R.D.M. Résistance des Matériaux

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1 R.D.. Réitance de atéiau 1 UT DE L R.d.. La éitance de matéiau et la mécanique de olide défomable. Elle pemet de : Caactéie le matéiau ; Dimenionne une pièce à pati de effot qu elle uppote ; Détemine la défomation d une pièce à pati de effot qu elle uppote ; Détemine le effot maimum que peut uppote une pièce (e : pont oulant). 2 - HYPOTHESES DE L R.d Su le matéiau Il doit ête : Continu (aangement de a tuctue citalline continue ) ; Homogène (tuctue identique en tout point) ; Iotope (même popiété mécanique en un point de la tuctue dan toute le diection) Su la géométie de pièce On étudiea en Rd uniquement de olide aant la fome d une poute : La ligne moenne d une poute et le lieu de cente de gavité ou cente de uface ou bacente,...,... de ection ucceive ; Le ection doite ont de ection plane et pependiculaie à la ligne moenne de la poute ; Le ection doite doivent ete contante ou ne vaie que tè pogeivement ente et. Section doite plane Ligne moenne Su le cage appliquée u le pièce Plan de métie Le cage uppotée pa la poute ont contenue dan le plan de métie ; Elle pouont ête concentée ou épatie ; Le éultat obtenu en RD ne eont valable qu a une ditance uffiante de point d application de foce (potèe de aé de Saint-Venant) Su le défomation u cou de la défomation, le ection doite etent plane et pependiculaie à la ligne moenne (potèe de avie enoulli). Le défomation etent faible compaativement au dimenion de la poute. RD Cou 1/8

2 3 - TORSEUR DE COHÉSIO DS UE SECTIO PLE Le effot intéieu ou de coéion ont le effot qui agient à l intéieu de poute et qui auent l équilibe ou la coéion de la tuctue ou l action de cage etéieue eecée. La connaiance de ce effot de coéion nou eneignea u l état de ollicitation de la poute étudiée, et pemetta d évalue a éitance au effot qui lui ont appliqué. 3.1 Pincipe de calcul Pou mette en évidence le effot tanmi pa la matièe au niveau d une ection doite d une poute, nou effectuon une coupue imaginaie pa un plan pependiculaie à la fibe moenne. Ce plan définit une ection S de bacente qui divie la poute en deu tonçon fictif ( et ). Caque tonçon et en équilibe et l application du Pincipe ondamental de la tatique, à l un ou à l aute, pemet d identifie et de calcule le effot intéieu eecé ente le deu tonçon au niveau de la coupue. 1 Plan de coupe imaginaie / Le action mécanique ente le deu tonçon ont de effot intéieu à la poute que l on peut modélie pa un toeu appelé Toeu de Coéion { T co} et dont le élément de éduction au point cente de uface ont : une éultante R, et un moment éultant R { T co} R 1/ 2 1 / R 2/1 Deu convention d écitue ont poible. Convention 1 : le toeu de coéion modélie le action mécanique de la patie (2) u la patie (1) ; Convention 2 : le toeu de coéion modélie le action mécanique de la patie (1) u la patie (2). Pou la uite, nou adopteon la COVETIO 1 tout à fait abitaiement. Pou détemine ce toeu de coéion il uffit d effectue l équilibe tatique du tonçon (1) ou du tonçon (2). Etude de l équilibe du tonçon (1) ou de la patie gauce { T co} T 1 + T { T et 1} 1 { T co} { T et 1} R R, R et 1, et 1 RD Cou 2/8

3 Définition1 : le toeu de coéion au cente de uface d une uface doite de poute e défini en effectuant la omme de toeu, au même point, de action mécanique agiant à gauce de la ection doite, omme pécédée du igne -. Etude de l équilibe du tonçon (2) ou de la patie doite Comme { T co} R R alo { T co} { T et 2}, R 1 / 2,1 / 2 R R, R 1 / 2,1 / 2 R et 2, et 2 Définition 2 : le toeu de coéion au cente de uface d une uface doite de poute e défini en effectuant la omme de toeu, au même point, de action mécanique agiant à doite de la ection doite, omme pécédée du igne Eemple de calcul de toeu de coéion Soit une poute epoant u 2 appui et oumie à une foce odèle de la poute Donnée C Détemination du toeu de coéion On décompoe la poute en deu one : [C] et [C]. Zone [C] ou allon détemine le toeu de coéion au cente de uface 1 d une ection de poute ituée ente et C, epéée pa l abcie. Le toeu de coéion au point 1 e détemine en effectuant la omme de.. agiant à gauce de la coupue, omme pécédée du igne «-» (voi définition 1 eouce page 3/7). 1 C P { T co } 1 ( ) Y Y 1 Y a Y f1.y T T T1 Y ; ; f1 f m Zone [C] Pou la détemination de ce toeu de coéion, il et péféable d utilie l aute définition Le toeu de coéion au point 1 e détemine en effectuant la omme de.. agiant à doite de la coupue, omme pécédée du igne «+» (voi définition 2 cou Rd page 3). RD Cou 3/8

4 P C 2 { T co } 2 ( ) ( + 4, 2 ). ( + a + b) Y ( + a + b). Y 5714 T 2 Y 5714 f2 12, T f m ( + 4, 2 ) , 2 T ; f1 ; 3.3 Compoante de effot intéieu ou du toeu de coéion Le compoante du toeu de coéion e notent conventionnellement comme ci-deou : (S) T R t R { } T co. T f t T,, T f, f f ( ) (, ) : effot nomal ; T Y : effot tancant uivant ; T Z : effot tancant uivant. t : moment ou couple de toion ; f Y : moment fléciant ou moment de fleion uivant ; f Z : moment fléciant ou moment de fleion uivant. 4 IDETIICTIO DE L TURE DES SOLLICITTIOS t SOLLICITTIOS SIPLES Eemple Toeu de coéion Sollicitation ou RD Cou 4/8 t ou T T (,,) (,,) (,,) (,,) TRCTIO (pou la compeion, le vecteu foce ont en en invee) CISILLEET t TORSIO

5 f f ou f f (,,) (,,) LEXIO PURE t SOLLICITTIOS COPOSÉES Eemple Toeu de coéion Sollicitation t ou T ou T ou T f f T f (,,) (,,) f (,,) (,,) LEXIO PLE SIPLE LEXIO + TRCTIO t T LEXIO f + (,,) TORSIO t f T (,,) LE f (,,) 5 OTIO DE COTRITE (S) d df τ d σ C (,n) df σ + τ C(, n) d σ : containte nomale ; τ : containte tangentielle L'unité de la containte et le Pacal : 1 Pa 1 / m 2 Le toeu de coéion cématie le action de coéion eeçant dan une ection doite de la poute, il contitue donc une epéentation globale. Pou avoi une epéentation plu détaillée en caque point de la ection, nou utilieon la notion de containte. RD Cou 5/8

6 6 IDETIICTIO DES SOLLICITTIOS 6.1 SOLLICITTIO DE TRCTIO COPRESSIO { T co }. Etat de containte (,, ) Containte nomale : (igma) Condition de éitance : σ S : effot nomal en ewton S : ection de la poute en mm 2 avec R e Loqu il a de vaiation buque de ection, la épatition de containte nomale n et pa unifome. Il a COCETRTIO DE COTRITES. L COTRITE XILE EST DOEE PR : σ ma Kt. σ ai σ ai avec, : effot nomal de taction en ewton ; S S : ection de la poute en mm 2 Kt : coefficient de concentation de containte donnée pa de abaque. Pa eemple pou un filetage ISO, Kt 2,5. avec (effot nomal en ewton) poté pa l'ae paallèle à la fibe moenne de la poute. σ ma σ pe : containte patique σ pe R e : limite élatique du matéiau ; : coefficient de écuité (2 pou la contuction aéonautique, 4 pou la mécanique couante, 1 pou le matéiel de tavau public ). D d σ ma Etat de défomation llongement elatif : ε (epilon) Loi de Hooke σ E. ε L L L Contaction latéale : ε d d d vec σ : containte d etenion en pa ; E : module de Young en pa ; ε : allongement elatif. Coefficient de Poion υ (nu) : εd contaction latéale υ ε allongement elatif L 6.2 SOLLICITTIO DE CISILLEET Hpotèe : épatition unifome de containte. T ou (,,) Etat de containte T Z Containte tangentielle moenne : T T (tau) τ mo ou S S S : ection de la poute en mm 2 RD Cou 6/8 Etat de défomation τ mo γ avec γ : angle de gliement (adian) : module d'élaticité tanveal (.mm -2 ) (pou le métau,4 E) E 2 avec ν (nu) : coefficient de poion ( 1+ ν) T ou T (effot tancant) ont leu uppot pependiculaie à l'ae de la fibe moenne. (,,) τ e Condition de éitance : τ mo τ p τ p : coefficient de écuité (2 pou la contuction aéonautique, 4 pou la mécanique couante, 1 pou le matéiel de tavau public ). pou le matéiau tende τ e,5 R e pou le matéiau due τ e,8 R e 2 / 3 L 1/ 3 γ

7 6.3 TORSIO DES POUTRES CIRCULIRES Une poute et ollicitée en toion imple loqu elle et oumie à deu couple poté pa a ligne moenne qui tendent à la tode. Hpotèe upplémentaie : La poute a une ection doite ciculaie ; Son diamète et contant ; Son poid et négligé. t t : moment de toion en.m t (,, ) Etat de défomation α (téta) θ angle unitaie de toion en ad/m (alpa) α : angle de défomation en ad ; : longueu de la poute en m. épatition de containte dan une ection doite la containte τ ai en un point quelconque de la coupue et popotionnelle à la ditance ρ. τ ai θ ρ τ : containte tangentielle en pa ; : module d élaticité tanveal, ou module de Coulomb en pa ; θ : angle unitaie de toion en ad/m ; (ô) ρ : en mète. Relation ente T et θ t θ I I : moment quadatique polaie en mm 4 4 π d Pou une ection ciculaie pleine : I 32 Condition téoique de éitance à la toion τ Relation ente T et τ À pati de τ θ ρ et T θ I ; on obtient : τ T I ρ 4 4 π ; Pou une ection tubulaie : I ( D d ) τ mai t t τ e ρ ma i v τ p (containte patique) avec : τ p ; : coefficient de écuité I I v ρ mai Condition patique de éitance à la toion τ ma i t I ρ t ma i v R pg I 6.4 LEXIO PLE SIPLE R eg pou le métau : R eg (éitance patique au gliement) En contuction mécanique, la fleion de poute et de abe et une ollicitation que l on enconte féquemment. ome du toeu de coéion T ou T : effot tancant ; T ou f f ou f : moment fléciant f (,,) T Z uivant ou (,,) R e 2 32 ρ RD Cou 7/8

8 Etat de containte nomale 1 σ Containte nomale au point : σ f I σ f ai mai I σ ai et popotionnelle à l éloignement du point / plan de la fibe moenne. I : moment quadatique de la ection flécie b I I 3 b 12 3 b 12 d I I 4 π d 32 Etat de containte tangentielle lo que le containte nomale ont iue de moment fléciant, le containte tangentielle éultent de effot tancant. oin pépondéante que le containte nomale, leu détemination et néceaie dan cetain ca. POUR UE POUTRE DE SECTIO RECTULIRE b τ LLURE DES COTRITES TETIELLES τ τ mai DS CE CS 3 T τ ma i 2 S T 8 2 I Condition de éitance Citèe de containte nomale K t. σ f Re a ma R pe (éitance patique) I avec Re : limite élatique du matéiau en pa : coefficient de écuité (de 2 à 1). K t : coef de concentation de containte Citèe de containte tangentielle τ e τ unifome τ p avec τ p T avec : τ unifome ota : le calcul de éitance d une poute ollicitée en fleion imple e fait généalement elon le citèe de la containte nomale. Condition de défomation Relation ente moment fléciant et effot tancant : df T ; d Le poute ollicitée en fleion imple ont ouvent dimenionnée en epimant le condition limite de défomation. Une poute peut éite à une ollicitation de fleion, mai e défome dan de popotion inacceptable. RD Cou 8/8