CINEMATIQUE MATHEMATIQUES VECTORIELLES APPLIQUEES A LA MECANIQUE

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1 hp://sbeccompany.fr CINEMATIQUE MATHEMATIQUES VECTORIELLES APPLIQUEES A LA MECANIQUE I Inroducion 1) Cinémaique LA CINEMATIQUE CONSISTE A ANALYSER DE FAÇON PUREMENT MATHEMATIQUE LE MOUVEMENT DE CORPS EN LES ASSIMILANT A DES POINTS MATERIELS SANS SE PREOCCUPER DES CAUSES DE CE MOUVEMENT. Le poin maériel es un obje mahémaique sans dimensions de masse m en physique. En cinémaique, on suppose l espace euclidien (puremen mahémaique), homogène (idenique en ou poin) e isorope (mêmes propriéés dans oues les direcions). De plus, en mécanique classique, le emps es considéré comme absolu, il ne dépend pas du repère. Mais la relaivié rejee cee noion de emps absolu. On ne confondra le emps de deux repères que si les viesses considérées son faible devan la viesse de la lumière. 2) Référeniels, repères, veceurs Pour éudier un sysème physique, il es nécessaire de ce placer dans un cerain référeniel. En effe, pour un même phénomène physique, des observaeurs placés dans des référeniels différens ne verron pas les mêmes rajecoires. Exemple : la rajecoire d une balle qui rebondi dans un rain sera une droie pour les passagers du rain mais une sinusoïde pour la vache dans le champ à côé de la voie ferrée.? On doi aussi aacher à ce référeniel un repère ( IV) qui permera de mesurer des grandeurs physiques à l aide de veceur par rappor aux veceurs uniaires du repère. L ouil mahémaique qu es le veceur perme de caracériser une grandeur physique par sa direcion, son sens e son module (sa norme). U x ( ) ( ) ( ) U = U = U i + U j + U k = U u = U + U + U u U y x y x y où Ux, Uy, e U son les coordonnées du veceur U dans un repère carésien. Le veceur u es un veceur uniaire poré par la direcion du veceur U, i par Ox, j par Oy e k par O.

2 Le paragraphe suivan défini les rois veceurs physiques principalemen uilisés en mécanique du poin. II Les veceurs posiion, viesse e accéléraion Γ j OM V k i Veceur posiion : OM Veceur viesse : LE VECTEUR VITESSE EST DEFINI COMME LA DERIVEE DU VECTEUR POSITION PAR RAPPORT AU TEMPS : V dom = ou encore sous la forme différenielle : V = dom Veceurs accéléraion : LE VECTEUR ACCELERATION EST DEFINI COMME LA DERIVEE DU VECTEUR VITESSE PAR RAPPORT AU TEMPS : dv Γ = Γ = 2 d OM 2 ou encore sous la forme différenielle : Γ = dv Seuls les mouvemens recilignes uniformes ne son pas accélérés. En effe, même lorsque la norme de la viesse es consane, l accéléraion prend en compe le changemen de direcion du veceur viesse. Exemple : les mouvemens circulaires uniformes. Aure exemple : lorsque l on lance une masse vericalemen vers le hau, elle aein une aliude limie où la viesse es nulle. Elle a ouefois une accéléraion : celle de la pesaneur.

3 III Veceurs variables, différenielles e dérivées 1) Noion de différenielle UNE DIFFERENCIELLE CORRESPOND A UN ACCROISSEMENT INFINITESIMAL D UNE GRANDEUR PHYSIQUE LIE A L EVOLUTION INFINITESIMALE DE VARIABLES (D AUTRES GRANDEURS PHYSIQUES). : laps de emps infiniésimal mais non nul U + ( ) du U d u ( ) U + = U + du ( ) du = U U ( + ) u du es la différenielle de U du es la dérivée du veceur U par rappor au emps. U Au niveau macroscopique, le rappor es une approximaion de la dérivée. du = d ( U u ) ( fg) = f g + fg = d U u + U d u ( ) ( ) ( ) ( ) U ( ( ) ) u d U Mais que représene du? 2) Différenielle e dérivée d un veceur uniaire dans un plan, u( ) 1 ( u( ) ) ( ( ) ) = ( 1) = 0 = ( ) = u d ( u ) + d ( u ) u = 2u d ( u ) = 0 = = d u d d u u

4 On peu donc dire que les veceurs u e du son orhogonaux. Roaion d un veceur uniaire sur un cercle v u u + ( ) ( ) d u On défini un veceur uniaire v orhogonal à u obenu par roaion de +π/2. du du( ) = v( ) = v ( ) avec ω = ω es appelé viesse angulaire (ou de roaion) ou encore pulsaion angulaire, ω en rad.s -1 de même : dv dv( ) = u( ) = u ( ) Conclusion : La différenielle d un veceur uniaire es définie par du = v uniaire orhogonal à u obenu par roaion de +π/2. où v es un veceur On défini le veceur roaion ω, perpendiculaire au plan de roaion, don le sens es donné par la règle du ire-bouchon ce qui perme d écrire : du = ω u 3) Différenielle e dérivée d un veceur uniaire dans l espace On considère le veceur uniaire u qui ourne auour de l axe défini par le veceur roaion ω. (voir figure suivane). L axe de ω es défini par veceur uniaire n

5 ( ) d u n u u ( + ) dα du = sinα u = sinα du = sinα = sinα ω du = ω u Le produi vecoriel : C = A B Le veceur C es orhogonal à A e B. Son sens es défini par la règle du irebouchon. Norme : C = sinα A B LE PRODUIT VECTORIEL EST L OUTIL MATHEMATIQUE QUI PERMET DE CREER LA TROISIEME DIMENSION. 4) Différenielle d un veceur quelconque Pour un veceur quelconque, sa différenielle es la somme de deux composanes orhogonales : U du du du u du = d U u + U d u ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) IV Sysèmes de coordonnées e repères 1) Coordonnées carésiennes Voir figure du II.

6 OM = x i + y j + k Les veceurs de base du sysème de coordonnées carésiennes ne varien pas : di = d j = dk = 0 dom = dx i + dy j + d k veceur viesse : dx( ) dy d v = i + j + k = V i + V j + V k x y veceur accéléraion : dvx( ) dvy( ) dv Γ = i + j + k = Γ i + Γ j + Γ k x y d x( ) d y d = i + j + k ) Coordonnées cylindriques Uilisées si roaion auour d un axe (ici O) Si problème de vue dans l espace, aller ou de suie à la figure coordonnées polaires x k O θ u uθ M d d M Projecion de M sur Oxy y

7 Coordonnées du sysème cylindrique : : disance à l axe [ 0;+ [ θ : aimu (angle aimual) [ ] 0,2π : haueur ] ; + [ OM = u + k u ourne auour de (O,) avec le veceur de roaion : ω = ω k = k du = ω u = k u = u du θ = θ u d θ ω = x k O θ uθ u d/ M M ω d/ Projecion de M sur Oxy y V V θ V d = d = ω d = d Veceur viesse :

8 V dom d ( ( ) u + ( ) k ) = = d ( ) d ( u ) d ( ) = u + ( ) + k + 0 ( ) ( ) d d = u + ( ) ω( ) u k 0 θ + + V = V u + V u + V k θ θ Viesse radiale Viesse orhoradiale Veceur accéléraion : Accéléraion cenripèe Accéléraion de Coriolis Accéléraion radiale Accéléraion orhoradiale 3) Coordonnées polaires es consan > d/ = d²/² = 0 Si de plus le rayon es consan, le mouvemen es circulaire uniforme V = ω u Γ = ω u θ 4) Coordonnées sphériques

9 r : disance à l origine (rayon) [ 0;+ [ θ : angle polaire [ 0,π ] φ : angle aimual [ 0,2π ] 5) Coordonnées curvilignes, repère de Frene A un insan, la rajecoire (qui n es pas plane), es conenue dans un plan. Un cercle es angen à la rajecoire.

10 T : veceur uniaire angen à la rajecoire dirigé dans le sens du mouvemen (dans le plan). N : veceur uniaire normal à T dirigé vers le cenre de la rajecoire. Abscisse curviligne le long de la rajecoire : ds( ) = R V = ds s = V (vrai pour ous les sysèmes de coordonnées) 0