Travail et puissance d une force

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1 W Tavail et puissance d une foce W F d Fcos 3 ds... intégale cuviligne le long de la tajectoie s abscisse cuviligne le long de la tajectoie ds d F t tajectoie F n d F F t Seule la composante de F tangente à la tajectoie (F t ) tavaille; la composante nomale à la tajectoie (F n ) ne tavaille pas Exemples: la foce centipète du mouvement ciculaie unifome ne tavaille pas, les foces de liaisons (pependiculaies au déplacement) ne tavaillent pas Une foce dont le point d application est immobile ne tavaille pas: Exemple: foce de fottement su un cylinde oulant sans glisse su un plan incliné Le tavail élémentaie W a le signe de la pojection de F su la diection de mouvement: Exemple: le tavail d une foce de fottement sec vaut W µ c N (s s ) < 0 Puissance instantanée d une foce: P W dt OS, 30 mas F d dt F v

2 Théoème de l énegie cinétique (valable quelle que soit la natue des foces) Pou un point matéiel: K K W dk dt P F v Pou un système de points matéiels: K tot K tot tot, ext W tot, int +W dktot dt P tot, ext tot, int +P Attention: les foces intenes inteviennent, ca elles peuvent tavaille! Cas d un solide indéfomable S (avec A, S): P tot, ext +P tot, int F v F ( v A + A) F v A + AF F v A + AF dk tot dt F ext v A + M A ext [ ( )] OS, 30 mas Note : W(otation) M O d Rappel : K tot Mv G I G + ( )

3 ème mg loi + N de + F Newton: oute + F ai ma Voitue en accéléation Foces extéieues s exeçant su la voitue: Poids mg Réaction du sol N Fottements de la oute su les oues F oute Fottement de l ai su la caosseie F ai Nmg ma F oute F ai Tavail et énegie cinétique: F oute ne tavaille pas (oulement sans glissement) Aucune foce extéieue ne tavaille sauf F ai Le tavail de F ai est négatif et cause une diminution d énegie cinétique Mais l énegie cinétique augmente il y a des foces intenes dont le tavail est positif! dk voitue dt tot, ext P F oute OS, 30 mas F ai N mg F oute est esponsable de l accéléation mais pas du gain en énegie cinétique! 3 +Ptot, int >0 < 0 démo: oulement à billes a

4 W Tavail de la foce de pesanteu F d mg e ˆ z d mg dz mg z z mgz mgz (ou d une foce constante) ( ) z O x tajectoie y tajectoie A d m Fmg Le tavail ne dépend que des coodonnées z des points et ; il ne dépend pas de la tajectoie suivie ente ces deux points Le tavail de la foce de pesanteu est nul le long d une tajectoie femée quelconque: W mg d + mg d W +W 0 On écit: mg d 0 OS, 30 mas 006 7

5 Tavail de la foce de appel d un essot W F d kx dx [ ] kx kx kx F kx k O m x W Tavail de la foce de gavitation F d GmM ˆ e d 3 d + GmM [ GmM ] GmM Le tavail ne dépend que des points de dépat et d aivée F d 0 Tee OS, 30 mas M F tajectoie d m

6 Foce consevative: Foces consevatives foce F() dont le tavail ne dépend que des points de dépat et d aivée (quels que soient ces points), et non de la tajectoie ente les deux Popiétés: La foce F F ( ) est consevative c F d 0, coube femée c une fonction V( ) telle que F d [ V( ) V( )],, c une fonction V( ) (potentiel) telle que F ( ) V( ), c Le champ de foce F est iotationnel c'est - à - die F ( ) 0, On dit que la foce F déive du potentiel V Abus de langage: «potentiel» énegie potentielle Notions d'analyse vectoielle : Nabla : " /x /y " /z Gadient : gad V( ) V( ) Rotationnel : ot F ( ) F ( ) OS, 30 mas 006 9

7 Enegie potentielle potentiel dont une foce consevative déive énegie potentielle du point matéiel soumis à cette foce L énegie potentielle est définie à une constante abitaie pès Elle epésente le tavail que la foce doit founi pou amene le point matéiel à une position de éféence abitaie: position de éféence V F d position du point matéiel Exemple de foce : Enegie potentielle associée : Ressot : F kx V kx +C Pesanteu : F mg V mgz +C Gavitation : F ( GMm/ )ˆ e VGMm/ +C Centale : F F() e ˆ V F(')d' +C 0 Fottement : F f(v)ˆ v aucune (foce non consevative) OS, 30 mas 006 0

8 Point matéiel soumis à: Enegie mécanique: Théoème de l énegie des foces consevatives F k gad V k ( ) des foces non consevatives de ésultante E(, v ) K( v ) +V( ) m v + Ente les points et, on a: K K W V( ) V( NC )+W E E W NC si seules des foces consevatives tavaillent: OS, 30 mas 006 k F NC V k ( ) de dt PNC F NC v La vaiation (déivée) de l énegie mécanique est égale au tavail (à la puissance) des foces non-consevatives E constante démo: bille dans saladie Théoème de l énegie Consevation de l énegie mécanique

9 Cylinde oscillant su plan incliné démo Connus: Masse m du cylinde Rayon R du cylinde Constante k du essot Coefficient de fottement µ c Angle (tg > µ s ) x Fil et poulie sans masses Conditions initiales (t0): x0, v0 Fil tendu et T 0 Question: Pouquoi le cylinde finit-il pa s aête définitivement? OS, 30 mas 006 v mg N T F fot T essot fixé E mv + I +mg(x sin)+ kx x f position finale (équilibe) kx f mg sin x f (mg/k) sin E E f E t0 mg(x f sin)+ kx ( f ) 0 kx f tavail des foces non consevatives (fottements su l axe du cylinde et de la poulie, amotissement du essot, )

10 Au tableau Yoyo démo z G R mg v G fil F A Equations du mouvement: M G dl G /dt RF I G mr (a G /R) F ma G mg + F ma a G F mg ma G G 3 g Conditions initiales (à t0): v G 0 et z 0 Solution: v G a G t z a Gt v G a G z 4 3 gz Le poids est consevatif et F ne tavaille pas le poblème peut ête ésolu pa la consevation de l énegie: K * I G mr ( )(v/r) mv 4 G K mv G +K * 3 mv 4 G E 3 mv 4 G mgz E 0 0 v G 4 3 gz OS, 30 mas 006 3