Chap.2 Symétries et invariances Théorème de Gauss

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1 Chap.2 Symétries et invariances Thérème de Gauss 1. Cnséquences des symétries et invariances sur le champ électrstatique 1.1. Invariance par translatin 1.2. Invariance par rtatin 1.3. Symétrie plane 1.4. Antisymétrie plane 1.5. Cas du champ de gravitatin 2. Flux du champ électrstatique Thérème de Gauss 2.1. Orientatin d une surface dans l espace 3D 2.2. Flux élémentaire du champ à travers une surface élémentaire 2.3. Flux du champ à travers une surface finie 2.4. Thérème de Gauss 2.5. Cas du champ de gravitatin 3. Exemples de calcul de champ à l aide du Thérème de Gauss 3.1. Méthdes pur calculer un champ en un pint de l espace 3.2. Fil rectiligne infini unifrmément chargé 3.3. Plan infini unifrmément chargé 3.4. Sphère unifrmément chargée 3.5. Champ gravitatinnel créé par un astre à symétrie sphérique Intr : Calculer le champ électrstatique à partir de sn expressin intégrale est suvent cmpliqué. On intrduit dans ce chapitre le Thérème de Gauss, qui traduit une prpriété fndamentale du champ, et qui se révèle être un util puissant pur calculer le champ dans le cas de distributins de charge «hautement symétriques». Avant de présenter ce thérème, n intrduit les ntins de symétries et d invariances d une distributin de charges, ainsi que la ntin de flux du champ à travers une surface. 1. Cnséquences des symétries et invariances sur le champ électrstatique L bjectif de cette étude est de déterminer certaines prpriétés du champ avant tut calcul, en repérant les symétries et invariances de la distributin de charges qui le génère. Les invariances et symétries des causes divent se retruver dans les effets prduits. La distributin de charge est la cause, et le champ électrstatique créé est l effet prduit. 1

2 1.1. Invariance par translatin Définitin Il y invariance de la distributin par translatin seln un axe, si la distributin ne dépend pas de la crdnnée z suivant cet axe. Les invariances par translatin ne cncernent que les distributins infinies. Prpriété du champ Le champ créé par une distributin invariante par translatin pssède la même invariance. Pur les distributins suivantes, définir un système de crdnnées, et repérer seln quelle(s) translatin(s) la distributin est invariante. Préciser alrs les invariances pur le champ. De quelles crdnnées de psitin dépend-il? Fil rectiligne infini unifrmément chargé Plan infini unifrmément chargé Cylindre infini unifrmément chargé en vlume, puis en surface. Remarque (Cas plus général que l n ne rencntrera pas) : Il y a invariance de la distributin de charge par translatin de vecteur distributin initiale. si la distributin image est identique à la 1.2. Invariance par rtatin Définitin Il y a invariance de la distributin par rtatin autur d un axe, si la distributin est identique à elle-même par rtatin autur de cet axe. En crdnnées cylindriques d axe vertical, la distributin ne dépend dnc pas de. Définitin Il y a invariance de la distributin par rtatin autur d un pint O, si la distributin est identique à elle-même par une rtatin quelcnque (angle et axe) autur de O. En crdnnées sphériques, la distributin est alrs indépendante de et de. Prpriété du champ Le champ électrstatique créé par une distributin invariante par rtatin pssède la même invariance. Pur les distributins suivantes, définir un système de crdnnées, et repérer seln quelle(s) rtatin(s) et quelle(s) translatin(s) la distributin est invariante. Préciser alrs les invariances pur le champ électrstatique, et les cnséquences sur l étude du champ. Fil rectiligne de lngueur L unifrmément chargé. Fil rectiligne infini unifrmément chargé. Fil circulaire unifrmément chargé. Disque de rayn R unifrmément chargé. 2

3 Plan infini unifrmément chargé. Cylindre de hauteur H unifrmément chargé en vlume, puis en surface. Cylindre infini unifrmément chargé en vlume, puis en surface. Sphère unifrmément chargée en vlume, puis en surface. Remarque (Cas plus général que l n ne rencntrera pas) : Il y a invariance de la distributin par rtatin d angle autur d un axe, si la distributin image est identique à la distributin initiale. Cnclusin Les invariances de la distributin de charge par translatin et/u rtatin permettent de déterminer la dépendance du champ avec les crdnnées du pint M ù il est évalué Symétrie plane La distributin admet un plan de symétrie, si pur tut pint P de la distributin : il existe un pint P de la distributin, symétrique de P par rapprt au plan La définitin est similaire pur une distributin discrète, surfacique u linéique. Prpriété du champ Crllaire Si M appartient à 2 plans de symétrie, est inclus dans le plan est clinéaire à l intersectin des deux plans. Remarque : Ce dernier cas est le plus favrable, car il permet de déterminer cmplètement la directin du champ. Pur les distributins suivantes, repérer le(s) plan(s) de symétrie. Repérer ensuite les pints M de l espace pur lesquels la directin du champ électrstatique peut-être facilement déterminée. Synthétiser alrs tutes les infs cnnues sur le champ en ces pints. Fil rectiligne de lngueur L unifrmément chargé. Fil rectiligne infini unifrmément chargé. Disque de rayn R unifrmément chargé. Plan infini unifrmément chargé. Cylindre de hauteur H unifrmément chargé en vlume, puis en surface. Cylindre infini unifrmément chargé en vlume, puis en surface. Sphère unifrmément chargée en vlume, puis en surface Antisymétrie plane La distributin admet un plan d antisymétrie, si pur tut pint P de la distributin : il existe un pint P de la distributin, symétrique de P par rapprt au plan La définitin est similaire pur une distributin discrète, surfacique u linéique. 3

4 Prpriété du champ Crllaire est rthgnal au plan Remarque : Il suffit d un seul plan d antisymétrie pur déterminer la directin du champ en tut pint M de ce plan. Mais les plans d antisymétrie snt plus rares. Pur la distributin suivante, repérer le(s) plan(s) d antisymétrie. Repérer ensuite les pints M de l espace pur lesquels la directin du champ électrstatique peut-être facilement déterminée. Fil rectiligne de lngueur L de charge linéique sur une mitié, sur l autre mitié Cas du champ de gravitatin Tutes les définitins et prpriétés d invariance et de symétrie vues dans le cas du champ électrique se généralisent au cas du champ gravitatinnel, sauf les plans d antisymétrie qui n existent pas dans le cas gravitatinnel (pas de masse négative). Cnclusin invariance / plan de symétrie Repérer les invariances permet de déterminer la dépendance de avec les crdnnées du pint M Repérer les (anti-)symétries planes permet de déterminer la directin de 2. Flux du champ électrstatique Thérème de Gauss 2.1. Orientatin d une surface dans l espace 3D On rappelle qu une surface «finie» peut être décupée en une multitude de surfaces élémentaires. Chaque surface élémentaire est infiniment petite et peut être assimilée à sn plan tangent. Par cnséquent, tutes les surfaces élémentaires snt des plans. Une surface élémentaire est dite rientée lrsque l n chisit cnventinnellement d rienter sn vecteur nrmal. L écriture suivante n a de significatin précise que si l n a au préalable rienté le vecteur sur un schéma : ù ds est l aire élémentaire. Orienter une surface finie revient à rienter la surface en tut pint : en un pint M de la surface, n riente le vecteur nrmal au plan tangent à la surface. Il est évident que la cnventin d rientatin dit être la même en tut pint de la surface!! On rappelle qu une surface fermée est une surface délimitant un vlume. De telles surfaces snt tujurs cnventinnellement rientées vers l extérieur. 4

5 2.2. Flux élémentaire du champ à travers une surface élémentaire On définit le flux élémentaire du champ électrique à travers la surface élémentaire : le champ étant évalué sur la surface élémentaire. Remarques : Le flux élémentaire est défini à partir d une surface infiniment petite (élémentaire) : ainsi le champ électrique est unifrme à l échelle de cette surface élémentaire. Peu imprte alrs ù se truve le pint M sur cette surface. On verra que l unité de champ électrique est le. L unité d un flux de champ électrique est le. Cmmentaires : Le flux est une grandeur algébrique : sn signe indique le sens dans lequel le champ électrique «traverse» la surface élémentaire : s il est psitif, alrs le champ traverse la surface dans le même sens que s il est négatif, alrs le champ traverse la surface dans le sens ppsé à La valeur abslue du flux est déterminée par la nrme du champ et par l angle entre le champ et le vecteur. Pur une nrme dnnée du champ, la valeur abslue du flux est maximale quand le et snt clinéaires, et nulle quand le champ et snt rthgnaux Flux du champ à travers une surface finie Une surface finie peut être décupée en une multitude de surfaces élémentaires. Le flux du champ électrique à travers une surface finie S est défini cmme la smme des flux élémentaires : Dans le cas d une surface fermée, la surface est tujurs rientée vers l extérieur, et l expressin : définit dnc le flux srtant. Il est indispensable d avir repéré la surface sur un schéma pur puvir parler de «flux du champ». Il est préférable dans un premier temps de s habituer à dire «flux du champ à travers une surface». On dessine une sphère dnt le centre est ccupé par une particule de charge psitive (resp. négative). Quel est le signe du flux du champ à travers la sphère? 2.4. Thérème de Gauss On admet ce thérème ; il est valable quelque sit la u les distributins de charge cnsidérées. Thérème de Gauss Le thérème de Gauss établit une relatin entre le flux du champ électrstatique à travers une surface fermée, et la charge électrique ttale située à l intérieur du vlume délimité par cette surface fermée. 5

6 Ce thérème est une prpriété du champ électrique, due à sn expressin en. C est aussi un util très puissant pur déterminer l expressin du champ électrstatique dans le cas de distributins de charge «hautement symétriques» Cas du champ de gravitatin Le champ gravitatinnel est aussi un champ en «champ gravitatinnel.». Le thérème de Gauss est dnc aussi valable pur le D après l analgie faite entre les frmules des cas électrique / gravitatinnel, dnner l expressin du thérème de Gauss pur la gravitatin. 3. Exemples de calcul de champ à l aide du Thérème de Gauss 3.1. Méthdes pur calculer un champ en un pint de l espace On cherchera généralement à déterminer l expressin du champ électrique en un pint M quelcnque de l espace ù il est défini. Méthde thérème de Gauss (préférable si la distributin de charge est «hautement symétrique») 1. Repérer les invariances de la distributin de charge, surce du champ, pur déterminer la dépendance du champ par rapprt aux crdnnées du pint M. Il faut définir au préalable un système de crdnnées apprprié aux symétries de la distributin de charge. 2. Repérer les symétries (u antisymétries) planes de la distributin de charge, surce du champ, pur déterminer la directin du champ électrique au pint M. Ces plans divent cntenir le pint M. 3. Définir une «surface de Gauss», passant par le pint M, et sur laquelle le champ électrique est unifrme (si pssible). 4. Appliquer alrs le thérème de Gauss. Grâce aux étapes précédentes, le calcul du flux (intégrale duble) est généralement très simple si la distributin de charge est «hautement symétrique». Méthde «directe» : A chaque fis que cela est pssible, n détermine la directin du champ et sa dépendance avec les crdnnées du pint M, grâce aux invariances et symétries, et ce avant tut calcul. Ensuite, cmme au premier chapitre, n calcule directement le champ par calcul d intégrale. Cela dnne suvent des calculs cmpliqués. On évitera si pssible d utiliser cette méthde!! 3.2. Fil rectiligne infini unifrmément chargé Pur tut pint M de l espace, déterminer l expressin du champ électrstatique créé par un fil rectiligne infiniment lng et unifrmément chargé. Représenter ensuite graphiquement l évlutin de la prjectin du champ (seln un vecteur unitaire apprprié) en fnctin de la crdnnée apprpriée. 6

7 3.3. Plan infini unifrmément chargé Idem Sphère unifrmément chargée Idem pur une sphère unifrmément chargée en vlume. Idem pur une sphère unifrmément chargée en surface Champ gravitatinnel créé par un astre à symétrie sphérique Dans le curs de mécanique traitant des CFCC (muvement planètes et satellites), n a admis que le champ gravitatinnel créé par un astre à symétrie sphérique puvait être assimilé au champ créé par un pint matériel de même masse, situé au centre de l astre. Démntrer cet énncé à l aide du thérème de Gauss. Ntins clefs Savirs : Définitins invariances + csq sur dépendance du champ avec psitin du pint M Définitin symétrie plane / antisymétrie plane + csq sur la directin du champ en un pint M de ces plans Orientatin d une surface élémentaire, d une surface finie Définitin du flux élémentaire du champ à travers une surface élémentaire Définitin du flux du champ à travers une surface finie + interpréter sn signe Enncé thérème de Gauss : cas électrique / gravitatinnel Etapes de la méthde de calcul du champ grâce au Th. Gauss Savirs faire : Repérer les invariances et symétries (antisymétrie) planes d une distributin de charge Déterminer un champ en un pint M grâce au Th. Gauss Appliquer tus les résultats de ce chapitre au cas gravitatinnel Redémntrer les exemples étudiés 7