PARAMÉTRISATIONS DE PETITS CHEMINS EN GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE RÉELLE

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1 SINGULARITIES AND DIFFERENTIAL EQUATIONS BANACH CENTER PUBLICATIONS, VOLUME 33 INSTITUTE OF MATHEMATICS POLISH ACADEMY OF SCIENCES WARSZAWA 1996 PARAMÉTRISATIONS DE PETITS CHEMINS EN GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE RÉELLE J.-C. TOUGERON Insttut de Mathématques, Unversté de Rennes Campus de Beauleu, Rennes Cedex, France Sot X un sous-ensemble analytque (ou plus généralement sem-analytque ou sousanalytque) de R n ; s x est un pont non solé de X, le lemme du pett chemn affrme qu l exste une applcaton analytque ξ : [0, ε[ X telle que ξ(0) = x et ξ(]0, ε[) X\{x}. Ce lemme est très utle dans les démonstratons et on l étend à des contextes plus généraux, lorsque X est un sous-ensemble analytque d un certan type d un ouvert borné de R n et x X (X peut être une varété pfaffenne, cf. [2], ou X peut être Gevrey au bord, cf. [5]). Dans ce cas, le lemme usuel du pett chemn ne s applque pas; l arc que l on construt est alors une sous-varété connexe et de dmenson un de la classe d ensembles étudés, mas l on ne sat ren a pror sur les paramétrsatons de cet arc (cependant, dans le cas Gevrey, on sat que l arc est Gevrey). Dans cet artcle ( 2), on précse la paramétrsaton dans un cas très partculer : X est un germe d ensemble sem-analytque à l orgne de (R + ) n défn à l ade d un nombre fn de fonctons de la forme f(x α1 1,..., xαp 1 ; xα1 2,..., xαp 2 ;... ; xα1 n,..., x αp n ) avec f analytque à valeurs réelles à l orgne de R np et α j réels > 0. Posant x = e 1/y, cela revent au même d étuder au vosnage de 0 les ensembles sem-analytques défns à l ade de fonctons analytques d exponentelles e αj/y. La démonstraton reprend les dées de [5] : par éclatements, on se ramène au cas où les fonctons sont analytques en toutes les varables, sauf une; on peut alors applquer le théorème de préparaton. Ben entendu, la recherche d une paramétrsaton nécesste une extenson du lemme de Puseux ; cette extenson est une conséquence facle du théorème de désngularsaton ( 1). Tous les résultats sur les ensembles sem-analytques usuels s étendent à cette stuaton plus générale. Enfn, dans un derner paragraphe ( 3), on envsage la stuaton plus générale où l on 1991 Mathematcs Subject Classfcaton: 26B, 26D, 58D. The paper s n fnal form and no verson of t wll be publshed elsewhere. [421]

2 422 J.-C. TOUGERON remplace les x αj demeure. par x αj (Log x ) βj ; on a des résultats s n = 2; pour n > 2, le problème 1. Le lemme de Puseux 1.1. Sot O la R-algèbre des germes en 0 de fonctons analytques f : ]0, ε[ R (ε > 0 dépend de f); sot K une sous-algèbre de O vérfant les deux condtons suvantes : () f K = K\{0}, f est non oscllante,.e. f est strctement monotone dans un ntervalle ]0, ε[, donc f > 0 ou f < 0. () K est un corps. S K est stable par dérvaton, la condton () équvant à la condton plus fable : ( ) f K, on a f 0 en tout pont d un ntervalle ]0, ε[. On note A la sous-algèbre de K formée des f qu se prolongent par contnuté en 0; vsblement, A est un anneau local d déal maxmal m = {f A : f(0) = 0}; K est le corps des fractons de A et c est l unon dsjonte de A et m 1 = {f K : 1/f m}. On pose A C = A R C; K C = K R C; m C = m R C; on défnt une relaton d équvalence sur K C : g f s g/f A C\m C,.e. g(t)/f(t) tend vers une lmte fne non nulle quand t 0. On note ν(f) la classe d équvalence de f (multplcté de f en 0); l négalté ν(g) > ν(f) sgnfe que g/f m C Exemples Supposons que K est stable par dérvaton et vérfe les condtons de 1.1; s f K, les corps K(e f ) ou K(F ) (F prmtve de f) vérfent les mêmes condtons (d après Louvlle). Il en est de même de la clôture algébrque K de K dans O (en effet, s f O vérfe une équaton rréductble sur K : a p f p a 0 = 0 avec a K, on a a 0 0 et f dvse a 0 ; donc f 0 en tout pont d un ntervalle ]0, ε[). Par alleurs f = (a pf p a 0)/(pa p f p a 1 ) appartent à K Sot A une sous-algèbre de l algèbre E des germes en 0 de fonctons C sur [0, ε[, analytques sur ]0, ε[, à valeurs réelles; on suppose que A est quas-analytque,.e. l applcaton A f f R[[t]] qu à f assoce sa sére de Taylor à l orgne, est njectve; alors le corps des fractons K de A vérfe les condtons de 1.1. C est vra en partculer s A est l algèbre G des germes multsommables dans la drecton R + (cf. [5]) : G est quas-analytque, stable par dérvaton et composton Sot A une sous-algèbre quas-analytque de E, stable par dérvaton; alors l exste une sous-algèbre quas-analytque à de E, stable par dérvaton, telle que à A et telle que à f f R[[t]] sot surjectve, donc bjectve. P r e u v e. On consdère l ensemble ordonné par ncluson de toutes les sous-algèbres de E qu sont quas-analytques et stables par dérvaton; par l axome du chox, l exste un élément maxmal B et l sufft de montrer que B = R[[t]]; snon l exsterat ϕ R[[t]]\ B et deux cas se présentent : Les ϕ (), N, sont algébrquement ndépendants sur B; s f E avec f = ϕ,

3 PARAMÉTRISATIONS DE PETITS CHEMINS 423 l algèbre B[f, f,...] B, est quas-analytque et stable par dérvaton, ce qu est contradctore. Les ϕ (), N, sont algébrquement dépendants sur B. Sot p 1 le plus grand enter tel que ϕ, ϕ,..., ϕ (p 1) soent algébrquement ndépendants sur B; sot ( ) α q (ϕ,..., ϕ (p 1) )(ϕ (p) ) q α 0 (ϕ,..., ϕ (p 1) ) = 0 l équaton de degré mnmal q vérfée par ϕ (p) ; les polynômes α B[y,..., y (p 1) ] se relèvent de manère unque en des polynômes a B[y,..., y (p 1) ]. L équaton dfférentelle a q (y (p) ) q a 0 = 0 admet une soluton f E telle que f = ϕ. En effet, relevons arbtrarement ϕ en g E (ĝ = ϕ) et posons y = z + g. On dot trouver une soluton nfnment plate à l orgne d une équaton à coeffcents dans E, ( ) P (z, z (1),..., z (p) ) + u p z (p) + u p 1 z (p 1) u 0 z + v 0 = 0 avec v 0 nfnment plate à l orgne, P polynôme sans termes lnéares ou constants; û p 0, car û p est la dérvée par rapport à ϕ (p) du premer membre de ( ) et cette dérvée est non nulle, car q est mnmal. Sous ces condtons, l exstence d une soluton pour ( ) est ben connue. Sot le dscrmnant du polynôme a q (f,..., f (p 1) )(f (p) ) q a 0 (f,..., f (p 1) ); on a B[f, f,..., f (p 1) ] et 0. En dérvant l équaton dfférentelle vérfée par f, on trouve que j 1, ( ) f (p+j) = P j(f,..., f (p) ) nj où n j est un enter > 0 convenable et P j est un polynôme à coeffcents dans B. Montrons que B[f, f,...] est quas-analytque; sot g B[f, f,...] telle que ĝ = 0 et montrons que g = 0; d après ( ), on peut supposer que g B[f, f,..., f (p) ], pus supposer que g est de degré < q en f (p). Comme ĝ = 0, tous les coeffcents de ĝ consdéré comme polynôme en ϕ,..., ϕ (p) sont nuls, et donc g = 0. Ans, B ne serat pas maxmale et l on aboutt là encore à une contradcton. On en dédut les conséquences suvantes : Soent P 1,..., P s Ã[y 1,..., y r ; y (1) 1,..., y(1) r ;... ; y (p) 1,..., y(p) r ]. Supposons que le système formel P1 =... = P s = 0 admette une soluton formelle (ŷ 1 (t),..., ŷ r (t)) R[[t]] r ; alors cette soluton formelle se relève en une soluton (y 1 (t),..., y r (t)) Ãr du système P 1 =... = P s = 0. En partculer, les solutons d un système réguler y j = P j (y 1,..., y r ) (1 j r et P j polynôme à coeffcents dans Ã) sont dans Ãr. à est algèbrquement clos dans E; en effet, s f E vérfe une équaton a pf p a 0 = 0 avec a Ã, on peut supposer que le dscrmnant du polynôme a py p a 0 est non nul. Sot f à tel que f = f; on a ap f p a 0 = 0, donc f = f, car 0. En partculer, s ϕ R{y 1,..., y p } est de Nash et s f 1,..., f p à avec f (0) = 0 pour = 1,..., p, on a ϕ(f 1,..., f p ) Ã.

4 424 J.-C. TOUGERON Sot N la sous-algèbre de R{y} formée des ϕ tels qu l exste un nombre fn de ϕ 1,..., ϕ p R{y} avec ϕ 1 = ϕ, les ϕ étant solutons d un système dϕ dt = P (ϕ 1,..., ϕ p ) Q (ϕ 1,..., ϕ p ), 1 p, avec P, Q R[y 1,..., y p ], Q (ϕ 1 (0),..., ϕ p (0)) 0. Vsblement, N est une algèbre locale qu content l algèbre de Nash N. S f à et f(0) = 0 on a Q (ϕ 1 f,..., ϕ p f) d(ϕ f) dt = f P (ϕ 1 f,..., ϕ p f). Il en résulte que ϕ f à pour tout ; donc, s ϕ N, ϕ f Ã. Enfn, à est stable par ntégraton, mas ne l est pas par composton : s f Ã, en général f(t2 ) à Sot Θ = {θ α } une famlle de fonctons, contnues et strctement crossantes de [0, ε[ dans R +, nulles en 0 et analytques dans ]0, ε[. On suppose que Θ est stable pour la multplcaton; on suppose auss que θ α, θ β Θ et α β mplque que θ α /θ β ou θ β /θ α appartent à Θ. On note H Θ (resp. N Θ ) la sous-algèbre de O formée des germes en 0 des fonctons qu s écrvent sous la forme ϕ(θ α1,..., θ αp ) avec θ α Θ et ϕ analytque (resp. de Nash) au vosnage de l orgne de R p, à valeurs réelles (p, α 1,..., α p sont varables). D après le lemme qu sut, A = H Θ ou N Θ et son corps des fractons K vérfent les condtons de 1.1. Par exemple, on peut chosr pour Θ la famlle des fonctons θ α (t) = t α (α réel > 0), ou encore la famlle des fonctons θ α (t) = (1/t) α0 (Log 1/t) α1 (Log 2 1/t) α2... (Log q 1/t) αq où Log q = Log... Log, q fos (on chost les α R de telle sorte que θ α (t) 0 quand t 0, t > 0) Lemme. Soent θ = (θ 1,..., θ p ) Θ p, ϕ R{y 1,..., y p } avec ϕ(θ) 0; l exste des multndces ω 0 N p ; ω 1,..., ω q Z p ; a R et ψ R{y 1,..., y p ; z 1,..., z q }, ψ(0) = 0, tels que = 1,..., q, θ ω Θ et ϕ(θ 1,..., θ p ) = aθ ω0 (1 + ψ(θ 1,..., θ p ; θ ω1,..., θ ωq )). (On a un résultat analogue s on remplace fonctons analytques par fonctons de Nash ou s on remplace R par C). P r e u v e. Sot ν(γ) la multplcté en 0 d un élément γ Θ; notons I γ l déal de R[y 1,..., y p ] engendré par tous les monômes y µ (µ N p ) tels que ν(θ µ ) ν(γ); I γ admet un système mnmal de générateurs formé de monômes y µ, µ Ω γ ( Ω γ sous-ensemble fn de N p ); ce système est unque et tout monôme appartenant à I γ est multple d un tel y µ ; on en dédut que l ensemble Ω γ des ω N n tels que ν(θ ω ) = ν(γ),.e. θ ω = γ, est fn et contenu dans Ω γ. Posons ϕ = a ω y ω et notons Γ l ensemble des γ Θ tels que Ω γ sot non vde et ω Ω γ a ω 0 (donc ω Ω γ a ω θ ω = ( ω Ω γ a ω ) γ). Toute sute d éléments de Γ telle que la sute des multplctés sot strctement décrossante est statonnare, car la sute des déaux I γ est alors strctement crossante; Γ admet donc un élément γ 0 = θ ω0 de plus pette multplcté.

5 PARAMÉTRISATIONS DE PETITS CHEMINS 425 Soent ω 1,..., ω q les éléments de Ω γ0 \ Ω γ0 ; décomposons la sére a ω y ω sous la forme q a ω y ω (1 + ϕ ω (y)) + a ω y ω (1 + ϕω (y)) + a ω y ω, ω Ω γ0 =1 ω Ω Ω désgnant l ensemble des ω N n tels que y ω I γ0 ; ϕ ω, ϕ ω appartennent à R{y 1,......, y p } et s annulent en 0. S a = ω Ω γ0 a ω, on a aω θ ω = aθ ω0 [1 + avec ω = ω ω 0 Z p et ω Ω γ0 a 1 ϕ ω (θ) + q =1 = aθ ω0 (1 + ψ(θ 1,..., θ p ; θ ω1,..., θ ωq )) ψ = ω Ω γ0 a 1 ϕ ω (y) + ] a ω a 1 θ ω ω0 (1 + ϕ ω (θ)) q a ω a 1 z (1 + ϕ ω (y)). =1 Tout f H Θ tel que f(0) = 0 est donc équvalent à un germe aθ (a R, θ Θ) et f admet un développement asymptotque convergeant suvant l échelle Θ,.e. f = a α θ α où a α R; θ α Θ et α < β mplque ν(θ α ) < ν(θ β ) (dans l ordre total sur les α, chaque α admet un successeur mas pas toujours un antécédent). Le résultat suvant est une extenson du lemme de Puseux usuel (cf. [3] pour un résultat comparable en formel) : 1.4. Théorème. Sot θ = (θ 1,..., θ p ) Θ p et sot q Q(t, W ) = W q + f (t)w q un polynôme untare à coeffcents f C{θ 1,..., θ p }. Alors l exste un nombre fn de mult-ndces ω 1,..., ω s Q p tels que j = 1,..., s, θ ωj Θ 1/m, pour un certan enter m 1; et une foncton analytque φ C{y 1,..., y s }, tels que φ(θ ω1,..., θ ωs ) sot racne de l équaton Q(t, W ) = 0; en outre, s les f sont de Nash, φ est de Nash Corollare. Sot K le corps des fractons de K Θ ou N Θ ; K C est algébrquement clos s et seulement s θ 1/m Θ, θ Θ et m enter 1. On a auss le résultat suvant (la preuve est analogue à celle de 1.4) : 1.6. Théorème. Avec les notatons de 1.1, K C est algébrquement clos s et seulement s les deux condtons suvantes sont satsfates : () f 1,..., f s m et φ R{y 1,..., y s } de Nash φ(f 1,..., f s ) A. () f A, f > 0, et m enter 1, on a f 1/m A P r e u v e d e 1.4. Sot w 0 une racne du polynôme complexe Q(0, W ); en remplaçant W par W + w 0, on peut supposer que f q (0) = 0 et l on cherche une racne de Q(t, W ) = 0 qu s annule en t = 0. Sot f l applcaton [0, ε[ t (f 1 (t),..., f q (t)) C q et posons a = f(0); sot X le plus pett germe en a d ensemble de Nash qu content la courbe f; X est rréductble. On note f l applcaton (R +, 0) t f(t) (X, a). =1

6 426 J.-C. TOUGERON Le polynôme générque W q + q =1 (z X)W q 1, à coeffcents dans l algèbre N X,a des germes de Nash en a sur X, a peut être des facteurs multples. Ce polynôme admet dans N X,a [W ] un facteur Q qu est un polynôme dstngué et qu est sans facteurs multples : Q (z, W ) = W q + g (z)w q (q > 0 et g (a) = 0, ). On cherche une racne de Q (f(t), W ) = 0. Sot δ N X,a le dscrmnant de Q (z, W ) et sot X le germe de Nash réunon de δ =0 et des ponts sngulers de X. D après le théorème de désngularsaton d Hronaka, l exste un morphsme de Nash π : ( X, π 1 (a)) (X, a) vérfant les condtons suvantes : () π est propre et X est réguler, dm X = dm X = r. () π ndut un dfféomorphsme de X \ π 1 (X ) sur X \ X. () ã π 1 (a), le germe en ã de δ π = 0 est réunon de certans hyperplans de coordonnées, pour un système de coordonnées convenables de X en ã. Par constructon de X, le germe f(]0, ε[) est contenu dans X \ X et f ]0, ε[ se relève de manère unque en une applcaton f : ]0, ε[ X \π 1 (X ); sot ã π 1 (a) une valeur d adhérence de f(t) quand t 0, t > 0. On peut supposer a = 0; après plongement de ( X, ã) dans (C q, 0), l applcaton π : ( X, ã) (X, 0) se relève en une applcaton π : (C q, 0) (C q, 0) et l on sat, par constructon de π, que π se décompose sous la forme π = π 1... π l où π : (C q, 0) (C q, 0) a l une des deux formes suvantes : a) π est un dfféomorphsme de Nash. b) π (z j) = z j, pour 1 j k (1 k q); π (z j) = z 1 (z j + a j ), a j C, pour k + 1 j q. Démontrons que l applcaton f : [0, ε[ C se relève en F : [0, ε[ C q telle que F (0) = 0 et π 1... π F = f; montrons en outre l exstence d un nombre fn de mult-ndces ω 1,..., ω s Z p tels que θ ωj Θ, j = 1,..., s, et celle d une applcaton analytque φ : (C s, 0) (C q, 0), avec F 1 = φ(θ ω1,..., θ ωs ). On procède par nducton sur ; c est vra s = 1, car F 0 = f; supposons-le vra pour F 1 et démontrons-le pour F ; on a π F = F 1 ; s π a la forme a), le résultat est évdent; dans le cas b), on a s φ 1,..., φ q sont les composantes de φ et F,1,..., F,q celles de F, F,j = F 1,j = φ j (θ ω1,..., θ ωs ), 1 j k, F,j = F 1,j a j = φ j(θ ω1,..., θ ωs ) F 1,1 φ 1 (θ ω1,..., θ ωs ) a j, k + 1 j q. S le numérateur de la dernère fracton est non nul, l exste d après le lemme 1.3 des mult-ndces ω 0, ω s+1,..., ω s Z p tels que θ ωs+1,..., θ ω s Θ; a R et ψ R{y 1,..., y s }, ψ(0) = 0, avec q =1 F,j + a j = aθ ω0 (1 + ψ(θ ω1,..., θ ω s )). Mas d après le chox de ã, l exste des t ν > 0, t ν 0 tels que F,j (t ν ) 0; donc s a j 0, θ ω0 = 1 et a j = a; s a j = 0, θ ω0 Θ. S le numérateur est nul, on a a j = 0

7 PARAMÉTRISATIONS DE PETITS CHEMINS 427 et F,j = 0. Ans F a les mêmes proprétés que F 1 et la preuve par nducton est termnée. L applcaton f se relève donc en une applcaton f = F l telle que f(0) = 0 et π f = f; en outre f est de la forme φ(θ ω1,..., θ ωs ), ω j Z p et θ ωj Θ, φ analytque. Supposons que le plongement de ( X, ã) dans (C q, 0) dentfe ( X, ã) à (C r {0}, 0); posons f = ( f 1,..., f r ); g = g π; Q (z, W ) = W q + g (z)w q. On est ramené à chercher une racne de Q ( f(t), W ) = 0. S δ est le dscrmnant de Q (z, W ), l ensemble δ = 0 est contenu dans l ensemble z 1... z r = 0; l est ben connu que les racnes de Q sont de la forme ψ(z 1/m 1,..., zr 1/m ) avec ψ de Nash, m est un enter > 0 qu on peut chosr égal à q! S f j = a j θ ω0,j (1 + ψ j (θ ω1,..., θ ωs )) avec ω 0,j, ω 1,..., ω s Z p ; θ ω0,j, θ ω1,..., θ ωs Θ; ψ j analytque et ψ j (0) = 0, on a pour certanes détermnatons des a 1/m j, q =1 ψ(..., a 1/m j θ ω 0,j/m (1 + ψ j (θ ω1,..., θ ωs )) 1/m,...) qu est racne de Q(t, W ), ce qu achève la démonstraton Exemple. S (α) = (α 1,..., α p ) est une sute de réels > 0, on note A (α) l algèbre de tous les germes en 0 R + de fonctons ϕ(t α1,..., t αp ) avec ϕ C{y 1,..., y p } et l on pose A = (α) A(α) (p varable). D après le théorème 1.4, K C est algébrquement clos; la sute (α 1,..., α p ) étant fxée, l en est de même du corps des fractons de A (α) C où A (α) = (β) A(β), (β) décrvant l ensemble de toutes les sutes (β 1,..., β q ) de réels > 0 tels que, β Qα Qα p ; tem pour le corps des fractons de A (α) C où A (α) = (β) A(β), (β) décrvant l ensemble de toutes les sutes (β 1,..., β q ) de réels > 0 tels que, β Q(α 1,..., α p ). On note A (α) n,m l algèbre des germes de fonctons à l orgne de (R + ) n R m qu s écrvent sous la forme ϕ(x α1 1,..., xαp 1 ; xα1 2,..., xαp 2 ;... ; xα1 n,..., x αp n ; y 1,..., y m ) (ϕ est analytque à l orgne de R pn+m à valeurs réelles; x = (x 1,..., x n ) paramétrse (R + ) n et y = (y 1,..., y m ) paramétrse R m ). On pose A n,m = (α) A(α) n,m et on note A (α) n,m l algèbre des germes f : ((R + ) n R m, 0) R qu s écrvent f = f 0 f 1... f s ; f k : ((R + ) n k R m k, 0) ((R + ) n k 1 R m k 1, 0) ayant ses composantes dans A (α) n k,m k ; A (α) n,m est donc la plus pette algèbre qu est stable par composton et qu content A (α) n,m; enfn on pose A n,m = (α) A(α) n,m. 2. Etude des sem-analytques défns à l ade de A n,m. Sot f j un nombre fn d éléments de A n,m, f j (0) = 0; on consdère le germe d ensemble sem-analytque X = j {(x, y) (R+ ) n R m : f j (x, y)? 0} où? sgnfe = ou >. Un tel germe X

8 428 J.-C. TOUGERON admet localement un nombre fn de composantes connexes; cela est une conséquence de la théore de Khovanskĭ, mas nous allons retrouver ce résultat et certans autres que la théore de Khovanskĭ ne permet pas d obtenr, en utlsant une méthode déjà employée dans [5]; on comparera auss ces résultats avec ceux de [7], mas la famlle de fonctons envsagée c est beaucoup plus partculère. On démontre en partculer le lemme du pett chemn suvant : 2.1. Théorème. Avec les notatons précédentes, s X {0}, l exste un arc ξ : [0, ε[ t (x(t); y(t)) (R + ) n R m tel que ξ(0) = 0 et ξ(]0, ε[) X\{0}, à composantes dans A; plus précsément, s les f j sont dans A (α) n,m, les composantes de ξ sont dans A (α) Avant de démontrer 2.1, fasons deux remarques prélmnares : Pour la démonstraton, on peut remplacer A n,m par A n,m ; en effet, on peut supposer que chaque f j A n,m s écrt f,j = f j,0... f j,s avec pour k = 1,..., s f j,k : ((R + ) n k R m k, 0) ((R + ) n k 1 R m k 1, 0) et f j,k a ses composantes dans A nk,m k. Sot π la projecton canonque de s k=0 (R+ ) n k R m k sur (R + ) ns R ms = (R + ) n R m ; en utlsant les graphes des f j,k, on vot que X = π(x ) où X est un sem-analytque défn à l ade de A n,m avec n = s k=0 n k, m = s k=0 m k. Le résultat pour X entraîne évdemment le résultat pour X S f A n,m on a f A n,m car f = (f 2 ) 1/2 ; le germe f 0 est donc le germe analytque f f = 0; les germes sem-analytques ne sont donc ren d autre que les germes constructbles On va utlser des éclatements très smples que nous allons précser; consdérons l éclatement π : R n R n d un hyperplan de coordonnées de codmenson deux de R n (n 2), par exemple l hyperplan x 1 = x 2 = 0; la fbre π 1 (0) s dentfe à l espace projectf P 1 (R) paramétré par les coordonnées homogènes x 1 π, x 2 π; dans cette fbre, on dstngue les deux ponts ẋ 1, ẋ 2 (nous les appellerons sngulers) corespondant aux axes de coordonnées x 1, x 2 ; s on chost par exemple le pont a = ẋ 1, on a un système canonque de coordonnées locales en a pour R n, noté (u 1,..., u n ), tel que x 1 = u 1, x 2 = u 1 u 2, x 3 = u 3,..., x n = u n. L mage récproque par π a du quadrant (R + ) n est le quadrant (R + ) n : {u > 0, 1 n}. Les autres ponts de la fbre sont dts régulers; en un tel pont a π 1 (0), on a un système de coordonnées locales (u 1,..., u n ) tel que x 1 = u 2 (λ + u 1 ); x 2 = u 2 ; x 3 = u 3,..., x n = u n, avec λ 0. L mage récproque par π a du quadrant (R + ) n est R (R + ) n 1 s λ > 0; s λ < 0 elle est vde. Vsblement, s f A n,m on a f (π a 1 R m) A n,m s a est snguler; s a est réguler, λ > 0, on a f (π a 1 R m) A n 1,m+1. Appelons transformaton élémentare en 0 (R + ) n le composé θ π : (π 1 (R + ) n, π 1 (0)) ((R + ) n, 0) de l éclatement π d un (n 2)-plan de coordonnées et d un homéomorphsme θ : θ(x 1,..., x n ) = (x β1 1,..., xβn n ) avec β réels > 0. On peut applquer une transformaton élémentare en 0 (R + ) n, pus recommencer en chacun des deux ponts sngulers de π, et l on peut térer un nombre fn de fos ce processus. On obtent ans

9 PARAMÉTRISATIONS DE PETITS CHEMINS 429 un arbre fn de transformatons élémentares : La remarque suvante est essentelle pour la sute : 2.4. Lemme. Sot Ω un sous-ensemble fn de (R + ) n ; l exste un arbre fn de transformatons élémentares tel que s a est l un des deux ponts sngulers d une flèche ntale de l arbre et s π : ((R + ) n, 0) (y 1,..., y n ) π(y 1,..., y n ) ((R + ) n, 0) est le morphsme composé des transformatons élémentares entre a et 0, on at ω Ω, π (x ω ) = y µ, les µ formant un sous-ensemble de (R + ) n totalement ordonné pour l ordre produt. P r e u v e. Evdemment, π est njectve et π conserve l ordre sur les monômes; on peut donc supposer card Ω = 2, car par tératon on a le résultat pour un Ω quelconque. S x ω et x ω sont deux monômes, on peut dvser par le facteur commun à x ω et x ω et supposer que x ω = x ω xωr r et x ω = x ωs+1 s+1... xωn n, s r, ω > 0, après une éventuelle permutaton de coordonnées. On procède alors par récurrence descendante sur r+(n s); s r = 0 ou n s = 0 (.e. x ω = 1 ou x ω = 1), l n y a ren à démontrer; snon, on peut supposer en applquant une transformaton θ que tous les ω sont égaux à 1; en éclatant l hyperplan x 1 = x s+1 = 0, on obtent alors les monômes x 1... x r et x 1 x s+1... x n (ou x 1... x r x s+1 et x s+1... x n ); dvsant par x 1 dans le premer cas et par x s+1 dans le second, on peut applquer l hypothèse d nducton Lemme. Supposons que le théorème 2.1 est vra pour A n,m 1 et supposons que le sem-analytque X consdéré en 2.1 est défn par des f j qu sont des polynômes dstngués en y m à coeffcents dans A n,m 1 (R m 1 est paramétré par y = (y 1,..., y m 1 )); alors le théorème 2.1 est vra pour X. P r e u v e. Posons f =,j f j = M k=1 a k(x; y )ym k 1 et consdérons le polynôme générque F = k a kym k 1 R[a; y m ] où a désgne le paquet de varable a k et décrt un R M. Sot θ l applcaton ((R + ) n R m 1, 0) (x; y ) (a k (x, y )) (R M, 0). Comme conséquence du théorème de Tarsk Sedenberg (cf. [1], méthode du saucssonnage ), l exste une partton fn de R M en sem-algébrques connexes W α tels que au-dessus de chaque W α, F at un nombre constant l α de racnes réelles : Y (1) α (a) < Y α (2) (a) <... < Y α (lα) (a). Il en résulte que X (θ 1 (W α ) R) est une unon dsjonte de tranches de la forme : T l = {(x, y, y m ) : (x, y ) θ 1 (W α ) et y m = Y (l) α (θ(x, y ))}, T l,l+1 = {(x, y, y m ) : (x, y ) θ 1 (W α ) et Y (l) α (θ(x, y )) < y m < Y (l+1) α (θ(x, y ))}, T,1 = {(x, y, y m ) : (x, y ) θ 1 (W α ) et y m < Y (1) α (θ(x, y ))}, T lα, = {(x, y, y m ) : (x, y ) θ 1 (W α ) et Y (lα) α (θ(x, y )) < y m }. S X est contenu dans la drote des y m (x=y =0), le résultat est évdent. Snon, l exste un α tel que 0 θ 1 (W α ); 0 θ 1 (W α ); X content une tranche T au-dessus de θ 1 (W α ). Par hypothèse, l exste un arc ξ : ([0, ε[, 0) ((R + ) n R m 1, 0) à coeffcents dans A, tel que ξ (]0, ε[) θ 1 (W α ). Supposons que T est de la forme T l ; ξ m = Y α (l) (θ(ξ (t))) est

10 430 J.-C. TOUGERON alors racne du polynôme dstngué en y m f(ξ (t); y m ) et donc cette racne appartent à A d après le lemme de Puseux 1.4. L applcaton ξ se relève donc en un arc ξ = (ξ, ξ m ) tel que ξ(]0, ε[) T l X \{0}. S T = T l,l+1, on chost par exemple ξ m = 1 2 (Y(l) α (θ(ξ (t)))+ Y α (l+1) (θ(ξ (t)))); s T = T,1, on peut chosr ξ m = Yα(θ(ξ 1 (t))) t; s T = T lα,, ξ m = Y α (lα) (θ(ξ (t))) + t P r e u v e d u t h é o r è m e 2.1. On peut supposer d après que les f j sont dans A n,m ; on procède par nducton sur le couple (n, n+m) ordonné lexcographquement (s n = m = 0, l n y a ren à dre). On peut admettre que X ((R + ) n R m ) est non vde, car snon, on se ramène à un n < n, et l on peut supposer que X (R + ) n R m. Ecrvons chaque f j sous la forme f j = ω Ω j x ω (f j,ω (y) + g j,ω (x, y)) où Ω j est un sous-ensemble fn de (R + ) n ; f j,ω R{y 1,..., y m } et f j,ω 0; g j,ω A n,m et g j,ω (0, y) = 0. Posons Ω =,j Ω j et applquons le lemme 2.6 à Ω s n 2; l exste un arbre de transformatons élémentares vérfant les conclusons de 2.4; s a est un pont de la fbre au-dessus 0, notons π a le morphsme composé des transformatons entre a et 0 et sot π a : ((R + ) n R m, 0) ((R + ) n R m, 0) le morphsme π a dentté. Il sufft de montrer que a, le théorème est vra pour le sem-analytque supposé non vde X a = π 1 a (X) = Dstnguons deux cas (on suppose n 2) : {(x, y) : f j π a (x, y)? 0}. j a est un pont snguler d une flèche ntale de l arbre; d après le lemme 2.4, chaque f j π a s écrt x µj (h j (y) + g j (x, y)) avec µ j (R + ) n ; h j R{y 1,..., y m } et h j 0; g j A n,m et g j (0, y) = 0. Dstnguons encore deux cas : S m = 0, alors h j est une constante réelle non nulle; le germe sem-analytque X a est donc de la forme {x (R + ) n : x µj? 0} j et le théorème est trvalement vra pour X a (X a = ou X a = (R + ) n ). S m > 0 et s ϕ j (x, y) = h j (y) + g j (x, y), on a X a = {(x, y) (R + ) n R m : ϕ j (x, y)? 0}. j Mas ϕ j (0, y) 0 et d après le théorème de préparaton analytque usuel, après un éventuel changement lnéare de coordonnées sur les y, on peut supposer que chaque ϕ j est équvalent dans A n,m à un polyôme dstngué ψ j A n,m 1 [y m ]. D après l hypothèse d nducton, le théorème est vra pour A n,m 1 et donc l est vra pour X a d après le lemme 2.5. a est un pont réguler d une fléche ntale de l arbre; mas alors les f j π a appartennent à A n 1,m+1 et on applque l hypothèse d nducton. Reste enfn à examner le cas n = 0 ou n = 1; dans le second cas, on peut écrre

11 PARAMÉTRISATIONS DE PETITS CHEMINS 431 f j (x, y) = x α g j (x, y) avec g j (0, y) 0; on peut là encore applquer le théorème de préparaton à g j (x, y) après un éventuel changement lnéare de coordonnées sur les y; le théorème résulte alors du lemme 2.5 et de l hypothèse d nducton. S n = 0, c est le cas analytque ben connu, et la démonstraton est analogue. Enfn, on vérfe faclement que s les f j sont dans A n,m, (α) alors les composantes de ξ sont dans A (α) R e m a r q u e. La méthode précédente permet de démontrer beacoup plus. D abord, une foncton de A n,m vérfe l négalté de Lojasewcz par rapport au germe de ses zéros (ce résultat est un cas partculer d une stuaton beaucoup plus générale, cf. [4] ou [6]). Ensute, s X est un germe sem-analytque défn à l ade d éléments de A n,m, l exste un nombre fn d applcatons π : ((R + ) n, 0) ((R + ) n, 0), chaque π étant composé d un nombre fn de transformatons élémentares (cf. 2.3), et pour chaque, un représentant d un germe sem-analytque défn auss à l ade d éléments de A n,m tel que X X = (π 1 R m)( ) X ( est un représentant convenable de X). On a un résultat analogue quand on remplace l adhérence X par une composante connexe de On démontre auss que le nombre de ces composantes X connexes est fn (mas cec est une X. conséquence de la théore de Khovanskĭ). Ans, l adhérence ou une composante connexe d un sem-analytque ne sont peut être pas sem-analytques, mas qutte à effectuer un nombre fn de transformatons élémentares, cela est vra R e m a r q u e s On peut se demander s le théorème 2.1 reste vra dans le cas algébrque,.e. lorsque les germes qu défnssent X sont des fonctons de Nash en un nombre fn de monômes x ω y µ, ω (R + ) n, µ N n. Ben entendu, on exge que la courbe ξ sot auss algébrque. Sous cette forme cela n est pas vra; par exemple, pour résoudre en x l équaton y = x(1+x α ), α rratonnel > 0, on pose x = y(1+u) et l on obtent l équaton u + y α (1 + u) α + uy α (1 + u) α = 0 qu admet d après le théorème des fonctons mplctes, une soluton u = ϕ(y α ) avec ϕ analytque, mas pas de Nash. Il faut donc redéfnr ce que l on appelle courbe algébrque Sot ϕ(u, v) R[u α1,..., u αp ; v α1,..., v αp ] avec α > 0, et sot µ > 0, µ rratonnel; alors ϕ(1 y, 1 y µ ) = 0 ϕ = 0; en effet, on peut écrre ϕ(u, v) = v β ϕ (u) où β 1 < β 2 <... est une sute strctement crossante fne de réels postfs, et on montre par nducton sur que ϕ = 0. Par exemple, qutte à dvser par v β1, on peut supposer β 1 = 0 et l on a ϕ 1 (1 y) = 0, donc ϕ 1 = 0, car en prolongeant au complexe et en tournant autour de 0 sans tourner autour de 1, on vot qu une détermnaton holomorphe de ϕ 1 (1 y) admettrat comme zéros tous les ponts e 2kπ/µ, k Z. Consdérons alors l applcaton algébrque, nsprée de celle d Osgood : ((R + ) 2, 0) (x, y) f (x, x(1 y), x(1 y µ )) ((R + ) 3, 0).

12 432 J.-C. TOUGERON S ψ A 3,0 et ψ f = 0, on a ψ = 0; en effet, s ψ(x, Y, Z) = α,β,γ a αβγx α Y β Z γ, on a ψ(x, x(1 y), x(1 y µ )) = x δ( a αβγ (1 y) β (1 y µ ) γ) = 0; δ α+β+γ=δ chacune de ces parenthèses est nulle et d après la remarque précédente, ψ = 0. Il est donc van d espérer un résultat genre Tarsk Sedenberg et la projecton d un sem-algébrque n est même pas sem-analytque. 3. Exemples de paramétrsatons en dmenson deux 3.1. On note Θ la famlle de toutes les fonctons θ α (t) = (1/t) α0 (Log 1/t) α1... (Log q 1/t) αq, où les α sont des réels tels que θ α (t) 0 quand t 0 (donc les α ne sont pas tous nuls et le premer α non nul est < 0). La famlle Θ vérfe les condtons de 1.2.4; on note B l algèbre H Θ assocée à Θ (cf ) et plus généralement on note B n l algèbre des germes de fonctons à l orgne de (R + ) n de la forme f(θ α 1(x 1 ),..., θ α p(x 1 );... ; θ α 1(x n ),..., θ α p(x n )) avec θ α (t) Θ (p et les α dépendent de f et f est analytque à valeurs réelles). Soent θ α, θ β Θ, α = (α 0,..., α q ), β = (β 0,..., β q ), λ > 0; supposons α 0 0, donc α 0 < 0. On vérfe faclement que θ β (λθ α ) = λ β0 ( α 0 ) β1 θ γ (1 + ϕ) avec ϕ B, ϕ(0) = 0; γ 0 = α 0 β 0 et γ = α β 0 + β, s > 0. En partculer, s β 0 = 1/α 0 et β = α /α 0, > 0, θ β (λθ α )(t) est équvalent dans B à λ 1/α0 ( α 0 ) α1/α0 t. On en dédut auss faclement que B est stable pour la composton des applcatons. Remarquons enfn que s f et g sont deux germes de fonctons réelles postves, non oscllantes, à l orgne de R +, f g θ f θ g, θ Θ (on rappelle que f g sgnfe que g(x)/f(x) tend vers une lmte fne non nulle quand x 0, x > 0) Lemme. S ϕ B, ϕ(t+ty) appartent à l algèbre notée B{y} formée des germes qu sont analytques réels en y et en un nombre fn de θ Θ. P r e u v e. On a Log(t+ty) 1 = Log 1 t Log(1+y); Log 2(t+ty) 1 = Log 2 1 t +Log et donc ( 1 (( Log q (t + ty) 1 1 = Log q t + ϕ Log 1 ) 1 ( ) 1 1,..., Log t q 1, y) t avec ϕ analytque réelle et ϕ(0) = 0. On a donc (( θ α (t + ty) = θ α (t)ψ Log 1 ) 1 ( ) 1 1,..., Log t q 1, y) t avec ψ analytque réelle et ψ(0) = 1; d où le résultat. ) Log(1 + y) ;... Log 1/t 3.3. Sot f(x, y) B 2, f(0, 0) = 0; d après la théore de Khovanskĭ, la courbe f(x, y)=0 au vosnage de 0 dans (R + ) 2 est formée (outre peut-être les dem-axes postfs)

13 PARAMÉTRISATIONS DE PETITS CHEMINS 433 d un nombre fn de branches y = ϕ(x) (ϕ 0 et ϕ(0) = 0) qu sont non oscllants, avec une tangente en 0. Sot ϕ l une de ces branches et posons f(x, y) = a α,β θ α (y)θ β (x), d où a α,β θ α (ϕ(x))θ β (x) = 0. Consdérons parm tous les termes qu ntervennent dans cette somme, ceux de multplcté mnmale; l y en a un nombre fn et l en exste au mons deux; ans, on a deux mult-ndces (α, β ) (α, β ) tels que θ α (ϕ(x))θ β (x) θ α (ϕ(x))θ β (x), d où l exstence de deux mult-ndces α et β tels que θ α (ϕ(x)) θ β (x). Posons ( ) α0 ( 1 θ α (y) = Log 1 ) α1 ( ) αq 1... Log y y q y et sot α r le premer α non nul (donc α r < 0). Fasons le changement de varables u = Log r 1/y; en utlsant la formule d nverson de 3.1, on a une équaton caractérstque : 1 (3.3.1) Log r ϕ(x) θ 1 γ (x), θ γ Θ. Dsons que cette équaton caractérstque est d ordre r et remarquons que s r 1 cette équaton ne donne pas une équvalence pour 1/ϕ(x) (s par exemple Log u v, Log u(x) = Av(x)(1 + ε(x)) et u(x) = e Av(x) e Av(x)ε(x), mas on ne sat pas contrôler le produt v(x)ε(x) car v(x) et ε(x) 0 quand x 0, x > 0). Le cas r = 0 est facle; c est une stuaton générque qu est la seule à apparaître lorsque f est une foncton analytque de certans θ α (x) et de θ α 1(y),..., θ α p(y), les α 1 0,..., α p 0 étant lnéarement ndépendants sur Q Proposton. Avec les notatons précédentes, s l exste une équaton caractérstque (3.3.1) d ordre 0, on a ϕ B. P r e u v e. On a ϕ(x) = Aθ γ (x)(1 + u(x)) avec u(x) 0 quand x 0 et A > 0; fasons le changement de varables y = Aθ γ (x)(1 + u); d après le lemme 3.2 et 3.1, f(x, y) = g(x, u) B{u}. D après le lemme 1.3, qutte à mettre en facteur un élément de B = H Θ on peut pour résoudre l équaton g(x, u) = 0, supposer que g(0, u) 0. D après le théorème de préparaton analytque, on peut donc supposer que g(x, u) est un polynôme dstngué en u à coeffcents dans B; la proposton résulte alors du lemme de Puseux 1.4. Je ne sas pas s l on peut dre des choses analogues quand on remplace B 2 par B n. Consdérons un germe de courbe à l orgne de (R + ) n défn par un système d équatons f (x, y 1,..., y n 1 ) = 0, avec f B n, et consdérons une branche de cette courbe y = ϕ (x), 1 n 1 (on suppose ϕ 0, ). Là encore par Khovanskĭ les ϕ (x) sont non oscllantes et l on peut consdérer des équatons caractérstques vérfées par ϕ 1,..., ϕ n 1 ; malheureusement, ces équatons caractérstques ne détermnent pas les multplctés de ϕ 1,..., ϕ n 1 en 0. On a cependant le résultat suvant : 3.5. Proposton. Avec les notatons précédentes, supposons que pour = 1,..., n 1, on at ϕ (x) θ (x), avec θ Θ; alors, ϕ B. P r e u v e. On a ϕ (x) = A θ (x)(1+u (x)), u (x) 0 quand x 0 et A > 0; fasons le changement de varables y = A θ (1 + u ); d après le lemme 3.2, f (x, y) = g (x, u)

14 434 J.-C. TOUGERON B{u 2,..., u n 1 }. Dans B{u 2,..., u n 1 }, on peut applquer le théorème de préparaton aux varables u 2,..., u n 1 et supposer, après un changement lnéare de coordonnées sur u 2,..., u n 1, que les g sont des polynômes dstngués en u n 1. On procède alors par nducton sur n en utlsant les arguments du lemme 2.5 (essentellement Tarsk Sedenberg) et le lemme de Puseux R e m a r q u e. Dans la proposton précédente, on utlse le fat que B est stable par composton. S l on ne suppose pas que les θ sont dans Θ, le même changement de varables montre que les ϕ (x) sont des fonctons analytques en un nombre fn de fonctons qu, sot appartennent à Θ, sot sont de la forme θ θ, avec θ Θ Exemples Sot ϕ B tel que ϕ θ α avec α 0 < 0; alors ϕ est nversble dans B pour la composton des applcatons (on résout l équaton x = ϕ(y)). Par exemple, s ϕ(y) = y Log 1/y, on a x y = (1 + u), Log 1/x d où l équaton ( ) Log(1 + u) Log Log 1/x u + + (1 + u) = 0. Log 1/x Log 1/x En résolvant cette équaton par le théorème des fonctons mplctes, on trouve ( ) y = x Log 1/x ϕ 1 Log Log 1/x, Log 1/x Log 1/x avec ϕ R{u, v}, ϕ(0, 0) = 1. On aurat un calcul analogue pour l équaton x = y y/ log y; on peut résoudre cette équaton en applquant le théorème du pont fxe à y x + y/ log y, mas cec est maladrot et le calcul est nextrcable Sot ϕ R{t}, ϕ > 0 pour t > 0; posons ( f ϕ = exp 1x ( ϕ 1 )). log x f ϕ est un germe de foncton C à l orgne de R +, plate à l orgne; en outre, f ϕ f ϕ ϕ = ϕ. Les fonctons f ϕ ne peuvent pas être développées à l ade de fonctons plus smples; en outre, f ϕ est soluton de l équaton x + 1 ( log y ϕ 1 ) = 0, log x qu admet une équaton caractérstque d ordre 1. Cela montre que les fonctons élémentares qu décrvent les solutons (lorsque les équatons caractérstques sont d ordre 1) dovent être choses dans une classe très vaste de fonctons Sot à résoudre en y l équaton x = y + 1 Log 1/y 1 Log 1/y Log 2 1/y.

15 PARAMÉTRISATIONS DE PETITS CHEMINS 435 L équaton caractérstque est d ordre 1 et l on pose Y = 1 Log 1/y, d où x = Y + Y Log Y + e 1/Y. On résout d abord l équaton Y + Y/ Log Y = u, d où Y = u(1 + ϕ( 1/ log u)) avec ϕ analytque, ϕ(0) = 0; donc x = u + exp( 1/u(1 + ϕ( 1/ log u))). On pose u = x(1 + xv); d où ( ( )) 1 v = f ϕ (x) 1 + vθ x, Log x, v avec θ analytque; f ϕ = x 2 exp( 1/x(1 + ϕ( 1/ log x))); par le théorème des fonctons mplctes, ( )) v = f ϕ (x) (1 + θ 1 x, Log x, f ϕ(x) avec θ analytque, θ (0) = 0. On en dédut un développement de u, Y et donc y à l ade de f ϕ et de fonctons de Θ On a utlsé la remarque suvante : s u(x) = v(x)(1+v(x)ω(x)) avec u, v, ω 0 quand x 0, x > 0, on a e 1/u(x) = e 1/v(x) e ω+vω2... et cette dernère exponentelle est analytque en v et ω Proposton. Avec les notatons de 3.3, supposons q = 1. Qutte à permuter x et y, une branche de l équaton f(x, y) = 0 admet toujours une paramétrsaton de la forme y = ϕ(x) avec ϕ analytque en un nombre fn de x α (Log 1/x) β (Log 2 1/x) γ ; ou de le forme 1/ Log y = ϕ(x) avec ϕ analytque en un nombre fn de (Log 1/x) α exp( γ(log 1/x) β ). P r e u v e. Comme q = 1, l équaton caractérstque s écrt y α (Log 1/y) β x α (Log 1/x) β. S α > 0, on applque 3.4 et on résout en y; de même s α > 0, on peut résoudre en x. On peut donc supposer que l équaton caractérstque s écrt et donc l exste A > 0 tel que Log 1/y (Log 1/x) µ 1, µ > 0, (Log 1/y) µ = A 1 (Log 1/x)(1 + ε(x)) où ε(x) 0 quand x 0. Posons 1/v = Log 1/y; 1/u = (A 1 Log 1/x) µ 1 ; donc v = u(1 + ε (x)), ε (x) 0 quand x 0; y = e 1/v ; x = e A/uµ. L équaton f(x, y) = 0 s écrt aα,β,γ,δ u α v β e γ/uµ e δ/v = 0 (α, β, γ, δ réels; γ, δ 0). Consdérons dans cette somme les termes de multplcté mnmale, quand (x, y) décrt la branche consdérée; pour deux tels termes assocés à (α, β, γ, δ) et (α, β, γ, δ ) on a, compte tenu de la forme de l équaton mnmale, γ = γ ; δ = δ ; α + β = α + β s µ 1, γ + δ = γ + δ ; α + β = α + β s µ = 1.

16 436 J.-C. TOUGERON Supposons µ 1 (le cas µ = 1 se traterat de manère analogue); notons γ 0 (resp. δ 0 ) la valeur commune à tous ces γ (resp. δ); on peut écrre l équaton f(x, y) = 0 sous la forme P (u, v)e γ0/uµ e δ0/v + Q(u, v) = 0 où P (u, v) est une foncton analytque en des pussances éventuellement rratonnelles de u et v et Q(u, v) est de la forme aα,β,γ,δ u α v β e γ/uµ e δ/v, le quotent de chaque e γ/uµ e δ/u par e γ0/uµ e δ0/u étant une foncton C plate en 0 (.e. s µ 1, (γ, δ) > (γ 0, δ 0 ) pour l ordre lexcographque). Vsblement, s v = ϕ(u) est l équaton de la branche, P (u, ϕ(u)) est plate en 0. Compte tenu des résultats du 2, l exste donc une soluton v = ϕ(u) de l équaton P (u, v) = 0 avec ϕ(u) = u +... foncton analytque de pussances de u, telle que ϕ(u) ϕ(u) sot plate en 0. Notons ψ(u) le polynôme de degré 1 tel que ϕ(u) = u(1 + ψ(u)) + u 2 ε(u), ε(u) 0 quand u 0, ψ(0) = 0; fasons le changement de varables v = u(1 + ψ(u)) + u 2 ω; les v β et e δ/v devennent analytques en ω (cf ) et l on termne de la manère habtuelle : d après le théorème de préparaton analytque, on peut supposer que l équaton en u, ω est un polynôme dstngué en ω et l on résout en ω en utlsant le lemme de Puseux ( 2). On en dédut que ω, donc v, admet un développement en un nombre fn de u α e γ/uβ,.e. 1/ Log y admet un développement en un nombre fn de (Log 1/x) α exp( γ(log 1/x) β ). P.S. En Mars 94, Lou van den Dres m a sgnalé que le théorème 2.1 a été démontré par des méthodes logques et parallèlement par Chrs Mller (Expansons of the real feld wth power functons, à paraître dans Ann. Pure Appl. Logc). La méthode c utlse des éclatements très smples que l on peut explcter. Elle permet de montrer que, après éclatements, l adhérence ou chaque composante connexe d un sem-analytque au sens de 2.1 sont encore sem-analytques, cf Bblographe [1] J. Boc hnak, M.-F. Coste- Roy et M. Coste, Géométre algébrque réelle, Sprnger, [2] R. Moussu et C. A. Roche, Théore de Khovanskĭ et problème de Dulac, Invent. Math. 109 (1991), [3] J.-P. Ress ayre, Integer parts of real closed exponental felds, n: Arthmetc, Proof Theory and Computatonal Complexty, Oxford Unv. Press, New York, [4] Ta Lê Lo, On the global Lojasewcz nequaltes for the class of analytc logarthmcexponental functons, C. R. Acad. Sc. Pars 318 (1994), [5] J.-C. Touger on, Sur les ensembles sem-analytques avec condtons Gevrey au bord, Ann. Ecole Norm. Sup. (4) 27 (1994). [6], Inégaltés de Lojasewcz globales, Ann. Inst. Fourer (Grenoble) 41 (4) (1991), [7] A. J. W lke, Model completeness results for expansons of the real feld II: The exponental functons, manuscrpt, Oxford, 1991.

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