201-NYC SOLUTIONS CHAPITRE 8

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1 Chpitre 8 Nombres complexes 7 -NYC SOUTIONS CHAPITRE 8 8. EXERCICES. ) Re() 5, Im() b) Re(), Im() 8 c) Re() 5, Im() d) Re(), Im() e) Re(), Im() f) Re(), Im() 6. ) x + i et x i b) x + i et x i c) x + i et x i d) x + i et x i. ) 7 + i b) + i c) + i d) 7 e) 6 8i f) 7 + i. ) + i b) 8 + i c) 7 i d) + i e) 5 6i f) + 7i g) h) i) i j) i 8 58 i 5. ) i b) 7 + i c) ( i) ( ) (i) i (i) i i d) i + ( i) + + i + ( i) + 6. U est non vide e sous-ensemble est non vide puisque + i est un élément de U. Fermeture de l ddition Soit + i et u c + ci, deux éléments quelconques de U. Alors, + u ( + i) + (c + ci) ( + c) + ( + c)i + u est un élément de U puisque le nombre obtenu stisfit à l condition y x. Fermeture de l multipliction pr un sclire Soit + i, un élément quelconque de U et k, un nombre réel quelconque. Alors : k k( + i) k + ki k est un élément de U puisque le nombre obtenu stisfit à l condition y x. Puisque U est non vide et que les deux opértions sont fermées dns U, U est un sous-espce vectoriel de C. 7. Soit + bi et u c + di, lors ) + bi bi, cr le conjugué de + biest bi; + bi, cr le conjugué de biest + bi;.

2 8 Chpitre 8 Nombres complexes b) + u (( + bi) + ( c + di) ) (( + c) + ( b + d) i), définition de l ddition dns C; (( + c) ( b + d) i), ( bi) + ( c di), définition de l ddition dns C; ( + bi) + ( c + di), + u c) u (( + bi) ( c + di) ) (( c) + ( b d) i), définition de l ddition dns C; (( c) ( b d) i), ( bi) ( c di), définition de l ddition dns C; ( + bi) ( c + di), u d) u (( + bi)( c + di) ) (( c bd) + ( d + bc) i), définition de l multipliction dns C; ( c bd) ( d + bc) i, ( c bd) + ( d bc) i, distributivité dns R; ( bi)( c di), définition de l multipliction dns C; ( + bi) ( c + di), u e) Ê bi bi c di Ë u Ê ( + ) Ë c + di Ê ( + ) ( ) ( ) Ë ( c + di) ( c di), en multiplint u numérteur et u dénominteur pr le conjugué; c + bd + bc d i c bd bc d Ê ( ) ( ) Ë c + d Ê ( + ) ( ) + Ë c + d c + d i, définition de l multipliction dns C; Ê ( c + bd) bc d Ë ( ) c + d c + d i, + + Ê ( c bd) ( bc d) + i Ë, distributivité dns R; c + d c + d + Ê ( bi) ( c di) Ë ( c di) ( c + di), définition de l multipliction dns C; ( bi) ( c di), pr simplifiction; ( + bi) ( c + di),. u f) + ( + bi) + ( + bi) ( + bi) ( + bi) ( + bi) + ( bi) ( + bi) ( bi), i i bi bi i bi b i. 8. Soit + bi, lors : ) + ( + bi) + ( + bi) ( + bi) + ( bi), Re()

3 Chpitre 8 Nombres complexes 9 b) ( + bi) ( + bi) ( + bi) ( bi), bi Im() i c) ( + bi) ( + bi) ( + bi) ( bi), ( + bi) ( + bi) ( bi) ( + bi), en multiplint le numérteur et le dénominteur pr le conjugué; + bi + b i, pr définition de l multipliction dns C; + b + bi b. + b 9. ) Soit + bi, un nombre complexe quelconque. Alors : ( + bi)( + bi) + bi + bi + b i ( b ) + bi, puisque i. b) Soit + bi et u c + di, deux nombres complexes quelconques. Alors : u ( + bi )(c + di ) c + di + bci + bdi (c bd) + (d + bc)i, puisque i. c) Soit + bi et u c + di, deux nombres complexes quelconques. Alors : u ( + bi) ( c + di) ( + bi) ( c di) ( c + di) ( c di), en multiplint le numérteur et le dénominteur pr le conjugué; c di + bci bdi, pr définition de l multipliction dns C; c + d c + bd bc d + i, en regroupnt les prties. c + d c + d d) Soit + bi, un nombre complexe quelconque. Alors : ( + bi)( + i) ( b) + ( + b)i + bi.. ) On cherche + bi tel que ( + 5i)( + bi) i. On lors : ( 5b) + (5 + b)i i D où, pr l églité des nombres complexes, Ï 5b Ó5 + b On peut utiliser l méthode de Crmer puisque On obtient lors π et b On trouve donc 6 i. 9 9 On urit églement pu procéder pr division ( i)/( + 5i). b) On cherche + bi tel que (7 + 5i)( + bi) + i. On lors : (7 5b) + (5 + 7b)i + i

4 Chpitre 8 Nombres complexes 7 5 D où, pr l églité des nombres complexes, Ï b Ó5 + 7b On peut utiliser l méthode de Crmer puisque π On obtient lors b et On trouve donc + i + i c) On cherche + bi tel que ( i)( + bi) 6 + i. On lors ( + b) + ( + b)i 6 + i Ï + b 6 D où, pr l églité des nombres complexes, Ó + b On peut utiliser l méthode de Crmer puisque 5π. 6 6 On obtient lors 6 et b. 5 5 On trouve donc 6 + i. d) On cherche + bi tel que 8i. On lors : ( + bi) b + bi + 8i, d où : b et b 8. De b, on tire b et ± b. De b 8, on tire b. En substitunt b dns cette éqution, on obtient d où ±. En posnt dns b, on trouve b, ce qui donne + i. Et, en posnt, on obtient b, ce qui donne i. En substitunt b dns b, on obtient d où. Puisque doit être un nombre réel, on doit rejeter b. On trouve donc deux solutions, c est-à-dire deux nombres qui élevés u crré donnent 8i, ce sont + i et i. e) On cherche + bi tel que i. On lors ( + bi) b + bi i, d où b et b. De b, on tire b et b /. En substitunt dns b, on obtient : Ê Ë En multiplint les deux membres de l éqution pr, on : ( + )( ) Pour que le produit soit nul, il fut que l un des fcteurs soit nul. Puisque le nombre doit être un nombre réel, l éqution + n ucune solution. Cependnt, l éqution donne ±. En posnt dns b /, on obtient b, ce qui donne i. En posnt dns b /, on obtient b, ce qui donne + i. On trouve donc deux solutions, c est-à-dire deux nombres qui élevés u crré donnent i, ce sont : i et + i. f) On cherche + bi tel que + + i. On lors : ( + bi) b + bi i, d où :

5 Chpitre 8 Nombres complexes b et b. De b, on tire b et b /. En substitunt dns b, on obtient Ê Ë En multiplint les deux membres de l éqution pr, on + ( )( + 5) Pour que le produit soit nul, il fut que l un des fcteurs soit nul. Puisque le nombre doit être un nombre réel, l éqution + 5 n ucune solution. Cependnt, l éqution donne ±. En posnt dns b /, on obtient b 5, ce qui donne 5i. En posnt dns b /, on obtient b 5, ce qui donne + 5i. On trouve donc deux solutions, c est-à-dire deux nombres qui élevés u crré donnent i, ce sont 5i et + 5i. g) On cherche des nombres complexes + bi et u c + di stisfisnt ux équtions, soit : ( + bi) 5(c + di) 5 + 6i i( + bi) (c + di) + 8i ( 5c) + (b 5d)i 5 + 6i ( b c) + ( d)i + 8i Ï 5c 5 Ce qui donne : Ô b 5d 6 b c Ô Ó d 8 En résolvnt, on obtient : Ê ª Ë 8 Ê ª Ë Ê8 Ê ª 6 68 ª Ë 6 7 ( 6) Ë Ê Ê ª 6 ª + ( ) 6 6 Ë Ë On trouve donc 5 + i et u i Ê Ë 6 6. ) On veut svoir si, pour tout nombre réel et b, il existe des sclires k, k, et k tels que : k ( + i) + k ( + i) + k ( i) + bi Ïk + k k D où, Ó k + k k b En résolvnt, on trouve : Ê b b Ë b Ê Ë b + Ê Ë b Ê Ë b

6 Chpitre 8 Nombres complexes Quelles que soient les vleurs de et b, le système une infinité de solutions. Ce qui signifie que {, u, v} est un ensemble de générteurs. b) {, u, v} ne forme ps une bse de C puisqu il y une infinité de fçons d engendrer un nombre complexe quelconque, ce qui signifie que les vecteurs sont linéirement dépendnts. c) On veut svoir si, pour tout nombre réel et b, il existe des sclires k et k, tels que : k ( i) + k ( + i) + bi Ï k k D où Ó k + k b En résolvnt, on trouve : Ê b ( b ) Ë b ª Ê Ë 8 b + ª Ê Ë 8 b + ª Ê. + ( 8) Ë ( b ) 8 e système une solution unique quelles que soient les vleurs de et de b. es vecteurs engendrent donc C. De plus, les vecteurs sont linéirement indépendnts, en effet k ( i) + k ( + i) + i D où, Ï k k Ó k + k et ce système homogène églement une solution unique, k et k puisque le déterminnt est non nul. d) On cherche les sclires k et k, tels que : k ( + i) + k ( i) 6 + 8i k k D où, Ï + 6 Ó k k 8 En résolvnt, on trouve : Ê Ë 8 ª Ê Ë 8 ª Ê ( 8) Ë 5 ª Ê Ë 5 On donc 6( + i) + 5( i) 6 + 8i. e) ensemble contient deux vecteurs et C est un espce vectoriel de dimension. Pr conséquent, si les vecteurs sont linéirement indépendnts, ils constituent une bse. Vérifions donc s ils sont linéirement indépendnts. On doit donc déterminer si les seuls sclires k et k permettnt d engendrer + i sont des sclires nuls. On k (5 i) + k ( + i) + i 5 D où Ï k + k Ó k + k e déterminnt de l mtrice des coefficients est 5 π. e système homogène donc une solution unique, k et k et les vecteurs sont linéirement indépendnts. Ils forment donc une bse. f) bse nturelle de C est { + i; +i} ou plus simplement {;i}.. Soit + bi, un nombre complexe. ) e module du vecteur est lors l distnce de l extrémité du vecteur à l origine, soit : Im + bi + b, pr Pythgore. b) pente de l droite support est le rpport b/ qui est églement l direction du vecteur. c) On cherche u c + di tel que ( + bi )(c + di ) + i, on donc : (c bd) + (bc + d)i + i, d où : Ïc bd Óbc + d es inconnues sont c et d et le déterminnt de l mtrice des coefficients donne b b + b e déterminnt est non nul si et seulement si + bi π + i. On lors une solution unique, soit : b Re

7 Chpitre 8 Nombres complexes b b c et d b + b b b b b + b. On trouve donc u + b b + + b i.. ) représenttion grphique de + i est donnée ci-contre. b) i i( + i) i + i + i. c) pente de l droite support de est m /. pente de l droite support de i est m /. Puisque m m, les droites supports sont perpendiculires, les vecteurs et i sont donc églement perpendiculires. + i Im + i Re. ) Soit + bi, un nombre complexe quelconque. Alors, l pente de l droite support de est m b/. e produit i donne i i( + bi) i + bi b + i. pente de l droite support de i est m /b. b e produit des pentes est mm. b Puisque m m, les droites supports sont perpendiculires, les vecteurs et i sont donc églement perpendiculires. + bi b + i Im b i Re b) Soit + bi, un nombre complexe quelconque. Alors, k k + kbi et le module de k est : k ( k) + ( kb) k + k b k + b k. c) Soit + bi, un nombre complexe quelconque. Alors, i i + bi b + i et le module de i est : i ( b) + + b. d) Soit, un nombre complexe. Alors, pr définition de l multipliction pr un sclire, i et ki ont l même droite support. Puisque i est perpendiculire à, on églement ki perpendiculire à. Soit + bi, un nombre complexe quelconque. Alors, ki ki + kbi kb + ki et le module de ki est : k i ( kb) + ( k) k b + k k ( + b ) k + b k. 8. EXERCICES. ) + i ( cosp + isin p ) b) i ( cos5p + isin5p ) c) ( cos p + i sin p) d) i ( cos p + i sin p ) e) 5i 5( cosp + i sin p ) f) ( cos + i sin ) g) i ( cos 5p + i sin 5p ) h) i ( cos 7p 6 + i sin 7p 6) Ê. ) ( cos p 6 + i sin p 6) + i + i Ë Ê b) ( cos 5p 6 + i sin 5p 6) + i + i Ë 5 c) 5( cos p + i sin p ) + i 5 Ê d) ( cos p + i sin p ) + i + i Ë. ) r + Ê ( ) 8, rctn Ë rctn ( ) p

8 Chpitre 8 Nombres complexes b) et q, puisque >. Donc, i p. p/6 Ê c) r ( ) + ( ) 6 6, rctn rctn ( ) p Ë et q + p p/, puisque <. Donc + i 6 p. d) p e) 5 p f) p g) p h) ( p ) Ê. ) p 6 ( cos p 6 + i sin p 6) + i + i Ë Ê b) p ( cos p + i sin p ) + i + i Ë c) p ( p + p ) Ê Ë ( ) cos( ) i sin( ) i i Ê d) p ( cos p + i sin p ) + i + i Ë e) 5, 5p ( cos 5p + sin 5p ) Ê Ë i i i f) ( cos + i sin ) ( + i) g) p ( cos p + i sin p) ( + i) h) p ( cos p + i sin p ) ( i) i ( ) ( p ) p p p + p 5. ) 5 5 / 5 5/ ( + i) p 5 5 ( cos 5 i sin 5 ) Ê i i. Ë b) ( + i ) ( p ) p 6( cos + i sin ) 6( + i) 6. ( ) ( p ) p p p + p 7 7 / 7 / c) ( + i) p 5 ( cos 5 i sin 5 ) Ê i i. Ë Ê d) ( + i) ( p 6) 7p 6 8( cos 7p 6 + i sin 7p 6) 8 i 6 6i. Ë Ê 6. ) ( + i ) ( p ) p 6( cos p + i sin p ) 6 + i 8 i8. Ë b) + i p p ( cos p + i sin p ) + i i ( p ).

9 Chpitre 8 Nombres complexes 5 c) d) ( + i) ( + i) ( p ) ( ) p ( p p 6) 5p ( p 6) p 6 ( cos5p + i sin 5p ) 8,... + i, ( ) ( + i) ( + i) 5 6 ( p ) p ( + i ) ( p ) ( cosp + i sin p ) + i. [ ] p + p 7. ) / / ( 7 p ) 7 ( p + kp) ( 6 k ), pour k,,. Ê p 6 ( cos p 6 + isin p 6) + i + i Ë Ê 5p 6 ( cos 5p 6 + isin 5p 6) + i + i Ë 9p 6 p + i p i i ( cos sin ) ( ) + [ ] p + p b) / / ( p ) ( p + kp) ( 6 k ), pour k,. Ê p 6 p 6 + i p 6 i i ( cos sin ) + + Ë 7p 6 ( 7 p 6 + i 7p 6) Ê i i Ë cos sin [ ] p + p c) ( / / / 6) ( 6 p) 6 ( p + kp) ( k ), pour k,,,. Ê p ( cos p + isin p ) + i + i Ë Ê p ( cosp + isin p ) + i + i Ë 5p ( 5p + i 5p ) Ê i i Ë cos sin 7p ( 7p + i 7p ) Ê i i Ë cos sin [ ] p + p d) ( / / / ) 5 ( p) 5 5 ( p + kp) 5 ( 5 k 5), pour k,,,,. p 5 5 i 5 89 i 587 ( cos p + sin p ) (,... +,...), i, p 5 ( cosp 5 + isin p 5) (, i, ), i, p 5 ( cos5p 5+ isin 5p 5) ( + i) 7 p 5 ( cos 7p 5 + isin 7p 5) (, 9... i, ), i, p 5 ( cos 9p 5 + isin 9p 5) (, i, ), i, 75...

10 6 Chpitre 8 Nombres complexes [ ] p + p e) ( 6i) / 6 / 6 / ( p ) ( p + kp) ( 6 k ), pour k,,. Ê p 6 ( cos p 6 + isin p 6) + i + i Ë Ê 5p 6 ( cos5p 6 + isin 5p 6) + i + i Ë 9p 6 ( cos 9p 6 + isin 9p 6) ( i) i [ ] p + p f) ( / / / 7i) ( 7 p ) 7 ( p + kp) ( k ), pour k,,. p ( cos p + isin p ) ( + i) i 7p 6 ( 7p 6 + i 7p 6) Ê i i Ë cos sin p 6 ( p 6 + i p 6) Ê i i Ë cos sin 8. ) +, d où p. On cherche donc tel que ( p) /, ce qui donne : [ ] p + p ( p) / / ( p + kp) ( k ), pour k,,,. On donc : Ê p ( cos p + isin p ) + i + i Ë Ê p ( cosp + isin p ) + i + i Ë 5p ( 5p + i 5p ) Ê i i Ë cos sin 7p ( 7p + i 7p ) Ê i i Ë cos sin b) 5, d où 5. On cherche donc tel que ( ) /5, ce qui donne : [ ] p ( ) 5 / 5 / ( + kp) 5 ( k 5), pour k,,,,. On donc : ( cos + isin ) + i p 5 ( cos p 5 + isin p 5), i, p 5 ( cos p 5 + isin p 5), i, p 5 ( cos6p 5 + isin 6p 5), i, p 5 ( cos8p 5 + isin 8p 5), 9... i, c) + 8, d où 8 8 p. On cherche donc tel que (8 p) /, ce qui donne (8 p) / 8 / [(p +kp)/] (p/+ kp/), pour k,,. On donc : p ( cos p + isin p ) + i p ( cos p + isin p) + i 5p ( cos5p + isin 5p ) i

11 Chpitre 8 Nombres complexes 7 d) 6, d où 6 6. On cherche donc tel que (6 ) /, ce qui donne [ ] p ( ) / / 6 6 ( + kp) ( k ), pour k,,,. On donc : ( cos + isin ) + i p i i i ( cos p + sin p ) + p ( cos p + isin p) + i p ( cosp + isin p ) i i e) 5 8, d où ( 8). un des fcteurs doit être nul pour que le produit soit nul. On donc comme solution de et 8 8. On cherche donc tel que (8 ) /, ce qui donne : [ ] p ( ) / / 8 8 ( + kp) ( k ), pour k,,. On donc, en plus de, les solutions ( cos + isin ) + i p ( cos p + isin p ) + i p ( cos p + isin p ) i f) + 6i, d où 6i 6 p/. On cherche donc tel que (6 p/) /, ce qui donne [ ] p + p / / ( 6 p ) 6 ( p + kp) ( k ), pour k,,. On donc : p ( cos p + isin p ) + i i 7 p 6 ( cos 7 p 6 + isin 7 p 6) i p 6 ( cosp 6 + isin p 6) i 9. ) 6,87 b),7 6, c) 6,78,96 d) 78, 5,95 e),6 7,58 f), 55,. ) 6 5, + i 97,96 b) 56, + i 86,5 c) 9, 5 5,66 + i 7,5 d),5, + i,5 e) 6, + i,5 6,98,6 f), 7 7,87 + i 6,67 g),7 + i,7,96 7,77 ( )( ) p. ) i + i i ( )( p 6 )( p ) ( p + p 6 p ) p Ê i ( cos p + sin p ) + i + i Ë i ( p ) ( p ( p ) ) p b) i p Ê ( cosp + isinp ) Ë + i i +. ) p p. On donc r et q p. + i p b) ( ) i ( i) 6 ( p 6) p ( ) p p ( ) p p On donc r 5 6 et q.. ) En utilisnt le théorème de Moivre, on ( q) q cos q + i sin q. Pr illeurs, en élevnt u crré le nombre complexe sous forme trigonométrique, on (cos q + i sin q) (cos q sin q) + i (sin q cos q).

12 8 Chpitre 8 Nombres complexes On donc : cos q + i sin q (cos q sin q) + i (sin q cos q) et, pr l églité des nombres complexes, les prties réelles doivent être égles entre elles. On donc : cos q cos q sin q. b) En utilisnt l églité cos q + i sin q (cos q sin q) + i (sin q cos q) obtenue en, les prties imginires doivent être égles, on donc : sin q sin q cos q. c) En utilisnt le théorème de Moivre, on ( q) q cos q + i sin q. Pr illeurs, en élevnt u cube le nombre complexe sous forme trigonométrique, on (cos q + i sin q) (cos q cos q sin q) + i (cos q sinq sin q). On donc : cos q + i sin q (cos q cos q sin q) + i (cos q sinq sin q) et, pr l églité des nombres complexes, les prties réelles doivent être égles entre elles. On donc : cos q cos q cos q sin q. d) En utilisnt l églité cos q + i sin q (cos q cos q sin q) + i (cos q sinq sin q) obtenue en c, les prties imginires doivent être égles, on donc : sin q cos q sinq sin q. n n n n p p n n!. Pr le binôme de Newton, on ( + b)  C b p, où C p ( n p)! p!. En prtique les vleurs C n p p obtenues sont les nombres de l ligne n du tringle de Pscl qui est donné prtiellement ci-dessous. On lors : p p (cos q + isin q)  C (cos q) ( isin q) p p C(cos q) ( isin q) + C (cos q) ( isin q) + C(cos q) ( isin q) + C (cos q) ( isin q) + C(cos q) ( isin q) insi Ce qui donne : (cos q + i sin q) cos q + i cos q sin q + 6i cos q sin q + i cosq sin q + i sin q Puisque i, i i et i, on (cos q + i sin q) (cos q 6 cos q sin q + sin q) + i ( cos q sin q cos q sin q) De plus, pr le théorème de Moivre, on (cos q + i sin q) cos q + i sin q. On obtient donc cos q + i sin q (cos q 6 cos q sin q + sin q) + i ( cos q sin q cos q sin q) ) De l églité obtenue pr le binôme de Newton et le théorème de Moivre, on tire : cos q cos q 6 cos q sin q + sin q b) De l églité obtenue pr le binôme de Newton et le théorème de Moivre, on tire : sin q cos q sin q cos q sin q Pr le binôme de Newton, on  p 5 p p p (cos q + isin q) C (cos q) ( isin q) 5 C (cos q) ( isin q) + C (cos q) ( isin q) + C (cos q) ( isin q) C (cos q) ( isin q) + C (cos q) ( isin q) + C (cos q) ( isin q) 5 Ce qui donne : (cos q + i sin q) 5 cos 5 q + 5i cos q sin q + i cos q sin q + i cos q sin q + 5i cos q sin q + i 5 sin 5 q Puisque i, i i, i et i 5 i, on (cos q + i sin q) 5 (cos 5 q cos q sin q + 5 cos q sin q) + i (5 cos q sin q cos q sin q + sin 5 q) De plus, pr le théorème de Moivre, on (cos q + i sin q) 5 cos 5q + i sin 5q. On obtient donc cos 5q + i sin 5q (cos 5 q cos q sin q + 5 cos q sin q) + i (5 cos q sin q cos q sin q + sin 5 q) c) De l églité obtenue pr le binôme de Newton et le théorème de Moivre, on tire : cos 5q cos 5 q cos q sin q + 5 cos q sin q d) De l églité obtenue pr le binôme de Newton et le théorème de Moivre, on tire : sin 5q 5 cos q sin q cos q sin q + sin 5 q. 5