Nombres en écriture fractionnaire

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Gaspard Lavigne
il y a 7 ans
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1 Classe de 4ème Chapitre 3 1. Définitions Nomres en ériture frationnaire 1.1.Quotient exat Définition 1 : Le quotient exat de la division du nomre a par le nomre non nul s érit sous forme frationnaire : a (a est le numérateur, est le dénominateur). Définition 2 : Si a et sont des entiers relatifs ( non nul), on dit que a est une fration. Exemples : 8 5 et 4 en ériture frationnaire. 2,3 sont des frations, mais n est pas une fration, mais un nomre Ériture déimale. Quotient approhé Lorsque la division de a par s arrête, le quotient exat a une ériture déimale limitée ; est un nomre déimal. Par exemple, 8 1, 6 5 = Lorsque la division de a par ne s arrête pas, le quotient exat a une ériture déimale illimitée ; e n est pas un nomre déimal. 4 Par exemple, = 0, Don le quotient exat n a pas d ériture déimale. On garde l ériture frationnaire pour représenter le quotient exat. Le quotient approhé de 4 par arrondi au entième près est 4 0,5. On otient l enadrement du quotient approhé de 4 par au entième près : 4 0,5 < < 0,58 0,5 est le quotient approhé de 4 par au entième près par défaut et 0,58 est le quotient approhé de 4 par au entième près par exès. Remarque : Les nomres frationnaires ( a, où a et sont des entiers, non nul) ont une ériture déimale périodique. Ils sont ien «rangés», ien «organisés», on dit que e sont des nomres rationnels. Réiproquement, on démontre que tous les nomres ayant une ériture déimale périodique, sont néessairement des frations.

2 Chapitre 3 Classe de 4ème 2 2. Egalité des frations 2.1. Frations égales Règle 1 : Deux frations sont égales lorsqu il y a égalité des produits en roix. Autrement dit : a = équivaut à a d = d Règle 2 : On ne hange pas un nomre relatif en ériture frationnaire en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nomre non nul. Autrement dit, pour tout nomre relatif a et tous nomres relatifs non nuls et k, on a : a a k k = et a = a k k Cei nous permet d otenir différentes éritures frationnaires d un même nomre. On herhe alors la fration la plus simple Exemples : = = = = 3,5 3, est une fration simple ou irrédutile Règle des signes Règle 2 : Le signe du quotient a de deux nomres relatifs est le même que le signe du produit a. On otient la règle des signes : Le quotient de deux nomres de même signe est positif. Le quotient de deux nomres de signes ontraires est négatif. a = a et a a a = =

3 Chapitre 3 Classe de 4ème 3 3. Comparaison des frations Règle 3 : 1 ) Si deux frations ont le même dénominateur positif, alors on les range dans le même ordre que leurs numérateurs. Autrement dit, pour tous nomres relatifs a et et tout nomre relatif d > 0, on a : a > équivaut à a > d d 2 ) Si deux frations n ont pas le même dénominateur positif, on herhe d aord un dénominateur ommun positif, puis on applique le 1 ). 5 Exemple : Comparer et. On est dans le 2 ème as. On herhe un dénominateur ommun. On herhe dans la tale de 8, le premier nomre multiple de 12, ou l inverse. Tale de 8 : 8 ; ; 24 est aussi un multiple de 12 Ou Tale de 12 : 12 ; 24 est aussi un multiple de = = et 2 14 = = Comme 15 < 14, on a : 5 <. 4. Addition et soustration Règle 4. 1 er as : Pour additionner (ou soustraire) deux frations de même dénominateur, il faut additionner (ou soustraire) les numérateurs et onserver le dénominateur ommun. a a+ a a + = et = d d d d d d 2 ème as : Pour additionner (ou soustraire) deux frations de dénominateurs différents, il faut herher d aord un dénominateur ommun, puis appliquer le 1 er as. Exemple : Caluler 5. On est dans le 2 ème as. Le dénominateur ommun est 24 (voir i-dessus). On a alors : = = = = Puis, il faut simplifier 22 2 =

4 Chapitre 3 Classe de 4ème 4 5. Multipliation des frations Règle 5 : Pour multiplier deux nomres relatifs en ériture frationnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en respetant la règle des signes. a a = d d Remarque : Attention! Il est vivement onseillé de déomposer le numérateur et le dénominateur pour simplifier AVANT d effetuer les aluls. Exemple : Caluler et donner le résultat sous la forme d une fration simple : D aord, il y a trois signes moins, don A est négatif. Puis, on a : 9 14 = 9 14 = = 2 Don : Inverse d un nomre relatif Définition : Deux nomres relatifs sont dits inverses si leur produit est égal à 1. Si x et x' sont des nomres relatifs non nuls, alors x' est l inverse de x si et seulement si x x' = 1. L inverse d un nomre relatif non nul x est le nomre 1 x noté aussi 1 x. Remarques : 0 n a pas d inverse! ar 0 multiplié par n importe quel nomre est égal à 0. Un nomre relatif et son inverse sont oligatoirement de même signe. Si x est un nomre relatif non nul, alors l inverse de son inverse est égal à lui-même. Si a et sont deux nomres non nuls, l inverse de a est a. On a alors les propriétés suivantes, pour tous les nomres relatifs a, et x non nuls : 1 x = 1 1 x 1 x x =,. Division des frations 1 = x 1 et x 1 = a a Règle 6 : Pour diviser par un nomre relatif (non nul), on multiplie par son inverse. Don, pour tous nomres relatifs a et non nuls, on a a 1 a = = a

5 Chapitre 3 Classe de 4ème 5 En partiulier, si a,, et d sont quatre nomres relatifs non nuls, omme l inverse de d s érit 1 d et est égal à d, on a les égalités suivantes : a a a 1 a d = = = d d d Attention à la position du «trait entrale de fration» et à la plae du signe égal. Exemple : Caluler 3. On alule d aord le numérateur

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