Corrigé du TD 5 : Séries Entières, Séries de Fourrier et Intégration

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1 Corrigé du TD 5 : Séries Enières, Séries de Fourrier e Inégraion Jean Sébasien ROY, 999 Ex : Minimisaion d'une inégrale > resar: Le degré du polynôme : > N:=4; N := 4 Un polynôme uniaire de degré N : > P:=add(a.i*X^i,i=..N-)+X^N; P := a + a X + a X + a3 X 3 + X 4 On inègre (pas la peine de prendre la racine carrée pour minimiser) : > E:=in(P*P,X=..); E := a3 + 7 a + 7 a3 + 3 a + 3 a a3 + 5 a + 5 a a3 + 5 a + a a3 a a 3 a a a + a a + a On résoud le sysème formé de l'ensemble des dérivées parielles de E : (Si il exise un polynôme qui minimise E, alors ce polynôme vérifie ce sysème) > S:={seq(diff(E,a.i),i=..3)}; S := { 5 a3 a a a 3, 3 5 a3 a a a 3, 7 3 a3 5 a a 3 a, a3 + 3 a + 5 a + a } > sol:=solve(s); - 9 sol := { a =, a =, a3 = -, a = } Il n'y a qu'une soluion. Calculons la hessienne au poin pour déerminer si c'es bien un minimum local : > H:=marix(N,N,(i,j)->diff(E,a.(i-),a.(j-))); 3 H := Assez logiquemen, H ne dépend pas du poin. Es-elle définie posiive? > wih(linalg): Warning, new definiion for norm Warning, new definiion for race > definie(h,'posiive_def'); rue On peu vérifier le résula ainsi : > evalf(allvalues(eigenvalues(h))); I, I, I, I Donc le polynôme minimisan l'inégrale : > subs(sol,p); Page

2 E la valeur cherchée : > sqr(subs(sol,e)); X 9 7 X X 3 X 4 On peu aussi uiliser la foncion minimize à ire de vérificaion : > minimize(sqr(e)); Ex : Calcul d'inégrale par inégraion par paries e DSE > resar: > f:=->ln()*ln(-)/; ln( ) ln ( ) f := > A:=in(f(),=..); A := ζ( 3 ) Bon. Maple y arrive ou seul (parfois). Pour le forcer à ne pas faire le calcul on uilise In au lieu de in : > A:=In(f(),=..); A := Vérifions l'exisence de l'inégrale en : > series(f(),=,); ln( ) ln ( ) ln( ) + O( ) Ok. Inégraion par paries : > suden[inpars](a,ln()*ln(-)); > expand(%); ln ( ) ln( ) ln( ) ln ( ) + ln( ) ln( ) Il rese donc à calculer l'inégrale à droie (qui vau *A), ce que l'on fai via un DSE de /(-) : > S:=n->in(^n*(ln())^/,=..); S := n n ln( ) > S(n); lim ( + ln( ) e ( n ln( ) ) n ln( ) e ( n ln( ) ) n + ln ( ) e ( n ln( ) ) n ln( ) e ( n ln( ) ) + ln( ) e ( n ln( ) ) + e ( n ln( ) ) ) (( n + ) ( + n + n ) ) Supide, Maple n'arrive pas à simplifier cee expression (meme avec des assume adéquas), donc on l'aide : > op(,%); Page

3 ( ln( ) e ( n ln( ) ) n ln( ) e ( n ln( ) ) n + ln ( ) e ( n ln( ) ) n ln ( ) e ( n ( ) ) + ln( ) e ( n ln( ) ) + e ( n ln( ) ) ) (( n + ) ( + n + n ) ) Manifesemen, seul le erme '-' du numéraeur ne ends pas vers zéro, donc : > subs(=,%); ( n + ) ( + n + n ) > facor(%); ( n + ) 3 D'où la valeur de l'inégrale : > S:=Sum(/n^3,n=..infiniy):A=S; > S=value(S); ln( ) ln ( ) n = = = ζ( 3 ) n 3 n 3 n = Ex 3 : DSE uilisan une équaion différenielle ln > resar:wih(powseries): > f:=x->(arcsin(x/))^; f := x arcsin x Le package Powerseries ne raie pas la foncion arcsin. On va dériver arcsin(x/), calculer le DSE puis inégrer le résula. > g:=unapply(diff(arcsin(x/),x)):g(x); 4 x On calcule le DSE de g, on l'inègre, e on l'élève au carré : > evalpow(g(x)):powin(%):s:=evalpow(%^): > psform(%,x,); 4 x 48 x4 36 x6 4 x8 O( x ) Vérifions à parir d'un DL de f : > series(f(x),x=,9); 4 x 48 x4 36 x6 4 x8 O( x ) Déerminons une équaion différenielle. à coefficens polynômiaux don f es soluion : > eq:=dy=diff(f(x),x):eq; dy = arcsin x 4 x > eq:=dy=diff(f(x),x$):eq; arcsin x x dy = + 4 x ( 4 x ) ( 3 / ) Page 3

4 On isole arcsin(x/) dans la première équaion... > suden[isolae](eq,arcsin(/*x)); arcsin = x dy 4 x E l'on subsiue dans la seconde : > subs(%,eq); dy x dy = + 4 x 4 x La voilà. dy es f'' e dy es f'. > eqy:=collec(numer(rhs(%)-lhs(%)),dy):eqy=; ( 4 x ) dy dy x = On cherche alors une soluion DSE : > dy:=sum(a(k)*x^k,k=..n); dy := N k = a( k ) x k > dy:=diff(dy,x): > ex:=simplify(combine(eqy)); N ex := ( 4 a( k) k x ( k ) a( k) k x ( k + ) a( k ) x ( k + ) ) k = Les condiions iniiales : > collec(expand(subs(n=3,ex)),x); 4 a( 3) x 4 3 a( ) x 3 + ( a( ) + a( 3) ) x + ( a( ) + 8 a( ) ) x + 4 a( ) Donc a()=/,... A parir de cee expression, on cherche à obenir une relaion de récurrence vérifiée par les coefficiens du DSE. Il fau un peu manipuler à la main : > rel[a]:=op([,],ex); rel A := 4 a( k) k x ( k ) a( k) k x ( k + ) a( k ) x ( k + ) On s'arrange pour avoir les puissances de x oues égales : > subs(k=k+,op(,rel[a]))+op(,rel[a])+op(3,rel[a]); 4 a ( k + ) ( k + ) x ( k + ) a( k ) k x ( k + ) a( k) x ( k + ) > rel[b]:=simplify(%/x^(k+)); rel B := 4 a ( k + ) k + 8 a ( k + ) a( k) k a( k) On exprime la relaion de récurence : > rel[c]:=suden[isolae](rel[b],a(k)); 4 a ( k + ) k 8 a ( k + ) rel C := a( k) = k Après simplificaion e en remarquan que seuls les coefficiens impairs peuven êre non nuls (par parié de f (donc f' es impaire)), on change a(k) en b(p) avec k=*p- : > a:=k->b((k+)/); a := k b + k > rel[d]:=eval(subs(k=*p+,rel[c])); 4 b ( p + ) ( p + ) 8 b ( p + ) rel D := b ( p + ) = p On résoud : > rb:=unapply(rsolve({rel[d],b()=/},b(p)),p); 4 rb := p ( p ) ( p ) π p + Page 4

5 Donc pour k impair le erme du developpemen de f' es : > subs(p=(k+)/,rb(p))*x^k; 4 ( / k / ) + k π x k + k On inègre : > c:=unapply(subs(k=n-,in(%,x)),n); 4 ( / n) n π xn c := n + n n Voilà le erme général du developpmen : > c(*n); 4 ( n ) ( n ) π x ( n) n + n Pas de chance, Maple ne sai pas simplifier plus. Comparons avec la soluion connue (noée v dans la suie) : > v:=n->/*(n-)!^/(*n)!; v := n C'es bon : > simplify(v(n)*x^(*n)-c(*n)); > sum(c(*n),n=..4); (( n )! ) ( n)! x 48 x4 36 x6 4 x8 > series(f(x),x=,9); 4 x 48 x4 36 x6 4 x8 O( x ) Ex 4 : Série de Fourier des polygones > resar:wih(plos): > n:=4: On défini un polygone par ses sommes : > z:=[,+i,-+i,-i,]; z := [, + I, + I, I, ] Puis en forman une foncion affine par morceaux, coninue, qui représene le di polygone sur.. : > g:=->piecewise(seq(op([<=j/n,n*(z[j]*(j/n-)+z[j+]*(-(j-)/ n))]),j=..n)): > g(); 4 + ( I ) 4 ( I) + ( I) I I ( ) Page 5 ( I)

6 > pf:=complexplo(g(),=..,color=blue):display(pf); Calculons le développemen en série de Fourier de g. Tou d'abord les coefficiens : > c:=m->in(g()*exp(*i*pi**m),=..); c := m g( ) e d ( ) I π m Puis la somme parielle : > s:=(,nn)->sum('c(m)*exp(*i*pi**m)',m=-nn..nn); s := (, nn ) nn m = nn ' c( m ) e ( I π m ) ' Puis le graphe : > p:=k->complexplo(s(,k),=..,numpoins=4,color=color(rgb,( 6-k)/5,,(k-)/5)); p := k complexplo s (, k ), =.., numpoins = 4, 6 color = COLOR RGB,,, 5 5 k 5 k 5 E on race les 5 premières sommes parielles ainsi que le polygone : > display(p(),p(),p(3),p(4),p(5),pf); Ca converge (uniformémen même). Page 6