement si : ε >, n, n n, p, n+ + n n+p ε. Preuve : c est le critère de Cuchy pour l suite (S n )enobservntque: S n+p S n = n+ + n n+p. Corollire. Si l série k converge, lors k Si k, lors l série k diverge. k +. k +

19 Preuve : on pplique le critère de Cuchy vec p =. Attention : k n implique ps k converge. k + Contre-exemple : l série hrmonique n diverge. k= Preuve : le critère de Cuchy n est ps stisfit. En effet, pour tout n, n } n {{ + }} n {{ +2 }} n {{ + n } 2n = 2. /2n /2n /2n IV. Espce vectoriel des séries convergentes Proposition 2. Si k et b k sont deux séries convergentes, lors ( k + b k )estune série convergente et : ( k + b k )= k + b k. k= Si λ R et si k est une série convergente, lors (λ k ) est une série convergente et : (λ k )=λ k. k= Corollire. Si k converge et si b k diverge, lors ( k + b k ) diverge. Preuve: b k =( k + b k ) k.si k converge et si ( k + b k ) converge, lors b k converge. V. Séries à termes positifs Proposition 3. Si k est une série à termes positifs, l suite (S n )dessommesprtielles est croissnte. Corollire. Si k est une série à termes positifs, elle est convergente si et seulement si elle est mjorée. Preuve : une suite croissnte est convergente si, et seulement si, elle est mjorée. Proposition 4 (comprison). Supposonsque k b k. Si b k converge, lors k converge. Si k diverge, lors b k diverge. Preuve : Soit (A n ) (respectivement (B n )) l suite des sommes prtielles de l série de terme générl k (respectivement b k ). Alors, bk converge (B n )estmjorée (A n )estmjorée k converge. k= k= k=

20 Proposition 5 (équivlents). Si k b k, lors k et b k sont de même nture (l une est convergente si, et seulement si, l utre est convergente). Si elles divergent, les sommes prtielles sont équivlentes. Si elles convergent, les restes sont équivlents. Preuve que les séries sont de même nture : Comme k /b k, si k est suffismment grnd, lors k 2 b k 3.Prconséquent, 2 2 b k k 3 2 b k. Le résultt suit du théorème de comprison. Attention, si k b k sns que les k soient positifs, les séries k et b k ne sont ps nécessirement de même nture. ( ) k ( ) k Contre-exemple : et (voir exercice 4 de l feuille 2 de TD). k k +( ) k k= k= Séries à termes positifs de référence. séries géométriques : r n converge si, et seulement si, r <. Alors : r k = r. 2. séries de Riemnn : k α VI. Séries lternées k= converge si, et seulement si, α>. Définition 3. L série k est une série lternée si k pourk pir et k pourk impir (ou vice et vers), l suite k est décroissnte l suite k converge vers. Proposition 6. Si k est une série lternée (il fut vérifier les 3 conditions), lors l série k est convergente. De plus : + n k k n+. k= k= ( ) k Exemple : l série est convergente. k k= Preuve : On v le montrer dns le cs où 2n 2n+. L utre cs est similire. Soit S n l somme prtielle de rng n. On montre que les suites (S 2n ) n et (S 2n+ ) n sont des suites djcentes. Plus précisément, comme 2n+2 2n+ 2n,on: et De plus : S 2n+ = S 2n + 2n + 2n+ S 2n S 2n+2 = S 2n + 2n+ + 2n+2 S 2n. S 2n+ S 2n = 2n+ n.

21 Comme les suites sont djcentes, elles convergent vers l même limite S (qui est l somme de l série). De plus, pour tout n, on : S S n S n+ S n = n+. VII. Séries bsolument convergentes Définition 4. On dit que l série k est bsolument convergente si l série k est convergente. Proposition 7. Si l série k est bsolument convergente, lors elle est convergente. Preuve : on pplique le critère de Cuchy dns les deux sens. L série k converge. Donc, étnt donné ε>, il existe n tel que pour n n et p, on : Alors, d près l inéglité tringulire : n+ + n n+p ε. n+ + n n+p ε. Attention, il y des séries qui sont convergentes sns être bsolument convergente, pr ( ) k exemple l série. k k= Proposition 8 (critère de d Alembert). Si k+ / k l lors, si l<, l série k converge, si l>, l série k diverge, si l =, on ne peut rien dire. Attention, il se peut que l série k soit convergente sns que l suite k+ / k n it de limite.

22 Exercices. Feuille 2. Exercice : Déterminer si les séries suivntes convergent : () ln n2 + n + n 2 + n, (b) ( 3 ) 2n, (c) n2 + n + n n 2 n + n n n (d) n! n n +2n + ln(n), (e) n ln n n, (f) n 2 n n! n n n Exercice 2 : En utilisnt le critère de d Alembert, déterminer l nture des séries de terme générl suivnt: (g) n, n! n R +, (h), n R +, (i) ( ) n. n + n Exercice 3 : Soit l série de terme générl u n =, n. Clculer u k en n(n +) k= décomposnt u n en éléments simples. En déduire que cette série converge et donner l vleur de s somme. ( ) n Exercice 4 : On considère les suites équivlentes u n = et v n +( ) n n = ( )n. n Montrer que v n est convergente. En fisnt un développement limité de u n, montrer que u n est divergente. ( ) n 2 n Exercice 5 :. Démontrer que l série de terme générl u n =, n> n + converge. ( ) n ln(n) n 2. Démontrer que l série de terme générl v n =, n> diverge. n + Exercice 6 : Etudier l convergence bsolue et l convergence des séries de terme générl suivnt ( :. ( ) n tn sin ) (, 2. n ) ) n, 3. ln (+ ( )n n n ln n n ( ) n 4. n n n, 5. cos n sin n, 6. ( ) n 2 n, R. (+n ) Exercice 7 : Déterminer si les séries suivntes convergent :. ( ) k ln k, 2. ( ) k k +, 3. ( ) k sin k k k 2 k 2 k k 4. ( ) k, α R, 5. ( ) k k α k α +( ), α R. k k k 2

23 Annles sur les séries numériques. Exercice : (Annles 29 et 2) Répondre pr vri ou fux, et surtout justifier vec précision votre réponse pr une démonstrtion ou un contre-exemple. Attention, toute réponse sns justifiction ne ser ps prise en compte.. Pour n, on pose u n = ( )n n + n + n 2. L série n u n converge. 2. Soit n n une série à termes strictement positifs. Si cette série converge, lors l suite ( n+ n ) Exercice 2 : (Annles 23) n converge vers un réel l<. Un développement symptotique de H n =. Un équivlent de H n n k= Soit n un entier nturel non nul, on pose H n = () Si k est un entier non nul, montrer que : k. n k= k. k + k+ k t dt k. (b) En déduire l encdrement suivnt : ln n + n H n ln n +. (c) Donner un équivlent de H n en Suites djcentes (déjà trité en cours) Soit deux suites de réels (v n )et(w n ) djcentes c est-à-dire que : (v n ) est croissnte, (w n ) est décroissnte et lim n + (v n w n )=. () Montrer qu il existe un entier nturel n tel que, pour tout entier n n, v n w n +. En déduire que l suite (v n )estmjorée. (b) Montrer que l suite (w n ) est minorée. (c) En déduire que les suites (v n )et(w n )sontconvergentesetconvergent vers une même limite réelle. 3. Constnte d Euler On pose, pour n, c n = H n ln n et d n = c n n. () Montrer que, pour n, n + ln(n +) ln(n) n. (b) Montrer que les suite (c n )et(d n ) convergent vers une même limite. On note lors γ cette limite (γ est ppelée constnte d Euler). (c) Montrer que : H n = ln n + γ + o().

24 Exercice 3 : (Annles 24) Etude de séries dont le terme générl est le reste d une série convergente. Soit n un entier nturel fixé. Soit n n n une série convergente. On définit pour n entier nturel supérieur ou égl à n, r n son reste de rng n : r n = + k=n+ k.le but de l exercice est d étudier l convergence de l série n n r n dns trois exemples différents.. On pose pour n, n = 2 n. Clculer r n puis montrer que n 2. On pose pour n, n = n 2. r n converge et clculer s somme. Nous llons chercher un équivlent de (r n ). Soit k un entier supérieur ou égl à. () Montrer que t [k, k +], (k +) 2 t 2 k. 2 (b) En déduire que pour tout entier nturel non nul n et pour tout entier N N N+ supérieur à 2 et à n +,on: (k +) dt 2 t N 2 k. 2 k=n+ n+ (c) En déduire que pour tout entier nturel non nul n, on: n + r n n + + (n +). 2 k=n+ (d) Donner lors un équivlent de (r n ) lorsque n est u voisinge de +. Que peut-on conclure sur l nture de l série r n? n 3. On pose pour n, n = ( )n n. () Justifier l convergence de n n. (b) Expression intégrle de r n. Soit n un entier nturel non nul. On définit l suite (I n )pr I n =( ) n k= + x n +x dx. (i) Montrer que lim I n =. n + n ( ) k n (ii) Montrer que I n = ln 2 +. On pourr clculer ( x) k. k (iii) En déduire l vleur de I n. n= k= ( ) n n, puis exprimer r n en fonction de

25 (c) Conclusion (i) En utilisnt une intégrtion pr prties, montrer que l on : ( ) I n = ( )n (n +) + O n α Exercice 4 : (Annles 23) où R et α> sont à déterminer. (ii) En déduire l nture de l série r n. n Règle de Rbe-Duhmel.. Soit u n et v n deux séries à termes strictement positifs telle qu il existe u n+ n N vérifint : n n, v n+,montrerque: si v n converge u n v n lors u n converge. 2. Soit β un réel non nul et (u n ) une suite de réels strictement positifs stisfisnt u n+ à : = β ( ) u n n + o. n () Montrer que, si l on pose, pour n etα réel α>, v n = n,on: α v n+ u n+ = β α ( ) + o. v n u n n n (b) Si β>, montrer que l série u n converge. (On pourr choisir le réel α ],β[). (c) Si β<, montrer que l série u n diverge. 3. Déterminer, en utilisnt l règle de Rbe-Duhmel (résultts 2b et 2c ci-dessus), l nture des séries de terme générl u n : () u n = (2n)! 2 2n (n!). 2 ( +) ( + n ) (b) u n = où et b sont deux réels qui ne sont ps b(b +) (b + n ) des entiers négtifs. (On discuter selon l vleur de b ) Exercice 5 : (Annles 28) Etude d une série produit Si S = n et S b = b n sont deux séries convergentes, on ppelle série produit n n de S pr S b l série c n où c n = n k= kb n k. Le but de cet exercice est d étblir n 2 l nture de l série produit de S α = n. Equivlent de l série hrmonique ( ) n n α pr elle-même. Pour n, on pose H n = , cel définit l série hrmonique. n () Montrer qu une suite (u n ) n converge si et seulement si l série n+ u n ) n (u converge.

26 (b) Justifier que pour n u voisinge de +, on n + = n ( ) n +o. 2 n 2 (c) Désormis on pose u n = H n ln n. Montrerqueu n+ u n est équivlent lorsque n tend vers + à une expression de l forme p où p et q sont n q deux réels à déterminer. (d) En déduire l nture de l suite (u n ) et enfin un équivlent simple de H n lorsque n tends vers Un série produit. Pour quelles vleurs de α, l série S α converge-t-elle? Jusqu à l fin de l exercice, on choisit α de l sorte. On considère c n l série produit de S α n 2 pr S α. 3. Jusqu à l fin de l exercice on considère n 2 un entier. () Déterminer le mximum de l fonction x x(n x) définie sur R. (b) En déduire que c n 4α (n ) n 2α. (c) Conclure que pour <α 2, l série n 2 c n diverge. 4. Désormis, on suppose que α =. () Décomposer en éléments simples l frction rtionnelle (b) En déduire une expression de c n en fonction de H n ( ) n. Hn (c) Déterminer l monotonie de l suite n (d) En déduire l nture de l série n 2 Exercice 6 : (Annles 2) c n.. n 2 X(n X). Clcul de l somme d une série. Justifier l convergence de l série ( ) n n. n 2. Soit n un entier nturel supérieur ou égl à et x un réel positif ou nul. Démontrer que : ln( + x) = On pourr prtir de n k= ( ) k x k+ x +( ) n k + n ( t) k puis intégrer. k= 3. Démontrer à l ide d un encdrement que lim 4. En déduire l vleur de l somme + n= n + ( ) n n. t n +t dt. t n +t dt =.

27 Évlution I. Progrmme Réels Définition de sup et inf. Suites Svoir définir et mnipuler u n =o(v n ), u n =O(v n )etu n v n. Svoir démontrer que si (u n )estbornéeet(v n ) converge vers, lors (u n v n )converge vers. Svoir démontrer que si deux suites sont djcentes, lors elles convergent et ont même limite. Svoir énoncer le théorème de Bolzno-Weierstrss : de toute suite bornée, on peut extrire une sous-suite convergente. Svoir clculer l limite d une suite, pr exemple à l ide d équivlents qund il y une forme indéterminée. Séries Définition d une série, d une série convergente, et de s somme. Svoir ce qu est une série bsolument convergente. Svoir que si une série est bsolument convergente, lors elle est convergente. Svoir que pour les séries à termes positifs, deux séries de termes équivlents sont de même nture. Ne ps oublier de préciser que les séries sont à termes positifs pour utiliser ce résultt. Séries de Riemnn. Règle de d Alembert : si u n+ u n converge vers une limite l<, lors l série u n est bsolument convergente (donc convergente). Svoir ce qu est une série lternée. Ne ps oublier de vérifier d hypothèse, en prticulier, u n doit être décroissnt. Il fut vérifier 3 points : ( ) n u n ne chnge ps de signe, u n et u n est décroissnte. Svoir qu une série lternée est convergente. Connître un exemple de suite telle que ( ) n u n etu n, mis telle que l série un soit divergente. Pr exemple, ( )k + k k.

28 Nom : Prénom : Les étudint(e)s répondnt correctement à cette question dns les 2 prochines minutes uront /2 point en plus pour l exmen du 26 septembre. Pour quels réels α l série n Question de cours est-elle convergente? nα Nom : Prénom : Les étudint(e)s répondnt correctement à cette question dns les 2 prochines minutes uront /2 point en plus pour l exmen du 26 septembre. Pour quels réels α l série n Question de cours est-elle convergente? nα

29 Test de 5mn. Mthémtiques. Lundi 9 septembre Merci de répondre directement sur l feuille en justifint votre réponse.. Déterminer un réel tel que n 2 + n + n +2 (n + ) n En déduire un équivlent simple de e (n2 +n+)/(n+2) qund n +.

30 EPCM. Contrôle continu n. Sujet type. Durée h3. N.B. Les clcultrices, les documents et les téléphones portbles sont interdits. Il est demndé de soigner l présenttion. Brême indictif: Exercice : 4 pts ; Exercice 2 : pts ; Exercice 3 :5pts. Exercice :. L suite de terme générl u n = ln n2 + n + est-elle convergente? Si oui, n 2 + n déterminer l limite. 2. Justifier que pour n u voisinge de +, on n + = n ( ) n +o. 2 n 2 n Exercice 2 : Un développement symptotique de H n = k. k=. Un équivlent de H n n Soit n un entier nturel non nul, on pose H n = k. () Si k est un entier non nul, montrer que : k= k + k+ k t dt k. (b) En déduire l encdrement suivnt : ln n + n H n ln n +. (c) Donner un équivlent de H n en Suites djcentes (déjà trité en cours) Soit deux suites de réels (v n )et(w n ) djcentes c est-à-dire que : (v n ) est croissnte, (w n ) est décroissnte et lim n + (v n w n )=. () Montrer qu il existe un entier nturel n tel que, pour tout entier n n, v n w n +. En déduire que l suite (v n )estmjorée. (b) Montrer que l suite (w n ) est minorée. (c) En déduire que les suites (v n )et(w n )sontconvergentesetconvergent vers une même limite réelle. 3. Constnte d Euler On pose, pour n, c n = H n ln n et d n = c n n. () Montrer que, pour n, n + ln(n +) ln(n) n. (b) Montrer que les suite (c n )et(d n ) convergent vers une même limite. On note lors γ cette limite (γ est ppelée constnte d Euler). (c) Montrer que : H n = ln n + γ + o().

31 Exercice 3 : Un vri-fux. Pour toutes les propositions, répondre pr vri ou fux, et surtout justifier vec précision votre réponse pr une démonstrtion ou un contre-exemple. Attention, toute réponse sns justifiction ne ser ps prise en compte.. Pour n, on pose L série n u n converge. u n = ( )n n + n + n Soient ( n ) n et (b n ) n deux suites équivlentes qund n +. Alors, les séries n et b n sont de même nture. n n

32 EPCM. Contrôle continu n. Lundi 26 septembre 2. Durée h3. N.B. Les clcultrices, les documents et les téléphones portbles sont interdits. Il est demndé de soigner l présenttion. Brême indictif: Exercice : 4 pts ; Exercice 2 : pts ; Exercice 3 :5pts. Exercice :. L suite de terme générl u n = déterminer l limite. 2. L suite de terme générl v n =( ) n n2 + oui, déterminer l limite. ( 3 n) 2n est-elle convergente? Si oui, 2n + sin ( ) n est-elle convergente? Si Exercice 2 : Etude de séries dont le terme générl est le reste d une série convergente. Soit n un entier nturel fixé. Soit n n n une série convergente. On définit pour n entier nturel supérieur ou égl à n, r n son reste de rng n : r n = + k=n+ k.le but de l exercice est d étudier l convergence de l série n n r n dns trois exemples différents.. On pose pour n, n = 2 n. Clculer r n puis montrer que n 2. On pose pour n, n = n 2. r n converge et clculer s somme. Nous llons chercher un équivlent de (r n ). Soit k un entier supérieur ou égl à. () Montrer que t [k, k +], (k +) 2 t 2 k. 2 (b) En déduire que pour tout entier nturel non nul n et pour tout entier N N N+ supérieur à 2 et à n +,on: (k +) dt 2 t N 2 k. 2 k=n+ n+ (c) En déduire que pour tout entier nturel non nul n, on: n + r n n + + (n +). 2 k=n+ (d) Donner lors un équivlent de (r n ) lorsque n est u voisinge de +. Que peut-on conclure sur l nture de l série r n? n

33 Exercice 3 : Un vri-fux. Pour toutes les propositions, répondre pr vri ou fux, et surtout justifier vec précision votre réponse pr une démonstrtion ou un contre-exemple. Attention, toute réponse sns justifiction ne ser ps prise en compte.. Pour n, on pose ( ) n u n =. n +( ) n L série n u n converge. 2. Soit n n une série à termes strictement positifs. Si cette série converge, lors l suite ( n+ ) n n converge vers un réel l<.

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35 CHAPITRE 2 INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

36 I. Intégrtion Progrmme officiel Définition de l intégrle d une fonction en esclier sur un segment. Approximtion des fonctions continues pr des fonctions esclier : on dmet que si f est continue sur [, b], pour tout ε> il existe des fonctions ϕ et ψ, en esclier sur [, b], telles que : ϕ f ψ et telles que x [, b] :ψ(x) ϕ(x) ε. Définition de l intégrle d une fonction continue sur un segment. Linérité, monotonie et reltion de Chsles, intégrle b b des fonctions continues pr morceux. Reltion: f(t) dt f(t) dt et première formule de l moyenne pour les fonctions continues. Le théorème suivnt : Une fonction continue et positive, définie sur un segment [, b], est nulle si et seulement si son intégrle est nulle doit être connu. Primitives d une fonction continue. Intégrtion pr prties des fonctions de clsse C. Chngement de vrible. Formule de Tylor-Lgrnge vec reste intégrl. Primitives des frctions rtionnelles n ynt que des pôles simples ou doubles. Primitives des frctions rtionnelles en sin et cos. II. Intégrles générlisées bsolument convergentes Définition de l intégrle, sur un intervlle quelconque, d une fonction continue positive ; théoréme de comprison, équivlents. Définition d une fonction continue bsolument intégrble à vleurs réelles et définition de son intégrle générlisée. Chngement de vrible dns les intégrles générlisées de fonctions bsolument intégrbles.

37 Intégrles générlisées III. Définitions, Exemples Définition., b R {, + }. b f(t)dt est une intégrle clssique si, et seulement si,, b R et f :[, b] R continue. dns tous les utres cs, Pr exemple. f(t)dt, b f(t)dt est dite générlisée. f(t)dt, b Ou bien,, b R et f non continue sur [, b] : Exemples. Fonction Gmm d Euler : Pour x =2, Γ(2)= Γ(x) := f(t)dt. t x e t dt. x dx, x 2 dx. te t dt. L ire sous l courbe est-elle finie? 2 Fonction Bet d Euler : Pour r = s =/2, β(/2, /2) = β(r, s) := x r ( x) s dx. dx x( x). L ire sous l courbe est-elle finie? 3 2

38 Définition 2. Soit f :[, + [ R continue ( R). L intégrle seulement si, X lim X + f(t)dt existe. Dns ce cs, on pose : f(t)dt := X lim f(t)dt. X + Soit f :],b] R continue (b R). L intégrle seulement si, b lim X X b Si f : R R est continue, b f(t)dt existe. Dns ce cs, on pose : f(t)dt := f(t)dt convergent. On pose : f(t)dt := b lim f(t)dt. X X f(t)dt converge si, et seulement si, X lim f(t)dt. X + Y Y idem pour f :[, b[ R, f :], b] R et f :], b[ R continue. si f[, b] \{c} R est continue, et b c b f(t)dt convergent. On pose : Retour ux exemples. X ε ε b f(t)dt := c f(t)dt converge si, et f(t)dt converge si, et f(t)dt converge si, et seulement si, f(t)dt + b c f(t)dt. [ te t dt = ] X te t X + e t dt = (X +)e x. IPP x + dx x( x) = x=sin 2 θ dx=2 sin θ cos θ dθ IV. Limite à l infini Arcsin ε Arcsin ε 2 sin θ cos θ sin θ cos θ dθ =2 ( Arcsin ε Arcsin ε ) 2(π/2 ) = π. Proposition. Soit f :[, + [ R continue telle que Si f(t)dt converge lors l =. lim f(x) =l. x + f(t)dt et c f(t)dt

39 Si l lors f(t)dt diverge. Proposition 2. Sif :[, + [ R continue, lors f(x) f(t)dt converge. n implique ps que x + Proposition 3. Sif :[, + [ R continue, lors que f(x) x +. f(t)dt converge n implique ps V. Convergence bsolue b f(t) dt converge, lors f(t)dt con- Proposition 4. Sif :], b[ R continue et verge. b Définition 3. Sif :], b[ R continue et bsolument convergente. Si b b f(t)dt est semi-convergente. b f(t)dt converge mis que b f(t) dt converge, on dit que f(t)dt est b f(t) dt diverge, on dit que Exemple: pr prties. sin t t dt et semi-convergente. Pour le montrer, on utilise une intégrtion VI. Chngement de vrible Proposition 5. Sif :], b[ R est continue et g :]α, β[ ], b[ est C, croissnte et bijective, lors Alors : β f ( g(x) ) g (x)dx converge si, et seulement si, α β α f ( g(x) ) g (x)dx = b VII. Comprison série-intégrle f(t)dt. b f(t)dt converge. Proposition 6. Si f : [, + [ R est une fonction continue et décroissnte, lors l intégrle générlisée f(t)dt et l série k f(k) sontdemêmenture.

40 VIII. Nture des intégrles générlisées Proposition 7. Sif,g :[, + [ R + sont continues positives, si f g et si converge, lors Si f(t)dt converge. f(t) dt diverge, lors g(t)dt diverge. g(t)dt Proposition 8. Sif,g :[, + [ R + sont continues positives et si f(x) g(x), x + lors les intégrles Proposition 9 (Riemnn). f(t)dt et dx x α g(t)dt sont de même nture. converge si, et seulement si, α>. Proposition. Sif,g :],b] R + sont continues positives. Alors si f g et si si f g et si b b g(t) dt converge, lors f(t) dt diverge, lors si f(x) g(x), lors les intégrles x Riemnn : b b b f(t)dt converge. g(t)dt diverge. f(t)dt et b dx converge si, et seulement si,α <. xα g(t)dt sont de même nture.

41 Exercices. Feuille 3. Exercice. Clculer lorsqu elles convergent les intégrles générlisées suivntes:. (x +)(x +2) dx 2. +x dx e x cos x dx ln( + x)dx Exercice 2. Etudier l convergence des intégrles générlisées suivntes:. t 4t 2 + t + dt 2. α 2 + t dt 2 e t 3. t dt ln t dt ( + t) 2 dt +t 2 e t +t dt cos t +t dt 2 cos t dt t Exercice 3. Déterminer pour quelles vleurs de couple (α, β) R 2 les intégrles suivntes sont convergentes. (on dessiner dns le pln l ensemble des couples (α, β) pour lesquels il y convergence).. x α ( + x β ) dx ln( + x α ) 2. dt e x β ( + t) α t α dt t β t α (ln t) β Exercice 4. Soit I = : intégrles de Bertrnd, e>. En déduire e t e 2t dt. t e t α (ln t) β

42 . Montrer que I est convergente. 2. Pour ε>, étblir, en posnt x =2t l reltion 3. En déduire I. Exercice 5. ε e t e 2t dt = t 2ε e t ε t dt. sin x. Montrer que x 2. Posons, pour n N dx est convergente. u n = (n+)π nπ sin x x 2 Montrer que pour tout n, on u (n+)π n. En déduire que diverge. dx sin x x dx

43 Annles sur les intégrles générlisées. Exercice : (Annles 27, 29) Pour toutes les propositions, répondre pr vri ou fux, et surtout justifier vec précision votre réponse pr une démonstrtion ou un contre-exemple. Attention, toute réponse sns justifiction ne ser ps prise en compte. Toutes les fonctions considérées sont de vrible réelle et à vleurs dns R.. Si f est une fonction continue sur un intervlle I, lors l intégrle f est convergente. 2. Si f et g sont deux fonctions continues sur l intervlle ], [ telles que les intégrles f et g convergent, lors 3. Soit f une fonction positive et telle que f(t) dt =, lors f est nulle sur [, ]. Exercice 2 : (Annles 26). Question préliminire Pour quelle(s) vleur(s) de β l intégrle fg converge. f(t) dt converge sur [, ]. I Si t β dt est-elle convergente? On ne demnde ps de justifier. L fonction Gmm d Euler. Soit x un réel strictement positif, justifier l existence d un réel A strictement positif, tel que pour tout réel t strictement supérieur à A, on it e t t x < t 2, puis montrer que l intégrle t x e t dt est convergente. On peut donc définir sur ], + [, l fonction Gmm d Euler notée Γ pr Γ(x) = t x e t dt. 2. Clculer Γ() puis montrer l reltion fondmentle suivnte : En déduire Γ(2). simple de Γ(n). x ], + [, Γ(x +)=xγ(x). Soit n un entier nturel non nul, donner une expression

44 Exercice 3 : (Annles 25) sin t Clcul de l intégrle de Dirichlet I = dt. t. Existence de I On définit sur [, + [ l fonction f pr f(x) = sin x x pour x>etf() =. sin t Justifier que f est continue sur [, + [ puis montrer que I = dt est t A sin t convergente. On pourr intégrer pr prties l intégrle dt (A >). t (2n+) π 2 sin t 2. Pour tout entier nturel non nul n, on définit I n et J n pr : I n = dt t π 2 sin(2n +)t et J n = dt. sin t π 2 sin(2n +)t () Montrer que I n = dt. ] t (b) Soient x ; π ] et k un entier nturel non nul. 2 Ecrire sin x cos(2kx) à l ide d une différence de deux sinus et en déduire n une reltion entre et cos(2kx). sin(2n +)x sin x (c) Clculer J n. 3. Lemme de Lebesgue Soit g une fonction de clsse C k= sur un intervlle [, b] où et b sont des réels vec <b. On pose, pour tout entier nturel n, L n = b g(t) sin(nt) dt. Montrer en utilisnt une intégrtion pr prties que l suite (L n )tendvers lorsque n tend vers On définit l fonction ϕ sur [ ], π 2 pr ϕ(x) = x sin x pour x ] ], π 2 et ϕ() =. () Donner le développement limité à[ l ordre en de ϕ. (b) Montrer que ϕ est dérivble sur ; π ]. 2 [ On dmet pour l fin de l exercice que ϕ est en fit de clsse C sur ; π ] 2 (cel se démontre vec des clculs de développements limités). 5. Conclusion Montrer que lim (I n J n ) = et en déduire l vleur de l intégrle I. n = Exercice 4 : (Annles 28) Etude d une fonction définie pr une intégrle. Questions préliminires () Donner l nture de l série n tend vers + de n k= k +. n +. En déduire l limite lorsque n

45 (b) Donner l llure de l courbe de l fonction t sin t sur [, 2π] puis clculer pour tout entier k, (k+)π kπ sin t dt. 2. Donner un équivlent simple en + de l fonction t sin t. En déduire que l t fonction F : x x 3. () Donner l nture de l intégrle sin t dt est bien définie et est de clsse C sur [, + [. t cos t t 3 2 dt. (b) Montrer à l ide d une intégrtion pr prties que x sin t t dt dmet une limite finie lorsque x tend vers Montrer vec soin qu une fonction continue sur [, + [ et qui dmet une limite finie en + est bornée. En déduire que F est une fonction bornée. 5. Montrer que pour tout entier n 2, L intégrle nπ π sin t dt 2 n. t π k + k= sin t t dt est-elle bsolument convergente?

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47 CHAPITRE 3 SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS

48 Progrmme officiel L étude générle des suites et des séries de fonctions n est ps u progrmme de l prtie I. I. Séries entières de l vrible réelle (prtie I) Définition d une série entière n x n de l vrible réelle x ssociée à l suite de nombres réels n. Définition du ryon de convergence R. Règles de d?alembert et de Cuchy. L somme est de clsse C sur ] R, R[ qund R> : intégrtion et dérivtion termes à termes. Définition d une fonction développble en série entière u voisinge d?un point x R. Développements en série entière des fonctions usuelles u voisinge d un point x. Applictions: utilistion du développement en série entière pour l pproximtion de fonctions ; emploi des séries entières dns l recherche de solutions d équtions différentielles linéires à coefficients non constnts. II. Suites et séries de fonctions définies sur un intervlle à vleurs dns K (prtie II) Toutes les pplictions dont il est question ici sont définies sur un intervlle I de R et à vleurs dns l espce vectoriel K vec K = R ou K = C. Définition de l convergence uniforme d?une suite de fonctions définies sur I à vleurs dns K. Critère de Cuchy de convergence uniforme. L limite uniforme d?une suite de fonctions bornées sur I est bornée sur I et celle d?une suite de fonctions continues sur I est continue sur I. Théorème d intégrtion : si (f n ) est une suite de fonctions de clsse C ([, b],k)qui converge uniformément sur [, b], lors : lim b f n (t) dt = b lim f n (t) dt. Théorème de dérivtion : si (f n ) est une suite de fonctions de clsse C ([, b],k) qui converge simplement en un point x [, b] et qui est telle que l suite (f n) converge uniformément sur [, b] vers une fonction g, lors (f n ) dmet une limite uniforme f sur [, b], f est de clsse C ([, b],k)etf = g. Extension ux suites de fonctions de clsse C p (p ). Définition de l convergence uniforme d une série de fonctions, f n, définies sur I. Critère de Cuchy de convergence uniforme. Définition de l convergence normle d une série de fonctions bornées sur I. Toute série normlement convergente sur I, est uniformément convergente sur I. Utilistion d une série mjornte pour étblir l convergence normle. Théorèmes de dérivtion et d intégrtion terme à terme pour les séries de fonctions de C ([, b],k)etc ([, b],k) respectivement.

49 Suites de fonctions On s intéresse ux fonctions définies pr des limites : f(x) = Pr exemple : Les questions que l on se pose : e x = ( lim + x n. n + n) lim f n(x). n + f est-elle bien définie? quelles propriétés de f n impliquent quelles propriétés de f? En prticulier : si pour tout n, f n est continue, est ce que f est continue? si pour tout n, f n est C,estcequef est C? si on sit clculer b b lim n + III. Convergence simple f n (x) dx, -t-on f n (x) dx = b f(x) dx. Définition. Une suite de fonctions (f n : X R) converge simplement vers f : X R sur X si : x X, f n (x) f(x). n + Exemple : f n (x) =x n pour x [, ]. Si x =, lors f n (x) =pourtoutn et f n (x). Si x [, [, f n(x). Pr conséquent, l suite (f n) converge n + n + simplement vers f sur [, ] vec : { f(x) =six [, [ f() = Dns l exemple précédent, les fonctions f n sont continues mis l limite f ne l est ps. IV. Convergence uniforme Définition 2. Une suite de fonctions (f n : X R) converge uniformément vers f : X R sur X si : sup fn (x) f(x). x X n + Dns l exemple précédent, l suite (f n ) ne converge ps uniformément vers f sur [, ] (ni sur [, [). En effet, pour tout n, fn (x) f(x) =. sup x [,/2] sup x [,] En revnche, l même suite (f n ) converge uniformément vers f sur [, /2]. En effet, fn (x) f(x) = 2 n n +.

50 Proposition (Critère de Cuchy pour l convergence uniforme) Si (f n : X R) est une suite de fonctions telle que : ε >, n, n n, p, x X, fn+p (x) f n (x) ε lors l suite (f n : X R) converge uniformément sur X vers une limite f : X R. V. Continuité Proposition 2. Supposons que l suite (f n : X R) converge uniformément sur X vers f : X R et soit x X. Si les fonctions f n sont continues en x, lors f est continue en x. Si les fonctions f n sont continues sur X, lors f est continue sur X. Preuve. Étnt donné ε>, on : f(x) f(x ) f(x) f n (x) + f n (x) f n (x ) + f n (x ) f(x ) 2sup fn (y) f(y) + fn (x) f n (x ). y X On voit donc qu il existe n tel que : x X, f(x) f(x ) fn (x) f n (x ) + ε/2. On utilise lors l continuité de f n en x ce qui montre l existence de η>telquepour tout x X vérifint x x η, on it : fn (x) f n (x ) ε/2. Alors, pour tout x X vérifint x x η, on: f(x) f(x ) ε/2+ε/2 =ε. Cel montre l continuité de f en x. VI. Intégrbilité Proposition 3. Soit (f n :[, b] R) une suite de fonctions continues. Si (f n )converge uniformément sur [, b] versf, lors : lim n + b f n (x) dx = b f(x) dx. Preuve. L fonction f est continue sur [, b], donc intégrble sur [, b]. Pour tout ε>, si n est suffismment grnd, on : Donc : ( b Autrement dit : x [, b], f(x) ε f n (x) f(x)+ε. ) b ( b ) f(x) dx ε (b ) f n (x) dx f(x) dx + ε (b ). b b f n (x) dx f(x) dx ε (b ).