Chapitre 4: Graphes connexes

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1 CHAPITRE 4 GRAPHES CONNEXES 23 Chpitr 4: Grphs onnxs Introution À qul momnt un résu inormtiqu stisit-il à l propriété qu tous ls orinturs u résu, pris ux à ux, puissnt prtgr l'inormtion? Ds mssgs puvnt-ils lui êtr nvoyés u moyn 'un ou plusiurs orinturs intrméiirs? Qun un grph srt à rprésntr résu inormtiqu, où ls sommts sont s orinturs t ls rs, ls lins ommunition, tt qustion vint: Exist-t-il toujours un hîn ntr ux sommts grph? Rprésnttion s lins ntr qulqus sits intrnt réés à l'i u logiil Intrnt Crtogrphr. 4.1 Connxité ns un grph non orinté Déinition Un grph non orinté st onnx s'il y un hîn ntr n'import qull pir sommts istints u grph. Pr onséqunt, n'import lqul s orinturs résu put ommuniqur si t sulmnt si l grph résu st onnx. Exmpl g G H L grph G st onnx puisqu'il xist un hîn ntr n'import qull pir sommts istints. L grph H n'st ps onnx; pr xmpl, il n'y ps hîn ntr ls sommts t. Option spéiiqu JtJ 2016

2 CHAPITRE 4 GRAPHES CONNEXES 24 Déinition Un grph qui n'st ps onnx st l'union ux ou plusiurs sous-grphs onnxs, hqu pir ux-i n'ynt ps sommt n ommun. Ls sous-grphs onnxs isjoints sont ls omposnts onnxs u grph. Exmpl Dns l igur préént, l grph H ontint ux omposnts onnxs: H 1 ormé s sommts, t t H 2 ormé s sommts, t. Exri 38 Dns ls 3 grphs suivnts, étrminr l nomr omposnts onnxs : Exri 39 Exri 40 Qul st l nomr minimum 'rêts ns un grph onnx ormé n sommts? Démontrr votr irmtion. Comin y -t-il grphs simpls onnxs non isomorphs qui ont n sommts qun n st égl à : ) 2? ) 3? ) 4? Exri 41 Soit G un grph simpl ormé n sommts. Montrr qu : n(n 1) ) grph ontint u plus rêts ; 2 (n 1)(n 2) ) grph, s il st non onnx, ontint u plus 2 rêts ; ) si grph ontint u moins st onnx. (n 1)(n 2) rêts, lors il Exri 42 Consiérons un grph simpl onnx ormé 10 sommts. Qu pouvz-vous irmr u sujt u nomr 'rêts? Option spéiiqu JtJ 2016

3 CHAPITRE 4 GRAPHES CONNEXES 25 En rprnnt l'xmpl 'introution u résu inormtiqu, il put rrivr qu'un s lins ou qu'un s orinturs u résu tom n pnn. Pour l onn gstion résu, il urit qu lui-i rst nor onnx. Déinition L rtrit 'un sommt t touts ls rêts inints à sommt onuit à ormr un sous-grph v plus omposnts onnxs qu ns l grph initil. Cs sommts sont pplés points oupur. L rtrit 'un point oupur à prtir 'un grph onnx prouit un sous-grph qui n'st ps onnx. D çon similir, un rêt ont l rtrit prouit un grph v plus omposnts onnxs qu ns l grph initil st pplé un séprtur. Exmpl Trouvz ls points oupur t ls séprturs ns l grph illustré à l igur i-ontr. g h Solution: Ls points oupur sont, t. L rtrit l'un s sommts t ss rêts jnts stionn l grph. Ls séprturs sont { ; } t { ; }. L rtrit l'un 'ux stionn l grph. Exri 43 ) Dns ls 3 grphs suivnts, trouvr tous ls points oupur. ) Trouvr tous ls séprturs s grphs préénts. F G g i h H Option spéiiqu JtJ 2016

4 CHAPITRE 4 GRAPHES CONNEXES 26 Exri 44 Un résu ommunition inormtiqu (Srvur Trminux) oit êtr séurisé pr un yl sours n s éilln lins. Détrminr l nomr minimum lins qui ut joutr in pouvoir pllir à un ruptur un lin initil qulonqu ns l résu. Préisr l/ls lins qu il s git joutr. T 13 T 4 T 3 T 12 T 2 T 11 T 9 T 8 Srvur T 7 T 1 T 5 T 6 T Connxité ns ls grphs orintés Déinition Un grph orinté st ortmnt onnx s'il xist un hmin u sommt u sommt t u sommt u sommt, quls qu soint ls sommts rprésntés pr t ns l grph. Un grph orinté st ilmnt onnx s'il y un hîn ntr n'import qull pir sommts ns l grph si l'on n onsièr plus l'orinttion s rs. G Exmpl Ls grphs G t H présntés i-ontr sont-ils ortmnt onnxs? Sont-ils ilmnt onnxs? Solution: L grph G st ortmnt onnx pr qu'il xist un hmin ntr n'import qull pir sommts ns grph orinté (vériiz-l!!). Pr onséqunt, G st églmnt ilmnt onnx. L grph H n'st ps ortmnt onnx, r pr xmpl, il n'xist ps hmin orinté vrs. H Vous pouvz vériir pr ontr qu'il xist un hîn ntr n'import qull pir sommts u grph si l'on n onsièr ps l'orinttion. H st on ilmnt onnx. Option spéiiqu JtJ 2016

5 CHAPITRE 4 GRAPHES CONNEXES 27 Exri 45 ) L grph suivnt st-il ortmnt onnx? ) Détrminr lors l nomr omposnts ortmnt onnxs. 4.3 Qulqus pplitions Exri 46 Démontrr qu'un grph simpl à n sommts où l gré hun 'ux st supériur ou égl à n 1 st onnx. 2 Exri 47 Dns pys il y 15 vills; hqu vill st rlié pr s hmins à 7 vills u moins. Démontrr qu'n prtnt hqu vill on put ttinr tout utr vill (n pssnt put-êtr pr 'utrs vills). Exri 48 À Grphvill, on n put s éplr qu'n métro. D l sttion "Cntr" prtnt 7 ligns, l sttion "Loin-loin" n prt qu'un sul lign. D touts ls utrs sttions prtnt 4 ligns. Montrr qu'on put s rnr n métro "Cntr" à "Loin-loin". Exri 49 Montrr qu, prmi 6 prsonns, il y un group 3 prsonns qui s onnissnt mutullmnt, ou in un group 3 qui n s onnissnt ps. Option spéiiqu JtJ 2016

6 CHAPITRE 4 GRAPHES CONNEXES 28 Exri 50 On onsièr l'lgorithm suivnt: ALGORITHME Donné: Un sommt x u grph Résultt: L'nsml C, omposnt onnx ontnnt x 1: C = Ø ; E = {x} 2: Tnt qu E n'st ps vi ir 3: Choisir un élémnt y E 4: Rtirr y E t l mttr ns C 5: Pour hqu voisin z y qui n'st ps ns E ni ns C ir 6: Mttr z ns E 7: in Pour 8: in Tnt qu ) Anlysr t lgorithm, à quoi srt-il?? ) On ppliqu t lgorithm u grph suivnt: j g i k L tlu i-ssous érit ls iérnts itértions l'lgorithm xéuté sur l grph. Complétr ls 5 rnièrs itértions: Initilistion C = Ø E = {} Itértion 1 C = {} E = {,, } Itértion 2 C = {, } E = {,, } Itértion 3 Itértion 4 Itértion 5 Itértion 6 Itértion 7 Option spéiiqu JtJ 2016

7 CHAPITRE 4 GRAPHES CONNEXES 29 Option spéiiqu JtJ 2016

8 CHAPITRE 4 GRAPHES CONNEXES 30 Option spéiiqu JtJ 2016