Développements limités. Généralités. Définitions usuelles

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Développements limités. Généralités. Définitions usuelles"

Transcription

1 Développements limités I Générlités I.A Définitions usuelles I.B Formules de Tylor I.C Développements limités usuels I.D Eemples de développements limités u voisinge d un point ou de l infini II Opértions lgébriques sur les développements limités 6 II.A Somme et produit II.B Composée II.C Quotient II.D Développement limité d une primitive ou d une dérivée III Applictions des développements limités 0 III.A Clcul de limites III.B Etude locle et brnches infinies de fonctions III.B. Étude u voisinge d un point III.B. Étude u voisinge de ± III.C Étude locle d un rc prmétré III.C. Tngente en un point d une courbe prmétrée III.C. Position pr rpport à l tngente I Générlités I est un intervlle de R. I.A Définitions usuelles Définition. Soit f : I R une fonction.. On dit que f dmet un développement limité à l ordre n u voisinge de 0 (noté DL n (0)) si f peut s écrire sous l forme : f() = n }{{ n + } o( n ) }{{} Prtie régulière du DL Reste du DL. On dit f dmet un développement limité à l ordre n u voisinge de 0 (noté DL n ( 0 )) si f peut s écrire sous l forme : f() = 0 + ( 0 ) + + n ( 0 ) n + o(( 0 ) n ) 3. On dit f dmet un développement limité à l ordre n u voisinge de l infini (noté DL n (+ ) ou DL n ( )) si f peut s écrire sous l forme : f() = n n + o( n )

2 Théorème. Si l fonction f dmet un développement limité d ordre n en 0 (resp. 0, resp. ± ), lors celui-ci est unique. Démonstrtion. Supposons f() = n n + o( n ) = b 0 + b + + b n n + o( n ) Alors ( 0 b 0 ) + ( b ) + + ( n b n) n = o( n ), donc pour tout i [[0, n]], on i = b i (c est évident si on considère l définition des o). Remrques.. f est dérivble en 0 si et seulement si f dmet un DL (0), et dns ce cs, on : f() = o() vec 0 = f(0) et = f (0).. Si f dmet un DL n (0) et si p n, lors f dmet un DL p (0). En effet : f() = p p + p+ p+ + + n n + o( n ) }{{} =o( p ) Eercice. Démontrer le ) de l remrque. Eemple. Recherchons le développement limité de. On sit, d près l formule donnnt l somme des termes d une suite géométrique, que : n = n+ = n+ Or, n+ = o(n ), cr n+ n ( ) = 0. D où le résultt (à retenir) : 0 = n + o( n ) De même, on obtient (en remplçnt pr ) : I.B + = ( ) n n + o( n ) Formules de Tylor On rppelle que si une fonction f est de clsse C sur un intervlle [, ], on : f() f() = f (t)dt et donc : f() = f() + f (t)dt Si f est de clsse C (i.e. f est de clsse C ), on peut fire une intégrtion pr prties, vec u(t) = f(t) et v (t) = : u (t) = f (t) v(t) = t f() = f() + [ (t )f (t) ] (t )f (t)dt = f() + ( )f () + ( t)f (t)dt ( )

3 En fisnt des intégrtions pr prties successives, on l formule suivnte : Théorème (Formule de Tylor vec reste intégrl). Si f est une fonction de clsse C n+ sur un intervlle I et si I, lors on I : f() = f() + ( )f ( ) () + f () +! ( )n + f (n) () + ( t) n f (n+) (t)dt Démonstrtion. Montrons le résultt pr récurrence pour n N : Pour n = 0, c est le résultt ( ) énoncé plus hut : f() = f() + f (t) dt Supposons l formule vrie u rng n. Soit f une fonction de clsse C n+ sur I, lors f est de clsse C n sur I et, d près l hypothèse de récurrence : f() = f()+( )f ( ) ()+ f ( )n ()+ + f (n ) ( t) n ()+ f (n) (t) dt! (n )! (n )! f étnt de clsse C n+ sur I, on peut lors effectuer une intégrtion pr prties sur le terme intégrl en posnt u(t) = f (n) (t) et v (t) = ( t)n (n )! u (t) = f (n+) (t) v(t) = ( t)n ( t) n ] f (n) ( t)n (t)dt = [ f (n) ( t) n (t) + f (n+) (t) dt (n )! ( )n = f (n) ( t) n () + f (n+) (t) dt Donc l formule est vrie u rng n. Pr récurrence, l formule est vrie pour tout n. : Corollire (Inéglité de Tylor-Lgrnge). Soit f une fonction de clsse C n+ sur l intervlle I, et I. On suppose qu il eiste M R tel que : t I, f (n+) (t) M Dns ce cs, on : n f() ( ) k f (k) () k! k=0 M n+ (n + )! Démonstrtion. D près le théorème, on : n f() ( ) k f (k) () = ( t) n k! f (n+) (t) dt k=0 t n f (n+) (t) dt }{{} M n f() ( ) k f (k) () M t n M dt = n+ k! k=0 (n + )! 3

4 En effet, pour >, on : [ ( t) t n dt = ( t) n n+ ] dt = n + et on le même résultt pour <. = ( )n+ n + = n+ n + Théorème 3 ((Formule de Tylor-Young)). Soit f une fonction de clsse C n sur l intervlle I et I. Alors I : f() = f() + ( )f () + ( ) f () +! ( )n f (n) () + o ( ( ) n) Démonstrtion. Afin de simplifier l démonstrtion, on v supposer f de clsse C n+ (l pluprt des fonctions uquelles nous ppliquerons ce résultt sont de clsse C ). Quitte à réduire l intervlle de déprt, on peut supposer que I est un segment. Ainsi f (n+) est une fonction continue sur un segment, donc mjorée en vleur bsolue pr un réel M > 0. On sit lors, d près le corollire, que : f() f() ( )f ( ) () f ( )n () f (n) ()! M n+ (n + )! Or n+ ( ) n = 0, donc : f() f() ( )f () ( )! f () ( )n ( ) n f (n) () 0 D où f() f() ( )f () ( ) f! () ( )n f (n) () = o ( ( ) n), ce qui prouve le résultt. I.C Développements limités usuels On v étblir les développements limités en 0 des fonctions usuelles. Pour cel, on utilise l formule de Tylor-Young vec = 0 (formule de Mc-Lurin), ce qui donne pour une fonction f de clsse C : f() = f(0) + f (0) + f (0) + + n f (n) (0) + o( n ) On v insi déterminer les développements limités suivnts (qui concernent des fonction de clsse C ) : DL(0) de e : On n 0, ep (n) (0) = ep(0) =, d où : DL(0) de sin : e = + +! + 3 3! + + n + o(n ) On sin = cos = sin ( + π ), et on étblit fcilement que : sin (n) = sin ( + nπ d où sin (n) (0) = 0 et sin (n+) (0) = ( ) n, ce qui donne : ) 4

5 DL(0) de cos : sin = 3 3! + 5 n+ + + ( )n 5! (n + )! + o(n+ ) De l même fçon, on étblit que : cos =! + 4 n + + ( )n 4! (n)! + o(n+ ) DL(0) de f : ln( + ) : On f () = +,, f () = (+),, f () = récurrence que : f (n) () = ( )n (n )! ( + ) n d où f (n) (0) = ( ) n (n )!, ce qui donne : (+) 3 et on montre pr ln( + ) = + 3 n + + ( )n 3 n + o(n ) DL(0) de f : ( + ) α (α R) : On f () = α( + ) α et on montre pr récurrence que : f (n) () = α(α )... (α n + )( + ) α n d où f (n) (0) = α(α )... (α n + ), ce qui donne : ( + ) α = + α + α(α ) + +! α(α )... (α n + ) n + o( n ) Pr eemple pour α =, on peut obtenir le DL (0) de + : + = ( + ) = o( ) De même, pour α =, on peut obtenir le DL (0) de + : DL(0) de sh : DL(0) de ch : = ( + ) = o( ) sh = + 3 3! + 5 5! + + n+ (n + )! + o(n+ ) ch = +! + 4 4! + + n (n)! + o(n+ ) Remrque. Le premier terme du développement limité est un équivlent de l fonction. On reconnît insi sns difficulté les équivlents usuels en 0 de sin, ln( + ), e,.... 5

6 I.D Eemples de développements limités u voisinge d un point ou de l infini L méthode consiste à utiliser les développements limités usuels en 0 en posnt :. X = 0 pour un DL n ( 0 ).. X = pour un DL n(+ ). Eemple.. Cherchons le DL n () de ln. On pose X = ( = + X), on insi : ln = ln( + X) = X X + X3 3 = ( ) ( ) + ( )3 3 Attention à ne ps développer ce résultt! + + ( )n+ Xn n + o(n ) n+ ( )n + + ( ) + o( n ) n. Cherchons le DL n (+ ) de cos. On pose X = ( = + X), on insi : cos = cos X = X! + X4 4! + + ( ) n Xn (n)! + o(xn+ ) =! + 4! ( )n (n)! n + o( n+ ) II II.A Opértions lgébriques sur les développements limités Somme et produit Proposition. Soient f et g deu fonctions définies sur un intervlle I de R. Si f et g dmettent chcune un DL n (0), lors :. f + g dmet un DL n (0), et l prtie régulière de celui-ci est l somme des prties régulières des DL n (0) de f et g.. fg dmet un DL n (0), et l prtie régulière de celui-ci est le produit des prties régulières des DL n (0) de f et g, en supprimnt les termes de degré > n. Démonstrtion. On écrit : f() = n n + o( n ) et g() = b 0 + b + + b n n + o( n ). (f + g)() = ( 0 + b 0 ) + ( + b ) + + ( n + b n) n + o( n ). ( n ). (fg)() = 0 b 0 + ( 0 b + b 0 ) + + k b n k n + + nb n n + o( n ) }{{} k=0 o( n ) Eemples 3. 6

7 . Clculons le DL 4 (0) de e + cos(). On : e + cos = ) ) ( o(4 ) + ( o(4 ) = o(4 ). Clculons le DL 4 (0) de ln( + ) sin. ln( + ) sin = ) ) ( o(4 ) ( o(4 ) = o(4 ) = o(4 ) On peut remrquer que ce dernier clcul peut donner un DL 5 (0) cr o( 4 ) = o( 5 )). II.B Composée Proposition. Soient f et g deu fonctions définies sur un intervlle I de R. Si f et g dmettent chcune un DL n (0) et si lim f() = 0 lors g f dmet un 0 DL n (0), obtenu en composnt les prties régulières des DL n (0) de g et f. Eemple 4. Recherchons le DL 4 (0) de ln(cos ). On commence pr déterminer un DL 4 (0) de cos. On : D où : ln(cos ) = ln cos = o(4 ) ) ( o(4 ) = ln( + u) vec u = o(4 ) 0 0 = u u + u3 3 u4 4 + o(u4 ) ) = ( ( ln(cos ) = o(4 ) = 4 + o(4 ) ) + ) 3 ( ) 4 ( o( 4 ) 4 N.B. : Le clcul est simplifié pr le fit qu on élimine systémtiquement les termes de degré >4. 7

8 II.C Quotient Méthode : Si g() = n n + o( n ), lors : g() = u vec u = ( + + n n + o( n )) 0 0 = + u + u + + u n + o(u n ) = ( + + n n ) + ( + + n n ) + + ( + + n n ) n + o( n ) Il reste à développer et à conserver les termes de dégré n. Remrques 3.. Cette méthode fonctionne pour g() = n n + o( n ) vec 0 0 : Il suffit de mettre 0 en fcteur pour se rmener u cs précédent.. Pour clculer un DL n (0) de f g, on écrit f g = f g et on utilise l méthode précédente, puis le produit. Il suffit que le terme constnt du DL n (0) de g soit non nul. Eemple 5. Cherchons le DL 4 (0) de tn. On : tn = sin cos = = = = o(4 ) o(4 ) ) ( ( ( ) ( ) o(4 ) o( )) 4 4 ) ) ( o(4 ) ( o(4 ) ) ) ( o(4 ) ( o(4 ) tn = o(4 ) = o(4 ) Remrque 4. Dns l eemple précédent, on urit pu se contenter d écrire cos = + o(3 ) (c est à dire un DL 3 (0)), cr on obtient un o( 4 ) en multiplint pr. Eercice. Clculer le développement limité à l ordre en 0 de sin. II.D Développement limité d une primitive ou d une dérivée Théorème 4. Soit I un intervlle de R, et f : I R une fonction dérivble sur I. Si f dmet un DL n (0) (f () = n n + o( n )), lors f dmet un DL n+ (0) et : f() = f(0) n+ + + n n + + o(n+ ) 8

9 ) Démonstrtion. Posons F () = f() f(0) ( 0 + n+ + + n. On insi, n+ d près l hypothèse : F () = f () ( n n ) = o( n ) D près le théorème des ccroissements finis, il eiste θ ]0, [ tel que F () F (0) = F (θ), d où : f() f(0) ( n+ ) n = o(θ n n ) = o( n+ ) n + On retrouve insi le résultt nnoncé. Appliction : Clculons le DL(0) de rctn : rctn = + = + ( ) + + ( ) n ( ) n + o( n+ ) = ( ) n n + o( n+ ) Donc : rctn = } rctn {{ 0 } n+ + + ( )n 7 n + + o(n+ ) =0 rctn = n+ + + ( )n 7 n + + o(n+ ) Remrque 5. On peut retrouver pr ce moyen le développement limité en 0 de ln( + ) à prtir de celui de +, ou celui de cos à prtir de celui de sin. Théorème 5. Si f : I R est dérivble et dmet un DL n (0), et si f dmet un DL n (0) (pr eemple si f est de clsse C n ), lors le DL n (0) de f s obtient en dérivnt celui de f. Eemple 6. On peut obtenir le DL n (0) de ( ) s git de l dérivée de : = n + o( n ) en remrqunt qu il Donc : ( ) = n n + o( n ) On peut évidemment obtenir ce développement limité pr d utres moyens, toutefois moins rpides. Remrque 6. Le fit que f dmette un DL n (0) n implique ps nécessirement que f dmette un DL n (0). Pr eemple, si : f() = cos = o( 3 ) On : f () = cos + sin }{{ } + + o( ) =o( ) cr sin = sin n ps de limite lorsque tend vers 0. 9

10 III Applictions des développements limités III.A Clcul de limites On vu précédemment que les équivlents permettient de clculer certines limites. L inconvénient de ceu-ci est qu on ne peut ps les dditionner, ce qui n est ps le cs des développements limités. On utilise donc ces derniers lorsque les équivlents ne suffisent ps. Eemple 7.. Cherchons lim 0 sin cos : Donc : sin = o(4 ) sin = o( 5 ) cos = o(5 ) sin = 3 + o( 3 ) = cos = + o( 3 ) = Donc on : ( + ) 3 + o( 3 ) ( + ) + o( 3 ) sin cos = o() 6 + o() = + o() On en déduit : lim 0. Cherchons lim 0 ( + sin ) : sin cos = ( + sin ) = e ln(+sin ) = e ln(++o()) Donc lim 0 ( + sin ) = e. 3. Cherchons lim 0 e cos sin. = e (+o()) = e +o() On : e = o( ), cos = + o( ) et sin = + o( ), donc : e cos sin = + o( ) = + o() Finlement, lim 0 e cos sin = 0

11 III.B Etude locle et brnches infinies de fonctions III.B. Étude u voisinge d un point 0 Soit f : I R et 0 un point de I. Si u voisinge de 0, on : f() = 0 + ( 0 ) + o(( 0 )) lors y = 0 + ( 0 ) est l éqution de l tngente à l courbe en 0 (rppel : = f ( 0 )). Si de plus u voisinge de 0, on : f() = 0 + ( 0 ) + ( 0 ) + o(( 0 ) ) lors l position de l courbe pr rpport à cette tngente u voisinge de 0 est donnée pr le signe de (si 0) : Si > 0, l courbe est u dessus de l tngente u voisinge de 0 (f() ( 0 + ( 0 )) = ( 0 ) + o(( 0 ) ) > 0). Si < 0, l courbe est en dessous de l tngente u voisinge de 0 (f() ( 0 + ( 0 )) < 0). Dns le cs où = 0, et si : f() = 0 + ( 0 ) + 3 ( 0 ) 3 + o(( 0 ) 3 ) vec 3 0, lors 0 est un point d infleion (l courbe trverse s tngente). Remrque 7. On peut générliser ce résultt : si n (n ) est le premier terme non nul du développement limité de f en 0 lors, si n est impir on un point d infleion, et si n est pir l courbe se situe u dessus ou u dessous de l tngente, suivnt le signe de n. Eercice 3. Utiliser cette méthode pour préciser l éqution de l tngente à l courbe de l fonction cosinus en 0, insi que l position de l courbe pr rpport à cette tngente u voisinge de 0 (fire un dessin). Même trvil pour l fonction sinus. III.B. Étude u voisinge de ± Soit f : R R. Si u voisinge de + (resp. ), on : f() = o() lors y = 0 + est l éqution de l symptote à l courbe en + (resp. ). Si de plus u voisinge de +, on : f() = ( ) + o vec 0, lors l position de l courbe pr rpport à cette symptote u voisinge de ± est donnée pr le signe de (si 0). Si = 0, un développement plus poussé peut nous permettre de déterminer cette position.

12 Rppel : L limite du rpport f() lorsque tend vers + nous permet de déterminer l nture d une brnche infinie : Si f() 0 (resp. + ), on une brnche prbolique de direction + (O) (resp. (Oy)). 0, on une direction symptotique suivnt l droite + b R, on une Si f() d éqution y =. Dns ce cs, si f() symptote d éqution y = + b. + Eemples 8.. Étudions l brnche en + de l fonction f : ln ( + ) : ( f() = + ( )) o 3 = + ( ) 3 + o Donc f dmet une symptote d éqution y = u voisinges de +. Au voisinge de +, l courbe est u dessus de l symptote cr 3 > 0. Le clcul (et le résultt) est le même si on étudie l brnche en. L courbe se situe cette fois-ci en dessous de l symptote cr 3 < 0 u voisinge de.. Étudions l brnche en + de l fonction f : On pose X = : f() = = ( + X ) 4 + ( + X) 3 = + 4 X + o(x ) X 9 X + o(x ) = + 3 X X + o(x ) = o( ) On en déduit : f() = o( ) Donc f dmet une symptote d éqution y = + 3 u voisinge de +, et l courbe est u dessus de l symptote. À titre d eercice, on peut étudier l brnche en (ttention u subtilités du clcul). III.C Étude locle d un rc prmétré { Rppel : Soit f I R : t un rc prmétré de clsse OM(t) = ((t), y(t)) C. Le vecteur : M(t 0 )M(t) lim = f (t 0 ) = ( (t 0 ), y (t 0 )) t t 0 t t 0

13 est un vecteur tngent à l courbe de f en M(t 0 ) s il est non nul. Le point est lors dit régulier, sttionnire dns le cs contrire. L objectif de cette prtie est d utiliser les développements limités pour étudier le comportement de l courbe u voisinge d un point, en prticulier lorsqu il est sttionnire. Nous llons eposer l démrche à suivre sur des eemples. On supposer toujours f de clsse C k, vec k suffismment grnd. III.C. Tngente en un point d une courbe prmétrée t (t) = Eemple 9. Soit Γ : t y(t) = t3 + 4 t Cherchons un point sttionnire de f et étudions l tngente en ce point : (t) = t(t ) t t(t ) (t ) = (t ) y (t) = 3t (t ) (t 3 + 4) (t ) = t3 3t 4 (t ) = (t )(t + t + (t ) Il eiste donc un unique point sttionnire en t 0 =. Effectuons mintennt un développement limité à l ordre u voisinge de t 0. On pose h = t : (t) = ( + h) = ( + h) + h = (4 + 4h + h )( h + h + o(h)) = 4 + h + o(h ) y(t) = ( + h) = ( + h)3 + 4 = ( + h + 6h + o(h ))( h + h + o(h)) + h = + 6h + o(h ) On peut insi écrire : f( + h) = (4, ) +h (, 6) + (o(h ), o(h )) }{{}}{{} = f() = o(h ) Ce qu on peut réécrire de l mnière suivnte : f( + h) f() h 0 h (, 6) Il eiste donc une tngente en t 0 =, dirigée pr le vecteur (, 6). Générlistion : On rppelle qu u voisinge du point t 0, l formule de Mc- Lurin nous donne : (t 0 + h) = (t 0 ) + h (t 0 ) + + hn (n) (t 0 ) + o(h n ) y(t 0 + h) = y(t 0 ) + hy (t 0 ) + + hn y(n) (t 0 ) + o(h n ) 3

14 On peut écrire ces reltions sous l forme : f (t0 + h) = f (t 0 ) + h f (t 0 ) + + hn f (n) (t 0 ) + o(h n ) vec f (k) (t 0 ) = ( (k) (t 0 ), y (k) (t 0 )) et o(h n ) = (o(h n ), o(h n )). Si u voisinge du point t 0, on peut écrire le DL p (0) de f : f (t0 + h) = f (p) (t 0 ) f (t 0 ) + h p + o(h p ) p! où p est le premier entier tel que f (p) (t 0 ) = ( (p) (t 0 ), y (p) (t 0 )) 0, lors l courbe dmet u point M(t 0 ) une tngente dirigée pr le vecteur f (p) (t 0 ). En effet : f (t0 + h) f (t 0 ) t t0 f (p) (t 0 ) h p p! III.C. Position pr rpport à l tngente Nous consttons que le développement limité qui précède nous donne le vecteur tngent à l courbe en un point mis ps l position de l courbe pr rpport à ce vecteur tngent. Comme u prgrphe III.B., un développement limité plus poussé peut nous permettre de préciser cette position. Avec les nottions précédentes, on suppose que q est le plus petit entier tel que ( f (p) (t 0 ), f (q) (t 0 )) est libre. On écrit : f (t0 + h) = f (p) (t 0 ) f (t 0 ) + h p f (q) (t 0 ) + + p! q! = f (p) (t 0 ) f (t 0 ) + (h p + o(h p )) + p! On lors f (t 0 + h) f (t 0 ) = M(t 0 )M(t) h 0 h q + o(h q ) f (q) (t 0 ) h q + o(h q ) q! ( ) h p p!, hq q! dns le repère ( f (p) (t 0 ), f (q) (t 0 )). Dns ce cs, si pr eemple p et q sont impirs, le signe de hp p! et hq q! étnt celui de h, l courbe se situe dns le qurt de pln (M(t 0), f (p) (t 0 ), f (q) (t 0 )) lorsque h < 0 et dns le qurt de pln (M(t 0 ), f (p) (t 0 ), f (q) (t 0 )) lorsque h > 0 : l coube trverse l tngente en M(t 0 ) et il s git d un point d infleion. On peut résumer les différents cs possibles dns l proposition suivnte : 4

15 Proposition 3. Soit I un intervlle de R, f : I R un rc prmétré de clsse C k (k suffismment grnd) de trjectoire Γ, et t 0 I. Si on note p le plus petit entier tel que f (p) (t 0 ) 0 et q > p le plus petit entier tel que ( f (p) (t 0 ), f (q) (t 0 )) est libre, Γ lors l llure suivnte u voisinge de M(t 0 ) : : er cs : p pir et q pir. nd cs : p impir et q pir. h > 0 Γ Γ f (q) (t 0) M(t 0) f (p) (t 0) h < 0 f (q) (t 0) h < 0 h > 0 M(t 0) f (p) (t 0) Point de rebroussement de seconde espèce 3 ème cs : p impir et q impir. Γ Point à llure normle 4 ème cs : p pir et q impir. Γ h < 0 f (q) (t 0) M(t 0) f (p) (t 0) h > 0 f (q) (t 0) h > 0 M(t 0) f (p) (t h < 0 0) Point d infleion Point de rebroussement de première espèce Eercice 4. Montrer que l courbe prmétrée : { (t) = sin t( sin t) Γ : y(t) = (cos t + )( cos t + sin t 3 ) dmet un point de rebroussement de seconde espèce u voisinge de t 0 = π 4. Eercice 5. Fire l étude complète (éventuellement à l ide de Mple) de l courbe : (t) = sin t Γ : cos t y(t) = cos t Dessiner l courbe vec précision (en prticulier u voisinge du point de rebroussement). Remrque 8. On constte que les points de rebroussement (première et seconde espèce) sont des points sttionnires. En revnche, les points d infleion ne le sont ps nécessirement. Si f (t) 0 et si M(t) est un point d infleion, 5

16 lors ( f (t), f (t)) est liée. On peut donc dns ce cs chercher les points d infleion en résolvnt l éqution : (t) y (t) (t) y (t) = 0 6

LEÇON N 67 : Formules de Taylor. Applications.

LEÇON N 67 : Formules de Taylor. Applications. LEÇON N 67 : Formules de Tylor. Applictions. Pré-requis : Théorème de Rolle, théorème des Accroissements Finis ; Intégrtion pr prties ; Nottions de Lndu. 67. Résultts globux 67.. Formule de Tylor-Lgrnge

Plus en détail

Comparaison de fonctions, développements limités

Comparaison de fonctions, développements limités I Comprison de fonctions Définitions Comprison de fonctions, développements limités Négligeble Définition Soient f et g deu fonctions définies sur un même ensemble D et à vleurs dns R. Soit R tel que f

Plus en détail

MT91 P2010 Médian - f(x) = α + x + βx 2.

MT91 P2010 Médian - f(x) = α + x + βx 2. MT9 P Médin - Corrigé Eercice. α et β sont deu prmètres réels tels que α >. On définit f) = α + + β. Ecrire le développement limité de f, à l ordre, en.. Utiliser l question précédente pour étudier l brnche

Plus en détail

APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE

APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE Définition. Soit I R un intervlle ouvert et soit f : I R une fonction. () Si f est continue, on dit que f est de clsse C 0. (2) Si f est

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable e x 2 x dx 6) (**) +

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable e x 2 x dx 6) (**) + Eo7 Intégrtion Eercices de Jen-Louis Rouget. Retrouver ussi cette fiche sur www.mths-frnce.fr * très fcile ** fcile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournble Eercice

Plus en détail

Etude de suites récurrentes

Etude de suites récurrentes [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mi 06 Enoncés Etude de suites récurrentes Exercice [ 0304 ] [Correction] u 0 = R et n N, + = u n ) Justifier que l suite ( ) est bien définie et n N, [ ; ] b)

Plus en détail

Limite d une fonction à l infini

Limite d une fonction à l infini CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES Limite d une fonction à l infini et s courbe repré-. Limite finie d une fonction à l infini Soit f une fonction définie sur un intervlle [ ; + [ senttive. L

Plus en détail

Calcul intégral. Mathématique. Sylvie Jancart. Octobre 2015

Calcul intégral. Mathématique. Sylvie Jancart. Octobre 2015 Mthémtique Sylvie Jncrt sylvie.jncrt@ulg.c.be Octobre 2015 Introduction L notion d intégrle répond à deux problèmes de nture différente: l une lgébrique, l utre géométrique. Une fonction étnt donnée, existe-t-il

Plus en détail

Comparaison des fonctions au voisinage d un point

Comparaison des fonctions au voisinage d un point DOCUMENT 29 Comprison des fonctions u voisinge d un point Pour tout 0 R on pose : V 0 = {] 0 η, 0 + η[ η > 0} si 0 R; V 0 = {], + [ R} si 0 = + et V 0 = {], [ R} si 0 =. Un élément de V 0 est ppelé un

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I..

LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I.. TS-cours-chp2-1 - LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I.. Limite d une suite 1 / tend vers l infini Définition ( rppel ) Dire que l suite tend vers + signifie que, pour tout nombre A, l intervlle [A ; +

Plus en détail

Chapitre 6. Calcul intégral. OJ = j. Aire(rectangle OIKJ)= 1 u.a. 1 u.a. D = {M(x ; y) P tels que a x b et 0 y f(x)}

Chapitre 6. Calcul intégral. OJ = j. Aire(rectangle OIKJ)= 1 u.a. 1 u.a. D = {M(x ; y) P tels que a x b et 0 y f(x)} Chpitre 6 Clcul intégrl Intégrle et ire. Intégrle d une fonction continue positive sur un intervlle [ ; ] Définition : L unité d ire Soit P un pln muni d un repère orthogonl (O ; ı, j ). Soient I, J, et

Plus en détail

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

PRIMITIVES ET INTÉGRALES Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot PRIMITIVES ET INTÉGRALES Les fonctions de ce chpitre sont des fonctions d une vrible réelle à vleurs réelles ou complexes. Primitives. Définition Définition. Primitive

Plus en détail

Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Intégrales simples

Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Intégrales simples Cours de remise à niveu Mths 2ème nnée Intégrles simples C. Mugis-Rbusseu GMM Bureu 116 cthy.mugis@ins-toulouse.fr C. Mugis-Rbusseu (INSA) 1 / 47 Pln 1 Définitions 2 Propriétés des fonctions intégrbles

Plus en détail

I. Fonctions

I. Fonctions FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE 205 - PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE Tble des mtières I. Fonctions - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4. Générlités sur les fonctions...................

Plus en détail

Primitives et Calcul d une intégrale

Primitives et Calcul d une intégrale Primitives et Clcul d une intégrle I) Primitive ) Définition : Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On ppelle primitive de f sur I, toute fonction F dérivle sur I dont l dérivée F est égle à

Plus en détail

EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE

EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE Définition 1 Soit (f x ) x A une fmille de fonctions continues à vleurs dns C, définies sur un intervlle [, b[ de R. On considère l intégrle impropre g(x) = que

Plus en détail

Théorème de la bijection : exemples de rédaction

Théorème de la bijection : exemples de rédaction ECE-B 5-6 Théorème de l bijection : eemples de rédction Le but de cette fiche est de fire un point sur le théorème de l bijection. Après un retour sur l énoncé et s démonstrtion, on illustrer l utilistion

Plus en détail

Intégration des fonctions continues par morceaux

Intégration des fonctions continues par morceaux Chpitre 4 Intégrtion des fonctions continues pr morceu 4.1 Introduction Dns cette section, on fie < deu réels, on note I = [, ] et on considère f : I R une ppliction continue. On suppose en outre que f

Plus en détail

7. Applications du théorème des

7. Applications du théorème des 67 7. Applictions du théorème des résidus. Évlution d intégrles réelles impropres Une ppliction importnte de l théorie des résidus est l évlution de certins types d intégrles définies et d intégrles impropres

Plus en détail

Rappels et compléments sur l intégrale de Riemann

Rappels et compléments sur l intégrale de Riemann Chpitre Rppels et compléments sur l intégrle de Riemnn Commençons pr un rppel. Théorème.. (Théorème fondmentl du clcul intégrl) Soit f :[, b]! R une fonction continue. Pour tout x 2 [, b], posons F (x)

Plus en détail

Ch.4èFONCTIONS DE RÉFÉRENCE

Ch.4èFONCTIONS DE RÉFÉRENCE LFA / première S COURS - mthémtiques Mme MAINGUY Ch.4èFONCTIONS DE RÉFÉRENCE ere S Dns tout le chpitre, le pln est muni d'un repère orthonorml ( O ; i! ;! j ) I. Rppels de Seconde Soit f une fonction définie

Plus en détail

Définition Propriétés de d intégrale Intégrale fonction de sa borne supérieure Méthodes d intégration. Calcul Intégral

Définition Propriétés de d intégrale Intégrale fonction de sa borne supérieure Méthodes d intégration. Calcul Intégral Clcul Intégrl christophe.profet@univ-evry.fr http://www.mths.univ-evry.fr/pges_perso/cprofet/ Amphi n 1 Jnvier 214 Objectifs du cours 1 donner une définition de l intégrle f (x)dx qui permet de comprendre

Plus en détail

Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S

Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S Clmths.fr - Les Roc en Terminle S CONTENTS ROC - exigibles... 2 Roc 1 Théorème de comprison pour les suites... 2 Roc 2 Limite de qn lorsque q > 1... 2 Roc 3 Unicité de l fonction exponentielle... 3 Roc

Plus en détail

Limites de Fonction. 1 Limites d une fonction et asymptotes 1.1 Limite en l infini. 1.2 Limite en un réel a Asymptotes...

Limites de Fonction. 1 Limites d une fonction et asymptotes 1.1 Limite en l infini. 1.2 Limite en un réel a Asymptotes... Lycée Pul Doumer 203-204 TS Cours Limites de Fonction Contents Limites d une fonction et symptotes. Limite en l infini....................................2 Limite en un réel..................................

Plus en détail

Cours de Mathématiques 2

Cours de Mathématiques 2 Cours de Mthémtiques 2 première prtie : Anlyse 2 DEUG MIAS 1 e nnée, 2 e semestre. Mximilin F. Hsler Déprtement Scientifique Interfcultire B.P. 7209 F 97275 SCHOELCHER CEDEX Fx : 0596 72 73 62 e-mil :

Plus en détail

Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers

Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers Chpitre 5 Intégrtion Nous llons construire l intégrle pr un procédé de pssge à l limite. D bord on définit l intégrle des fonctions en escliers, ensuite on psse à l limite pour intégrer des fonctions plus

Plus en détail

Rappels. CH 2 Analyse : Continuité et limites. 4 ème Maths. Continuité et limite en réel. Activités pages 6 et 7. Opérations sur les limites :

Rappels. CH 2 Analyse : Continuité et limites. 4 ème Maths. Continuité et limite en réel. Activités pages 6 et 7. Opérations sur les limites : 4 ème Mths CH Anlyse : Continuité et ites Octobre 9 A. LAATAOUI Rppels Continuité et ite en réel Activités pges 6 et 7 Opértions sur les ites : Limite d une somme Si pour ite l l l + + Si g pour ite l

Plus en détail

CALCUL INTEGRAL. Ph DEPRESLE. 29 juin Intégrale d une fonction continue et positive sur un segment 2

CALCUL INTEGRAL. Ph DEPRESLE. 29 juin Intégrale d une fonction continue et positive sur un segment 2 CALCUL INTEGRAL Ph DEPRESLE 9 juin 5 Tble des mtières Intégrle d une fonction continue et positive sur un segment Primitives d une fonction sur un intervlle. Primitives, définition...................................

Plus en détail

Intégration Primitives

Intégration Primitives Intégrtion Primitives Christophe ROSSIGNOL Année scolire 2015/2016 Tble des mtières 1 Rppels et compléments 3 1.1 Rppels de dérivtion.......................................... 3 1.1.1 Dérivtion en un point......................................

Plus en détail

Intégration I Licence de mathématiques, 4 e semestre Université Aix-Marseille 1

Intégration I Licence de mathématiques, 4 e semestre Université Aix-Marseille 1 ntégrtion Licence de mthémtiques, 4 e semestre Université Ai-Mrseille J-Y. Briend Fscicule de résultts ntégrbilité, intégrle Définition.. Soit = [,b] un intervlle compct. Une subdivision pointée P de est

Plus en détail

Corrigé du TD 3 : Limites

Corrigé du TD 3 : Limites Corrigé du TD 3 : Limites Eercice : Fonction réciproque. Cs f() = + L fonction f est définie sur R et à vleurs dns I = [,+ [. Elle est pire donc en prticulier pour tout réel, on f( ) = f() et en prticulier

Plus en détail

Mathématiques Différentielle - Intégrale

Mathématiques Différentielle - Intégrale Mthémtiques Différentielle - Intégrle F. Richrd 1 1 Institut PPRIME - UPR 3346 CNRS Déprtement Fluides, Thermique, Combustion Frnce Institut des Risques Industriels Assurntiels et Finnciers IRIAF F. Richrd

Plus en détail

CHAPITRE 10 : LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

CHAPITRE 10 : LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN L fonction logrithme népérien Cours CHAPITRE : LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN. Définition de l fonction logrithme népérien L fonction logrithme népérien, notée ln, est définie sur ],+ [, prend l vleur

Plus en détail

CH 1 Analyse : Continuité et limites

CH 1 Analyse : Continuité et limites CH Anlyse : Continuité et ites 4 ème Sciences Septembre 9 A. LAATAOUI I. Rppels Notion de continuité : Grphiquement, on peut reconnître une onction continue sur un intervlle I pr le it que le trcé de l

Plus en détail

PARTIE II : Un exemple pour se familiariser avec la conjecture et cette drôle de fonction. . (On ne cherchera pas à exprimer F plus simplement.

PARTIE II : Un exemple pour se familiariser avec la conjecture et cette drôle de fonction. . (On ne cherchera pas à exprimer F plus simplement. Eercice. Découverte des fonctions définies pr une intégrle et premiers ps vers le téorème fondmentl du clcul intégrl. PARTE : Découverte de l fonction «ire sous l courbe» et conjecture sur s dérivée et

Plus en détail

Chapitre 6. Primitive et Intégrale. 6.1 Primitive Rappels

Chapitre 6. Primitive et Intégrale. 6.1 Primitive Rappels Chpitre 6 Primitive et Intégrle 6. Primitive 6.. Rppels Définition 6... Si f est une fonction définie sur un intervlle I, une primitive de f sur I est une fonction F telle que pour tout x dns I, F (x)

Plus en détail

Feuille d exercices 2 : Analyse Intégrale

Feuille d exercices 2 : Analyse Intégrale Université Denis Diderot Pris 7 (3-4) TD Mths, Agro www.mth.jussieu.fr/ merle Mthieu Merle : merle@mth.univ-pris-diderot.fr Feuille d eercices : Anlyse Intégrle Eercice Trouver une primitive de f : rccos()

Plus en détail

Analyse numérique : Intégration numérique

Analyse numérique : Intégration numérique Anlyse numérique : Intégrtion numérique Pgor 1A Chpitre 4 8 février 11 mrs 2013 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/2013 1 / 67 Pln 1 Introduction 2 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo

Plus en détail

Le Calcul de Primitives

Le Calcul de Primitives Le Clcul de Primitives MPSI Prytnée Ntionl Militire Pscl Delhye 25 octobre 27 ϕ(x) f(u) du = f(ϕ(t) )ϕ (t) }{{}}{{} u du Résultts préliminires Définition : Primitives Soit deux fonctions f et F définies

Plus en détail

, f(x) est l image de l élément x de E par f.

, f(x) est l image de l élément x de E par f. I- Rppels : I- 1 Déinition d une onction : Soient E et F deu intervlles de R ou une réunion d intervlles de R Déinition 1: Une onction ssocint un élément de l ensemble E (ensemble de déprt dns l ensemble

Plus en détail

Calculs de base (Rappels)

Calculs de base (Rappels) Chpitre I Clculs de bse (Rppels) I.1 Diviseurs et multiples I.1.1 Définitions On : 12=3 4. On dit que 3 et 4 sont des diviseurs de 12, ou que 12 est un multiple de 3 et de 4. DÉFINITION I.1.1 Soit et b

Plus en détail

L1MI - Mathématiques: Analyse

L1MI - Mathématiques: Analyse Université de Metz (UFR MIM) Année universitire - Déprtement de Mthémtiques Dérivtion et Dérivée Exercice Clculer l dérivée des fonctions suivntes (x) = x + ln(x + x + ), LMI - Mthémtiques: Anlyse b(x)

Plus en détail

Fiches de cours analyse 4 ème Sciences expérimentales. Limites et continuité. Limites et comparaison de fonctions.

Fiches de cours analyse 4 ème Sciences expérimentales. Limites et continuité. Limites et comparaison de fonctions. Fiches de cours nlyse 4 ème Sciences epérimentles Limites et continuité Limites et comprison de fonctions. L et L ' sont des réels. désigne soit un réel, soit +, soit Premier théorème de comprison Soit

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. Session Pondichéry (avril 2010) MATHÉMATIQUES (obligatoire) Correction. Série : S

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. Session Pondichéry (avril 2010) MATHÉMATIQUES (obligatoire) Correction. Série : S BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session Pondichéry vril ) MATHÉMATIQUES obligtoire) Correction Série : S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 EXERCICE PARTIE A Soient et b deux réels tels que < b. Soient

Plus en détail

Chapitre 6 - Fonctions numériques - Généralités

Chapitre 6 - Fonctions numériques - Généralités PS hpitre 6 - Fonctions numériques - Générlités Fonctions d une vrile réelle à vleurs réelles. Définitions Une fonction à vleurs réelles est une ppliction de ou une prtie A de dns. On note f : A ; f ().

Plus en détail

( ). Dans tout ce paragraphe, f et g sont des fonctions continues et positives sur un intervalle a;b. C f

( ). Dans tout ce paragraphe, f et g sont des fonctions continues et positives sur un intervalle a;b. C f Chpitre 6 : Clcul intégrl I Intégrle d une fonction continue positive 1 Unité d'ire Le pln est muni d un repère orthogonl O;i!,! j!!" "!!! " " En posnt OI = i et OJ = j, l ire du rectngle OIKJ définit

Plus en détail

Chapitre 1 Suites de fonctions

Chapitre 1 Suites de fonctions Université de Bourgogne Déprtement de Mthémtiques Licence de Mthémtiques Résumé du cours Compléments d Anlyse Chpitre Suites de fonctions. Suites de nombres, suites de fonctions Dns tout ce chpitre, l

Plus en détail

La formule de Simpson avec reste intégral Jean-François Burnol, septembre 2016

La formule de Simpson avec reste intégral Jean-François Burnol, septembre 2016 L formule de Simpson vec reste intégrl Jen-Frnçois Burnol, septembre 1 On cherche à pprocher l intégrle b f (t)dt pr une combinison linéire λf () + µf ( + b ) + νf (b) On v tout d bord prendre = et b =

Plus en détail

LIMITES ET CONTINUITÉ

LIMITES ET CONTINUITÉ LIMITES ET CONTINUITÉ Cours Terminle S Limite d une onction à l inini ) Limite inie en l inini Déinition : Soit une onction déinie sur un intervlle de l orme ] A ; + [ On dit que l onction dmet pour limite

Plus en détail

dans un EVMPS Moindres carrés

dans un EVMPS Moindres carrés Meilleure pproximtion dns un EVMPS Moindres crrés Meilleure pproximtion Définition. Soit V un EVMPS, W un sous-espce quelconque de V, et u un vecteur quelconque de V. On ppelle meilleure pproximtion de

Plus en détail

Définition d'une intégrale. Calcul intégral

Définition d'une intégrale. Calcul intégral Définition d'une intégrle Clcul intégrl. Introduction... p2 4. Primitives d'une fonction continue sur un intervlle... 2. Intégrle d'une fonction continue positive sur [;]... p5 p 5. Recherche de primitives...

Plus en détail

Résumés de cours : Terminale S.

Résumés de cours : Terminale S. Résumés de cours : Terminle S. Mths-Terminle S. Mr Mmouni : myismil@ltern.org source disponible sur: c http://www.chez.com/myismil Smedi 08 Avril 2006. Tble des mtières Nombres complexes. 3. Prtie réelle

Plus en détail

2 Taux de variation et dérivée

2 Taux de variation et dérivée Tu de vrition et dérivée.1 Tu de vrition et dérivée en un point Q..1 Clculer le tu de vrition moyen TVM [;] f) pour les fonctions suivntes. cm cm ) f) = 1 b) f) = c) f) = 5 d) f) = 1 e) f) = + 5 Q.. Soit

Plus en détail

Cours de Terminale S /Intégration. E. Dostal

Cours de Terminale S /Intégration. E. Dostal Cours de Terminle S /Intégrtion E. Dostl Février 26 Tble des mtières 9 Intégrtion 2 9. Intégrles............................................. 2 9.. Aire sous une courbe...................................

Plus en détail

Fractions. 1 Propriété des quotients égaux 1. 2 Addition, soustraction de deux fractions 3. 3 Produit de deux fractions 5

Fractions. 1 Propriété des quotients égaux 1. 2 Addition, soustraction de deux fractions 3. 3 Produit de deux fractions 5 Tle des mtières Frctions 1 Propriété des quotients égux 1 Addition, soustrction de deux frctions Produit de deux frctions Comprison de deux frctions Produit en croix 10 6 Quotient de deux frctions. Inverse

Plus en détail

LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS

LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS Soit R. Dns tout ce chpitre, on dir qu une fonction f de domine de définition D f est définie u voisinge de s il existe un réel

Plus en détail

CHAPITRE 4 DÉTERMINANTS ET INVERSION DE MATRICES

CHAPITRE 4 DÉTERMINANTS ET INVERSION DE MATRICES HAPITRE DÉTERMINANTS ET INVERSION DE MATRIES Introduction Dns l lgèbre mtricielle, les déterminnts occupent une plce d importnce tnt en théorie qu en prtique est que l vleur numérique du déterminnt d une

Plus en détail

Exercices sur le logarithme népérien (1)

Exercices sur le logarithme népérien (1) TS On considère l fonction f : + ln et l on note C s courbe représenttive dns le pln muni d un Eercices sur le logrithme népérien () repère O, i, j Sns clcultrice, clculer : ; B ln 5 ln 9 5 A ln 6 ln ln

Plus en détail

Chap.9 Les fonctions polynômes du second degré (1)

Chap.9 Les fonctions polynômes du second degré (1) Chp.9 Les fonctions polynômes du second degré () Forme développée Forme cnonique Polynôme du second degré Forme fctorisée Polynôme du second degré f x x x c ( ) Forme développée réduite 3 ) Exemples f

Plus en détail

Chapitre 6 : Fonctions Logarithme Népérien

Chapitre 6 : Fonctions Logarithme Népérien Lycée Pul Sbtier, Cstelnudry Clsse de T`le STG Chpitre 6 : Fonctions Logrithme Népérien D. Zncnro et C. Aupérin 008-009 Téléchrger c est tuer l industrie, tuons les tous Thurston Moore Dernière modifiction

Plus en détail

Résolution d équations numériques

Résolution d équations numériques Résolution d équtions numériques Dniel PERRIN On présente ici trois méthodes de résolution d équtions : les méthodes de Newton, d interpoltion linéire et, très rièvement, d justement linéire. Pour des

Plus en détail

CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL.

CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL. CHAPITRE : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL.. Fonction népérien (logrithme d une fonction composée). Théorème Si u est une fonction strictement positive et dérivble sur un intervlle I ouvert,

Plus en détail

f 1 f = f n f 1(t). f (t) = f n(t) le vecteur tangent au point f(t). Pour une courbe dérivable on a par définition de la dérivée f(t + h) f(t) h o(h)

f 1 f = f n f 1(t). f (t) = f n(t) le vecteur tangent au point f(t). Pour une courbe dérivable on a par définition de la dérivée f(t + h) f(t) h o(h) Chpitre 2 Courbes dns R n 2.1 Courbes dérivbles Définition. Soit I R un intervlle. Une courbe (ou un chemin) est une ppliction continue f : I R n. Une courbe est donnée pr un n-tuplet de fonctions continues

Plus en détail

Calcul de primitives. Chapitre Calcul pratique de primitives Primitives usuelles à connaître par coeur

Calcul de primitives. Chapitre Calcul pratique de primitives Primitives usuelles à connaître par coeur Chpitre 21 Clcul de primitives 21.1 Clcul prtique de primitives On note f(x une primitive de l fonction f sur l intervlle I. Cette nottion désigne une fonction, à ne ps confondre vec une intégrle définie

Plus en détail

LEÇON N 76 : Primitives d une fonction continue sur un intervalle ; définition et propriétés de l intégrale, inégalité de la moyenne. Applications.

LEÇON N 76 : Primitives d une fonction continue sur un intervalle ; définition et propriétés de l intégrale, inégalité de la moyenne. Applications. LEÇON N 76 : Primitives d une fonction continue sur un intervlle ; définition et propriétés de l intégrle, inéglité de l moyenne. Applictions. Pré-requis : Si f est une fonction numérique dérivble sur

Plus en détail

TS 2, Correction Bac Blanc n o 2

TS 2, Correction Bac Blanc n o 2 TS, Correction Bc Blnc n o Exercice Nouvelle-Clédonie, mrs extrit) points Restitution Orgnisée de Connissnces On utiliser le résultt suivnt : les solutions de l éqution différentielle E ) y = y où R sont

Plus en détail

Calcul différentiel et intégral 2 (M-1.1)

Calcul différentiel et intégral 2 (M-1.1) Clcul différentiel et intégrl (M-.) Cdre : dns l suite on considère une fonction numérique f définie sur un intervlle I et un réel I I. Dérivée d'une fonction Définition du nomre dérivé : l fonction f

Plus en détail

Résumé de cours : Terminale ES. Table des matières. Maths-Terminale ES. Mr Mamouni : source disponible sur: Samedi 08 Avril 2006.

Résumé de cours : Terminale ES. Table des matières. Maths-Terminale ES. Mr Mamouni : source disponible sur: Samedi 08 Avril 2006. Résumé de cours : Terminle ES. Mths-Terminle ES. Mr Mmouni : myismil@ltern.org source disponile sur: c http://www.chez.com/myismil Smedi 08 Avril 2006. Tle des mtières Eqution du second degré. 2. Ses solutions

Plus en détail

Résumé de cours sur les intégrales dépendant d un paramètre

Résumé de cours sur les intégrales dépendant d un paramètre Résumé de cours sur les intégrles dépendnt d un prmètre On v considérer une fonction à deux vribles ' puis on étudier l existence, l continuité, dérivbilité,...de l fonction F dé nie pr x! F (x) = F est

Plus en détail

Intégrabilité d une fonction à valeurs réelles ou complexes

Intégrabilité d une fonction à valeurs réelles ou complexes Cours de Mthémtiques ntégrtion sur un intervlle quelconque Prtie : Fonctions intégrbles à vleurs complexes Fonctions intégrbles à vleurs complexes Dns ce prgrphe, est un intervlle de R, et K désigne R

Plus en détail

5. Intégration complexe

5. Intégration complexe 49 5. Intégrtion complexe 1. Intégrles définies d une fonction complexe d une vrible réelle Les intégrles sont extrêmement importntes dns l étude des fonctions d une vrible complexe. Nous étblirons l équivlence

Plus en détail

COURS TERMINALE S LE CALCUL INTEGRAL

COURS TERMINALE S LE CALCUL INTEGRAL COURS TERMINALE S LE CALCUL INTEGRAL A. Notion d'intégrle. Aire sous l coure On définit le domine pln, qu'on ppeller ire sous l coure C représenttive d'une fonction positive f sur un intervlle [; ], l

Plus en détail

Analyse 2 - Résumé du Cours

Analyse 2 - Résumé du Cours UFR de Mthémtiques Université de Lille Licence sciences et technologies A - S MASS Anlyse - Résumé du Cours Tble des mtières Prtie I : Intégrtion. Introduction : Premières remrques sur les primitives et

Plus en détail

Révisions d analyse. I Limites et équivalents. Plan de cours. A Limites

Révisions d analyse. I Limites et équivalents. Plan de cours. A Limites C Révisions d nlyse «Est rigoureuse toute démonstrtion, qui, chez tout lecteur suffismment instruit et prépré, suscite un étt d évidence qui entrîne l dhésion.» René Thom (93-) Pln de cours I Limites et

Plus en détail

Intégration numérique

Intégration numérique Chpitre 5 Intégrtion numérique 5.1 Introduction Dns ce chpitre, on s interesse u clcul numérique d intégrles. Plus précisément, on considère une fonction f continue et une fonction w continue et positive

Plus en détail

Jour no1 Exercice 1.0 Exercice 1.1 Exercice 1.2

Jour no1 Exercice 1.0 Exercice 1.1 Exercice 1.2 Jour n o Exercice. ) Étudier l intégrbilité de x e x x2 sur ], + [. 2) Étudier l intégrbilité de x ln x x 2 + sur ], + [. Exercice. Soit f de clsse C 2 sur [, + [ telle que f est intégrble sur [, + [ et

Plus en détail

Techniques Mathématiques de Base UCBL L1 PCSI UE TMB. Programme du cours. Partie I : Algèbre linéaire et géométrie cartesienne

Techniques Mathématiques de Base UCBL L1 PCSI UE TMB. Programme du cours. Partie I : Algèbre linéaire et géométrie cartesienne UCBL L PCSI UE Techniques Mthémtiques de Bse Alessndr Frbetti Institut Cmille Jordn, Déprtement de Mthémtiques http://mth.univ-lyon.fr/ frbetti// Progrmme du cours Prtie I : Algèbre linéire et géométrie

Plus en détail

Intégrale de Riemann cours et exercices de Licence, L1, PC, S2

Intégrale de Riemann cours et exercices de Licence, L1, PC, S2 Intégrle de Riemnn cours et exercices de Licence, L1, PC, S2 H. Le Ferrnd Jnury 29, 2010 Contents 1 Des premières méthodes 2 2 Sommes de Drboux 2 3 Fonction intégrble u sens de Riemnn 3 3.1 Qu est-ce qu

Plus en détail

Chapitre 1 Le Second Degré

Chapitre 1 Le Second Degré Cours de Mthémtiques Première STID Chpitre 1 : Le second degré Chpitre 1 Le Second Degré A) Résolution de l'éqution du second degré 1) Définitions On ppelle polynôme de second degré l expression x² x c

Plus en détail

Exercices de révision

Exercices de révision Université de Cen Licence de Biologie Semestre 0 04 Mthémtiques TD Groupe 4 Exercices de révision Corrigé Nombres complexes Exercice. On pose A = + i et B = + i. Clculer A B, A + B, A B, B, A + B. Clculer

Plus en détail

Les intégrales. C f. A = aire sous la courbe sur [0 ; 1] A = 1 3. II. Deux points de vue. 1 ) 1 er aspect : avec les suites

Les intégrales. C f. A = aire sous la courbe sur [0 ; 1] A = 1 3. II. Deux points de vue. 1 ) 1 er aspect : avec les suites TS I Introduction ) Prolème Les intégrles II eu points de vue ) er spect : vec les suites Méthode des rectngles (Pscl iemnn) f est une fonction définie, continue et positive sur un intervlle [, ] ( ) n

Plus en détail

Hachurer légèrement la zone délimitée par les quatre droites, (Ox), et (AB).

Hachurer légèrement la zone délimitée par les quatre droites, (Ox), et (AB). Vdouine Terminle S Cpitre 4 Intégrtion Définition Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle I contennt et deu nomres tels que. L représenttion grpique est trcée dns un repère ortogonl O;;

Plus en détail

Remise en forme. Chapitre 1

Remise en forme. Chapitre 1 Chpitre 1 Remise en forme 1) Trigonométrie L fonction exponentielle est l réciproque de l fonction logrithme. Elle trnsforme une somme en un produit, lors que le logrithme trnsforme un produit en une somme

Plus en détail

Chapitre 2 Limites et asymptotes

Chapitre 2 Limites et asymptotes Chpitre 2 Limites et symptotes A) Introduction ) Le grenier Je veux monter un toit à une pente en lissnt l plce pour une pièce (grenier) de 3 mètres de long et 2 mètres de hut. OA = 3, OC = 2, OE = x.

Plus en détail

Chapitre 1 Équations et Inéquations du 2nd degré

Chapitre 1 Équations et Inéquations du 2nd degré Cours de Mthémtiques Première S Chpitre 1 : équtions et inéqutions du second degré Chpitre 1 Équtions et Inéqutions du nd degré A) Les Polynômes 1) Définitions On ppelle monôme une expression de l forme

Plus en détail

Contenus Capacités attendues Commentaires. Déterminer des primitives des fonctions usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées.

Contenus Capacités attendues Commentaires. Déterminer des primitives des fonctions usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées. Chpitre 7 Intégrtion Contenus Cpcités ttendues Commentires Intégrtion Définition de l intégrle d une fonction continue et positive sur [;] comme ire sous l coure. Nottion f(x) dx. Théorème : si f est une

Plus en détail

ÉTUDES DE FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

ÉTUDES DE FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako ÉUDES DE FONCIONS NUMÉRIQUES Site MthsICE de Adm roré Lycée echnique Bmko I Pln d étude d une fonction numérique : Pour étudier une fonction numérique nous dopterons le pln suivnt : Déterminer l ensemble

Plus en détail

Dérivation. Accroissements finis

Dérivation. Accroissements finis 19 Cours - Dérivtion. Accroissements finis.nb 1/5 Dérivtion. Accroissements finis nombre dérivé, fonction dérivée, f ' HL, f ', dérivée n ième, f HnL, fonction de clsse C n (C 0, C ), formule de Leibniz,

Plus en détail

Courbes paramétrées. pour l = ±? Mais ce n est pas très choquant, car de toute façon qu est-ce donc que l infini dans R 2? = 0, donc lima x(t) l x

Courbes paramétrées. pour l = ±? Mais ce n est pas très choquant, car de toute façon qu est-ce donc que l infini dans R 2? = 0, donc lima x(t) l x Courbes prmétrées Dns tout ce chpitre, I,J sont des intervlles de R On ppeller dhérence de I et on noter Ī l intervlle I ugmenté de ses bornes, qui éventuellement ne lui pprtiennent ps Pr exemple, [0,1[

Plus en détail

X. Equations paramétriques d'une courbe. Coordonnées polaires.

X. Equations paramétriques d'une courbe. Coordonnées polaires. . Equtions prmétriques X. Equtions prmétriques d'une courbe. Coordonnées polires. f ( ) Soient deu équtions où intervlle [, b] g( ) A chque vleur de correspondent une vleur de et une vleur de. Si l'on

Plus en détail

Examen de géométrie - Durée : 2h

Examen de géométrie - Durée : 2h Université de Lorrine Fculté des sciences et technologies L2 Mthémtiques 31/05/2016 Exmen de géométrie - Durée : 2h Consigne s ppliqunt à tous les exercices : fire oligtoirement des figures. Elles devront

Plus en détail

Intégrales et primitives

Intégrales et primitives Chpitre 3 Intégrles et primitives 3.1 Définitions Soit f(x une fonction continue définie sur l intervlle [, ]. L intégrle de f sur l intervlle [, ] est un nomre réel noté qui est défini de l fçon suivnte

Plus en détail

Exemple d'introduction 1. Découverte des fonctions définies par une intégrale et premiers pas vers le théorème fondamental du calcul intégral.

Exemple d'introduction 1. Découverte des fonctions définies par une intégrale et premiers pas vers le théorème fondamental du calcul intégral. Eemple d'introduction 1. Découverte des fonctions définies pr une intégrle et premiers ps vers le théorème fondmentl du clcul intégrl. PARTIE I : Découverte de l fonction «ire sous l coure» et conjecture

Plus en détail

Résumé 07 : Intégrales généralisées

Résumé 07 : Intégrales généralisées Résumé 07 : Intégrles générlisées Dns tout ce chpitre, K ser le corps R ou C 1 INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 1 Convergence d une intégrle impropre Dns cette section, f ser ici indifféremment à vleurs dns R ou

Plus en détail

Convergence dominée et conséquences.

Convergence dominée et conséquences. Chpitre 3 Convergence dominée et conséquences.. nterversion ite-intégrle............................................................2 / Le cs d une CU sur un segment..................................................

Plus en détail

Intégration, cours, terminale S

Intégration, cours, terminale S Intégrtion, cours, terminle S Intégrtion, cours, terminle S F.Gudon http://mthsfg.net.free.fr 3 vril 2017 Intégrle d une fonction continue sur un intervlle Intégrle d une fonction continue sur un intervlle

Plus en détail

R.O.C. Nombres complexes. Pondichéry Enseignement spécifique. Exercice 4 Enoncé Restitution organisée de connaissances

R.O.C. Nombres complexes. Pondichéry Enseignement spécifique. Exercice 4 Enoncé Restitution organisée de connaissances Nombres complexes R.O.C. Pondichéry 22. Enseignement spécifique. Exercice 4 Prtie A Restitution orgnisée de connissnces Soit z uombre complexe. On rppelle que z est le conjugué de z et que z est le module

Plus en détail

Cuisson d un soufflé

Cuisson d un soufflé Mines-PC-1999 A-Equilibre de l ensemble Cuisson d un soufflé 2- Le système { plque et ir} est u contct vec une source de chleur (les prois du four) à tempérture constnte T e. Il s git donc d une trnsformtion

Plus en détail

1. Notion d intégrale Interprétation graphique

1. Notion d intégrale Interprétation graphique Clcul intégrl TS 1. Notion d intégrle Interpréttion grphique Le pln étnt muni du repère orthogonl ( O,I, J ) l unité d ire ( u. ) est l ire du rectngle âti à prtir des points O, I, J. on ppelle domine

Plus en détail