CH.28 : INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE

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1 hysiqu CH.8 : INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE lan (Cliqur sur l titr pour accédr au paragraph) ********************** CH.8 : INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE... I. HENOMENES D INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE... I.. FORCE ELECTROMOTRICE INDUITE... I.. LOI DE FARADAY... I.3. LOI DE LENZ... II. CIRCUIT FIXE DANS UN CHAM NON ERMANENT... II.. RELATION DE MAXWELL-FARADAY... II.. RELATION ENTRE LE CHAM ELECTRIQUE ET LES OTENTIELS... III. IV. CIRCUIT MOBILE DANS UN CHAM B ERMANENT... 3 CAS GENERAL... 3 IV.. LIEN ENTRE LES DEUX HENOMENES RECEDENTS... 3 IV.. EXRESSION DE LA F.E.M... 4 V. HENOMENES D AUTO-INDUCTION... 4 V.. DEFINITION DU HENOMENE... 4 V.. INDUCTANCE RORE... 4 VI. VII. INDUCTION MUTUELLE DE DEUX CIRCUITS FILIFORMES... 5 ENERGIE MAGNETIQUE... 5 VII.. CAS DES CIRCUITS FILIFORMES... 5 VII.. DENSITE VOLUMIQUE D ENERGIE MAGNETIQUE... 6 ********************** I. HENOMENES D INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE I.. FORCE ELECTROMOTRICE INDUITE L étud xpérimntal (mné n particulir par M.Faraday n 83) montr qu l apparition d un courant induit dans un circuit frmé (n comportant pas d génératur tl qu pil, condnsatur chargé ) st toujours lié à un variation tmporll du flux magnétiqu à travrs l circuit. our qu un courant apparaiss, il faut qu ds porturs d charg aint été mis n mouvmnt par l action d forcs motrics f mot (n Nwton) ; on appllra «forc élctromotric» ou «f..m» (n Volt) la grandur : = fmot dl q circuit " (où q st la charg ds porturs) I.. LOI DE FARADAY En notant l flux du champ magnétiqu à travrs l circuit, on vérifi : d = dt Rq : la rlation st algébriqu : a) on orint l sns du courant i b) on orint (règl du tir-bouchon, par xmpl) c) l sns positif d st clui d i (convntion génératur) ag Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits d l autur ds œuvrs résrvés. Sauf autorisation, la rproduction ainsi qu tout utilisation ds œuvrs autr qu la consultation individull t privé sont intrdits. Fichir généré pour Visitur (), l //7

2 hysiqu Rq : pour appliqur ctt rlation, il faut qu l flux vari d façon continu : pour un circuit qui s ouvr à crtains instants (circuit «n commutation»), on n put pas l utilisr (mêm si l programm rcommand d évitr c gnr d situation, nous vrrons qu cla arriv dans l xmpl «incontournabl» d la «rou d Barlow») I.3. LOI DE LENZ L sign moins d la rlation précédnt traduit mathématiqumnt la loi d Lnz (qui st un loi d modération, au mêm titr qu la loi d L Châtlir pour ls équilibrs chimiqus) : «l sns du courant induit st tl qu son fft (l champ magnétiqu qu il cré à son tour) tnd à s opposr à la caus qui lui a donné naissanc (la variation tmporll du flux)» On pnsra à utilisr ctt loi pour détrminr ou vérifir l sign d crtains grandurs dans ls xrcics. II. CIRCUIT FIXE DANS UN CHAM NON ERMANENT II.. RELATION DE MAXWELL-FARADAY Ici, l apparition d forcs motrics sur ds chargs initialmnt au rpos dans l référntil d étud put s intrprétr par l xistnc d un champ élctriqu induit E i : notons immédiatmnt qu à la différnc d un champ d origin élctrostatiqu, sa circulation l long d un contour frmé n st pas null. d ### d B = Ei dl = = rotei ds = [ B ds] = ds C dt S dt S S t " (où S st un surfac s appuyant sur C) Rq : on a pu intrvrtir ls opératurs d dérivation tmporll t d intégration spatial, car ls coordonnés d (S) sont indépndants du tmps, l circuit étant fix. La rlation précédnt étant vrai qull qu soit (S), il vint : ### B rotei = ### t rote = qu : st ; c champ induit s suprpos évntullmnt à un champ élctrostatiqu st E = E + E ### B rote = t l champ total : i st satisfra à l équation d Maxwll-Faraday : E tl II.. RELATION ENTRE LE CHAM ELECTRIQUE ET LES OTENTIELS On a toujours : ( ) ( A ### ### ### ### ### A B = rota rote = rota = rot ) rot( E + ) = t t t dériv donc d un potntil scalair V, c qu l on écrira : ##### A E = gradv t ; la grandur A E + t Rq : n régim statiqu, V s idntifi avc l potntil élctrostatiqu ; n rvanch, il st plus délicat d idntifir E i avc A t, car il n faut pas oublir la grand indétrmination ds ag Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits d l autur ds œuvrs résrvés. Sauf autorisation, la rproduction ainsi qu tout utilisation ds œuvrs autr qu la consultation individull t privé sont intrdits. Fichir généré pour Visitur (), l //7

3 hysiqu ##### f potntils : on pourra vérifir qu tout coupl A' = A + grad f t: V ' = V t fonction qulconqu) ngndr l mêm champ E. (où f st un III. CIRCUIT MOBILE DANS UN CHAM B ERMANENT On considèr ctt fois un circuit (C) tl qu chaqu point courant d c circuit st animé d un par rapport au référntil d étud (R), où règn un champ magnétiqu vitss v ( ) prmannt : ctt vitss st un vitss d ntraînmnt local pour ls porturs d charg ; la forc motric sra alors la parti «magnétiqu» d la forc d Lorntz, soit induit sur (C) sra donné par : = ( v B) dl " C qv B ; la f..m IV. CAS GENERAL IV.. LIEN ENTRE LES DEUX HENOMENES RECEDENTS L princip d rlativité postul l invarianc ds forcs fondamntals (gravitationnlls, élctromagnétiqus, nucléairs) lors d un changmnt d référntil ; d mêm, l xistnc objctiv d un courant induit n doit pas dépndr du référntil d obsrvation. Or, lorsqu on xamin l xprssion d la forc d Lorntz, on constat qu l trm qv B dépnd du référntil d étud (dans un référntil lié à la particul, la parti «magnétiqu» d la forc st null ) : pour qu la forc rst invariant, il faut qu l champ élctriqu soit «transformé» lors du changmnt d référntil. Considérons un référntil (R ) n translation à la vitss v R'/ R= v par rapport à un référntil (R) ; alors pour un point M qulconqu : v R( M) = v R' ( M) + v (composition ds vitsss galilénn). L invarianc d la forc d Lorntz s xprimra par : qe ( R' + vr' BR' ) = qe ( R + vr BR) = qe ( R + v BR + vr' BR) v t v, il vint : Ctt rlation dvant êtr vérifié qulls qu soint R' E = E + v B t: B = B R' R R'/ R R R' R C sont ls formuls d transformation du champ élctromagnétiqu par changmnt d référntil, dans l cadr d la mécaniqu galilénn. Ainsi, dans l cas du paragraph III, un obsrvatur lié au référntil «fix» intrprétra la forc comm un fft d un champ purmnt magnétiqu ( E = ), mais un obsrvatur lié au E = v B. circuit la considérra comm un conséqunc d un champ élctriqu ' ar aillurs, du point d vu du circuit, on put s ramnr au cas du paragraph II : n fft, un circuit s déplaçant dans un champ prmannt, mais non uniform, «vrra» un champ magnétiqu qui dépnd du tmps (non pas localmnt, mais «n suivant l mouvmnt» du circuit : on rtrouv un notion analogu n mécaniqu ds fluids). () ag 3 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits d l autur ds œuvrs résrvés. Sauf autorisation, la rproduction ainsi qu tout utilisation ds œuvrs autr qu la consultation individull t privé sont intrdits. Fichir généré pour Visitur (), l //7

4 hysiqu Cci montr qu l champ «élctromagnétiqu» st un coupl ( EB, ) qu on n put pas dissocir, sauf n statiqu. Rq : ls rlations (), obtnus à partir d la loi d composition ds vitsss galilénn, n sont n fait pas compatibls avc touts ls lois d l élctromagnétism : ls formuls préciss sont obtnus dans l cadr d la Rlativité Rstrint (A.Einstin, 95). IV.. EXRESSION DE LA F.E.M Lorsqu on suprpos ls différnts causs d variation du flux (déplacmnt du circuit, déformation du circuit, champ magnétiqu non prmannt ), on obtint : A Rq : la grandur ( + v B ) t A = " ( + v B) dl C t st parfois applé «champ élctromotur». V. HENOMENES D AUTO-INDUCTION V.. DEFINITION DU HENOMENE Ds courants xtériurs au circuit étudié crént un champ magnétiqu xtériur noté xt, dont ls variations d flux génèrnt ds courants induits dans l circuit : cs courants vont à lur tour crér un champ magnétiqu «propr» noté Ls variations tmporlls du flux d f..m tll qu : B. B (noté ) à travrs l circuit lui-mêm ngndrnt un d = dt C st la f..m d auto-induction. Rq : il faut donc avoir conscinc du fait qu l champ total st : B= Bxt + B ; c st c champ qu il faut utilisr pour calculr l flux total ; l énoncé précisra parfois qu l on put négligr l champ propr dvant l champ d origin xtériur, c qui rvint à négligr l phénomèn d auto- induction dvant clui d induction. V.. INDUCTANCE RORE ### rotb = µ j était incomplèt n régim non Nous avons vu dans l chapitr 7 qu l équation prmannt, puisqu incompatibl avc la consrvation d la charg ; dans l chapitr suivant, nous vrrons qu l trm «manquant» st lié aux variations tmporlls du champ élctriqu : nous admttrons qu dans l cadr d l Approximation ds Régims Quasi-rmannts (A.R.Q.) c trm st négligabl dvant µ j. La loi d Biot t Savart, qui n découl, rst donc valabl. En considérant un circuit (C) parcouru par un courant i, sur lqul s appui un surfac (S) qulconqu, nous avons donc : µ i 4π = B ds t: B S = " dl B t donc C u r = Li sont ROORTIONNELS à i ;on pos : où L (n Hnry, H) st l inductanc propr du circuit, ou cofficint d auto-induction (L>). B ag 4 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits d l autur ds œuvrs résrvés. Sauf autorisation, la rproduction ainsi qu tout utilisation ds œuvrs autr qu la consultation individull t privé sont intrdits. Fichir généré pour Visitur (), l //7

5 hysiqu VI. INDUCTION MUTUELLE DE DEUX CIRCUITS FILIFORMES Soint circuits orintés (C) t (C), parcourus par ds courants rspctifs i t i, sur lsquls s appuint rspctivmnt ds surfacs (S) t (S) ; on notra magnétiqu créé par (C) t corrspondants. Nous avons alors : B clui créé par (C) ; nfin, A t A = B ds t: = B ds S S proprs à travrs (C) t (C) ; d mêm : = B ds t: = B ds / S / S (C) t par (C) à travrs (C). B l champ sront ls potntil-vcturs, qui sont rspctivmnt ls flux sont rspctivmnt ls flux nvoyés par (C) à travrs µ i dl = A dl avc: A = ( r = distanc mutull ntr points courants t d ( C ) t ( C )) " " / C 4π C r ar linéarité, on put posr : µ = M i avc: M = "" / / / (rlation d Numann) La formul d Numann étant symétriqu, on a aussi : / / / / dl dl 4π C C r = M i avc: M = M = M = «inductanc mutull d (C) t (C)» n Hnry (H) L flux magnétiqu total s écrit donc : = + = Li + Mi / = + = Li + Mi / Rq : M rprésnt donc ls phénomèns d induction d un circuit sur l autr, alors qu ls cofficints L rprésntnt ls phénomèns d auto-induction. Rq : l sign d M dépnd ds convntions d orintation ds circuits t n a pas d signification physiqu. Rq3 : on introduit parfois la grandur : k M =, applé «cofficint d couplag» ds circuits (C) t (C) (on parlra d «couplag srré» ou d «couplag lâch»). LL VII. ENERGIE MAGNETIQUE VII.. CAS DES CIRCUITS FILIFORMES circuit uniqu: on montr qu l énrgi magnétiqu mmagasiné par un circuit parcouru par un courant i t soumis à un flux magnétiqu s xprim par : = i t dans l cadr d l ARQ : = Li ag 5 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits d l autur ds œuvrs résrvés. Sauf autorisation, la rproduction ainsi qu tout utilisation ds œuvrs autr qu la consultation individull t privé sont intrdits. Fichir généré pour Visitur (), l //7

6 hysiqu = ( i + i ) cas d circuits: t dans l cadr d l ARQ : = Li + L i + Mii VII.. DENSITE VOLUMIQUE D ENERGIE MAGNETIQUE our un solénoïd illimité d longuur L t comportant N spirs, nous savons qu : Ni Bxt = t: Bint =µ L, c champ intériur étant uniform. L flux total à travrs ls N spirs s xprim donc simplmnt par : spir) NiS µ Ni SL B = i = µ = = V L L µ µ = NBS (S= sction d un où V = volum du solénoïd ; on a alors la «dnsité volumiqu d énrgi magnétiqu» : w M B µ = ( n 3 Jm. ) Rq : ctt formul, établi dans l cas très particulir du solénoïd infini, st n fait GENERALE t sra, n régim non prmannt, indissociabl d cll vu pour l champ élctriqu, soit : we = εe. *************** ag 6 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits d l autur ds œuvrs résrvés. Sauf autorisation, la rproduction ainsi qu tout utilisation ds œuvrs autr qu la consultation individull t privé sont intrdits. Fichir généré pour Visitur (), l //7