Analyse 1 (résumé de cours)

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1 Anlyse 1 (résumé de cours) Ptrick Delorme / Yves Driencourt (rédction de Y. Driencourt) Automne 2005 Avertissement : le présent résumé de cours s inspire en prtie des livres de F. Liret et D. Mrtinis : Anlyse 1ère (2ème) nnée (Dunod éditeur). Les étudints sont renvoyés à ces livres, présents en bibliothèque, pour de plus mples détils (les démonstrtions ne sont ps toujours données ici, ou di èrent de celles données pr les uteurs...), insi que pour de nombreux exercices puisés dns ces ouvrges, pour lesquels est souvent donnée une solution brégée. 1 Les nombres réels 1.1 Axiomes des nombres réels 1) R est un corps. 2) R est un corps totlement ordonné. 3) R est un corps ordonné rchimédien : étnt donnés 2 réels x > 0; y 0; il existe un entier n tel que y nx: 4) R stisfit à xiome des segments emboîtés : étnt donnée une suite ([ n ; b n ]) d intervlles fermés tels que n n+1 et b n b n+1 pour tout n; lors l intersection de cette suite n est ps vide. 1.2 Propriétés des nombres réels 1) Tout intervlle ouvert dns R contient une in nité de nombres rtionnels (on dit que Q est dense dns R): 2) R n est ps dénombrble, pr contre Q l est. 3) Tout sous-ensemble non vide de R qui est mjoré (resp. minoré) possède une borne supérieure (resp. inférieure). 1

2 Remrque : Cette propriété n est ps vrie dns Q où l on peut construire pr exemple un ensemble de nombres rtionnels minoré, ne possédnt ps de borne inf : considérer l suite récurrente dé nie pr u n+1 = 1 2 (u n + 2 u n ) et u 0 = 2: 2 Suites Dns ce qui suit, l lettre K désigne l ensemble R des nombres réels ou C des nombres complexes. 2.1 Générlités Dé nition 1 : On ppelle suite dns K toute ppliction n 7! x n de N dns K: Dé nition 2 : Soit (x n ) une suite de nombres réels. On dit qu elle est mjorée (resp. minorée) s il existe un nombre M tel que x n M (resp. M x n ) quel que soit n: Une suite à l fois mjorée et minorée est dite bornée, ou, ce qui revient u même si l suite (jx n j) est mjorée. Dé nition 3 : On dit que l suite (x n ) pour limite 2 K (ou converge vers ) si, pour tout nombre " > 0; il existe un entier N tel que n N =) jx n j < ": On noter lim n!+1 x n = ou souvent x n! : Dé nition 4 : Soit (x n ) une suite de nombres réels. On dit que (x n ) tend vers +1 et l on note lim x n = +1 si, pour tout nombre réel A > 0; il n!+1 existe un entier N tel que n N =) x n > A: Proposition 5 : Si une suite converge, s limite est unique. Proposition 6 : Si lim x n = ; lors n!+1 lim jx nj = jj : n!+1 2

3 Dé nition 7 : On dit que (x n ) est une suite de Cuchy si pour tout nombre " > 0; il existe un entier N tel que p; q N =) jx p x q j < ": Proposition 8 : Une suite convergente est une suite de Cuchy. Proposition 9 : Toute suite de Cuchy (en prticulier toute suite convergente) est bornée. 2.2 Opértions sur les suites Proposition 10 : Soient (x n ) et (y n ) des suites de Cuchy (resp. convergentes) et 2 K; lors les suites (x n + y n ); (x n y n ) et (x n ) sont ussi des suites de Cuchy (resp. convergentes). Pour les suites convergentes, on montre isément que lim n + y n ) n!+1 = lim n + lim n!+1 lim ny n ) n!+1 = lim n : lim n!+1 lim n) n!+1 = : lim n: n!+1 n!+1 y n n!+1 y n Proposition 11 : Soient (x n ) une suite convergent vers 0 et (y n ) une suite bornée, lors (x n y n ) converge vers 0: Proposition 12 : Soient (x n ) et (x n ) des suites réelles convergentes véri- nt x n y n pour tout n; lors lim x n lim y n: n!+1 n!+1 Proposition 13 : Soient (x n ); (y n ) et (z n ) des suites de nombres réels. - si x n y n z n pour tout n et que les suites (x n ) et (z n ) sont convergentes de même limite, lors l suite (y n ) est converge églement vers cette limite commune. - si x n y n pour tout n et si lim n!+1 x n = +1; lors lim y n = +1: n!+1 Théorème 14 : Soit f : I! R une fonction et (x n ) une suite à vleurs dns I; convergent vers. Si f est continue en, lors lim f(x n) = f(): n!+1 En n, notons que l étude des suites complexes peut (mis on n y ps toujours intérêt!) se rmener à l étude des suites réelles. : 3

4 Proposition 15 : Soit (x n ) une suite de nombres complexes convergent vers = + i: Alors lim Re(x n) = et n!+1 lim Im(x n) = : n!+1 Noter que l réciproque est vrie d près ce qui précède (opértions sur les suites). 2.3 Exemples L suite géométrique ( n ) 1) si 2 R et > 1; l suite lim n = +1: 2) si jj < 1; lors lim n = 0: 3) si = 1; lors lim n = 1: 4) si jj > 1; l suite ( n ) n est ps convergente. Corollire 16 : Si jj < 1; lim( ::: + n ) = 1 1 : L suite (u n ) où u n = n n p, 2 R et p entier 1 1) si jj 1; lim u n = 0: 2) si jj > 1; lim ju n j = +1: 2.4 Suites monotones de nombres réels Théorème 17 : Soit ( n ) une suite croissnte (resp. décroissnte). Pour qu elle converge, il fut et il su t qu elle soit mjorée (resp. minorée). Dé nition 18 : Soient ( n ) et (b n ) des suites de nombres réels. On dit qu elles sont djcentes si i) ( n ) est croissnte, ii) (b n ) est décroissnte, iii) lim ( n b n ) = 0: n!+1 Théorème 19 : Si deux suites sont djcentes, elles convergent vers une même limite. Exemple 20 n = ::::: + 1 n ln(n + 1) et b n = ::::: + 1 n ln n. Exemple 21 n = ! + ::::: + 1 n! et b n = n + 1 n!. 4

5 2.5 Le critère de Cuchy Théorème 22 : Soit (x n ) une suite réelle. Pour qu elle soit convergente, il fut et il su t qu elle soit de Cuchy. 2.6 Suites récurrentes Dé nition 23 : Une suite récurrente consiste à se donner u 0 ; u 1 ; ::::u k une reltion du type et u n+1 = f(u n ; u n 1 ; ::::; u n k ; n): Proposition 24 : Soit (u n ) une suite récurrente dé nie pr u 0 et u n+1 = f(u n ) vec une fonction f continue. Supposons que lim u n = existe. Alors véri e f() = : Proposition 25 : Avec les mêmes hypothèses, on suppose que l fonction f est croissnte. Alors (u n ) est croissnte (resp. décroissnte) si u 0 < u 1 (resp. u 0 > u 1 ): Exemple 26 : (u n ) dé nie pr u 0 2 ]0; 1[ et u n+1 = 1 2 (u2 n + 1): Proposition 27 : Toujours vec les mêmes hypothèses, on suppose que l fonction f f est croissnte. Alors les suites v n = u 2n et w n = u 2n+1 sont monotones. Exemple 28 : (u n ) dé nie pr u 0 2 0; 2 et un+1 = cos(u n ): Théorème 29 ("du point xe") : Soient I un intervlle fermé de R et f : I! I véri nt l propriété suivnte : il existe k 2 ]0; 1[ tel que 8(x; y) 2 I 2 : jf(x) f(y)j k jx yj : (1) On dé nit l suite (u n ) pr u 0 2 I et u n+1 = f(u n ): Alors, il existe l unique dns I tel que f(l) = l et (u n ) converge vers l: De plus ju n lj k n ju 1 u 0 j 1 k : Remrque 30 : si f est dérivble et véri e jf 0 (x)j k pour tout x 2 I; lors f véri e l condition (1). Exemple 31 : (u n ) dé nie pr u 0 2 [0; 1] et u n+1 = cos(u n ): On ju n lj (sin 1) n 1 1 sin 1 : 5

6 2.6.1 Exemples clssiques de suites récurrentes 1) u n+1 = u n + b; vec ; b 2 R et u 0 2 R On pose u n = v n + et on cherche pour que v n+1 = v n ; d où = b 1 si 6= 1 et dns ce cs u n = n b (u 0 ) + b est une suite géométrique. 1 1 Si = 1; on fcilement u n+1 = u 0 + (n + 1)b: 2) u n+1 = u n + bu n 1 Il fut églement, comme on l vu, donner les 2 premiers termes, réels : u 0 et u 1 : On pose E = fsuites (u n ) j u n+1 = u n + bu n 1 g et on suppose que et b sont réels. E est un espce vectoriel de dimension 2 sur R comme on le voit en considérnt le morphisme f : E! R 2 donné pr (u n ) 7! (u 0 ; u 1 ): On recherche ensuite une bse explicite en exminnt s il existe des solutions de l forme u n = r n ; ce qui conduit à l éqution r 2 r b = 0: Cs 1 : l éqution possède 2 rcines réelles distinctes r 1 et r 2 : Les suites u n = r n 1 et v n = r n 2 forment une bse de E (système libre) et pour obtenir l suite u n + v n véri nt les conditions initiles, on résout le système + = u 0 ; r 1 + r 2 = u 1 ; qui possède une solution et une seule. Cs 2 : les rcines sont complexes conjuguées ( et b sont réels). Il en est de même de l solution ( 0 ; 0 ) du système ci-dessus et pr conséquent l suite ( 0 r n r n 2 ) est réelle. Cs 3 : il y une rcine double r = 2 ; on véri e que l suite v n = nr n est ussi solution, indépendnte de u n = r n : L résolution du système = u 0 ; ( + )r = u 1 conduit à l solution unique cherchée. 3) u n+1 = un+b cu n+d 2.7 Suites extrites et vleurs d dhérence Dé nition 32 : Une suite extrite de l suite (u n ) est une suite de l forme (u (n) ) où est une bijection strictement croissnte de N! N: 6

7 Dé nition 33 : 2 R est ppelée vleur d dhérence de l suite (u n ) s il existe une suite extrite de (u n ) convergent vers : Proposition 34 : est une vleur d dhérence de (u n ) si et seulement si 8" > 0; 8N 0; 9n N tel que ju n j < ": Preuve : On prend " = 1; N = 1 et on note (1) le nombre entier 1 véri nt u(1) < 1; puis " = 1; N = (1) + 1 et (2) le nombre N tel 2 que u(2) < 1 etc... 2 Inversement, l convergence de l sous-suite s écrit 8" > 0; 9N 0 : n N =) u(n) < ": Puisque est strictement croissnte, pour tout N > 0; il existe n; pr exemple N; tel que (n) N (noter que (n) n pour tout n en rison de l hypothèse sur et que si 6= id; on même (n) > n à prtir d un certin rng). On donc prouvé : 8" > 0; 8N 0; 9n(= (N) N tel que ju n j < ": Proposition 35 : Soit f : R! R une ppliction continue. si est une vleur d dhérence de (u n ); lors f() est vleur d dhérence de l suite (f(u n )): Proposition 36 : Si (u n ) converge vers ; lors est l seule vleur d dhérence de (u n ): Théorème 37 (de Bolzno-Weierstrss) : Toute suite bornée possède u moins une vleur d dhérence. Preuve : Soit (u n ) une suite bornée. On pose b n = sup u m : mn (noter que b n existe pour tout n du fit que l suite (u n ) est bornée). Il en résulte que (b n ) est une suite décroissnte et minorée, donc convergente. Notons l s limite, qui n est utre que s borne inférieure. Soient mintennt p un entier quelconque et " un réel positif rbitrire. Il existe N > 0 tel que n N =) l b n < l + ": 7

8 Posons lors N 1 = sup(n; p): Puisque b N1 que b N1 On insi montré " < u m b N1 : Il en résulte l " < u m < l + ": = sup mn 1 u m ; il existe m N 1 tel 8" > 0; 8p 0; 9m p tel que ju m lj < "; ce qui chève l démonstrtion d près l proposition 34. Exemple 38 L suite (sin n) n0 dmet u moins une vleur d dhérence dns [ 1; 1] : En fit elle en dmet une in nité comme on peut le véri er (cf exercices). 3 Séries numériques 3.1 Générlités et dé nitions Dé nition 39 : Soit (u n ) une suite. On ppelle série de terme générl u n (et on note P nx u n ) l suite des sommes prtielles S n = u p : On dit que l série est convergente si l suite (S n ) possède une limite S: On pose lors 1X S = u p : L quntité R n = S S n 1 s ppelle le reste d indice n et se note p=0 1X u p : p=n Exemple 40 : P ln(1 + 1 n ) diverge cr S n = ln(n + 1): Exemple 41 : P 1 converge cr S 1 n(n+1) n = 1 et X 1 u n+1 p = 1: 3.2 Opértions sur les séries L ensemble des séries convergentesest un sous-espce vectoriel de l espces des séries, c est une conséquence immédite des théorèmes sur les limites de suites. p=1 p=0 8

9 En prticulier, une série complexe se rmène nturellement à l étude de 2 séries réelles pr l décomposition 1X u p = p=0 1X 1X Re u p + i Im u p p=0 p=0 vec le résultt nlogue à celui obtenu sur les suites X un converge () ( X Re u n converge et X Im u n converge): L multipliction des séries s e ectue en générlisnt l formule de multipliction des sommes prtielles et en ordonnnt comme dns le produit de 2 polynômes, à svoir X un : X v n = X w n où w n = X i+j=n u i v j : Dns ces conditions, on le résultt suivnt : si P u n et P u n sont deux séries convergentes à termes positifs, leur produit est églement une série convergente et on 1X 1X 1X w p = u p : v p ; p=0 p=0 ce résultt s étendnt d illeurs ux séries bsolument convergentes (voir exercices). 3.3 Théorèmes générux Théorème 42 : L série de terme générl u n converge si et seulement si pour tout " > 0; il existe N 0 tel que p=0 q p N =) ju p+1 + ::::: + u q j < " Corollire 43 : Une condition nécessire pour que l série de terme générl u n converge est que lim u n = 0: Cette condition n est ps su snte comme le montre l exemple de l série hrmonique. 9

10 3.4 Séries à termes positifs Théorème 44 : L série de terme générl u n est convergente si et seulement si l suite (S n ) de ses sommes prtielles est mjorée. Noter qu on lors : 1X p=0 u p = sups n : n Les critères de comprison Dns ce qui suit P u n et P v n désignent deux séries à termes positifs. Proposition 45 : Si, à prtir d un certin rng : u n v n i) l convergence de P v n implique celle de P u n ; ii) l divergence de P u n implique celle de P v n : Corollire 46 : Il en est insi si à prtir d un certin rng : u n+1 ou encore, si u n = O(v n ) u voisinge de +1: u n v n+1 v n Corollire 47 : S il existe deux réels et strictement positifs tels que, à prtir d un certin rng : v n > 0 et un v n ; lors les séries sont de même nture. C est le cs, en prticulier, si u n v n u voisinge de +1: Comprison vec une série de Riemnn Dé nition 48 : On ppelle série de Riemnn toute série de l forme X n1 vec 2 R: Proposition 49 : L série de Riemnn X 1 converge si et seulement si n n1 > 1: Preuve : Pour = 1; il s git de l série hrmonique, qui diverge comme on vient de le voir. Pour 1; cel résulte de l comprison vec l série hrmonique puisque 8n 1 : 1 n 1 n : Pour > 1; on étudie l série de terme générl n = 1 1 ; n 1 (n+1) 1 pour n 1: On bien n > 0 et pr illeurs nx p = 1 p= (n + 1) 1 1 n

11 montrnt que l P n diverge. On écrit lors n = 1 n 1 (1 (1 + 1 n )1 ) pour constter que n 1 u voisinge de +1 et en déduire l convergence n de l série de Riemnn pour > 1 grâce u corollire 47. Corollire 50 : Soit P u n une série. i) On suppose que le terme générl véri e u n kn pour un réel k 6= 0 et un 2 R: Alors si > 1; l série converge, si 1; l série diverge. ii) S il existe > 1 tel que l suite (n u n ) soit bornée, lors l série est convergente. iii) S il existe 1 tel que lim n u n = +1; lors l série est divergente Comprison vec l série géométrique Proposition 51 : L série géométrique P n diverge si jj 1 et converge 1 vers si jj < 1: 1 Proposition 52 (règle de Cuchy) : Soit P u n une série à termes positifs, on pose = lim n!1 n p u n : i) Si < 1; l série P u n converge. ii) Si > 1; elle diverge. iii) Si = 1; on ne peut rien dire priori (toutefois, si l limite est tteinte pr vleurs supérieures, on peut rmer que l série diverge). Preuve : Si < 1; on choisit tel que < < 1, pour en déduire que np un à prtir d un certin rng n 0; d 0 ou u n n pour n n 0 : Si > 1; on np u n > 1; et donc u n > 1; à prtir d un certin rng. L série P un diverge puisque son terme générl ne tend ps vers 0. Même rgument pour = 1 tteint pr vleurs supérieures. Proposition 53 (règle de d Alembert) : Soit P u n une série à termes positifs, on pose L = lim n+1 u n!1 u n : i) Si L < 1; l série P u n converge. ii) Si L > 1; elle diverge. iii) Si L = 1; on ne peut rien dire priori (toutefois, si l limite L est tteinte pr vleurs supérieures, on peut rmer que l série diverge). 11

12 Preuve : Si L < 1; on choisit k véri nt L < k < 1: Il existe donc n 0 tel que u n+1 u n k pour n n 0 ; ce que l on écrit u n+1 v n+1 pour n n 0 vec v n = k n : u n v n On conclut grâce u corollire 46. Si L > 1; on u n+1 u n 1 pour n n 0 ; donc u n u n0 pour n n 0 : L série diverge puisque son terme générl ne tend ps vers 0. De même pour L = 1 tteint pr vleurs supérieures. Illustrtion du fit que l on ne peut rien dire si L = 1 : l série de Riemnn pour < 1 et pour > 1: 3.5 Séries à termes quelconques L convergence bsolue Dé nition 54 : Une série P u n à termes réels ou complexes est dite bsolument convergente si l série à termes positifs P ju n j est convergente. Théorème 55 : Une série bsolument convergente est convergente et véri e 1X 1X u n ju n j : n=0 Preuve : Soit " > 0: D près le critère de Cuchy, il existe n 0 > 0 tel que qx q p n 0 =) ju k j < "; d où, fortiori, Ensuite, on écrit nx u k k=0 pour en déduire 1X u k = lim n k=0 k=0 qx k=p+1 n=0 k=p+1 u k < ": nx ju k j k=0 1X ju k j ; k=0 nx nx u k = lim u k k=0 1X ju k j ; l interversion de lim et jj étnt utorisée pr le théorème 14 puisque x 7! jxj est une ppliction continue R! R: 12 k=0

13 3.5.2 Exemple des séries lternées Dé nition 56 : On ppelle série lternée toute série de l forme P ( vec n 2 R + : 1) n n Théorème 57 : Soit ( n ) une suite réelle décroissnte et dmettnt 0 pour limite. Alors l série P ( 1) n n est convergente, et s limite S véri e S 2n+1 S S 2n ; js S n j n+1 ; P en posnt comme d hbitude S n = n ( 1) k k : Preuve : Pour tout n; on k=0 S 2n S 2n+1 = 2n+1 0; S 2n+2 S 2n = 2n+2 2n+1 0; S 2n+3 S 2n+1 = 2n+3 + 2n+2 0; ce qui prouve que les suites (S 2n ) et (S 2n+1 ) sont djcentes. On en déduit l convergence de P ( 1) n n et l première inéglité. Pour obtenir l seconde, on écrit que, pour tout n d où S 2n+1 S S 2n+2 S 2n S S 2n+1 S 2n+2 S 2n+1 = 2n+2 ; S 2n S S 2n S 2n+1 = 2n+1 : ( 1) n+1 n Exemple 58 : X n1 > 1 : convergence bsolue, donc convergence, 0 : divergente cr le terme générl ne tend ps vers 0, 0 < 1 : convergente d près le théorème 57. Pln d étude d une série quelconque à l ide d un exemple : u n = n + ln n n xn où x 2 R 13

14 1) Convergence bsolue : ju n j jxjn n jxj > 1 : divergence bsolue et divergence cr le terme générl ne tend ps vers 0. jxj < 1 : convergence bsolue (d Alembert) donc convergence. 2) Cs prticuliers restnt à triter x = 1 : u n 1 : divergence. n x = 1 : série lternée, on exmine si le théorème sur les séries lternées s pplique. 14

15 4 Propriétés des fonctions continues sur un intervlle [; b] Nous nous intéressons ici ux fonctions dé nies et continues sur un intervlle I = [; b] fermé borné de R; à vleurs dns R. Elles possèdent plusieurs propriétés remrqubles, que nous llons énumérer mintennt. Proposition 59 : Soit f une fonction continue : [; b]! R: Si f() et f(b) sont non nuls et de signes contrires, lors il existe u moins un c 2 ]; b[ tel que f(c) = 0: Preuve : On suppose f() < 0 et f(b) > 0, on pose 0 = et b 0 = b et on considère le milieu du segment m 0 = 0+b 0 : Si f(m 2 0 ) = 0; l démonstrtion est terminée. Si f(m 0 ) < 0; on pose 1 = m 0 et b 1 = b 0 : Si f(m 0 ) > 0; on pose 1 = 0 et b 1 = m 0 : En itérnt le processus (ppelé dichotomie), on crée 2 suites djcentes ( n ) et (b n ) véri nt, à moins que le processus s rrête uquel cs l démonstrtion est terminée : f( n ) < 0 et f(b n ) > 0: D près le théorème 14, on, pour l limite commune c des 2 suites : f(c) 0 et f(c) 0; d où le résultt. Théorème 60 ("des vleurs intermédiires") : Soit f une fonction continue : [; b]! R: Si k 2 ]f(); f(b)[ ; il existe c 2 ]; b[ tel que f(c) = k: Preuve : On pplique l proposition précédente à g dé nie pr g(x) = f(x) k: Corollire 61 : Tout polynôme à coe cients réels, de degré impir, possède u moins une rcine. Théorème 62 : Soit f une fonction continue : [; b] est borné.! R: Alors f([; b]) Preuve : Montrons pr l bsurde que f([; b]) est mjoré : si ce n est ps le cs, il existe, pour tout entier n; un élément de [; b] que l on note u n ; véri nt f(u n ) > n: D près le théorème de Bolzno-Weierstrss, (u n ) possède une sous-suite (u (n) ) convergent vers un l 2 [; b] : On urit lors lim f(u (n) ) = +1 (cr f(u (n) ) > (n) n pour tout n) lim f(u (n) ) = f(l) (pr le théorème 14), ce qui est impossible. 15

16 Théorème 63 : Soit f une fonction continue : [; b] ses bornes.! R: Alors f tteint Preuve : Notnt M = sup f([; b]); dont l existence est ssurée pr le théorème précédent, on met en évidence une suite (u n ) d éléments de [; b] tels que 1 8n 2 N : M n + 1 < f(u n) M: Toujours grâce u théorème de Bolzno-Weierstrss, (u n ) possède une soussuite convergente (u (n) ) vers un c 2 [; b] pour lequel on visiblement f(c) = M: Corollire 64 : Soit f une fonction continue : [; b]! R: On f([; b]) = [m; M] où m et M désignent respectivement les bornes inférieures et supérieures de l ensemble f([; b]): Dé nition 65 : Soit I un intervlle quelconque de R: On dit qu une fonction f : I! R est uniformément continue si 8" > 0; 9 > 0 : (x; y 2 I et jx yj < ) =) jf(x) f(y)j < ": (Bien noter qu ici le réel ne dépend ps de l position du couple (x; y) sur l intervlle I; pour bien le visuliser, représenter grphiquement les fonctions de [0; +1[! R : x 7! x 2 et x 7! p x, ensuite prendre l imge inverse d un intervlle ]f(x 0 ) "; f(x 0 ) + "[ pour x 0 proche de 0 (resp. x 0 grnd), dns le but d obtenir le réel exigé pr l continuité en x 0 ): Théorème 66 : Soit f une fonction continue : [; b] uniformément continue.! R: Alors f est Preuve : Elle peut à nouveu fire ppel u théorème de Bolzno-Weierstrss, de fçon un peu plus technique ; elle est proposée en exercice. Exemple 67 : Les fonctions "k-contrctntes" déjà rencontrées, véri nt : jf(x) f(y)j k jx yj pour tout couple (x; y) 2 R 2 ; k étnt un réel positif, sont uniformément continues. 16

17 5 L intégrle 5.1 L intégrle d une fonction étgée Dé nition 68 : Soit I = [; b] un intervlle de R: On dit qu une fonction f : I! R est étgée s il existe une subdivision = x 0 < x 1 < ::::: < x n = b de I telle que f soit constnte m i sur chque intervlle ]x i 1 ; x i [ : Une telle subdivision est dite dptée à f: Lemme 69 : vec les nottions qui précèdent, le nombre (x 1 x 0 )m 1 +(x 2 x 1 )m 2 + :::: + (x n x n 1 )m n ne dépend ps de l subdivision. Idée de l preuve : qund on r ne l subdivision, le nombre en question ne chnge ps. Pour psser d une subdivision à une utre, on considère lors l réunion, qui r ne les deux. les nombres ssociés respectivement ux 2 subdivisions sont lors égux à une vleur commune : le nombre ssocié à l réunion en question. Dé nition 70 : Le nombre en question, qui ne dépend que de l fonction f; s ppelle l intégrle de f sur I et se note R b f(t)dt: Remrque 71 : Si f est positive ou nulle, i.e. tous les m i 0; ce nombre représente l ire limitée pr l fonction, l xe des bscisses d une prt, les verticles x = et x = b d utre prt. Remrque 72 : Si f est nulle suf en un nombre ni de points, son intégrle est nulle (f est en e et étgée et les points en question forment une subdivision dptée). Proposition 73 : Soient f et g deux fonctions étgées sur I: 1) L fonction f + g est étgée et l on R b (f + g)(t)dt = R b R f(t)dt + b g(t)dt: 2) Pour tout réel ; l fonction f est étgée et l on R b (f)(t)dt = R b f(t)dt: 3) Si f g; lors R b f(t)dt R b g(t)dt: 4) Deux fonctions étgées qui ne di èrent qu en un nombre ni de points ont l même intégrle. 5) pour tout c 2 ]; b[ ; on R b f(t)dt = R c f(t)dt + R b f(t)dt (reltion de c Chsles). 17

18 Preuve : Pour 1) on utilise l même technique que dns le lemme qui précède en considérnt une subdivision dptée pour f; une utre pour g. l réunion des 2 est dptée ux 3 fonctions f; g et f +g: Elle permet lors de clculer les intégrles de ces 3 fonctions, et l reltion cherchée en résulte imméditement. 2) est clir, 3) résulte de 1) et 2) insi que de l remrque 71. 4) résulte de 1) et 2) insi que de l remrque 72. Pour 5) on utilise 1) en écrivnt : f = f 1 + f 2 où f 1 vut f sur [; c] et 0 sur [c; b] et f 2 vut 0 sur [; c] et f sur [c; b] : 5.2 Fonction intégrble Dé nition 74 : Une fonction f : I! R est dite intégrble si, pour tout " > 0; il existe des fonctions étgées u et U; dé nies sur I, véri nt et On note u f U A = B = et (U u)(t)dt ": u(t)dt j u étgée et u f U(t)dt j U étgée et f U : Pr dé nition, A est un ensemble non vide, de même que B: A est mjoré pr tout élément de B; donc il dmet une borne supérieure, de même B une borne inférieure. On en déduit : sup A inf B: Si f est intégrble, il existe, pour tout " > 0; 2 A et 2 B tels que 0 inf B sup A ": On donc l églité sup A = inf B et celle vleur commune est pr dé nition l intégrle de f, qui se note toujours R b f(t)dt: Remrque 75 : Si f est une fonction intégrble et u; U des fonctions étgées véri nt u f U; lors u(t)dt f(t)dt U(t)dt: Proposition 76 : Soient f et g deux fonctions dé nies et intégrbles sur I: 1) L fonction f + g est intégrble et l on R b (f + g)(t)dt = R b R f(t)dt + b g(t)dt: 2) Pour tout réel ; l fonction f est intégrble et l on R b (f)(t)dt = R b f(t)dt: 18

19 3) Si f g; lors R b f(t)dt R b g(t)dt: 4) Deux fonctions étgées qui ne di èrent qu en un nombre ni de points ont l même intégrle. 5) pour tout c 2 ]; b[ ; on R b f(t)dt = R c f(t)dt + R b f(t)dt (reltion de c Chsles). Preuve : L démonstrtion de 1) est proposé en exercice. 2) se démontre de l même fçon. Pour 3), on écrit 0 g f et, puisque l fonction nulle est étgée, on 0 = 0dt (g f)(t)dt = g(t)dt f(t)dt: Pour 4) et 5) on reprend l méthode utilisée pour les fonctions étgées. Corollire 77 : Soit f : I! R une fonction intégrble. Si m et M sont des réels véri nt m f(x) M pour tout x 2 I; lors m 1 b f(t)dt M Théorème 78 : Toute fonction continue sur I est intégrble. Preuve : On utilise le fit que toute fonction continue sur I est uniformément continue. Pour tout " > 0; il existe donc un > 0 tel que jx x 0 j < =) jf(x) f(x 0 )j < ": Prenons un entier n véri nt b < et considérons l subdivision de I en n n intervlles de même longueur b :On l note fx n 0; x 1 ; :::; x n g : On dé nit lors u (resp. U) sur l intervlle [x i 1 ; x i ] pr u(x) = inf f(x) ( resp. U(x) = sup f(x) ). x i 1 xx i x i 1 xx i u et U sont des fonctions étgées encdrnt f: On de plus (U u)(t)dt = nx i=1 (x i x i 1 )( sup x i 1 xx i f(x) inf x i 1 xx i f(x) ) "(b ): Proposition 79 ("propriété de l moyenne") : Si f est continue sur I, il existe c 2 I tel que R b f(t)dt = (b )f(c): 19

20 Preuve : C est une conséquence du corollire 77 et du théorème des vleurs intermédiires. Théorème 80 : Toute fonction monotone sur I est intégrble. Preuve Soit (x i ) une subdivision de I de ps b croissnte n u(x) = f(x i ) si x 2 [x i ; x i+1 [ et u(b) = f(b) : On pose, en supposnt f U(x) = f(x i+1 ) si x 2 ]x i ; x i+1 ] et U() = f(): On R b b (U u)(t)dt = (f(b) n Corollire 81 : L suite u n = 1 n f()): np f( + k b k=1 n Preuve : Avec les nottions du théorème, on écrit u(t)dt qu on ré-écrit sous l forme f(t)dt R 1 b ) pour limite f(t)dt: b U(t)dt = u n (b ) f(t)dt u n (b ) f(t)dt + b (f(b) f()): n Exemple 82 : lim 1 n 3 ( :::: + n 2 ) = 1 3 : Proposition 83 : Si l fonction f : I! R est intégrble, il en est de même de l fonction jfj et on l inéglité f(t)dt jf(t)j dt: Preuve : exercice. Dé nition 84 : Soient I un intervlle de R et f : I! R une fonction. On ppelle primitive de f toute fonction F continue et dérivble véri nt F 0 (x) = f(x): Si I = [; b] ; [; b[ ou ]; b] ; l fonction F doit être dérivble sur ]; b[ et l reltion F 0 (x) = f(x) vrie sur ce dernier intervlle. 20

21 Proposition 85 : Si F et G sont les primitives d une fonction f : I! R; l fonction F G est constnte sur I: Théorème 86 ("théorème fondmentl du clcul intégrl") : Soient I un intervlle de R et f : I! R une fonction continue. Pour tout 2 I; l fonction F : I! R dé nie pr est une primitive de f: F (x) = Z x f(t)dt Preuve : f est intégrble sur [; x] puisque cet intervlle est contenu dns I: On clcule lors l quntité 1 (F (x + h) F (x)) à l ide de l reltion de h Chsles. On obtient F (x + h) F (x) h et grâce à l formule de l moyenne = 1 h Z x+h x f(t)dt; F (x + h) h F (x) = f(c) où c 2 [x; x + h] : Il est clir que si h! 0; cette expression tend vers f(x) (f est continue!). Corollire 87 : Soient I un intervlle de R et f : I! R une fonction continue. Si 2 I; l fonction x 7! R x f(t)dt est l unique primitive de f qui prend l vleur 0 en : Pr illeurs, si F est une primitive de f; lors pour tous et x dns I: Z x f(t)dt = F (x) F () Preuve : U(x) = R x f(t)dt véri e les propriétés en question et si F en désigne une utre, l fonction F U est constnte et vut F (); d où le résultt nnoncé et l formule. Nottion 88 : pour désigner "une" primitive F d une fonction continue f; on emploie l nottion simpli ée (et busive!) : F = R f(t)dt: 21

22 5.3 Recherche de primitives Intégrtion pr prties Si u et v sont des fonctions dérivbles sur I; les fonctions u 0 et v 0 étnt ellemêmes continues, le théorème fondmentl du clcul intégrl permet d écrire Z uv = (uv) 0 (t)dt Z Z = (u 0 v)(t)dt (uv 0 )(t)dt Chngement de vrible Soient I un intervlle ouvert, f : I! R une fonction continue et u : I! R une fonction dérivble, strictement monotone et telle que u 0 (x) 6= 0 pour tout x 2 I: Soit v : u(i) = J! I l bijection réciproque de u: Posons g = (f v)v 0 et supposons que l on dispose d une primitive G de g dns J: Alors (G u) 0 = f; utrement dit G u est une primitive de f: On donc f(t)dt = F (b) F () = G(u(b)) G(u()) = 6 L formule de Tylor Z u(b) u() f(v(t))v 0 (t)dt: Soient I un intervlle ouvert de R et f une fonction dérivble sur I; dont l dérivée f 0 est elle-même continue. Le théorème fondmentl du clcul intégrl permet d écrire f(x) = f() + Z x f 0 (t)dt pour tout x 2 I: Une telle fonction est dite de clsse C 1 sur I; plus générlement, une fonction f de clsse C p sur I est une fonction dont les dérivées f 0 ; f 00 ; ::::; f (p) existent et pour lquelle f (p) est continue. On v voir que l formule précédente peut se générliser à une fonction de clsse C p : c est ce qu on ppelle l formule de Tylor vec reste intégrl. On dé nit églement les fonctions de clsse C 1 sur I : ce sont les fonctions dont les dérivées successives existent toutes sur l intervlle I: Proposition 89 : Les fonctions de clsse C p sur I forment un sous-espce vectoriel de l espce des fonctions dé nies et continues sur I: Le produit et l composée de deux fonctions de clsse C p sont églement de clsse C p : 22

23 Exemple 90 : Si f est de clsse C p sur I et ne s y nnule ps, 1 f clsse C p : est de Théorème 91 : Soit f : I! R une fonction de clsse C n sur un intervlle ouvert I: Pour tous nombres et b de I; on f(b) = Xn 1 k=0 (b ) k f (k) () + k! (b t) n 1 (n 1)! f (n) (t)dt: Preuve : Récurrence sur k où 1 k < n: L formule est vrie pour k = 1 (théorème fondmentl). On suppose f(b) = f()+(b )f 0 ()+::::::+ On écrit 1 (b )k f (k (k 1)! (b t) k 1 (k 1)! f (k) (t)dt = 1) (b t) k 1 ()+ (k 1)! f (k) (t)dt: u 0 (t)v(t)dt (b t)k 1 vec u(t) = de clsse C 1 (c est un polynôme) et v(t) = f (k) (t) k! de clsse C 1 (f (k+1) est continue d près l hypothèse de récurrence). On peut donc intégrer pr prties, pour obtenir (b t) k 1 (k 1)! f (k) (t)dt = [u(t)v(t)] b = (b )k f (k) () + k! u(t)v 0 (t)dt (b t) k f (k+1) (t)dt k! En prtique, on utiliser plus volontiers l version suivnte de l formule de Tylor, le reste étnt plus fcile à évluer. Théorème 92 : Soit f : I! R une fonction de clsse C n 1 sur un intervlle ouvert I: On suppose que l dérivée n-ième de f existe sur I: Pour tous nombres et b de I; on f(b) = Xn 1 k=0 (b ) k f (k) () + (b k! vec un nombre c strictement compris entre et b: )n f (n) (c); n! 23

24 Preuve : On pose n (t) = f(b) f(t) Xn 1 k=1 (b t) k f (k) (t) k! et (b t)n n(t) = n (t) n! où est choisi de telle sorte que n () = 0:On pr illeurs n (b) = 0: Le théorème de Rolle fournit donc un point c compris entre et b (strictement) tel que 0 n(c) = 0; ce qui donne = f (n) (c): Le résultt s ensuit en écrivnt que n () = 0: Corollire 93 ("formule de Mc-Lurin") : Soit f : I! R une fonction de clsse C n 1 sur un intervlle ouvert I contennt 0: On suppose que l dérivée n-ième de f existe sur I: Pour tout x de I; on où 2 ]0; 1[ : f(x) = Xn 1 k=0 x k k! f (k) (0) + xn n! f (n) (x); Corollire 94 : Avec les mêmes hypothèses, s il existe M tel que f (n) (t) M pour tout t 2 I; lors, pour tout x 2 I n 1 f(x) X x k k! f (k) (0) M jxjn n! : k=0 Exemple 95 : le lien entre plusieurs dé nitions de e x : On vu en étudint les séries, l convergence bsolue pour tout réel x; de l série de terme générl xn : On insi donné une nouvelle dé nition de n! e x sous l forme Xx n 8x 2 R : n! = ex : n0 L formule de Tylor permet de fire le lien vec l dé nition trditionnelle de l exponentielle (comme bijection inverse de l fonction logrithme). En e et, en supposnt x > 0; le corollire précédent permet de montrer que les sommes prtielles P n 1 x k k=0 convergent vers e x (ncienne dé nition!) k! puisque l di érence est mjorée pr e x xn ; suite tendnt vers 0 vec n comme n! on l déjà vu. 24

25 7 Retour sur les développements limités 7.1 Les nottions de Lndu Soient f et g deux fonctions dé nies u voisinge de où 2 R[f1g : L nottion O Dé nition 96 : On note f = O(g); ou f(x) = O(g(x)); ou encore f(x) = O(g(x)) s il y mbiguité, s il existe M > 0 indépendnt de x tel que l on it jf(x)j M jg(x)j pour x voisin de (ou pour x grnd s il s git de 1): L nottion Dé nition 97 : On note f g, s il existe m > 0 et M > 0 indépendnts de x tel que l on it m jg(x)j jf(x)j M jg(x)j pour x voisin de (ou pour x grnd s il s git de 1):Il revient u même de dire que l on simultnément f = O(g) et g = O(f): Cette reltion est clirement symétrique L nottion Dé nition 98 : On note f g; si le rpport f(x)=g(x) tend vers 1 u voisinge du point : L nottion o Dé nition 99 : On note f = o (g) ; si le rpport f(x)=g(x) tend vers 0 u voisinge du point : Exemple 100 : Soient f(x) = x 2 et g(x) = 2x 2 g = O(f); donc f g: x + 1: On f = +1 O(g) et Exemple 101 : P n i=1 i = n2 =2 + O(n): Exemple 102 : Soient f(x) = 1000x 2 et g(x) = x 3 : Alors f = +1 o(g); mis g = 0 o(f): Remrque 103 : Si on étudie des fonctions de l vrible n 2 N; il n y ps d mbiguité, c est que n! +1: Exemple 104 : On note l(n) l longueur de l entier n en bits, on lors l(n) = O(ln n): 25

26 7.2 Développements limités Existence et propriétés Dé nition 105 : Soient I un intervlle contennt 0 et f : I! R une fonction continue en 0: On dit que f possède un développement limité (DL) à l ordre n en 0; s il existe un polynôme P (X); de degré n; tel que f(x) = P (x) + o(x n ): Pr trnsltion, on dir que f possède un développement limité à l ordre n u point si l fonction x 7! f(x + ) possède un DL à l ordre n en 0: cel s écrit f(x + ) = P (x) + o(x n ) ou encore, près chngement de vrible f(x) = P (x ) + o((x ) n ): Dns le cs de l in ni, on prend comme nouvelle vrible u = 1 pour se x rmener en zéro. Ce genre de développement est très utilisé pour l étude des brnches in nies des courbes plnes. Pr souci de simplicité, on triter le cs du point 0: Proposition 106 : Si f possède un DL à l ordre n en 0; ce DL est unique. Corollire 107 : Si x + ::::: + n x n + o(x n ) est un DL de f à l ordre n en 0; lors pour tout p n; f possède en 0 le DL d ordre p f(x) = x + ::::: + p x p + o(x p ): Corollire 108 : Si f est pire (resp. impir), le polynôme P (X) = X + ::::: + n X n est pir (resp. impir). L existence d un DL pour l fonction f est réglée pr l formule suivnte, dite de "Tylor-Young" : Proposition 109 : Si f possède une dérivée n-ième en 0; elle possède un DL à l ordre n en 0 donné pr l formule f(x) = nx k=0 x k k! f (k) (0) + o(x n ): 26

27 Preuve : Elle repose sur l ppliction itérée du théorème de Rolle à une fonction bien choisie (cf exercices). Remrque 110 : L condition précédente n est ps nécessire, comme l illustre l exemple suivnt 0 si x = 0 f(x) = x 3 sin 1 si x 6= 0: x Remrque 111 : Cette formule est à mettre en prllèle vec celle qui est donnée pr le corollire 94. Elle prît prdoxlement plus forte vec pourtnt des hypothèses plus fibles : il n en est rien en y regrdnt de plus près, cr cette dernière formule est de crctère locl, elle rme simplement que 1 lim x!0x (f(x) n nx k=0 x k k! f (k) (0)) = 0; tndis que celle du corollire 94 un crctère globl (mjortion de P f(x) n x k k=0 f (k) (0) sur tout l intervlle I): k! DL et nottions de Lndu Le DL de l fonction sin à l ordre 3 en 0 est donné pr l formule sin x = x x 3 3! + o(x3 ): Les formules suivntes sont églement vlbles sin x = x sin x = x x 3 3! + o(x4 ); x 3 3! + O(x5 ): L dernière est celle qui contient le plus d informtion : en e et l seconde nous dit qu il n y ps de terme en x 4 dns le développement, lors que l dernière nous informe du fit qu il y e ectivement un terme en x 5 : Rppel des opértions sur les développements limités 1) Combinison linéire f +g : le DL du résultt est à l ordre du "moins bon" des DL des fonctions considérées, u même point cel v sns dire. 2) Produit fg : le DL du résultt est d ordre églement le moins bon des ordres des DL de f et g: 27

28 3) Quotient f=g vec g(0) 6= 0 évidemment : si les DL sont respectivement f(x) = P (x) + o(x n ) et g(x) = Q(x) + o(x n ); le DL à l ordre n du quotient s ecrit f(x) g(x) = R(x) + o(xn ) où R est le quotient à l ordre n de l division de P pr Q suivnt les puissnces croissntes. (rppel : si P et Q sont deux polynômes tels que Q(0) 6= 0 et n un entier nturel, il existe un couple unique de polynômes R et S tels que et deg R n). Preuve : f(x) g(x) P = QR + X n+1 S ). = Q(x)R(x) + xn+1 S(x) + o(x n ) Q(x) + o(x n ) = R(x) + xn+1 S(x) + o(x n ) R(x)o(x n ) Q(x) + o(x n ) = R(x) + o(x n ) comme on peut le véri er fcilement : le second terme du membre de guche, divisé pr x n ; tendnt vers 0 qund x! 0: Exercise 112 : Donner le DL à l ordre 4 u point 0 de l fonction ln(1 + x) f(x) = 1 e x sin x : 4) Composition f g : il fut supposer évidemment g(0) = 0; l nouvelle vrible u = g(x) devnt tendre vers 0; puisque c est là qu on considère le DL de f: On pose donc f(x) = x + ::::: + n x n + o(x n ) g(x) = b 1 x + ::::: + b n x n + o(x n ) et le clcul montre, près substitution de x dns le DL de f pr g(x); que f(x) = b 1 x + ( 1 b b 2 1)x 2 + :::: ::::: + ( 1 b n + :::: + n b n 1)x n + o(x n ): Exercise 113 : Donner le DL u point 0 et à l ordre 5, de l fonction ln sin x x : Exercise 114 : Prtnt du DL de sin x en 0 et de l reltion rcsin(sin x) = x; donner le DL de l fonction rcsin en 0; à l ordre 5; à supposer qu il existe. 28

29 7.2.4 Intégrtion et dérivtion des développements limités Proposition 115 : On suppose f dérivble sur un intervlle ouvert I contennt 0. Si s dérivée f 0 dmet un DL à l ordre n en 0 f 0 (x) = x + ::::: + n x n + o(x n ); f dmet un DL à l ordre n + 1; obtenu pr intégrtion terme à terme, en prennt soin de ne ps oublier l constnte f(0) f(x) = f(0) + 0 x x2 + ::::: + n n + 1 xn+1 + o(x n+1 ): Preuve : On considère l fonction (x) = f(x) f(0) 0 x 1 2 x2 ::::: n n + 1 xn+1 : On 0 (x) = o(x n ) pr hypothèse. On peut ppliquer à le théorème des ccroissements nis : (x) = (0) + x 0 (x) vec 2 ]0; 1[ : Reste à voir, pr exemple en posnt x = y, que x 0 (x) = o(x n+1 ): Pr contre, il se peut que f possède un DL u voisinge de 0 lors que f 0 n en dmet ucun. On toutefois le résultt suivnt, un peu plus fible : Corollire 116 : Supposons que f possède un DL en 0 à l ordre n f(x) = x + ::::: + n x n + o(x n ) et que f 0 en dmette ussi un, à l ordre n pr dérivtion terme à terme du premier f 0 (x) = x + ::::: + n n x n 1 + o(x n 1 ): 1: Alors ce dernier est obtenu En combinnt l proposition 109 et ce dernier corollire, on obtient le résultt suivnt Proposition 117 : Si f possède une dérivée n-ième en 0; et que son DL à l ordre n en 0 est donné pr l formule f 0 (x) = x + ::::: + n x n + o(x n ); lors f 0 en dmet un en 0 à l ordre n terme de ce dernier 1; donné pr l dérivtion terme à f 0 (x) = x + ::::: + n n x n 1 + o(x n 1 ): 29

30 Preuve : En e et, f dmet un DL à l ordre n en 0 d près l proposition 109 et de même f 0 en dmet un à l ordre n 1 en 0 puisque s dérivée (n 1)-ième existe en 0; toujours d près l proposition 109. Reste lors à ppliquer le corollire. 30

31 Fculté des Sciences de Luminy Automne 2005 Déprtement de Mthémtiques Licence 2ème nnée, semestre 3 Liste d exercices Anlyse 1 1. Soit un nombre réel > 0 et x un nombre réel. ) Montrer qu il existe un unique entier k 2 Z véri nt k x < (k +1) (distinguer suivnt le signe de x et ppliquer l propriété d Archimède). En posnt = 1; on dé nit insi l fonction E(x) ("prtie entière de x"). b) Soient et b des nombres réels tels que < b et s un nombre réel véri nt l inéglité 0 < s < b : Montrer qu il existe un entier n 2 Z tel que ns 2 ]; b[ : c) En ppliqunt ce résultt, montrer que tout intervlle non vide de R contient une in nité de nombres rtionnels. 2. Soit f : R! R l fonction dé nie pr f(x) = x cos x: Clculer f(n) pour en déduire que f n est ni mjorée, ni minorée. 3. Soient f et g des fonctions numériques dé nies sur un intervlle I: Pour tout nombre x 2 I; on pose M(x) = mx(f(x); g(x)) et m(x) = min(f(x); g(x)): Montrer que si les fonctions f et g sont croissntes, il en est de même des fonctions m et M: 4. Soient E = p + q p 2 2 R j p; q 2 Z et u = p 2 1: ) Montrer que si n 2 Z; lors nv 2 E pour tout v 2 E: b) Montrer que pour tout n 1; u n 2 E: c) Montrer que 0 < u < 1=2 et en déduire que 0 < u n < 1=n: d) Soient et b des réels tels que 0 < < b: Montrer qu il existe n 1 véri nt 0 < u n < b : En déduire qu il existe un élément de E pprtennt à l intervlle ]; b[ : 5. L suite géométrique ( n ): Montrer successivement que 1) si 2 R et > 1; l suite lim n = +1 (on pourr utiliser l inéglité : (1 + h) n 1 + nh; en l justi nt) 2) si jj < 1; lors lim n = 0: 3) si = 1; lors lim n = 1: 4) si jj > 1; l suite ( n ) n est ps convergente. 5) En déduire que si jj < 1; lim( ::: + n ) = 1 1 : 31

32 6. L suite (u n ) où u n = n, 2 R et p entier 1: Montrer successivement que n p 1) si jj 1; lim u n = 0: 2) si > 1; lim u n = +1 (on triter d bord le cs p = 1 en utilisnt, pour n 2; l inéglité : (1 + h) n n(n 1) > h 2 ; dns le cs générl, on poser 2 = b p ): 3) si < 1; l suite (u n ) n est ps convergente. 7. Montrer à l ide de suites bien choisies que l fonction x 7! cos(1=x) n ps de limite en 0: 8. Soit (u n ) une suite telle que, à prtir d un certin rng u n+1 u n < L < 1 où L est un nombre réel xé. Montrer que lim u n = 0: Appliction : pour tout nombre complexe ; on : lim n n! = 0: 9. Pour tout > 0; montrer que lim np = 1 (exminer successivement les cs = 1; > 1 et 0 < < 1 en posnt dns le second cs = 1 + h et en montrnt l inéglité 1 np 1 + h n ) ). 10. Approximtion décimle d un réel. Soit un nombre réel, on pose u n = E(10n ) pour tout n 0; où E désigne 10 n l prtie entière. Montrer que 1 10 < u n n ; pour en déduire que lim u n = et que 0 u n < 1=10 n : Montrer en n que l suite (u n ) est croissnte. 11. On pose, pour n 1 u n = Démontrer l inéglité u n+1 u n 12. On pose, pour n :::: (2n 1) : 4 n n! < 1 2 : En déduire l limite de l suite (u n): u n = p 1 + p 2 + :::::: + p n: ) Montrer pr récurrence que u n np n 2 et en déduire lim n u n : 32

33 b) On pose v n = u 2n u n : Prouver l inéglité n p n + 1 v n n p 2n: En déduire lim vn vn et lim : n n Soit un nombre réel tel que 0 < 1: ) Montrer que l on 1 n n pour tout n 1: 1 1 b) En déduire que 1 (1 ) n 1 pour tout n 1: n 2 n 1 c) Clculer lim(1 ) n : n Soit un nombre réel non nul. ) Clculer l limite de l suite ( 2n +3 n ): n b) Clculer l limite de l suite ( 1+in j1+nij ): 15. On dé nit l suite récurrente (u n ) pr u 0 = 1 et u n+1 = 1 2 (u n + 2 u n ): ) Après voir trcé le grphe de l courbe représenttive de l fonction f(x) = 1 2 (x + 2 x ); reporter pproximtivement les vleurs u 1; u 2 ; u 3 ; ::: b) Prouver les églités et c) En déduire que lim u n = p 2: u n+1 p 2 = (u n p 2) 2 2u n u n+1 u n = 2 u2 n 2u n : 16. Soient A et B deux sous-ensembles non vides et bornés de R; tels que A B: ) Montrer que sup A sup B; inf A inf B: b) Montrer que M = sup A (resp. m = inf A) si et seulement si 8" > 0; 9 2 A : M " < M: (resp. 8" > 0; 9 2 A : m < m + "): 33

34 17. (réciproque du critère de Cuchy) Soit (u n ) une suite de Cuchy réelle. On pose n = inf m mn b n = supu m mn ) Montrer successivement que ( n ) est une suite croissnte, (b n ) une suite décroissnte, n b n. b) Le critère de Cuchy dit que 8" > 0; il existe N > 0 tel que n; p N =) ju p u n j < ": En xnt n N; montrer que u n " N b N u n + "). c) En déduire que ( n ) et (b n ) ont une limite commune l et que celle-ci constitue l limite de l suite (u n ): 18. Les rmtions suivntes sont-elles vries ou fusses? (Justi er pr une brève démonstrtion ou in rmer pr un contre-exemple) (u n ) est une suite de nombres réels strictement positifs. ) Si (u n ) est croissnte et lim u n+1 u n = 1; lors (u n ) converge. b) Si (u n ) est décroissnte, lors lim u n+1 u n = 1: c) Si (u n ) est décroissnte et lim u n+1 u n = 1; lors (u n ) converge vers un nombre réel > Soit (u n ) l suite donnée pr u 0 = 1; u 1 = 2; et pour n 2 u n = u n 1 + u n 2 : (2) ) Montrer pr récurrence que u n > ( p 2) n et en déduire l nture de l suite (u n ): b) Montrer pr récurrence que pour n 1 u 2 n u n 1 u n+1 = ( 1) n+1 : (3) c) On pose v n = u n =u n 1 : En utilisnt (2), montrer que l suite (v n ); si elle converge, possède une limite non nulle. Montrer, toujours à l ide de (2), que les sous-suites (v 2p ) et (v 2p+1 ) ont des sens de vrition opposés. d) A l ide de (3), montrer que v n+1 v n tend vers 0 qund n! +1: En déduire l limite de l suite (v n ): 20. En utilisnt l suite récurrente donnée pr u 0 = 0; u 1 = 1 et (2), 34

35 montrer que 2 1 p p! k p! 3 k N 2 pour tout k 1: 21. On considère l suite (u n ) dé nie pr u 0 2 R et u 0 : u n+1 = u2 n : ) Montrer qu on peut se rmener à u 0 > 0: b) Trouver les limites l possibles. c) Montrer que u n+1 l = (u 2 n l 2 )=2: Que peut-on en déduire? d) Etudier u n+1 u n et conclure qunt à l convergence de (u n ) suivnt 22. Montrer que si x 2 1 ; ; lors px Soit (u n ) dé nie pr u ; et un+1 = 1 u 2 n+1 1+u n+1 : ; p un : et 1+x 10: x 2 9 ) Montrer que ju n+1 1j = ju n 1j b) En déduire que ju n+1 1j < k ju n 1j vec k 2 ]0; 1[ et que (u n ) converge. 23. Clculer sin(n + 2) sin n puis cos(n + 2) cos n: Montrer que si l suite sin n converge, lors s limite est 0, de même que l suite cos n: Que peut-on en conclure? 24. Soit G un sous-groupe dditif de R: On note G + le sous-ensemble des éléments strictement positifs G et = inf G + : ) Montrer que si 2 G + ; lors G = Z: b) Montrer que dns le cs contrire, = 0: c) Dns ce dernier cs, prouver que tout intervlle non vide de R contient toujours un élément de G (on dit que G est dense dns R): d) Appliction : le groupe Z + 2Z est dense dns R vec comme conséquence que l suite (sin n) est dense dns ] snte de ; 2 2 dns ] 1; 1[ donnée pr x 7! sin x): 25. Soit (u n ) dé nie pr u 0 2 0; 2 et un+1 = cos u n Montrer que les sous-suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent. 1; 1[ (utiliser l bijection crois- 35

36 26. Etudier les séries de terme générl u n = (ch 1 n ) n3, v n = n! n n, w n = ( 1) n p n+2 p n n : 27. Clculer l somme P n 3 n1 (on pourr décomposer n! x3 sur l bse : f1; x; x(x 1); x(x 1)(x 2)g du sous-espce vectoriel des polynômes réels de degré 3). P n1 28. Clculer ln( n+1 n ) ln( n n 1 ): en déduire l somme P n2 ln(1 1 n 2 ): 29. ) On suppose x et y réels positifs. Montrer que p xy x+y : 2 b) En déduire que si P u n est une série à termes positifs convergente, p un n l est églement. 30. Utiliser l comprison vec l série de Riemnn pour étudier l convergence des séries de terme générl : i) np n ii) 1 cos 1 iii) ln cos 1 iv) ln(n2 +1) n n n n ln n 31. Les séries des terme générl u n = ln(1 + ( 1)n p n ) et v n = ( 1) n ln n p n sont-elles convergentes? (en fit l première est une série lternée dont le terme générl croît en vleur bsolue, elle se trite en groupnt 2 termes consécutifs) On considère l série de terme générl u n = ln( ): Quel est le n sin 1 n signe de u n? L série est-elle convergente? 33. On suppose que u n > 0 pour tout n: Montrer que les séries P u n et P un 1+u n sont de même nture. 34. Soit u n 2 R: ) Montrer que si P u n converge bsolument, lors P u 2 n converge. L réciproque est-elle vrie? b) Donner un exemple de série convergente P u n telle que l série P u 2 n diverge. 35. Discuter (fournir une démonstrtion ou un contre-exemple) les r- mtions suivntes ) Si u n > 0 et P u n converge, lors u n+1 u n une limite strictement plus petite que 1. b) Si u n > 0 et P u n converge, lors l suite (u n ) est décroissnte à prtir d un certin rng. c) Si lim( 1) n nu n = 0; lors P u n converge. 36

37 d) Si lim( 1) n n 2 u n = 0; lors P u n converge. 36. Dicuter suivnt x > 0 l nture des séries de terme générl i) ( 2n 1 n+1 )2n x n ii) 1:4:7::::(3n+1) x n iii) n!( x (n+1)! n )n 37. Quelle est l nture d une série P u n à termes positifs, dns lquelle à prtir d un certin rng np un 1 1 n ( 2 ]0; 1[): 38. Déterminer un polynôme P tel que u n = 4p n 4 + 2n 2 3 p P (n) soit le terme générl d une série à termes positifs convergente. 1+u 39. Soit (u n ) l suite donnée pr u 0 = 1 et u n+1 = u n n 1+2u n : ) Montrer que cette suite converge et donner s limite. b) En déduire l nture de P u 2 n (ide : clculer u n+1 u n ): c) Quelle est l nture de l série P ln( 1+2un 1+u n )? d) En déduire l nture de P u n : 40. Pour n entier 2; on pose u n = :::: (2n 3) 2 4 :::::: 2n et v n = puis (n+1) n u n+1 u n : ) Clculer lim u n+1 u n et lim v n+1 v n b) En déduire que pour < 3=2; on u n :::: (2n 1) 2 4 :::::: 2n u n n (n+1) et que l série de terme générl u n est convergente. c) Pr contre, véri er que l suite (nv n ) est croissnte et en déduire que l série de terme générl v n est divergente. 41. Soient P n et P b n deux séries et P c n l série produit. On rppelle que c n = X i b j et on note A n ; B n ; C n les sommes prtielles d indice n i+j=n des 3 séries. 1) On suppose que les séries P n et P b n sont à termes positifs et convergentes. Montrer que l on C n A n B n C 2n ; en déduire que P c n converge et l églité +1X n=0 c n = +1X n=0 37 n : +1X n=0 b n : (4)

38 2) On suppose mintennt que les séries P n et P b n sont bsolument convergentes. Montrer à l ide de 1) que l série de terme générl jc n j converge. Prouver ensuite l églité 4 en remrqunt pr exemple que nx ja n B n C n j A 0 nbn 0 Cn 0 où on note A 0 n = j i j (resp. Bn; 0 Cn) (Une utre démonstrtion du thm des vleurs intermédiires) Soit f une fonction continue : [; b]! R; vec f() < f(b): On suppose y 0 2 [f(); f(b)] et on dé nit A = fx 2 [; b] j f(x) y 0 g : ) Montrer que A dmet un borne supérieure x 0 et que x 0 2 [; b] : b) Montrer que l hypothèse f(x 0 ) > y 0 conduit à une contrdiction (véri er que dns ce cs on peut trouver x 1 < x 0 ; vec x 1 mjornt A): c) Montrer que l hypothèse f(x 0 ) < y 0 conduit à une contrdiction (véri- er que dns ce cs on peut trouver x 1 > x 0 ; vec x 1 2 A): 43. Montrer que l fonction x 7! p x est une fonction uniformément continue de [0; +1[! R (montrer que si x > y; lors ( p p x y) 2 < x y): 44. Soit f une fonction continue : [; b]! R; on veut montrer que f est uniformément continue à l ide d un risonnement pr l bsurde. ) Montrer qu il existe un " > 0; et deux suites (u n ) et (u 0 n) dns I = [; b] ; véri nt, pour tout n 1 i=0 ju n u 0 nj < 1 n et jf(u n) f(u 0 n)j > ": b) En ppliqunt le théorème de Bolzno-Weierstrss successivement ux suites (u n ) et (u 0 n); montrer qu il existe une suite extrite (v n ) de (u n ) (resp. (w n ) de (u 0 n) ), de même limite, véri nt jf(v n ) f(w n )j > " : où et sont des bijections stricte- (idée : v n = u (n) et w n = u 0 (n) ment croissntes de N dns N): c) Conclure. 45. On dé nit f n : R! R pour n 1 pr f n (x) = x cos x: n ) Montrer que f n est strictement croissnte et en déduire qu il existe un réel x n 2 ]0; 1[ unique véri nt x n = cos xn : n b) Montrer que si x 2 ]0; 1[ : cos x < cos x ; pour en déduire que l suite n n+1 (x n ) est strictement croissnte. c) Montrer que lim x n = 1: 38