Stock-options et gestion de patrimoine Professeur Didier MAILLARD Mars 2008

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1 Convatoi National d At t Méti Chai d BANQ Docunt d chch n Stock-option t gtion d patioin Pofu Didi MAILLARD Ma 8 Avtint La chai d Banqu du Convatoi National d At t Méti t à la dipoition du public, u on it, d docunt péntant l éultat d chch né n on in, à d fin d infoation, d diffuion d connaianc t d échang dan l doain vié. Bin qu l plu gand oin ait été appoté à la collct d infoation t à lu taitnt, l docunt t élént gaphiqu publié u c it ont founi n l état t ont ucptibl d contni d inxactitud ou d u. L autu ont ucptibl d appot à tout ont d odification t aélioation au contnu d docunt diffué. L CNAM, la chai d Banqu t l autu n pouont n aucun ca êt tnu ponabl d tout doag dict ou indict éultant d lu utiliation. L docunt d chch diffué u c it t potant u l analy d poduit financi ou d poduit pationiaux n contitunt pa d incitation à acht, à n pa acht ou à vnd ldit poduit. L poduit ujt d un analy ont été choii u la conidéation d lu intéêt cintifiqu ou pédagogiqu. La copi d docunt d chch, n tout ou n pati, t intdit an autoiation xp d autu. L citation ont pi à condition qu oint ntionné claint t xplicitnt l autu, la chai d Banqu du CNAM t l coodonné du it u lqul l docunt ont diponibl ; t qu l citation n oint fait qu à d fin infoativ t non cocial. Intoduction Loqu d diigant ou cad d ntpi voint attibu d tock-option, cll-ci ont un valu qui t ouvnt ipotant au gad d lu patioin xitant, t n péntnt pafoi un ultipl. L tock-option intoduint donc un dééquilib, pafoi pononcé, dan la tuctu du patioin, c qui put avoi pluiu conéqunc : - la valu d tock-option pou clui qui l çoit t diffént d la valu «d aché» d option, tll qu cll qu l ntpi doivnt aintnant inci dan lu copt au ont d l attibution. Il n éult un pt d utilité ; - la tuctu du patioin ho tock-option c d êt optial. Il put y avoi intéêt à la odifi d aniè à atténu la pt d utilité. C docunt d chch donn un éthod d évaluation cohént d tock-option loqu ll ont placé dan un patioin xitant. Il donn un évaluation chiffé d la pt du au anqu d divification loqu l tock-option péntnt un popotion ignificativ du patioin. Il donn nfin d indication u l tuctuation ouhaitabl t lu od d gandu. Méthod On plac l tock-option attibué au in d un pocu d optiiation d la tuctu du patioin, t on ditingu aini un ituation avant qu l option oint attibué ou avant qu d option déjà attibué oint pi n conidéation t un ituation apè qu l option ont été attibué.

2 . Situation avant l attibution d tock-option L écipindai dipo au ont où l option ont attibué d un patioin. Ctt valu du patioin initial ho tock-option a d fait tnu co nuéai. La ponn dipo pou placnt d dux cla d actif, un actif an iqu t un potfuill d actif iqué, qui a aiilé au potfuill d aché au n du CAPM. Il agit d un dciption iplifié d la éalité. Pou n appoch patiqunt, il fauda cla l actif ffctivnt détnu dan l dux catégoi, au boin n l découpant. L uniqu objctif d ctt iplification t d déiv d la tuctu xitant du patioin un paaèt d avion pou l iqu. On uppo qu l ndnt d l actif an iqu t contant dan l tp t égal à n définition continu t n t annul ; t qu clui du potfuill iqué uit un pocu tochatiqu taditionnl, avc un déiv t un volatilité contant dan l tp : ε ε N, A un hoizon, l potfuill iqué vauda : M M ε t l actif an iqu : F F La ponn optii la copoition d on patioin à un hoizon. L hoizon tnu pou l application a typiqunt d 5 an. On uppo qu l péfénc d la ponn ont pénté pa un fonction d utilité d typ CRRA, dépndant du patioin à l hoizon, t on n axii l péanc, à la von Nuann-Mogntn. L idéal théoiqu t un optiiation dynaiqu, avc un épatition d placnt vu n continu. On ont alo qu la tatégi optial t d gad dan l tp un popotion contant du potfuill iqué, t - d l actif an iqu, avc :

3 Cci donn un lation ipl nt la pat invti n actif iqué t l cofficint d avion lativ au iqu. ll pt, à pati d la tuctu contaté du patioin, d n infé l cofficint d avion lativ au iqu. Pou l application, la pi d iqu diffénc nt la déiv t l taux an iqu qui pou détni l actif iqué a d 6 %, valu az tandad, t la volatilité du potfuill iqué d %, égat az tandad. A un tuctu d placnt oitié n actif iqué, oitié n actif an iqu coponda aini un avion lativ au iqu d 3. Mai l optiiation dynaiqu t lagnt théoiqu, utout pou un ponn phyiqu, n aion d la diponibilité n tp qu ll quit, d coût d tanaction élvé auxqul ll xpo, t d la faibl d l avantag n t d utilité qu ll pocu au bout du copt. On conidéa donc qu l allocation du patioin nt l potfuill iqué t l actif an iqu t éalié un foi pou tout à la péiod initial. La pat optial invti n actif iqué n put êt détiné qu pa iulation voit Annx. On véifi toutfoi qu ll t tè poch d la pat optial, détiné analytiqunt, d l optiiation dynaiqu. n foi la pat invti n actif iqué détiné, l patioin dvint à l hoizon tnu : F F M M ε [ ] t l on put calcul piiqunt l péanc d utilité qu il appot : On détin nfin pa d éthod nuéiqu la pat d actif iqué qui axii ctt péanc. On touv qu ll t tè poch d la pat obtnu avc l ê paaèt n optiiation dynaiqu voi Annx.. Incidnc d l attibution d tock-option On uppoa qu la atuité d option coïncid avc l hoizon auqul l optiiation d potfuill t patiqué. Ctt hypothè t az aionnabl, baucoup d tock-option ayant un atuité d l od d 5 an, t inclunt d clau intdiant l xcic pndant un az longu dué apè l attibution. ll t util, n c qu ll évit d avoi à conidé d flux intédiai, t donc d voi l allocation d actif. L option ont écit u un action S dont l ndnt t aléatoi t obéit aux no claiqu du CAPM. 3

4 β β ζ η β β ε η β η N, β εη β ζ N, Dan c cad, la valu tinal d l action t : S S ζ L tock-option, attibué à l intant ou aupaavant, ont au pix d xcic X. On fix pou hoizon d la gtion d potfuill la dat d xcic d option. On uppo qu la fi n ditibu pa d dividnd juqu à. Ctt hypothè a l avantag d la iplicité : il n y a pa d flux intédiai pou l poblè d la gtion du patioin à l hoizon choii. ll n t pa aui tictiv qu il y paaît : un option u un l action d un ntpi ditibuant d dividnd t az lagnt équivat, n t d valoiation t d copotnt ultéiu, à un option u un action d ntpi n ditibuant d dividnd ai à un pix d xcic lvé d la valu actualié d dividnd voi Annx. La valu d aché initial d un option t donc, la éthod d Black & Schol appliquant dan c cicontanc : C S d N d X SN On uppo, qu n valu d aché, l option détnu péntnt un pat θ du patioin ho option initial. L nob d option détnu t donc n tl qu : nc θ A l hoizon, la valu d tock-option a : nc nmax S X, t l patioin final, copt tnu d option, vauda : ' nc Il pocua l péanc d utilité : ' ' L qualificatif d valu d aché, uul dan c cicontanc, t un pu abuif n c n qu il n xit n généal pa d aché ignificatif pou d option u action d atuité aui longu qu cll d tockoption, au oin loqu ll ont attibué. L aché qui xit t clui d l action, l ou-jacnt. L odèl d valoiation uppo qu il t poibl d épliqu l copotnt d l option avc l ou-jacnt t l actif an iqu, u longu péiod co u cout péiod. L t d «valu d odèl» ait putêt plu appopié. 4

5 Ctt péanc d utilité t égal cll qui auait obtnu à pati d un patioin placé n potfuill iqué t n actif an iqu d aniè optial. ' ' ' ' ' ' t on ua la valu d option pou l détntu pa - t la pt d bin-êt, xpié n onnai couant, pa θ ' 3 Valu d option pou l détntu 3. Ca cntal Dan l ca cntal, l avion lativ au iqu t fixé à 3, c qui conduit, n l abnc d tock-option, à un patag égal nt actif an iqu t potfuill d actif iqué copt tnu d un pi d iqu d 6 % t d un volatilité d % du potfuill iqué. L béta d l action t uppoé égal à, la volatilité pécifiqu t tié à %. L pix d xcic t égal à la valu contpoain d l action, c qui t ouvnt l ca lo d l octoi. Loqu l option n péntnt qu un faibl pat du patioin, la valu pou l détntu t poch d la valu d aché. n vanch, la valu lativ pou l détntu déclin tè vit loqu l option péntnt un pat ignificativ. Valu d option,,8,6,4,,,8,6,4,,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9 Faction du patioin xitant thta D aché Pou l détntu 5

6 Avc l paaèt tnu, i la valu d aché d option pént l équivat du t du patioin, la valu pou l détntu n t qu d 3 % d la valu d aché. ll t patiqunt égal à la valu d aché i la pat d option dan l patioin t tè faibl. ll n attint pa % loqu l option péntnt dux foi l patioin ho option. Valu lativ d option,,9,8,7,6,5,4,3,,,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9 Faction du patioin xitant thta D aché Pou l détntu 3. Influnc du pix d xcic La diffénc nt valu d aché t valu pou l détntu t d autant plu gand qu l pix d xcic t élvé. Pou un valu d aché d option péntant un foi l patioin xitant ho option θ, la valu pou l détntu t poch d 85 % pou un pix d xcic voiin d zéo, ou pou l attibution d action. ll t d nvion 3 % pou un pix d xcic égal au pix actul d l action. ll tob ou l % loqu l pix d xcic t l doubl du pix actul. n tll configuation ncont ant lo d l attibution, ai ll n t pa a n cou d vi d option la valu d option a alo baucoup baié dpui l attibution t la faction du patioin qu ll pént t alo an dout odt. 6

7 Valu d option,,9,8,7,6,5,4,3,,,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9 Pix d'xcic X D aché Pou l détntu 3.3 Influnc d la volatilité d l action La volatilité d l action a dux copoant : l un t lié à la volatilité du potfuill iqué au tav du béta, l aut à la volatilité pécifiqu. n béta plu élvé accoît l écat nt la valu d aché d l option t a valu pou l détntu. Valu d option,,9,8,7,6,5,4,3,,,,5,6,7,8,9,,,3,4,5 Bta D aché Pou l détntu 7

8 Il n va d ê pou l aut ouc d augntation d la volatilité, cll d la volatilité pécifiqu. Valu d option,,9,8,7,6,5,4,3,,, % % 4% 6% 8% % % 4% 6% 8% 3% Siga D aché Pou l détntu L échll hoizontal t choii pou couvi la ê ga d volatilité total qu dan l gaphiqu pécédnt où l bta t vaiabl. La pnt t plu fot ici t il bl donc qu la volatilité pécifiqu ait un ipact plu gand qu la volatilité lié au aché. 3.4 Snibilité à l avion au iqu n l abnc d avion au iqu, valu d aché t valu pou l détntu coïncidaint. On iagin donc qu l conéqunc du dééquilib pationial céé pa l option ont d autant plu pononcé qu l avion t élvé. Pou l véifi, t n appéci l aplitud, la valu pou l détntu d option péntant n valu d aché l équivat du patioin ho option t calculé pou diffént cofficint d avion au iqu. L pix d xcic t égal à la valu d l action, l bta t égal à. La ga d avion lativ tnu va d,5 à, c qui copond aux appéciation couant tnu. L uil d,5 t clui pou lqul l patioin t contitué à % d actif iqué avc l paaèt tnu pou la pi d iqu t la volatilité du potfuill iqué. n dçà, un poition cout dan l actif an iqu ait qui, c qui po d poblè tant au gad d contat patiqu u l tuctu d patioin qu d la poibilité d coui à un allocation d actif tatiqu ca l patioin final put êt négatif dan ctain cicontanc. 8

9 Valu d option,,9,8,7,6,5,4,3,,,,5,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 aa D aché Pou l détntu 4 Couvtu du iqu L intoduction d tock-option dan l patioin xpo à un iqu u l évolution du pix d l action t u a volatilité. oi cla d couvtu puvnt a pioi êt nviagé pou atténu c iqu : - édui l xpoition aux actif iqué n généal dan l placnt du patioin, - édui l xpoition au iqu u l évolution du cou d l action n éduiant la détntion, t au boin n hotant, l action, - céd, d un aniè ou d un aut, l option. On attnd un fficacité coiant d couvtu pénté dan ct od. 4. Réduction d l xpoition aux actif iqué On calcul l xpoition d tll ot qu c oit t non qui oit axiié. Dan l ca cntal, l xpoition aux actif iqué t nibt éduit. 9

10 xpoition au potfuill iqué 5% -5%,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9 Faction du patioin xitant thta San ajutnt Avc ajutnt Valu lativ d option,,9,8,7,6,5,4,3,,,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9 Faction du patioin xitant thta D aché Pou l détntu, an aj. Avc ajut. Avc ajut., an po. cout 4. Réduction d l xpoition à la valu d l action L anag d un ntpi puvnt êt containt d détni un ctain nob d action d l ntpi, oit qu c action aint été attibué gatuitnt, oit qu ll éultnt d lvé d option aoti d containt d détntion pou d aion fical ou d aion

11 d gouvnanc loqu il agit d diigant. Ctt détntion ipoé fait pati d la qution étudié il agit à la liit d option à pix d xcic nul. San qu cla oit obligatoi, l anag puvnt aui décid d détni d action d l ntpi co un aqu d confianc à l égad d la ituation t d ppctiv d l ntpi, ou à l égad d actionnai. Spontanént, pa oppoition aux ca d détntion obligatoi ou quai-obligatoi qui vinnnt d êt décit, l action d l ntpi détnu dan l patioin ho option a tè faibl, à popotion noat d la pat d la valu d l ntpi dan l potfuill d actif iqué, au plu qulqu pou cnt. La couvtu du iqu d option pa éduction d l xpoition à la valu d l action qua donc d pnd dan la plupat d ca un poition cout, ou l équivat. Cla put xpo à d difficulté patiqu, t à d coût qui vinnnt éod l avantag d la couvtu. La couvtu pa ctt éthod va natult à l ncont d l un d objctif d l octoi d tock-option, clui d aoci l bénéficiai à l augntation à long t d la valu d l action. n bonn logiqu d gouvnanc, ll n dvait êt patiqué qu loqu ct objctif t conidéé co pli, t qu l option doivnt êt convé pou d aion xtn co l taitnt fical. La éduction d l xpoition à la valu optial, qui taduia donc n généal pa un poition cout, t tè ipotant : dan l ca cntal, i l option péntnt un foi la valu du t du patioin, la éduction d xpoition pént plu d dux foi la valu du patioin ho option. Vaiation d l'xpoition à la valu du potfuill d l'action, -,5 -, -,5 -, -,5-3, -3,5-4, -4,5-5,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9 Faction du patioin xitant thta Optial Réultant du dlta

12 On attnd à c qu la éduction d l xpoition à la valu d l action nécai pou éliin au iux la nibilité d la poition n option à la valu d l action oit d l od du dlta. C t c qu l on contat, n potant u l gaphiqu pécédnt l dlta d tockoption. Dan l ca cntal, l dlta d un option t d,736 pou un valu d aché d l option d,37, oit un dlta d,5 pou un poition unitai n option. Il faut attnd aui à c qu la éduction d l xpoition à l action nécai à un couvtu optial d un poition n option augnt avc l pix d xcic. L gaphiqu uivant donn l dlta d un poition unitai n option n fonction du pix d xcic. Dlta d'un poition unitai n option 4, 3,5 3,,5,,5,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9 Pix d'xcic X Si ll put êt i n plac, la couvtu pa éduction d l xpoition à l action t plu fficac qu la couvtu pa éduction à l xpoition aux actif iqué.

13 Valu lativ d option,,9,8,7,6,5,4,3,,,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9 Faction du patioin xitant thta D aché Pou l détntu, an couv. Couv. Pa xp. Actif iqué Couv. Pa xp. action La valu pou l détntu appoch tè nibt d la valu d aché, an l attind xactnt, ca il t l xpoition au iqu d volatilité du pix d l action. L ploi iultané d dux od d couvtu éduction d l xpoition aux actif iqué t éduction d l xpoition à l action - pt théoiqunt d aélio la ituation. 4.3 Couvtu du iqu optionnl L iqu d volatilité n put êt éliiné qu i l détntu t d un façon ou d un aut vndu d volatilité du pix d l action d l ntpi. La couvtu optial ait d vnd l option çu, t d n plac l poduit dan la tuctu optial du t du patioin. Ho l fai, la valu d l option pou l détntu dvint alo égal à la valu d aché. n tll couvtu va à la foi cont l pit t la ltt du contat d octoi d option. 3

14 5 Concluion L tock-option confènt à lu bénéficiai un doubl xpoition : - au iqu d vaiation d la valu d l action ou-jacnt, - au iqu d volatilité. L dux xpoition au iqu vnt d objctif d anagnt t d gouvnanc d l ntpi. C t bin connu dan l ca d la piè : n aociant l diigant t anag à la valoiation, à un hoizon a pioi d oyn t, d l action d l ntpi, l actionnai cént un incitation pou qu diigant t anag contibunt pa lu action t lu copotnt à l augntation d la valu. Ctt incitation t céé qul qu oit l pix d xcic d l option, t qu il agi d un option ou d un attibution d action. ll t lié au dlta. n éalité, ll t plu fot, pou un ê valu tanféé, pou l option qu pou l action t péciat pou l option à pix d xcic élvé. C ont pou c option qu l appot nt l dlta t la valu tanféé t la plu élvé. L atout d l xpoition au iqu d volatilité ont oin connu, t il ont ctainnt plu dicutabl. La volatilité, du oin à oyn t, t lié au iqu d invtint t d pojt i n œuv dan l ntpi. n xpoition à la volatilité incit noat l détntu d option, utout il agit d diigant, à éali d invtint ou à lanc dan d pojt iqué ai à fot péanc d ndnt. C t favoabl pou l actionnai, ca il bénéficint d la divification dan l cad d la gtion d lu potfuill : l iqu d pojt pécifiqu à un ntpi n ngnd qu pu d inconvénint pou ux. n vanch l diigant t ctain anag ont xtênt xpoé au iqu d invtint t pojt d l ntpi, péciat i l on pnd n copt l capital huain, qui pouait pd un gand pati d a valu il vnaint à quitt l ntpi dan laqull il ont pécialié lu copétnc. L xpoition poitiv à la volatilité vint itig c qui contitu un pudnc xciv au gad d intéêt d actionnai. L poblè t qu d un point d vu pationial, l xpoition à c dux iqu intoduit un dééquilib, dè qu l option péntnt un faction ignificativ d la valu du patioin. n l abnc d couvtu, l conéqunc d c dééquilib ont ignificativ : l option put n valoi pou l détntu qu un faction d la valu d aché. 4

15 5 Annx I Optiiation dynaiqu théoiqu Si un pat du patioin t invti dan l potfuill iqué, avc un ndnt attndu t un volatilité d c ndnt, t qu un pat - t invti dan l actif an iqu dont l ndnt t, la vaiation lativ du patioin dan l tp uit l équation uivant : [ ] dz dt dz dt dt d où dz t un Bownin tandad. L l d Ito indiqu qu i :, t x g bdz adt dx alo : dz x b dt b x t x a d Ici : [ ] [ ] dz dt d dz dt d b a x t x t x x, ε d où ε t un vaiabl aléatoi noal tandad. Si : ε ε a

16 6 il t facil d véifi qu l péanc d uitilité t axial pou : Dan tou l ca qull qu oit la fo d la fonction d utilité t qul qu oit l potfuill iqué, ε [ ] ε Si : ε L péanc d utilité t axial pou : λ Siulation d Mont Calo, optiiation tatiqu On ti N aléa noaux tandad N. On lu ti lu oynn piiqu t on l divi pa lu écat-typ piiqu d tll ot qu la oynn ffctiv d ε j oit bin égal à t lu écat-typ à. Dan chacun d c configuation j, la valu à t du potfuill iqué, pou un valu initial d, vaut : j j M ε, Si la ich initial, noalié à, t invti à aion d dan l potfuill iqué, t d dan l actif an iqu, la ich final vauda : j j, ε

17 On calcul dan chaqu configuation l utilité d la ich final :, j, j t on péanc iulé pa : N j N j, On chch piiqunt l paaèt axiiant ctt péanc. On touv qu il t tè poch du paaèt péntant la pat d actif iqué n optiiation dynaiqu. Avion lativ au iqu, optial dynaiqu,% 75,% 5,% 37,5% 3,% 5,%,43% 8,75% 6,67% 5,% optial tatiqu 99,7% 75,67% 49,95% 37,% 9,33% 4,6%,68% 8,% 5,96% 4,3% L tock-option ont intoduit d la façon uivant. On ti N nouvaux aléa noaux tandad N. On lu ti lu oynn piiqu t on l divi pa lu écat-typ piiqu d tll ot qu la oynn ffctiv d η j oit bin égal à t lu écat-typ à. On au n nouvlant l tiag d la quai-abnc d coélation piiqu nt l dux nbl d aléa. Dan chacun d c configuation j, la valu à t d l action, pou un valu initial d, vaut : S, j β β ε j η j Pou un cohénc axial, on calcul aui un valu final d l action dan l univ iqu nut, n plaçant β pa dan l équation pécédnt. On calcul la valu d l option piiqunt, co la valu actualié au taux an iqu d l péanc iqu nut du pay-off d l option dan chaqu tiag. La valu obtnu pa iulation t tè poch d la valu calculé pa Black & Schol, an êt xactnt égal. On tint la valu pa iulation pou calcul l nob d option dont la valu copond à un faction donné du patioin ho option. La valu final du patioin total t la o d la valu du patioin ho option t d la valu d xcic d option. 7

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