VAUDON Patrick Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques 1 IRCOM Université de Limoges

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1 VAUDON Patick Mast Rchch Télécommunications Hauts Féquncs t Optiqus IRCOM Univsité d Limogs XI : Résaux d antnns ******************* L antnn st l élémnt incontounabl d tout dispositif pmttant d tansmtt pa vois htzinns d l infomation au sns lag. Dans tous ls cas, il st impotant d maîtis la épatition spatial d l éngi élctomagnétiqu ayonné. Ctt épatition dépnd d la natu d la tansmission, c qu on put illust, sans êt xhaustif, pa ls qulqus xmpls suivants : - Pou un liaison point à point, on utilisa un antnn dictiv ca tout éngi qui s écat d la liaison st pdu. - Pou ds stations d bass d téléphoni mobil, on découp pafois ls 36 dgés d l hoizon n sctu d dgés : l ayonnmnt d l antnn dva alos êt sctoil dans l plan d l hoizon. - Pou ds applications ada, on utilisa un lob d ayonnmnt cosécanté pmttant un illumination d l objt détcté à puissanc constant. - Pou un émission d adio local, on aua bsoin d un ayonnmnt omnidictionnl. O, il st a qu un antnn sul pmtt d obtni dictmnt la fom du diagamm d ayonnmnt souhaité. Pa cont, n associant judiciusmnt plusius antnns idntiqus, on put s appoch du diagamm désié. Ctt association pot l nom d ésau d antnns. L étud ds ésaux d antnns put êt scindé n dux patis : L analys : qui consist à détmin l ayonnmnt obtnu losqu l on connaît l amplitud t la phas d l ond appliqué à chaqu antnn. L analys doit nous pmtt d compnd commnt l association d plusius antnns modifi l diagamm d ayonnmnt, ainsi qu l influnc ds pincipaux paamèts physiqus du ésau su c ayonnmnt. La synthès : pou laqull on impos un diagamm d ayonnmnt souhaité, t qui doit pmtt d détmin l amplitud t la phas qu l on doit impos à chaqu élémnt du ésau pou s appoch au miux d c diagamm. I) Pmiè pati : l analys Afin d appéhnd «l fft ésau», nous allons considé un antnn au ayonnmnt isotop : un tll antnn n a pas d éalité physiqu, sa sul vtu st d pmtt un évaluation immédiat ds modifications qui sont suscptibls d intvni su son diagamm d ayonnmnt. I-) Etud d un ésau à élémnts isotops Considéons dux antnns idntiqus au ayonnmnt isotop. Nous allons pati d la situation initial où cs dux antnns sont supposés à l oigin : il st alos évidnt qu l diagamm d ayonnmnt st omnidictionnl t idntiqu à clui d un sul antnn.

2 VAUDON Patick Mast Rchch Télécommunications Hauts Féquncs t Optiqus IRCOM Univsité d Limogs Nous allons nsuit laiss un antnn à l oigin t éloign pogssivmnt la duxièm antnn n la positionnant à un distanc d d l oigin su l ax ds x (Figu XI-). Nous pouons alos obsv pogssivmnt la défomation du diagamm d ayonnmnt global losqu l on écat ls dux antnns. Z E P E Y O θ d d.θ X Figu XI- : Rpésntation ds dux antnns au ayonnmnt isotop t du point d obsvation P L antnn situé à l oigin ayonn au point P situé dans l plan y un champ un champ élctiqu qu l on put modélis pa la lation : jk E (P) α p (XI-) dans laqull α st un constant t p l vctu qui pot la polaisation au point P. L antnn situé su l ax ds x, à la distanc d d l oigin ayonn au point P un champ un champ élctiqu qu l on put modélis pa la lation : E d θ jk( d θ) (P) α p (XI-) Suivant ls appoximations classiqus du champ lointain, on put néglig la distanc d.(θ) su l tm d amplitud du champ, mais non su sa phas. L champ total au point P s obtint n sommant ls dux contibutions pécédnts : jk jk( d θ) jk E (P) α p α + p + θ { jkd } (XI-3) Et l obsvation ds lations (XI-) t (XI-3) mont qu la modification intoduit pa la duxièm antnn à la distanc d d la pmiè, dans l plan y, st donné pa l tm nt accolads d la lation (XI-3) :

3 VAUDON Patick Mast Rchch Télécommunications Hauts Féquncs t Optiqus 3 IRCOM Univsité d Limogs + jkd θ (jkd θ) / (jkd θ) / (jkd θ) / (jkd θ) / kd θ { + } cos (XI-4) C tm xpimé d diffénts maniès dans l xpssion (XI-4) st applé Factu d ésau. Il taduit la modification appoté au diagamm d ayonnmnt d un antnn sul losqu ll st mis n ésau avc un duxièm. L champ total ayonné s xpim alos sous la fom : E(P) α ( kd θ ) p jk (jkd θ) / (XI-5) cos t l diagamm d ayonnmnt cospondant dans l plan y s écit, à un distanc donné t n pnant l modul d (XI-5) : E( θ ) cos kd θ (XI-6) L évolution d c diagamm n fonction d la distanc d st pésnté Figu XI d.5 λ d.5 λ d.75 λ d λ d.5 λ d.5 λ

4 VAUDON Patick Mast Rchch Télécommunications Hauts Féquncs t Optiqus 4 IRCOM Univsité d Limogs d.75 λ d λ Figu XI- : Evolution du diagamm d ayonnmnt d un ésau d élémnts n fonction d la distanc nt élémnts, dans l plan du ésau. Ls pincipals obsvations su ctt évolution sont ls suivants : - Jusqu à un distanc d λ /, il n y a qu un sul lob d ésau qui dvint d plus n plus dictif au fu t à msu qu d augmnt. - Pou λ / < d <λ, il y a appaition d dux lobs latéaux, dont l maximum st coissant avc d. - Pou λ < d <.λ, il y a 3 lobs d ayonnmnt maximum, avc appaition pogssiv d lobs d ayonnmnt latéaux. On déduit d cs maqus qu la distanc nt élémnts sa n généal choisi nt λ / t λ. Ls dux paamèts influant su ctt distanc sont : - La chch d un dictivité maximum, qui a liu aux nvions d d.75 λ - La longuu ds ligns qui doivnt alimnt, dans l cas d ésau dictifs, tous ls élémnts n phas, c qui impos un distanc nt élémnts égal à λ guidé λ / I-) Etud d un ésau à élémnts non isotops ε Losqu ls élémnts du ésaux sont ds antnns élls, lu ayonnmnt dans l plan du ésau put êt décit pa un fonction E(θ). L ayonnmnt ds dux soucs n champ lointain put alos êt modélisé pa ls lations : jk jk( d ) E (P) E( θ ) p t p θ E (P) E( θ) d θ (XI-7) Un aisonnmnt analogu au pécédnt conduit au champ total ayonné pa ls dux soucs, dans l plan du ésau :

5 VAUDON Patick Mast Rchch Télécommunications Hauts Féquncs t Optiqus 5 IRCOM Univsité d Limogs E(P) jk (jkd θ) / { cos( kd θ )} E( θ) p (XI-8) n n déduit un popiété généal ds ésaux linéais : L champ total ayonné pa un ésau d élémnts idntiqus st égal au poduit du champ ayonné pa un élémnt du ésau pa l factu d ésau : c sont ls dux tms nt accolad d l xpssion (XI-8). I-3) Etud d un ésau linéai à n élémnts égulièmnt spacés Nous disposons maintnant ds outils pou déci l ayonnmnt d n soucs alignés suivant un ax qu nous choisions poté pa Ox (Figu XI-3) Z P Y d.(θ) θ X d d d Figu XI-3 : Résau aligné d n élémnts égulièmnt spacés L factu d ésau dans l plan du ésau s constuit pa un aisonnmnt analogu au pécédnt : F jkd θ jkd θ 3jkd θ (n )jkd θ (XI-9) On connaît dans l xpssion (XI-9) un pogssion géométiqu d aison jkd.(θ), dont on sait évalu la somm : F jnkd θ jnkd θ jnkd θ jkd θ jkd θ jkd θ jnkd θ jkd θ jnkd θ jkd θ ( nkd ) θ ( kd θ ) (XI-) D où l xpssion du champ ayonné dans l plan y : E(P) jnkd θ jkd θ ( nkd ) ( ) jk θ E( θ) p kd θ (XI-)

6 VAUDON Patick Mast Rchch Télécommunications Hauts Féquncs t Optiqus 6 IRCOM Univsité d Limogs L diagamm d ayonnmnt du factu d ésau s écit donc dans l plan y : ( nkd ) θ ( kd θ ) F( θ ) (XI-) dont on put donn un évolution n fonction du nomb d élémnts n, apès avoi fixé la distanc nt élémnts d λ / pa xmpl (Figu XI-4) n élémnts n 4 élémnts n 8 élémnts n 6 élémnts Figu XI-4 : Evolution du diagamm d ayonnmnt du factu d ésau n fonction du nomb d élémnts. L factu d ésau dvint d plus n plus dictif au fu t à msu qu l nomb d élémnts augmnt. Si l on souhait obtni l diagamm d ayonnmnt él du ésau, nous dvons multipli l factu d ésau pa l diagamm d ayonnmnt d chaqu antnn. Dès qu l nomb n d élémnts dvint impotant (disons supéiu à pou fix ls idés), l diagamm d ayonnmnt global dépnd ssntillmnt du factu d ésau, t pu du diagamm d ayonnmnt d chaqu antnn. Pou illust ctt maqu d maniè simpl, considéons un antnn dont l diagamm sait n cos(θ) (n vt su la figu XI-5) t compaons l ayonnmnt d ctt antnn mis n ésau (6 élémnts), avc l Factu d ésau cospondant, qui, applons l, cospond au ayonnmnt d 6 antnns isotops. On constat qu l lob pincipal st idntiqu, t qu ls pmiès difféncs notabls appaaissnt à pati du 3 èm lob d ésau qui st d plus faibl amplitud pou l antnn n cos(θ), c qu l on compnd n constatant qu ll ayonn moins dans ctt diction qu un antnn isotop.

7 VAUDON Patick Mast Rchch Télécommunications Hauts Féquncs t Optiqus 7 IRCOM Univsité d Limogs Figu XI-5 : Rayonnmnt n cos(θ) (vt), 6 antnns isotops (os), 6 antnns n cos(θ) (blu). I-4) Analys du ayonnmnt n tois dimnsions. Ls analyss pécédnts ont été simplifiés dans un souci d claification ds phénomèns : l diagamm d ayonnmnt était pésnté dans l plan du ésau, choisi comm l plan y, c qui cospond n coodonnés polai au plan φ. Dans ls auts dictions d l spac, nous dvons pnd n compt la dépndanc n φ. Si on pnd un notation déjà utilisé n désignant pa M la position couant à l absciss x d un antnn du ésau ; l déphasag d popagation pa appot à l antnn svant d éfénc d phas situé à l oigin st donné pa l poduit scalai : k.om k + ( x θ cos φ + y θ φ z cos θ) qui s éduit à kx. Sin(θ).cos( losqu l ésau st aligné suivant l ax ds x. (XI-3) Rpnant la lation (XI-), on n déduit qu l factu d ésau dans un diction (θ, qulconqu s écit, pou un ésau linéai égulièmnt spacé d un distanc d, disposé suivant l ax ds x : F jnkd θ cos φ jkd θ cos φ nkd θ cos φ kd θ cos φ (XI-4) I-5) Analys d un ésau plan Nous avançons pogssivmnt dans la généalisation, n considéant un ésau plan constitué pa M élémnts suivant l ax ds x, t N élémnts suivant l ax ds y.

8 VAUDON Patick Mast Rchch Télécommunications Hauts Féquncs t Optiqus 8 IRCOM Univsité d Limogs Nous supposons égalmnt qu cs élémnts sont égulièmnt spacés, mais d un distanc qui put êt diffént suivant l ax ds x, t suivant l ax ds y : nous désignons cs distancs pa d x t d y. L élémnt couant sa désigné pa (m,n), tandis qu l élémnt (m, n) sa situé à l oigin (Figu XI-6). Z Y d y d y d y n (m,n) d y m X d x d x d x Figu XI-6 : Rpésntation d un ésau plan Dans cs conditions, l factu d ésau s écit : F m M m n N n jk(md x cos φ θ + nd y φ θ) (XI-5) I-6) Pis n compt d l alimntation Pou ds aisons divss (pointag, abaissmnt ds lobs scondais,.), on put souhait modul l amplitud t la phas du signal appliqué à chaqu antnn élémntai du ésau. Si on désign l amplitud complx d c signal pa : a m, n m, n jβm,n a (XI-6) on obtint un xpssion généal pmttant d calcul l factu d ésau, t l diagamm d ayonnmnt d un ésau plan : m M m n N n jk(md x cos φ θ + nd y φ θ) + jβm,n F( θ, a (XI-7) m,n E(, θ, jk F( θ, E( θ, p( θ, (XI-8) dans laqull la dépndanc n (θ, d chaqu paamèt a été claimnt xplicité, avc F : factu d ésau, E : diagamm d ayonnmnt d chaqu antnn élémntai, l dni

9 VAUDON Patick Mast Rchch Télécommunications Hauts Féquncs t Optiqus 9 IRCOM Univsité d Limogs tm d (XI-8) pésntant l vctu unitai d polaisation dans chaqu diction d l spac. I-7) Evolution d la dictivité La fonction qui pésnt l factu d ésau étant lativmnt complx, il n st plus possibl d fai un calcul analytiqu d dictivité : il dvint nécssai d fai appl à ds méthods d intégation numéiqu afin d obtni la puissanc total ayonné. D plus, il n st plus possibl d simplifi l poblèm pa un analys à un dimnsion dans laqull l ayonnmnt stait isotop n θ ou n φ, comm n témoignnt touts ls lations obtnus pécédmmnt. Il faut donc dispos d un méthod numéiqu d doubl intégation. I-7-a) Evolution d la dictivité n fonction d la distanc nt élémnts Afin d bin idntifi l influnc d la distanc nt élémnts, nous allons considé un ésau d élémnts au ayonnmnt isotop, disposés su l ax ds x, t sépaés pa un distanc vaiabl d. Dans cs conditions, l diagamm d ayonnmnt st donné pa la lation : kd θ cos φ E( θ, cos (XI-9) t la puissanc total ayonné s écit : s E ( θ, ds η π π E ( θ, η θdφdθ (XI-) Pa définition, la dictivité dans un diction qulconqu d l spac st donné pa la lation : E ( θ, η E ( θ, D ( θ, 4π 4π (XI-) π π π π E ( θ, θdφdθ E ( θ, θdφdθ η O Losqu d, on déduit d (XI-9) t (XI-) qu la dictivité st constant t égal à : ls dux élémnts sont supposés à l oigin t ayonnnt nsmbl d maniè isotop. Losqu d augmnt, la dictivité maximum obtnu dans la diction θ pnd la fom : D Max( θ, 4π π π (XI-) kd θ cos φ cos θdφdθ

10 VAUDON Patick Mast Rchch Télécommunications Hauts Féquncs t Optiqus IRCOM Univsité d Limogs On put pésnt ctt dictivité maximum n fonction d la distanc nt ls élémnts (Figu XI-7) Dictivité maximum n db Distanc nt élémnts n lambda Figu XI-7 : Evolution d la dictivité d un ésau d élémnts n fonction d la distanc qui ls sépa. On constat qu l maximum d dictivité st attint au voiag d d.7 λ : c st la distanc qu il fauda chch à attind los d la éalisation d ésaux dictifs. I-7-b) Evolution d la dictivité n fonction du nomb d élémnts Rapplons l diagamm d ayonnmnt d un ésau aligné d n élémnts isotops égulièmnt spacés d un distanc d (XI-), étndu à touts ls dictions d l spac : nkd θ cos φ F( θ ) (XI-3) kd θ cos φ t un aisonnmnt analogu au pécédnt conduit à l xpssion d la dictivité maximum suivant : D Max( θ, 4π n π π (XI-4) [(nkd θ cos / ] θdφdθ [(kd θ cos / ] Pou d.5 λ, l tablau ci-dssous ésum ls ésultats obtnus : Nomb d élémnts : n Dictivité maximal n db

11 VAUDON Patick Mast Rchch Télécommunications Hauts Féquncs t Optiqus IRCOM Univsité d Limogs Pou d.5 λ, un ésau d n k élémnts a un dictivité égal à (3*k) db. Ainsi, un ésau ayant un gain d 7 db doit compot au minimum 9 5 élémnts. On n put cpndant spé augmnt indéfinimnt l gain d un ésau. Au fu t à msu qu l nomb d élémnts augmnt, il faut épati t distibu l éngi à chacun d cs élémnts, c qui induit ds pts qui annihilnt l fft ésau au dlà d un ctain nomb d élémnts. Patiqumnt la limit actull d gain, pou ds ésaux d antnns impimés aux féquncs micoonds, st d un tntain d db. I-8) L pointag élctoniqu Ls xmpls pésntés jusqu à pésnt concnnt ds ésaux dont l maximum d ayonnmnt s situ dans l ax nomal au ésau. Pou obtni un maximum dans un aut diction, disons la diction θ d la figu XI-9, il st nécssai d compns chaqu déphasag d popagation kd (θ ) pa un déphasag opposé appoté à chacun ds soucs, d sot qu l ayonnmnt d chaqu souc pavinn n phas au point P. Z P Y d.(θ ) θ -β -β -3β X d d d Figu XI-9 : ésau d élémnts déphasés pointant dans la diction θ La souc à l oigin étant pis comm éfénc, la duxièm souc dva êt déphasé d - kd (θ ), la toisièm d - kd (θ ), tc. Si on désign pa β l gadint d phas nt dux soucs succssivs, la diction d pointag du ésau θ sa donné pa la lation : β kd (θ ) θ Ac( βλ / πd) (XI-6) Pou un ésau à n élémnts, l Factu d ésau dvint : nkd θ cos φ nβ F( θ, (XI-7) kd θ cos φ β

12 VAUDON Patick Mast Rchch Télécommunications Hauts Féquncs t Optiqus IRCOM Univsité d Limogs t on put donn un pésntation du diagamm d ayonnmnt dans l plan φ, n fixant abitaimnt l nomb d élémnts à n 6, t la distanc nt élémnts à d λ / Figu XI-). D la lation (XI-6), on déduit qu pou un déphasag d 3, 6, 9,, l angl d pointag st spctivmnt 9.59, 9.47, 3, 4.8, comm l confim la figu (XI- ) β -3 β β -9 β - Figu XI- : Diagamm d ayonnmnt d un ésau à élémnts déphasés I-9) Abaissmnt ds lobs scondais. Il a été monté qu dans l ayonnmnt ds antnns à ouvtu, un ds tms n factu dans la fomulation du champ ayonné était la tansfomé d Foui spatial ds champs dans l ouvtu. Il s nsuit qu pou un champ unifom, la tansfomé d Foui d un pot étant un us cadinal, ls lobs scondais sont lativmnt élvés. Dans l cas idéal, un distibution d champs dans l ouvtu qui n génèait pas d lobs scondais sait un distibution gaussinn ( ca la TF d un gaussinn st un gaussinn). Un tl cas st iéalist n patiqu, ca la dimnsion d l ouvtu dvait êt infini. On put cpndant xploit ctt constatation n maquant qu ls lobs scondais puvnt êt abaissés n apodisant la distibution ds champs dans l ouvtu. Dans l cas d un ésau, cla vint à di qu la pondéation n amplitud d chaqu élémnt doit êt maximum au cnt du ésau, t décoissant à msu qu l on s écat vs ls xtémités du ésau. On put tnt d quantifi ct abaissmnt su qulqus xmpls. Pou un ésau à (n-) élémnts, l Factu d ésau, avc un pondéation n amplitud égal à α d un élémnt à l aut s écit dans l plan φ :

13 VAUDON Patick Mast Rchch Télécommunications Hauts Féquncs t Optiqus 3 IRCOM Univsité d Limogs F (n ) (n )jkd θ jkd θ jkd θ α α + α + (XI-8) jkd θ jkd θ (n ) (n )jkd θ + α + α α La éfénc d phas a été pis au nivau d l élémnt cntal situé à l oigin. On put édui la factu d ésau, dans c cas paticuli, à l xpssion : F 3 + α cos(kd θ) + α cos(kd θ) + α cos(3kd θ) +... (XI-9) Ls compaaisons d la figu XI- ont été faits avc un ésau d 3 élémnts spacés d λ / db Figu XI- : Diagamms d ayonnmnt d un ésau alimnté avc un amplitud décoissant n patant du cnt, dans un appot α, α.9, α.85 d un élémnt au suivant On constat un abaissmnt ds lobs scondais, avc pou contpati, un élagissmnt du lob pincipal, c qui vint à un diminution d la dictivité. On maqu égalmnt ls limits d un apodisation mpiiqu : l amplitud du scond lob scondai n a pas diminué nt ls valus α.9 t α.85 : un abaissmnt d l nsmbl ds lobs scondais à ds nivaux tès faibls nécssit l utilisation d méthods d optimisation appopiés : c st un ds objctifs d la synthès d ésau.