Oscillations mécaniques libres A- Oscillations lires non amorties

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Viviane Albert
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1 Pf : Seddk Abdeazek Nveaux èe M, Sc & ech Oscllatns écanques lbes A- Oscllatns les nn ates l I- Mse en évdence On cnsdèe le systèe fé pa le slde et le esst. Le slde glsse sans ftteent su le plan hzntal. Ce systèe cnsttue un pendule élastque. = k(l L). On écate le slde de sa pstn d équlbe pus n l abandnne sans vtesse ntale. Le slde sclle au tu de sa pstn d équlbe. Ces scllatns snt dtes lbes nn ates. II- Equatn dfféentelle 1/ Etude dynaque Systèe { S } Blan des fces P, R, : Fces extéeues On applque la R.F.D au systèe. F ext =.a P R =. a Apès pjectn su (O, ) dnne =.a. d. d k.x =.a = x x k.x u d x = ω.x = ; ω = Cette elatn epésente équatn dfféentelle du uveent de l scllateu. / Etude énegétque Systèe { S, Re sst} Enege cnétque du slde E C = 1.v Enege ptentelle élastque eagasnée dans le esst 1 E pe =.. x

2 Pf : Seddk Abdeazek Nveaux èe M, Sc & ech L énege écanque du systèe E = E c E pe = 1.v 1..x Cette énege est cnstante ca l scllateu est lbe nn ats. v dv kx dx ( d de = = u dx x kx) = x u d x x k à un ns tan t quelcnque dx d x = ω = III- L hae L équatn dfféentelle de secnd de d x ωx = adet ce slutn des fnctns snusïdales de la fe x = X sn( ω.t ϕ) Avec : ω = est appelée pulsatn ppe de l scllateu. = π est appelée péde ppe de l scllateu. N = 1 = 1 π est appelée féquence ppe de l scllateu. x est la gandeu scllante de l scllateu. Défntn Lsque la gandeu scllante d un scllateu est une fnctn snusïdale du teps, l scllateu est dt hanque. IV- Expessn de l énege 1 1 E E = E C E pe =.v..x 1 1.( dx 1 EC =.v = ) =. ωx cs ( ωt ϕ) X Ep e =.x = X sn ( ωt ϕ). E 1. X cs ( t ) 1 = ω ω ϕ X sn ( ωt ϕ). 1. cs ( t ) 1 X sn ( t ) =.X ω ϕ ω ϕ 1 X (cs ( t ) sn ( t )) ; d'ù E 1 = ω ϕ ω ϕ = X E pe. E C X

3 Pf : Seddk Abdeazek Nveaux èe M, Sc & ech Cnclusn L énege écanque d un scllateu lbe nn ats est cnstante. Un tel systèe est dt cnsevatf. 5/ Dagae des éneges On cnsdèe que l abscsse du ble est : x = X sn(ω.t) E pe = X sn (ω.t) X V E pe = (1 cs(ωt) ) et E c = (1 cs(ωt)) X E pe, E C = E E C E pe 3 t v l l l l =I = =-I = IV Analge écanque électque Oscllateu Mécanque Electque

4 Pf : Seddk Abdeazek Nveaux èe M, Sc & ech Schéa Gandeus caactéstques : adeu du esst M :asse du cps L : nductance C 1 :nvese de C Gandeu scllante x : élngatn q : chage Equatn d x dfféentelle x = d q q = LC L hae x = X sn(ω tϕ) q = Q sn(ω tϕ) Péde ppe = π = π LC E = 1 v 1 x q E = 1 L Enege ttale C 1 1 E = X = V E = 1 Q 1 = LI C B- Oscllatns lbes ates I- défntn On appelle scllateu lbe at, un scllateu dnt d apltude dnue au cus du teps. II- Oscllateu écanque at 1/ Etude expéentale a- Cas ù le ftteent est fable L enegsteent écanque des scllatns de ce pendule dnne. x I (c)

5 Pf : Seddk Abdeazek Nveaux èe M, Sc & ech L apltude dnue au cus du teps, le ége est dt pseudpédque. est appelée pseudpéde. = π. La pseudpéde est d autant plus gande que l atsseent est ptant S n ntdut le cps C dans l eau, l enegsteent dnne. x I (c) L apltude des scllatns dnue apdeent et la pseudpéde de vent légèeent plus gande. b- Cas ù le ftteent est ptant Pu une densn du dsque cnvenableent chse, le cps C event decteent pu la peèe fs à sa pstn d équlbe sans effectue d scllatns le plus apdeent pssble. x(c) Lege dsque t c Le ége est dt ctque. c- Cas ù le ftteent est tès ptant S n augente le daète du dsque, n augente les ftteents x(c) t c t a

6 Pf : Seddk Abdeazek Nveaux èe M, Sc & ech et l enegsteent écanque dnne le dagae c-cnte. Le ége est dt apédque. / Etude théque a. Equatn dfféentelle On applque la R.F.D au systèe{ C } dp Fext = = a v Blan des fces f, P, R et f : fces extéeues. f est la fce de ftteent f = hv f R P = a apès pjectn f = a x- hv = a d x h dx x = (1) équatn dfféentelle d un scllateu at. b- La nn cnsevatn de l énege Systèe{ R,C} E = E c E pe = v x de = v dv x dx = ( d dx x kx) d apès l équatn (1) ( d x h dx de h( dx kx) = = ) p Als l énege est une fnctn décssante. Le systèe ped de l énege à cause de la pésence de la fce de ftteent f dnt le taval est nn nul. de = dx hv = hvdx = f.dx = f.dx = w f. La dnutn de l énege du systèe est égale au taval de la fce de ftteent. f est une fce extéeue dans cette exeple. l

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