Prérequis de Mathématiques pour GMP

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1 Prérequs de Mathématques pour GMP V. Nolot Sommare. Rappels sur les vecteurs La noton de foncton. Foncton et graphe de foncton Nombre dérvé et foncton dérvée Etude de foncton Recherche d'extremum Intégraton et prmtve Polynômes 5 3. Déntons Interprétaton géométrque d'un polynôme de degré Résoluton d'une équaton du second degré Inéquaton du second degré Quelques rappels de probabltés 7 5 Notatons standards 8 5. Sgne factorelle n! Sgne somme Formulares de l'année 0 Introducton. Ce formulare regroupe les notons qu dovent être connues et maîtrsées pour ben commencer le cours de mathématques en GMP. La dernère parte content les formulares de chaque cours dont les étudants auront beson au long du semestre.

2 V. Nolot LA NOTION DE FONCTION Rappels sur les vecteurs Un vecteur représente la plupart du temps en mécanque un déplacement ou une force. Les proprétés mathématques qu'l possède permettent de meux comprendre le mécansme en jeu. En mécanque par exemple, la drecton d'un moble en un pont est donnée par le vecteur résultant de la somme de toutes les forces (vecteurs) qu s'exercent en ce pont. Dénton. Un vecteur est un objet géométrque entèrement détermné par une drecton (la drote qu porte le vecteur) un sens (le sens que ponte le vecteur sur la drote drecton) une norme (la longueur du vecteur) Sans repère, un vecteur n'a pas de pont d'applcaton. Dès lors que l'on se donne un repère (O,, j) (on parle auss de base {, j}) dans R (par exemple), les vecteurs prennent pour pont d'applcaton l'orgne O. On peut alors parler de composantes pour denter les vecteurs. Exemple. S le vecteur u admet pour composantes (, 3) dans la base {, j}, alors on peut écrre u = (, 3). On ne peut parler de composantes s on ne précse pas la base sous-jacente. Il faut noter qu'une fos un repère (ou une base) xé(e), pusque tous les vecteurs partent tous de l'orgne, ce qu mporte est le pont d'arrvée du vecteur. Autrement dt le vecteur est entèrement détermné par son pont d'arrvée (c'est pourquo l arrve parfos de représenter les vecteurs seulement par des ponts). La noton de foncton On suppose les notons de contnuté et de lmte connues (au mons ntutvement).. Foncton et graphe de foncton Dénton (Foncton). Une foncton f entre deux ensembles E et F est une relaton qu assoce tout élément de E à au plus un élément de F. On note f : E F S f est une foncton, le domane de dénton de f est le sous-ensemble D f de E pour lequel tout élément de D f est assocé par f à exactement un élément de F. On prendra toujours F = Z ou R, c'est-à-dre des fonctons à valeurs réelles. Il faut ben comprendre le pont suvant : f est la foncton alors que f(x) est un nombre réel. C'est donc à f que s'adressent toutes les proprétés de foncton, tands que f(x) en tant que nombre ne peut être que négatf ou postf... On dra f est contnue, ou dérvable, ou crossante, etc. La phrase "f(x) est crossante" n'a pas plus de sens que la phrase " est crossante". Exemple.. La foncton x x est déne sur R.. La foncton f : R R x x est déne sur D f = R = R\{0}. 3. La foncton pussance x α = e α ln(x) est déne sur ]0, [. Dénton 3 (Graphe). On dént le graphe G f d'une foncton f comme le sous-ensemble de E F donné par G f := {(x, f(x)), x D f } D f F.

3 V. Nolot LA NOTION DE FONCTION Remarque. Une foncton est caractérsée par son graphe. Représenter une foncton consste à dessner son graphe. On ne dessne pas une foncton.. Nombre dérvé et foncton dérvée Sot f : I R R. Rappelons que le taux d'accrossement de f entre deux ponts x, x I est donné par τx x (f) := f(x ) f(x ). x x Exemple 3.. Fonctons anes : f(x) = ax + b. Alors. Foncton carré : f(x) = x. Alors Dénton 4 (Foncton dérvable). τ x x (f) = ax ax x x = a(x x ) x x = a. τ x x (f) = x x x x = (x x )(x + x ) x x = x + x. On dt que f est dérvable en a D f s la lmte suvante exste lm τ x f(x) f(a) a (f) = lm. x a x a x a On note cette lmte f (a) R ou encore d dxf(a). Cette lmte, lorsqu'elle exste, est un nombre appelé nombre dérvé de f en a. On dt que f est dérvable sur I R s f est dérvable en x pour tout x I. Exemple 4.. Fonctons anes : f(x) = ax + b. Alors lm τx x x (f) = a = f (x ). x. Foncton carré : f(x) = x. Alors lm τx x x (f) = x = f (x ). x 3. Plus généralement, les fonctons polynômes sont dénes et dérvables sur R. 4. Les fonctons cos, sn et tan sont dérvables sur leur domane de dénton et 5. exp : x e x est dérvable sur R et exp = exp. cos = sn, sn = cos, tan = + tan. 6. ln : x ln(x) est dérvable sur ]0, + [ et ln (x) = x. Remarque. S f est dérvable en a alors f est contnue en a. La récproque est fausse : est contnue en 0 mas non dérvable en 0. En eet x 0 x lm = lm x 0 x 0 x 0 x = lm = +. x 0 x.3 Etude de foncton Dans cette parte, on rappelle la démarche à suvre pour mener à ben une étude de foncton. Il est mportant de rappeler la dénton de la tangente d'une courbe en un pont. Dénton 5 (Tangente). S f est dérvable en a D f alors on peut dénr sa tangente au pont d'abscsse a par : y = f (a)(x a) + f(a). 3

4 V. Nolot LA NOTION DE FONCTION C'est la drote qu sut (ou approxme) le meux une courbe à un pont donné. Rappelons que grâce au théorème du Calculus, on peut caractérser le sens de varaton de f à partr du sgne de sa dérvée. Proposton. Supposons que f sot dérvable sur I. On a :. f 0 sur I f est crossante sur I.. f 0 sur I f est décrossante sur I. 3. f = 0 sur I f est constante sur I. La démarche suvante a été abordée au lycée. Nous approfondrons les ponts manquants. Etude de foncton : Sot f une foncton. Pour étuder une foncton l faut :. Trouver son domane de dénton, son domane de dérvablté. Etuder les lmtes aux bornes du domane 3. Dérver la foncton f 4. Etuder le sgne de la foncton dérvée f 5. Dresser le tableau de varatons de f en fasant apparaître le domane, le sgne de f et ses éventuelles tangentes 6. Trouver les asymptotes éventuelles de f aux bornes du domane.4 Recherche d'extremum Lorsque l'on a aare à des fonctons représentant un coût, une quantté ou autre, l est souvent ntéressant de trouver son mnmum ou son maxmum (s'ls exstent). Dénton 6. On dt que f admet un mnmum en x 0 sur I s f(x 0 ) f(x), pour tout x I. On dt que f admet un maxmum en x 0 sur I s f(x 0 ) f(x), pour tout x I. On appelle extremum un mnmum ou un maxmum. Proposton. Sot x 0 I qu n'est pas une extrémté de l'ntervalle (on dt que x 0 est à l'ntéreur de I). S x 0 est un extremum de f alors f (a) = 0. La récproque de la proposton précédente est fausse : l exste des fonctons dont la dérvée est nulle en x 0 mas tel que x 0 n'est pas un extremum (n un mnmum, n un maxmum) de la foncton. En eet s f(x) = x 3 alors f (x) = 3x s'annule en 0 et pourtant 0 n'est pas un extremum de f..5 Intégraton et prmtve Dénton 7 (Prmtve). Sot f : I R une foncton contnue. On dt que F : [a, b] R est une prmtve de f s F est dérvable sur [a, b] et F (x) = f(x), pour tout x [a, b]. 4

5 V. Nolot 3 POLYNÔMES Rappelons que s f admet une prmtve, alors elle en admet en fat une nnté : l sut de rajouter n'mporte quelle constante pour en créer une nouvelle. Exemple 5. F (x) = x et G(x) = x + 6 sont deux prmtves de la foncton f(x) = x. Dénton 8 (Intégrale). Sot f : I R une foncton contnue. Pour a < b I l'are entre la courbe de f et l'axe des abscsses est appelée ntégrale de f entre a et b et est notée : b a f(x) dx. Une ntégrale est donc un nombre réel. Le théorème suvant est le théorème fondamental de l'analyse, encore appelé Théorème du Calculus : l rele la noton d'ntégrale à celle de prmtve. THEOREME 3. Sot f : [a, b] R une foncton contnue. S F est une prmtve de f alors on a : b a f(x) dx = F (b) F (a). Exemple 6. On calcule quelques ntégrales à l'ade du théorème précédent (en passant par les prmtves).. Sot c R une constante :. 3. b a c dx = [c x] b a = cb ca = c(b a). b Proposton 4 (Relaton de Chasles). a [ x x dx = [ x x 3 dx = 3 ] ] b a = b a. = = 6 3. Sot f : I R une foncton contnue. Pour a < c < b I, on a : b a f(x) dx = c a f(x) dx + b c f(x) dx. 3 Polynômes 3. Déntons Pour n N, on dént où le x apparaît n fos dans le produt. x n := x x x, Proposton 5. La foncton pussance vére :. x x n est pare s n est par, et mpare s n est mpar.. lm x + x n = + s n par, s n mpar. Opposé pour x. 3. x x n est contnue et dérvable. 5

6 V. Nolot 3 POLYNÔMES Dénton 9 (Foncton polynôme). Une foncton polynôme P est de la forme x a 0 + a x + + a n x n, où les a sont appelés coecents du polynôme. Le plus grand ndce n N pour lequel a n est non nul, est appelé degré de P. Dans ce cas a n est le coecent domnant. S tous les coecents sont réels, on note P R[x]. S'l exste des coecents complexes alors on note P C[x]. Remarque 3. Un polynôme est donc une somme ne de fonctons pussances, appelées monômes. Exemple 7. deg( + x 3 x ) = 3. S a est une constante non nulle, deg(a) = 0. Conventon : deg(0) =. 3. Interprétaton géométrque d'un polynôme de degré On consdère P (x) = ax + bx + c. Ces polynômes représentent des paraboles et possèdent donc un sommet attent en b/a. Cela dépend du sgne de a : a > 0 : les branches sont tournées vers le haut, et le sommet est un mnmum global. a < 0 : les branches sont tournées vers le bas, et le sommet est un maxmum global. Le sommet a pour coordonnées ( b a, P ( )) b. a 3.3 Résoluton d'une équaton du second degré On cherche à résoudre l'équaton de second degré générale ax + bx + c = 0, () avec a 0. Cela sgne exprmer les x qu satsfont (). On note P (x) = ax + bx + c le polynôme correspondant à l'équaton. Et on écrt la forme canonque de P : Ans l'équaton () est équvalente au fat que ou encore P (x) = a(x + b a x + c a ) = a((x + b a ) b 4a + c a ) = a((x + b a ) b 4ac 4a ). (x + b a ) b 4ac 4a = 0 (x + b a ) = b 4ac 4a. Le premer membre est postf, ce qu mplque que le second membre, souvent noté et appelé dscrmnant dot auss être postf. S c'est le cas, on prend la racne et et nalement x + b a = ± b 4ac 4a = ±, 6

7 V. Nolot 4 QUELQUES RAPPELS DE PROBABILITÉS Proposton 6. Les solutons de () s'exprment : S 0 alors l y a deux solutons x = b ±. a S = 0, les deux solutons sont confondues. S < 0 alors les solutons sont complexes non réelles où δ est tel que (δ) =. x = b ± δ, a Dans la pratque, pusque les coecents a et b sont donnés, on est ramené à calculer le dscrmnant. Et les solutons s'en dédusent. 3.4 Inéquaton du second degré On est souvent amené à résoudre une néquaton de degré de la forme : ax + bx + c 0. Notons P (x) = ax + bx + c. Cela revent précsément à étuder le sgne de P. Supposons que P a deux racnes réelles x et x. Le tableau de sgne de P se dédut alors faclement en foncton des racnes : x x x + P (x) sgne de a sgne de a sgne de a Exemple 8. Le polynôme P (x) = x a deux racnes : et. Son tableau de sgne est Pette dgresson sur les négaltés. x + P (x) + + Rappelons les règles élémentares. Partons de l'négalté a x. S b > 0 alors ab xb et a b x b. S b < 0 alors ab xb et a b x b. S b c alors a + b x + b x + c. 4 Quelques rappels de probabltés Les probabltés ntervennent aujourd'hu dans tous les domanes scentques. C'est pourquo elles sont de plus en plus abordées en classes de Lycée, et dans le Supéreur. Elles sont essentelles dans la formaton de l'ngéneur d'aujourd'hu. Nous rappelons c les éléments qu dovent être connus. Probablté unforme Nous dénrons proprement lo unforme dscrète, lo unforme contnue. Nous nous contentons de rappeler l'dée d'une probablté unforme avec l'appu de l'exemple le plus smple : le lancer de dé. Exemple 9. On lance un D6 (dé à 6 faces) équlbré. Cela revent à lancer deux D6. S'l est équlbré, on sat que la probablté de tomber sur une face quelqu'elle est de /6. La probablté ne dépend pas de la face et on parle de probablté unforme. Mantenant on eectue la même expérence (aléatore) avec un D6 qu n'est pas équlbré. Autrement dt la probablté d'apparton des faces va dépendre de chaque face : on n'est plus dans une stuaton équlbrée, et la probablté n'est pas unforme. De manère générale, lorsque l'on est en stuaton d'équprobablté, on a : 7

8 V. Nolot 5 NOTATIONS STANDARDS Proposton 7 (Probablté unforme). Proba = Nombre de cas favorables Nombre de cas possbles. 5 Notatons standards 5. Sgne factorelle n! Dénton 0. S n est un enter naturel, on note n! = n (n )... Par conventon on dt 0! =. Exemple 0..! =.! = = 3. 3! = 3 = 6 4. n! = n(n )! Le coecent bnomal de p parm n (où p est un enter plus pett que n) est noté et dén par : ( ) n n! = p p!(n p)!. Ce n'est pas tout à fat évdent, mas ce coecent bnomal est toujours un enter quels que soent n, et 0 p n. 5. Sgne somme Dénton. Soent des données a,..., a n R. La somme de ces données est notée a = a + + a n. = L'ndce dans la somme est muet et aurat pu être remplacé par j, k, l... a = a k = a l. = k= l= Notons que = = n = n. = Proposton 8. n = a + n = b = n = (a + b ), Pour k R, n = ka = k n = a. 8

9 V. Nolot 5 NOTATIONS STANDARDS Exercce. a. Calculer n =. Il s'agt de la somme des n premers termes d'une sute arthmétque de rason, que l'on connaît ben : n(n + ) =. b. Calculer n On a = ( + j). ( + j) = = = + = j = = n(n + ) + jn. En eet la deuxème somme ne dépend pas de l'ndce : on somme sur donc le j est constant. c. Calculer 7 k= k 3. Pour calculer cette somme, on dot se débarasser des valeurs absolues donc détaller tous les cas : 7 k 3 = = = 3. k= d. Calculer 3 k= k pus 3 = k. On utlse la proprété de la somme en sortant le qu est constant dans la premère somme : 3 k= 3 k = k = ( ) = 6. k= Et pour la deuxème c'est le k qu est constant : Proposton 9. 3 = k = k 3 = k ( + + 3) = 6 k. Formule du bnôme de Newton La formule du bnôme de Newton est donnée par : = (a + b) n = =0 ( ) n a b n. Exercce.. Pour x R, calculer =0 ( ) n x. On écrt ce qu'l manque pour se ramener à une forme du bnôme de Newton =0 ( ) n x = =0 ( ) n x n = ( + x) n.. Calculer On a : =0 ( ) n = =0 =0 ( ) n. ( ) n n = ( + ) n = n. 9

10 V. Nolot 6 FORMULAIRES DE L'ANNÉE 6 Formulares de l'année Rappels Nombre dérvé Dérvées usuelles f (a) = lm x a f(x) f(a) x a (u + v) = u + v (λu) = λ.u Tangente de f en a (u.v) = u v + uv ( u ) = u u y = f (a)(x a) + f(a) ( u v ) = u v uv v (u α ) = αu α u pour α R Lmtes et comparasons (exp) = exp (ln) (u) = u u a lm nx n + a x+a 0 x b mx m + b x+b 0 = lm anxn b mx (sn) = cos (cos) = sn m lm x + x α = + s α > 0, et = 0 s α < 0 (tan) = + tan lm x + exp(x) x n = + lm x + ln(x) x n = 0 lm x x n exp(x) = 0 lm x 0 x n ln(x) = 0 Proprétés algébrques élémentares de exp et ln exp(x + y) = exp(x) exp(y) et (exp(x)) α = exp(αx) ln(xy) = ln(x) + ln(y) et ln(x α ) = α ln(x) 0

11 V. Nolot 6 FORMULAIRES DE L'ANNÉE S - Chaptre : Calcul vectorel et géométre Les dérents produts Produt scalare dans R n Produt vectorel dans R 3 Pour u = (x,, x n ) et v = (y,, y n ) Pour u = (x, x, x 3 ) et v = (y, y, y 3 ) u v = n = x y u v = (x y 3 x 3 y, x 3 y x y 3, x y x y ) cos( u, v ) = u v u v u v u v = 0 u = k v u v = k u sn( u, v ) = u v u v u v u v = u v u = k v u v = 0 Projecton orthogonale Produt mxte dans R 3 Projecton de AB sur AC [ u, v, w] = ( u v) w AH = AB AC AC. P un plan de R 3. u, v, w P [ u, v, w] = 0 AC Equaton cartésenne d'une drote ax + by + c = 0 Ensembles dans R Equaton paramétrquement d'une drote x = x 0 + t α t R y = y 0 + t β Vecteur normal Vecteur drecteur Vecteur drecteur n = (a, b) u = ( b, a) u = (α, β) Dstance d'un pont à une drote Dstance de M(x, y) à D : ax + by + c = 0 Equaton d'un cercle de centre (x 0, y 0 ) et de rayon R d(m, D) = ax+by+c a +b (x x 0 ) + (y y 0 ) = R Ensembles dans R 3 Equaton cartésenne d'un plan ax + by + cz + d = 0 Vecteur normal n = (a, b, c) Equaton paramétrquement d'un plan x = x 0 + t α + l α y = y 0 + t β + l β t, l R. z = z 0 + t η + l η Equaton cartésenne d'une drote ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 Vecteur drecteur Equaton paramétrquement d'une drote x = x 0 + t α y = y 0 + t β t R. z = z 0 + t η Vecteur drecteur u = (a, b, c) (a, b, c ) u = (α, β, η) Dstance d'un pont à un plan Dstance de M(x, y, z) à P : ax + by + cz + d = 0 d(m, P) = ax+by+cz+d a +b +c Dstance d'un pont à une drote Dstance de M à D passant par A et drgée par u d(m, D) = AM u u

12 V. Nolot 6 FORMULAIRES DE L'ANNÉE S - Chaptre : Trgonométre Les deux dérentes écrtures en coordonnées Cartésennes u = (a, b) = ( u cos(α), u sn(α)) Polares u = (r, α) où r = u x 0 π 6 sn(x) 0 cos(x) Valeurs remarquables 3 π 4 tan(x) 0 3 Relatons fondamentales cos (x) + sn (x) = π 3 cos (x) = + tan (x) pour x π + kπ Symétres Formules d'addton π cos(a + b) = cos(a) cos(b) sn(a) sn(b) 3 cos(a b) = cos(a) cos(b) + sn(a) sn(b) 0 sn(a + b) = sn(a) cos(b) + sn(b) cos(a) 3 sn(a b) = sn(a) cos(b) sn(b) cos(a) tan(a + b) = tan(a)+tan(b) tan(a) tan(b) tan(a b) = tan(a) tan(b) +tan(a) tan(b) Du produt en somme cos(a) cos(b) = (cos(a + b) + cos(a b)) sn(x + π ) = cos(x) cos(x π ) = sn(x) sn(a) sn(b) = (cos(a b) cos(a + b)) sn(x + kπ) = ( ) k sn(x) cos(x + kπ) = ( ) k cos(x) sn(a) cos(b) = (sn(a + b) + sn(a b)) S - Chaptre 3 : Polynômes Dvsons de deux polynômes : A par B Dvson eucldenne A = BQ + R avec deg(r) < deg(b) Dvson suvant les pussances crossantes A = BQ + x p+ R à l'ordre p, avec deg(q) p Racnes et factorsaton α est racne de P P (x) = (x α)q(x) α est racne de multplcté p P (k) (α) = 0 (pour k p) et P (p+) (α) 0

13 V. Nolot 6 FORMULAIRES DE L'ANNÉE S - Chaptre 4 : Fonctons Composée de deux fonctons g f(x) = g(f(x)) pour x D f et f(x) D g Foncton récproque de f g telle que g f = Id et f g = Id Notaton : g = f (g f) (x) = g (f(x)) f (x) (f ) (y) = f (f (y)) Polynôme de Taylor de f en x 0 à l'ordre n P n (f, x 0 )(x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) x x0! + f (x 0 ) (x x0)! + + f (n) (x 0 ) (x x0)n n! Foncton f néglgeable devant x n en 0 f(x) = x n ε 0 (x) et lm x 0 ε 0 (x) = 0 ou encore lm x 0 f(x) x n = 0 Développements lmtés usuels en 0 à l'ordre n e x = + x! + x! + x3 3! + + xn n! + x n ε 0 (x) e x = x! + x! x3 xn 3! + + ( )n n! + x n ε 0 (x) ln( + x) = x x + x3 3 + ( )n+ xn n + xn ε 0 (x) ln( x) = x x x3 3 xn n + xn ε 0 (x) x = + x + x + x x n + x n ε 0 (x) +x = x + x x ( ) n x n + x n ε 0 (x) cos(x) = x! + x4 4! x6 xp 6! + + ( )p (p)! + xp+ ε 0 (x) (avec n = p + ) sn(x) = x x3 3! + x5 5! x7 xp+ 7! + + ( )p (p+)! + xp+ ε 0 (x) (avec n = p + ) ( + x) α = + αx + α(α ) x x3! + α(α )(α ) 3! + + α(α ) (α n+) n! x n + x n ε 0 (x) avec α R 3

14 V. Nolot 6 FORMULAIRES DE L'ANNÉE S - Chaptre 5 : Probabltés Nom Lo de X Espérance et Varance Lo dscrète X(Ω) Z E[X] = k X(Ω) P X(k)k P X (k) = P(X = k) V [X] = k X(Ω) P X(k)k E[X] X U({k,, k n }) X(Ω) = {k,, k n } E[X] = k X(Ω) k n P X (k ) = n V [X] = k X(Ω) X B(p) X(Ω) = {0, } E[X] = p P X () = p et P X (0) = p V [X] = p( p) X B(n, p) X(Ω) = {0,,, n} E[X] = np X P(λ) k n E[X] P X (k) = ( n k) p k ( p) n k V [X] = np( p) λ λk X(Ω) = N et P X (k) = e k! E[X] = λ et V [X] = λ Lo à densté f X(Ω) [a, b] E[X] = b a tf(t)dt P X ([x, x ]) = x x f(t)dt V [X] = b a t f(t)dt E[X] X U([a, b]) X(Ω) = [a, b] E[X] = a+b f(t) = b a pour t [a, b] (b a) V [X] = X N (m, σ) X(Ω) = R E[X] = m ( ) f(t) = σ exp (t m) π σ V [X] = σ Théorème Central Lmte Hypothèses : X n v.a. ndépendantes de même lo d'espérance m, de varance σ. Résultat : Notaton : S n = X + + X n. S - Chaptre 6 : Statstques Pour n grand on a Sn nm σ n N (0, ) ou encore S n N (nm, σ n) Estmateurs Fréquence, proporton F n = Kn n où K n est le nombre de succès total Espérance X n = n n = X Varance S n = n n = (X X n ) Intervalle de conance Conance de nveau α P(t r < T n < t + r) = α où T n estmateur de t On trouve z α tel que : I α = [t obs z α σ obs ; t obs + z α σ obs ] Estmateur d'un test Comparason de proportons Z = ( K n K n ) (p p ) p ( p ) n + p ( p ) n Comparason de moyennes Z = (X n X n ) (m m ) σ n + σ n 4

15 V. Nolot 6 FORMULAIRES DE L'ANNÉE S - Algèbre lnéare Matrce nversble A est nversble s'l exste B telle que A.B = I n Matrce d'applcaton lnéare ϕ A = Mat β (ϕ) A = Mat β (ϕ ) A = Mat β (ϕ ) et B = Mat β (ϕ ) A.B = Mat β (ϕ ϕ ) Système d'équatons lnéares (S) : A.X = B admet sot une unque soluton (s A est nversble) sot une nnté de solutons sot aucune soluton Polynôme caractérstque d'une matrce carrée A : P A (λ) = det(a λi n ) S A est de talle n n alors P A est de degré n Changement de base de β vers β D'un vecteur X vecteur dans β X = P β β X β D'une matrce A matrce dans β A = P β β A β P β β Crtères dagonalsaton d'une matrce A M n (R) S A a n valeurs propres dstnctes S A est symétrque réel A est dagonalsable alors A est dagonalsable alors A est dagonalsable la somme des dmensons des s.e.v. propres vaut n S - Chaptre 6 : Fractons ratonnelles Degré de F (x) = P (x) Q(x) deg(f ) = deg(p ) deg(q) S deg(f ) > 0 alors F admet une parte entère. Eléments smples Premère espèce λ (x α) n Deuxème espèce λx+µ (ax +bx+c) n avec b 4ac < 0 S - Chaptre 7 : Intégraton Intégraton par partes S u et v sont C alors u.v = [u.v] u.v Changement de varables x = h(u) dx = h b (u) du a f(x) dx = h (b) h (a) f(h(u))h (u) du u Prmtves usuelles u = ln u u u = n n +x = Arctan(x) u.u = u u n 5

16 V. Nolot 6 FORMULAIRES DE L'ANNÉE S - Chaptre 8 : Equatons dérentelles Equaton dérentelle d'ordre a(x)y + b(x)y = 0 y H (x) = λe b(x) a(x) dx Equaton dérentelle d'ordre S r et r sont solutons réelles de l'ec alors S r est soluton double de l'ec alors S r = α + β et r = α β sont solutons complexes de l'ec alors y H (x) = λe rx + µe rx y H (x) = (λx + µ)e rx y H (x) = e αx (λ cos(βx) + µ sn(βx)) 6

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