Systèmes différentiels linéaire d ordre 1 à coefficients constants

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1 [hp://mp.cpgdupuydlom.fr] édié l juill 4 Enoncés Sysèms différnils linéair d ordr à cofficins consans Exrcic [ 89 ] [corrcion] x = 4x y y = x + y Exrcic [ 49 ] [corrcion] x = x + x + Exrcic 6 [ 9 ] [corrcion] Soin E un spac vcoril uclidin oriné d dimnsion u un vcur uniair d E. Résoudr l équaion x = u x Exrcic 7 [ 9 ] [corrcion] Résoudr l sysèm différnil linéair x = x z y = x + y + z z = x y + z x = x + 4x Exrcic [ 9 ] [corrcion] x = x + 8y + y = x + y + Exrcic 4 [ 9 ] [corrcion] x = y + z y = x z = x + y + z Exrcic 5 [ 9 ] [corrcion] x = x y + z y = x 5y + 7z z = 4x y + z Exrcic 8 [ 49 ] [corrcion] On considèr l équaion x 4 x + x x + x = a Monrr qu x : R C s soluion d E si, sulmn si, X = x x x x s soluion d AX = X avc A à dérminr. b A s-ll diagonalisabl dans M 4 C? c Monrr qu C 4 = kra ii 4 kra + ii 4 kra I 4 d Monrr qu il xis P invrsibl ll qu P AP = B avc B diagonal par blocs riangulair supériur. Dérminr ls soluions d l équaion différnill. Exrcic 9 [ 9 ] [corrcion] a Soi N M n C nilpon d indic p. Monrr qu I n, N, N,..., N p s un famill libr. Exprimr λin+n b Soi A M n C ayan pour uniqu valur propr λ C. Monrr qu N = A λi n s nilpon. Monrr qu ls soluions du sysèm différnil X = AX son ous bornés sur R si, sulmn si, λ s imaginair pur A = λi n.

2 [hp://mp.cpgdupuydlom.fr] édié l juill 4 Enoncés c Soi A M n C d polynôm caracérisiqu X λ n... X λ m nm ls λ k éan dux à dux disincs. Soi f l ndomorphism d C n canoniqumn associé à A. Monrr qu C n = m krf λ k Id C n n k k= En déduir l xisnc d un bas d C n dans laqull la maric d f s diagonal par blocs. d Avc ls noaions d c. Monrr qu ls soluions d X = AX son bornés si, sulmn si, ls λ k son imaginairs purs qu A s diagonalisabl. Monrr qu un maric anisymériqu réll s diagonalisabl.

3 [hp://mp.cpgdupuydlom.fr] édié l juill 4 Corrcions Corrcions Exrcic : [énoncé] C s un sysèm différnil linéair d ordr homogèn d équaion maricill 4 x X = AX avc A = X =. y SpA =, }, E A = Vc, E A = Vc. Pour P =, A = P DP avc D = Pour Y = P X, X = AX Y = DY λ Y = DY Y = avc λ, µ K. µ X = AX X = λ + µ avc λ, µ K. Exrcic : [énoncé] C s un sysèm différnil d aill linéair à cofficins consan d équaion maricill X = AX + B avc X = x x, A = 4 B = Equaion homogèn : X = AX. χ A = X X, SpA =, }, E A = Vc E A = Vc. On a A = P DP avc P = D = donc X = AX X = P DP X P X = DP X Posons Y = P X. On a Y = P X donc X = AX Y = DY. Posons Y = y y. Y = DY y = y y = λ y = y y = λ avc λ, λ K X = P Y = y donc y λ X + λ = AX X = = λ λ + λ + λ X = X = définissn un sysèm fondamnal d soluions. Soluion pariculièr : X = λ X + λ X avc λ, λ foncions dérivabls. donc X = AX + B λ X + λ X = B X = AX + B λ + λ = λ λ + λ = = λ = λ = λ = convinnn + X = + s soluion pariculièr. Soluion général : + X = λ + λ + + avc λ, λ R i.. x = λ + λ + + x = λ + λ + + avc λ, λ R Exrcic : [énoncé] C s un sysèm différnil linéair d ordr d équaion maricill X = AX + B avc A = 8, B = X = x SpA = 5, }, E 5 A = Vc E A = Vc. y

4 [hp://mp.cpgdupuydlom.fr] édié l juill 4 Corrcions 4 A = P DP avc P =, P = 4 D = Pour Y = P X s soluion d Y = DY + C avc + Après résoluion, on obin C = P B = 4 Y = DY + C Y = + 5 λ µ 6 + puis 5 X = AX+B X = λ +µ On pu aussi procédr par variaion ds consans après résoluion séparé d l équaion homogèn. Exrcic 4 : [énoncé] C s un sysèm différnil linéair d ordr homogèn d équaion maricill X = AX avc x A = X = y z SpA =,, }, E A = Vc, E A = Vc, E A = Vc On a A = P DP avc P = D = En posan Y = P X, on obin or donc Y = DY Y = X = AX X = λ X = AX Y = DY λ µ ν + µ avc λ, µ, ν K + ν avc λ, µ, ν K Exrcic 5 : [énoncé] C s un sysèm différnil linéair d ordr homogèn d équaion maricill X = AX avc x A = 5 7 X = y 4 z χ A X = X X +. Après riangularisaion, on a A = P T P pour P = T = Pour Y = P X, X = AX Y = T Y. λ Y = T Y Y = µ + ν avc λ, µ, ν K µ La soluion général du sysèm s donc X = λ + µ + + ν avc λ, µ, ν K

5 [hp://mp.cpgdupuydlom.fr] édié l juill 4 Corrcions 5 Exrcic 6 : [énoncé] On complè u n un bas orhonormé dirc : u, v, w. En noan a, b, c ls composans d x dans c bas on parvin au sysèm a = b = c c = b qui équivau ncor à On conclu a = c = b c + c = a = ν b = µ cos λ sin c = λ cos + µ sin Exrcic 7 : [énoncé] A =, χ A = X X X +. La résoluion complx s alors facil puisqu la maric A s diagonalisabl. La résoluion réll s n rvanch plus délica à obnir, déaillons-la : X =,, s vcur propr d A, compléons-l avc dux vcurs d un plan sabl. Ls plans sabls s obinnn n éudian ls élémns proprs d A. Sp A = SpA = } E A = Vc,,. Ainsi l plan d équaion x + y z = s sabl par A. Prnons X =,, X = AX =,,. On vérifi AX = X X. Ainsi pour P =, on a P AP = = B. Pour X = x, y, z Y = y, y, y = P X, on a X = AX Y = BY. Cci nous condui à la résoluion suivan : y = y y = y y = y y = y y = y + y y y + y = E on pu conclur via X = P Y. y = α y = λ cos y = y + µ sin Exrcic 8 : [énoncé] a A = convin. b On défini la maric par : A:=marix4, 4, [,,,,,,,,,,,, -,, -, ]; On obin son polynôm caracérisiqu facorisé par facorcharpolya, X; ss élémns proprs par ignvcsa; On consa qu s valur propr doubl mais qu l sous-spac propr associé s d dimnsion. La maric A n s donc pas diagonalisabl. c Puisqu χ A = X X ix + i s annulaur d A, il suffi d appliqur l lmm d décomposiion ds noyaux. d Par l éud ds élémns proprs précédns, on prnd C = i i, C = i i C = vcurs proprs associés aux valurs proprs i, i. On dérmin nfin un colonn C 4 vérifian AC 4 = C 4 + C. linsolva-diag,,,, vcor[,,, ]; On choisi parmi ls soluions C 4 =. Finalmn pour on obin P = B = P AP = i i i i i i On pu vérifir l xaciud P:=marix4, 4, [-, -,,, -I, I,,,,,,, I, -I,, ]; B:=valminvrsP&*A&*P; Ls soluions d l équaion X = AX son ls foncions X = xpax. xpa = P xpbp prm l calcul dxpa.

6 [hp://mp.cpgdupuydlom.fr] édié l juill 4 Corrcions 6 Sachan on a B n = xpb = i n i n n ib ib On achèv l calcul d xpa avc Mapl valmp&*marix4, 4, [xpi*,,,,, xp-i*,,,,, xp, *xp,,,, xp]&*pˆ-; Puis on dérmin X X:=valm%&*vcor[x, Dx, DDx, D@@x]; nfin x X[]; Exrcic 9 : [énoncé] a Supposons λ I n + λ N + + λ p N p = O n En muliplian par N p on obin λ N p = O n car N p = O n. Or N p O n donc λ =. On monr d mêm succssivmn qu λ =,..., λ p =. On conclu qu la famill I n, N, N,..., N p s libr. Puisqu λi n N commun, on a λin+n = λin N = λ I n +! N +! N + + p p! N p b L polynôm caracérisiqu d A s scindé dans C [X] possèd un uniqu racin λ, on a donc χ A X = X λ n En vru du héorèm d Cayly Hamilon N n = A λi n n = O n La maric N s avèr donc nilpon. Ls soluions du sysèm différnil X = AX son ls foncions X = A X = λ. N X Si N s null λ ir, il s clair qu ous ls soluions son bornés. Invrsmn, supposons ls soluions ous bornés. En choisissan X kr N\ O n }, la soluion A X = λ X s borné sur R nécssairmn λ ir. Noons p l indic d nilponc d N choisissons X / kr N p. La soluion λ. N X dvan êr borné avc λ =, la foncion X + NX + + p p N p X s ll aussi borné. Or N p X donc c soluion n pu pas êr borné si p >. On n dédui p = puis N = O n. c Ls polynôms X λ k n k son dux à dux prmirs nr ux. Par l héorèm d Cayly Hamilon l lmm d décomposiion ds noyaux, on obin C n = m krf λ k Id C n n k k= Un bas adapé à c décomposiion fourni un rprésnaion maricill d f diagonal par blocs. Plus précisémn, ls blocs diagonaux son d la form λ k Id nk + N k avc N n k k = O nk d La maric A s smblabl à on pu donc écrir A = P P avc P invrsibl Ls soluions d l équaion X = AX corrspondn aux soluions d l équaion Y = Y via Y = P X. Ls soluions d X = AX sron bornés si, sulmn si, clls d Y = Y l son. En raisonnan par blocs n xploian l résula du b, on pu affirmr qu ls soluions d X = AX son bornés sur R si, sulmn si, ls λ k son imaginairs purs ls N k ous nuls c qui rvin à dir qu A s diagonalisabl. Supposons A anisymériqu réll. Puisqu A A commun A A = A+A = On = I n

7 [hp://mp.cpgdupuydlom.fr] édié l juill 4 Corrcions 7 Soi X : A.X un soluion d l équaion X = AX. On a X = XX = X A A X = X Ls soluions son ous bornés donc A s diagonalisabl à valurs proprs imaginairs purs.