CONCOURS 3 EME ANNEE MECANIQUE ECOLE NORMALE SUPERIEURE DE CACHAN COMPOSITION DE MECANIQUE ET CONCEPTION. Durée : 4 Heures

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1 CONCOURS 3 EME ANNEE MECANIQUE ECOLE NORMALE SUPERIEURE DE CACHAN COMPOSITION DE MECANIQUE ET CONCEPTION Duée : 4 Heues Le sujet compote 8 pages de texte, 7 pages de document et document éponse fomat A3. Nota : l'épeuve compote 3 paties indépendantes. Ces paties peuvent ête taitées dans un ode quelconque. Il est vivement conseillé au candidat de épati son tavail de la façon suivante : Patie : Compotement de la boche Patie 2 : Dispositif d'entaînement de l'axe C Patie 3 : Conception du guidage de la vis sans fin 2 heues heue heue Les paties taitées seont édigées su des copies sépaées. Il fauda pécise su chaque copie : le tite, le epèe de l'épeuve, la patie de l'épeuve taitée, le nombe de feuilles constituant la copie. Vous veilleez à ende le document éponse avec les copies coespondantes.

2 Etudes autou d'une machine UGV 5 axes Pésentation Les études poposées concenent une machine UGV 5 axes. La pemièe patie pote su le compotement d'un élément du guidage en otation de la boche. Les paties 2 et 3 s'intéessent au dispositif de tansmission de l'axe C et à son guidage. Axes de tanslation Z et X Boche Pote pièce Axe C Table oscillante Axe A Axe de tanslation Y Figue : Définition des axes Patie : Etude du compotement de la boche On s intéesse au compotement de la boche de la machine outils losqu elle est en otation. Les machines modenes, pévues pou l UGV, admettent des vitesses de otation élevées. Aussi il est légitime de pose le poblème des conséquences des effets d inetie dus à la otation su la liaison bâtiboche. Celleci se fait pa un montage avec oulements pécontaints. Ici, il n est pa question de faie une étude complète, mais d abode une démache (étude simplifiée) qui peut donne une idée de ce qui se passe. Seule la liaison ente la boche (solide ) et la bague intéieue d un oulement (solide 2) est étudiée. Le schéma qui suit epésente la patie de la boche et la bague intéieue qui sont en liaison, il indique les ayons inteveni dans l étude. R e, R, et qui vont i e i 2

3 seage, s R e R i (2) () i e Bague intéieue du oulement Boche Figue 2 : Dimensions utilisées de la bague intéieue du oulement et de la boche Au montage, la bague est fettée su la boche. Apès fettage, le seage et la pession qui s execent à l inteface sont espectivement notés «s» et «p 0». Plus généalement, le champ de 0 containtes qui ésulte du fettage est noté. Dans cette étude on ne pend pas en compte le poids de la boche, seules les conséquences des effets d inetie dus à la otation «ω» sont analysées. Etude patielle du fettage élastique de la bague intéieue et de la boche On suppose qu au montage, les déplacements sont adiaux et ont la fome suivante : B um ( ) A = e 2, A et B seont des constantes à détemine pou chaque pièce. Sous l hypothèse des déplacements adiaux, la fome des champs boche et la bague apès montage est la suivante : 0 qui existent dans la 0 ( e) avec 0 θ 0 0 0z θ 0z B = ( λ µ ) A 2µ 2 B = ( λ µ ) A 2µ 2 = λa Où (e ) est la base othonomée locale associée aux coodonnées cylindiques : e z est oienté suivant l axe de boche ; e est le vecteu adial et e θ est tel que eθ = e z e. 3

4 Afin de pécise les containtes dans chacune des pièces, on demande : Question. De véifie, qu en l absence d effots extéieus à distance, les containtes cidessus satisfont les équations d équilibe local suivantes :, θ, z, θ, θ θθ, θ θ z, θ z, z θ z, z zz, z 2 Question 2. D expime les conditions aux limites su pou les ayons Re, R i, e et i, et d'en z θ 0 f θθ z f θ = 0 f = 0 = 0 déduie les constantes A et B elatives à la boche et les constantes A 2 et B 2 elatives à la bague ; Question 3. De calcule les déplacements u et u 2, déplacements qui sont espectivement le déplacement d un point de la boche situé au ayon e et le déplacement d un point de la bague situé au ayon R i. En déduie l expession de la pession p 0 en fonction du seage s= u2 u ; Question 4. De donne l expession du ayon de contact R 0 apès montage. Etude du compotement de la liaison bague intéieueboche losque la boche est en otation à la vitesse angulaie ω : et ε En otation, le champ des containtes qui s exece dans les pièces est noté =, où est le champ des containtes dû à la otation ω. On notea aussi le champ des défomations qui coespondent à 0 u le champ des déplacements (donc eux aussi dus à la otation ω). On considèe les équations de NAVIER écites su la base locale : ( λ 2 µ )( div u( M )), f = 0 div um ( ) = u, ( u ( 2 )( div u ( M )), u ) uz,z λ µ, f 0 θ θ = avec θθ 2 f( M) = ρω e ( λ 2 µ )( div u( M )),z f z = 0 4

5 On demande : Question 5. De monte, en admettant que le champ des déplacements est adial et ne dépend que de losque ω est unifome (soit : u( M ) = u () e ), que u(m ) véifie les équations de NAVIER, que seule la pemièe équation scalaie de NAVIER n est pas identiquement nulle et qu elle se met sous la fome suivante : d d d d ( u ) = k 2 ρ ω avec : k = ( λ 2µ ) Question 6. De détemine la fome de la fonction u () en intégant l équation difféentielle pécédente. On notea C et D les constantes d intégation ; Question 7. De défini la matice epésentative, su la base locale (e ), du tenseu ε ; ε u ( e) u u, θ, z, u, θ u uθ, θ u u z, θ θ u u u, θ, z, z z z Question 8. De défini la matice epésentative, su la base locale (e ), du tenseu ; Question 9. D expime les conditions aux limites su pou les ayons R e et i ; Question 0. D expime la conditions d équilibe su pou le ayons R 0 défini question 4 ; Question. De déduie des tois elations issues des questions 9 et 0 les constantes C et D elatives à la boche et la constante C 2 elative à la bague (ici pou simplifie on admet que D 2 = 0) ; Question 2. De calcule la valeu citique de ω à pati de laquelle le contact ente la bague et la boche n est plus assué. La condition de uptue du contact est : = 0 0 5

6 Patie 2 : Etude du dispositif d'entaînement de l'axe C L'entaînement final de l'axe C est éalisé pa un engenage à vis sans fin dont les caactéistiques pincipales sont définies Document et cidessous : Nombe de filets et angle d'hélice de la vis sans fin : Z = ; β = 87. Pas à doite. Nombe de dents et angle d'hélice de la oue : Z 2 =7 ; β 2 = 3 Module nomal : m n =2,75 mm Angle de pession nomal : α n = 20 Quelques fomules usuelles sont appelées Document. Question. L'engenage à vis sans fin peut ête iévesible. Expliquez en quelques lignes ce que signifie cette popiété. La Figue 4 epésente l'évolution du endement du système losque la vis est motice et losque la oue est motice, en fonction de l'angle d'hélice β et pou difféents coefficients de fottement. Question 2. Comment se taduit un fonctionnement iévesible su l'expession du endement? Question 3. A l'aide du Document, Figue 4, déteminez le coefficient de fottement maximal conduisant à un fonctionnement évesible? Qu'en concluez vous pa appot à la évesibilité du dispositif étudié? Question 4. Los du fonctionnement avec vis motice, quelle est la valeu numéique du endement du système pou un coefficient de fottement supposé de 0,09? Dimensions des composants et glissement Nous allons détemine les dimensions des diamètes de éféence et d. d2 Dans la section médiane de la vis (section liée au plan ( O, x, y) ), l'engènement est similaie à celui d'une cémaillèe définie su () avec un pignon (2) (cf. Document ). Question 5. En déduie la longueu de l'ac sépaant 2 flancs de dentue de même coubue su la oue (2). Cette longueu sea expimée en fonction des caactéistiques de la vis sans mn β 2 fin et. En déduie l'expession de d et sa valeu numéique. 6

7 Question 6. Déteminez l'expession et la valeu du diamète de éféence de la vis,, en fonction de m et de γ, puis en fonction de et de. En déduie l'expession de x en fonction de Z 2 et β. mx β d2/ d d Soit ω la vitesse de otation de la vis sans fin pa appot au cate (0) : Ω = ω x /0 Soit ω2 la vitesse de otation de la oue telle que : Ω = ω z 2/0 2 Soit = ω v la vitesse tangentielle de éféence de la vis. Soit I le cente du contact. Question 7. Déteminez la vitesse de glissement en I, de la oue pa appot à la vis. Expimez cette vitesse en fonction de et β. v Etude du contact et puissance dissipée On suppose que les actions de contact de (2) su () se modélisent pa une foce passant pa I : F 2 F2 = Fx a Fy Fz t = avec, de plus : F 2 0 I = Question 8. On néglige les fottements au contact. Déteminez les appots Fa / F t et F/ Ft. Faites les applications numéiques. F Question 9. Le fottement de contact n'est plus négligé. Il est modélisé pa un modèle de Coulomb. Le coefficient de fottement est noté f. Expimez F2 dans la base ( u, y, w) puis déteminez les appots Fa / F t et F/ Ft. Faites les applications numéiques pou f = 0,09. Question 0. Déteminez la puissance dissipée au contact de () avec (2) en fonction de la puissance d'entée = C ω, de f, β et de α. En utilisant ce ésultat, déteminez le Pe endement de la tansmission. Faites les applications numéiques. n Question. Quelles sont les conséquences technologiques de ce endement? 7

8 Patie 3 : Conception du guidage de la vis sans fin Pou des aisons de qualité d'usinage, le jeu de fonctionnement dans l'engenage à vis sans fin doit ête annulé, ou tout au moins, "attapé" au montage. Dans ce but, le constucteu a choisi de éalise la vis en 2 paties et de égle au montage la position elative de ces 2 paties. Vous devez concevoi un avant pojet du dispositif de guidage de la vis sans fin dans le bâti de la table oscillante (axe A) et du dispositif de attapage de jeux associé. Vous vous assueez : que les effots axiaux povenant de la tansmission pa vis sans fin sont tansmis au cate de l'axe A pa des butées à éléments oulants, qu'un églage axial pemet la mise en position elative des deux paties de la vis. Le Document 2 pécise la position de la patie à dessine et les éléments attenants. Les éléments oulants sont, de péféence, à choisi pami ceux poposés Document 3. Le couple moyen su la vis est de 7 Nm pou une vitesse moyenne de 500 t/mn et maximale de 850 t/mn. Question. Question 2. Réalisez un schéma annoté définissant l'achitectue de vote solution et les choix technologiques éalisés. Réalisez le dessin d'avant pojet su le document éponse DR. Vous compléteez le document des vues, des éléments de cotation et des définitions des matéiaux constitutifs qui vous sembleont nécessaies à la compéhension de vote solution. Indique claiement les éféences des éléments oulants utilisés accompagnées, si nécessaie, d'une notice de choix de ces composants. 8

9 DOCUMENT : ENGRENAGE A VIS SANS FIN La vis sans fin est notée () et la oue (2). ( O, x ) est l'axe de otation de la vis sans fin. ( O2, z ) est l'axe de otation de la oue Le point I est le cente du contact. y O2 a d = 2 (2) 2 2 O I () d = 2 x p x Module axial : m x y Pas axial : px = π mx Module nomal et module axial : m = m sin β n Hauteu de dent : h= 2, 2 m x x α n u u x γ β Figue 3 : Dimensions pincipales et géométie du contact de l'engenage à vissans fin z w 9

10 β, oue motice β, vis motice Figue 4 : Rendement d'un engenage à vis sans fin en fonction de l'angle d'hélice de la vis, losque la vis est motice et losque la oue est motice. f est le coefficient de fottement ente les matéiaux constitutifs du couple oue vis sans fin. 0

11 DOCUMENT 2 : IMPLANTATION DE LA VIS SANS FIN Bâti de la table oscillante Roue Poulie cantée pou la tansmission de mouvement ente le moteu et la vis sans fin Abe d entaînement Zone de dessin

12 DOCUMENT 3 : ELEMENTS ROULANTS Butées à ouleaux cylindique Butées à billes, Simple effet Butées à billes, Double effet Butées à ouleaux cylindiques Dimensions Chages de base Limite Facteu Vitesses de base Masse Désignation d'encombement dynamique statique de de chage Vitesse de Vitesse fatigue axiale éféence limite d D H C C 0 P u A mm kn kn t/min kg ,2 27 2,45 0, , TN ,2 3,5 2,85 0, , TN ,6 48 4,65 0, , TN ,5 6,8 0, , TN ,65 0, , TN ,4 0, , TN , , , TN ,5 0, , TN ,3 0, , TN , ,8 0, , TN ,5 37 3,7 0, , 808 TN ,5 0, , TN ,5 0, , TN ,5 32 3,2 0, ,3 809 TN , , , TN , , TN ,5 66 6,6 0, ,4 80 TN , , , TN , , TN , , ,22 8 TN , ,57 82 TN ,5 0, ,2 893 TN ,5 0, ,27 82 TN ,5 0, , TN , , TN 2

13 Butées à billes, simple effet Dimensions Chages de base Limite Facteu Vitesses de base Masse Désignation d'encombement dynamique statique de de chage Vitesse de Vitesse fatigue axiale éféence limite d D H C C 0 P u A mm kn kn t/min kg ,6 8,3 0,67 0, , ,5 27 0, , ,4 2,2 0,78 0, , ,2 30, 0, , , 29,08 0, , ,5 40,5,53 0, , ,2 39,43 0, , ,6 55 2,04 0, , ,5 60 2,24 0, , ,3 96,5 3,6 0, , ,6 0, , ,5 5,9 0, , ,7 7 2,65 0, , ,8 37 5, 0, , ,9 5,86 0, , , 73,5 2,7 0, , ,4 96,5 3,55 0, , , 70 6,2 0, , ,32 0, , , , , ,8 22 4,5 0, , ,3 0, , ,5 69,5 2,55 0, , ,5 3,2 0, , , 53 5,6 0, , ,8 0, , ,8 0, , ,4 6 4,3 0, , ,4 90 6,95 0, , ,5 0, ,7 85 3, 0, , ,8 46 5,4 0, , ,3 0, , ,3 0, , ,6 22 4,55 0, , ,4 50 5,6 0, , ,3 0, , , , 542 M Butées à billes, double effet Dimensions Chages de base Limite Facteu Vitesses de base Masse Désignation d'encombement dynamique statique de de chage Vitesse de Vitesse fatigue axiale éféence limite d D H C C 0 P u A mm kn kn t/min kg ,5 40,5,53 0, , ,6 55 2,04 0, , ,5 60 2,24 0, , ,8 37 5, 0, ,5 5,9 0, , ,7 7 2,65 0, , , 70 6,2 0, , , 73,5 2,7 0, , , , , ,4 96,5 3,55 0, , ,8 22 4,5 0, , ,3 0, , ,5 3,2 0, , , 53 5,6 0, , ,8 0, , ,4 6 4,3 0, , ,4 90 6,95 0, , ,8 46 5,4 0, , ,3 0, , ,3 0, , ,4 50 5,6 0, , ,3 0, , , , M , , , ,4 0, , ,8 0, , ,8, , ,3, , M ,6 83 6,8 0, , , ,

14 Roulements igides à billes, à une angée Dimensions Chages Limite Vitesses Masse Désignation d'encombement dynamique statique de Vitesse Vitesse fatigue limite limite d D B C C 0 P u mm kn kn t/mn kg ,03 2,32 0, , ,37 3,65 0, , ,28 4,05 0, , ,95 5 0, , ,5 6,55 0, , ,8 7,8 0, , ,7 5 0, , ,36 2,6 0, , ,02 4,3 0, , ,06 4,75 0, , ,9 6,55 0, , ,6 6,55 0, , ,8 7,8 0, , ,4,6 0, , ,8 9,3 0, , ,49 2,9 0, , ,28 4,55 0, , ,9 7,35 0, , ,8 8,3 0, , ,3,2 0, , ,6 6 0, , ,6 23, , ,75 3,2 0, , ,56 6,8 0, , ,5 0, , ,8 0,2 0, , ,3 0, , , 9 0, , ,3 3, , ,94 3,45 0, , ,8 0 0, , ,8 9,5 0, , ,8,6 0, , ,5 9 0, , ,3 24, , ,7 36,5, , ,63 6, 0, , ,8 0, , ,5 0,8 0, , , 4,6 0, , , 2,6 0, , ,3 3,5, , , 45, , ,76 6,8 0, , ,6,8 0, , ,8,4 0, , ,9 6 0, , , 23,2 0, , , , , 52 2, , ,04 8,8 0, , ,5 4 0, , ,3 4 0, , ,6 2,2 0, , ,2 29, , , 45, , ,5 62 2, , ,9,4 0, , ,5 4,3 0, , ,8 5 0, ,

15 Roulements à billes à contact oblique, à une angée Dimensions Chages Limite Vitesses Masse Désignation d'encombement dynamique statique de Vitesse Vitesse fatigue de éféence limite d D B C C 0 P u mm kn kn t/mn kg ,3 7,65 0, , 7204 BECBM ,3 0, , 7204 BECBY ,3 8,5 0, , 7204 BEGBP ,3 7,65 0, , 7204 BEP , , BECBM , , BECBP , , BEGAP , , BEGBP ,4 9,5 0, , BEP ,6 0 0, , BECBM ,6 0 0, , BEGAP ,6 0,2 0, , BEGBY ,6 0 0, , BEGCP ,8 9,3 0, , BEP ,5 5,3 0, , BECBM ,5 5,3 0, , BEGAP ,6 0, , BEGBY ,2 4 0, , BEP ,7 23, , BCBM ,7 23, , BGAM ,7 23, , BM ,6 0, , BECAP ,6 0, , BEGAP ,6 0, , BEGBP ,5 4,3 0, , BEP ,5 2,2 0, , BECBM ,5 2,2 0, , BEGAM ,5 2,2 0, , BEGBP ,5 9,3 0, , BEP ,5 29, , BCBM ,5 29, , BM ,8 0, , BECBM ,8 0, , BEGAM ,8 0, , BEGBP , 9 0, , BEP ,5 26,5, , BECBM ,5 26,5, , BEGAP ,5 26,5, , BEGBP ,5, , BEP ,5 38, , 7407 BCBM ,5 38, , 7407 BM ,4 26, , BECBJ ,5 26, , BEGAM ,4 26, , BEGAY ,4 26, , BEGBY ,5 24, , BEP ,5, , BECAP ,5, , BECBP ,4 33,5, , BECCY ,5, , BEGAP ,5, , BEGBP ,2 30,5, , BEP ,2 45, , BCBM ,2 45, , BGBM ,2 45, , BM ,5, , BECBP ,5, , BEGAP ,7 28, , BEGBY ,8 26, , BEP ,5, , BECAP ,5, , BECBP ,5 4,5, , BECBY ,5, , BEGAP ,5, , BEGBP ,9 37,5, , BEP ,2 55 2, , BCBM ,2 55 2, , BGBM ,2 55 2, , BGM , , BECBP 5

16 DOCUMENT REPONSE DR (A3) ECHELLE 2/2