Convergence dominée et conséquences.

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1 Chpitre 3 Convergence dominée et conséquences.. nterversion ite-intégrle / Le cs d une CU sur un segment / Théorème de convergence dominée / Théorème de convergence monotone / ntégrtion terme à terme ntégrles à prmètre / Continuité et dérivilité sous le signe somme / Quelques pplictions / Fonction Gmm d Euler

2 Chpitre 3 Convergence dominée et conséquences. Dns ce chpitre, K désigne R ou C et est un intervlle de R non vide et non réduit à un point.. nterversion ite-intégrle. On v chercher des hypothèses suffisntes pour pouvoir intervertir les symoles et, c est-à-dire quelles conditions doit-on voir sur une suite d pplictions (f n ) définies d un intervlle de R dns K pour voir n f n = f n n Le contre-exemple suivnt montre que l question est pertinente puisqu il existe des cs où l inversion est impossile : n f n f n (x) = { n n si x [, n] si x [, n] CU On donc et f n n n f n, = et f n =. n./ Le cs d une CU sur un segment. Théorème - version suite. Si (f n ) est une suite d pplictions continues définies d un segment [, ] de R dns K convergent uniformément lors n f n = n f n Théorème - version série. 2 Si f n est une série d pplictions continues définies d un segment [, ] de R dns K convergent uniformément lors n= f n = f n n= Ce théorème est ppelé "Théorème d intégrtion terme à terme (version CU sur un segment)". Remrque. Ce théorème est un rppel. Voir toutes les informtions sur ce théorème et les exemples dns le chpitre suite de fonctions. 2

3 .2/ Théorème de convergence dominée. Théorème. 3 Soient f et f n dns C m (, K) pour tout n de N, lors : g C m (, R + ), f n CS n f g intégrle n N, f n g (condition de domintion) lors les f n et f sont intégrles et f n = n n f n Remrques. On rppelle que g intégrle signifie g convergente. Exercice. 4 Déterminer l ite des intégrles suivntes :. n = + t 2 + t n dt 2. n = ( + t 2 ) n dt 3. n = + π 2 sin n (t)dt Exercice. 5 Montrer que le théorème de convergence dominée est une générlistion du théorème du prgrphe précédent, c est-à-dire montrer grâce u théorème de convergence dominée que si (f n ) est une suite d pplictions continues définies d un segment [, ] de R dns K convergent uniformément lors n f n = f n n Exercice - Cesàro intégrle. 6 Soit f une ppliction continue de [, [ dns R de ite l. Posons : Montrer que c n l. n c n = n n f(t)dt 3

4 .3/ Théorème de convergence monotone. Exercice. 7 Soient f et f n dns C m (, R) intégrles pour tout n de N. Supposons de plus que (f n ) est croissnte et converge simplement vers f.. Posons g n = f n f. Montrer que g n est intégrle et converge vers une fonction intégrle. 2. En utilisnt le théorème de convergence dominée sur (g n ), montrer que : n f n C est le théorème de convergence uniforme. = f (P ) 3. Montrer que si (f n ) est à vleurs dns R +, on peut se psser de l hypothèse f n intégrles. Remrque.. Comme le théorème de convergence dominée est dmis, on peut voire le théorème de convergence monotone comme une conséquence. En rélité, il est utilisé dns l preuve du théorème de convergence dominée. 2. Le théorème de convergence monotone n est ps u progrmme. l fut donc refire l démonstrtion qund on en esoin. Exercice. 8 Posons f n (x) =. Montrer que (f n ) est croissnte. 2. Montrer que (f n ) converge simplement. 3. En déduire n n ( x n )n si x [, n[ si x [n, [ ( x n ) n dx en utilisnt le théorème de convergence monotone. 4. Redémontrer le résultt en utilisnt uniquement le théorème de convergence dominée. 4

5 .4/ ntégrtion terme à terme. Dns le cs des séries, on peut très ien utiliser le théorème de convergence dominée tel quel. Cependnt, il est souvent plus utile d utiliser l version suivnte ou l on utilise le théorème de convergence dominé vec : g(x) = f n n= On l ppelle le "théorème d intégrtion terme à terme - version convergence dominée". Coin de culture. Remrquons que l fonction g peut ne ps être définie pour certines vleurs ce qui pose prolème dns l preuve et montre que l démonstrtion de ces théorèmes nécessite une utre théorie de l intégrtion que celle de Riemnn : l intégrle de Leesgue Théorème. 9 Soient f, f n dns C m (, R) pour tout n de N, lors : f n f n CS n f intégrle pour tout n f n convergente f intégrle f = n f n Remrque.. Contrirement u théorème de convergence dominée, on demnde ux f n d être intégrles. 2. Ne ps oulier l hypothèse de f continue pr morceux. En effet une suite de fonctions continues pr morceux peut converger vers une fonction qui n est ps continue pr morceux. Exercice - preuve du théorème d TT. Soit p dns N. Posons : R p = f k m n = min k=p+ R p ; n f k k=p+ On v utiliser le théorème de convergence monotone sur l suite de fonctions (m n ).. Montrer que chque m n est intégrle et l suite (m n ) est croissnte. 2. Montrer que l suite (m n ) converge simplement vers R p. 3. Montrer que pour tout segment [, ] de, on : R p f k k=p+ 4. Montrer que f est intégrle sur et f = n f n 5

6 Exercice.. Montrer que : 2. En déduire que : k= x2n ( x)dx = ( ) k+ k= k = ln(2) + x dx Exercice. 2 Montrer que : t e t dt = π2 6 On pourr fire ppritre une série géométrique. 6

7 . ntégrles à prmètre./ Continuité et dérivilité sous le signe somme. Soient D et deux intervlles de R non vides. Dns ce prgrphe, on cherche à pouvoir étudier l continuité et l dérivilité d une fonction définie pr une intégrle : F (x) = f(x, t)dt vrile de l fonction Vrile d intégrtion vec (x, t) f(x, t) une ppliction de D dns K. Théorème - Continuité. 3 dns C m (, R + ) telle que : Avec les nottions de f et F de déut de prgrphe, s il existe g positive t f(x, t) continue pr morceux pour tout x de D x f(x, t) est continue pour tout t de x D, f(x, t) g(t) g intégrle sur lors F est continue sur D. Théorème - Dérivilité. 4 Avec les nottions de f et F de déut de prgrphe, s il existe g positive dns C m (, R + ) telle que : t f(x, t) continue pr morceux pour tout x de D t f(x, t) intégrle sur x f(x, t) est de clsse C pour tout t de t δf δx (x, t) continue pr morceux pour tout x de D x D, δf δx (x, t) g(t) g intégrle sur lors F est de clsse C sur D et F δf (x) = δx (x, t)dt 7

8 Remrques.. Les conditions sont les conditions qui permettent de donner un sens ux intégrles présentes dns le théorème. Ainsi, à x fixé, toutes les fonctions présentes sous une intégrle doivent être continues pr morceux et intégrles Une exception près les fonctions inférieures à g en vleur solue dns n ont ps esoin d être intégrles, puisqu elles le sont utomtiquement grâce u théorème de convergence dominée. 2. Les conditions sont les conditions de domintion qui permettent d utiliser le théorème de convergence dominée. 3. Sns les conditions, les théorèmes ressemlent à : f continue pr rpport à l vrile x et condition de domintion implique F continue (pr rpport à l vrile x). f dérivle pr rpport à l vrile x et condition de domintion implique F dérivle (pr rpport à l vrile x). 4. Si on trouve une fonction de domintion sur chque segment de D, c est suffisnt pour conclure..2/ Quelques pplictions. Conséquence - dérivtion n fois. 5 Avec les nottions de f et F de déut de prgrphe, s il existe g,...,g n positives dns C m (, R + ) telle que : x f(x, t) est de clsse C n pour tout t de t δk f δx k (x, t) continue pr morceux pour tout x de D et k de {,..., n} x D, k {,..., n}, δk f δx k (x, t) g k (t) g k intégrle sur pout tout k lors F est de clsse C n sur D et pour tout k de {,..., n}, on : F (k) (x) = δ k f δx k (x, t)dt Exercice - théorème de division. 6 Soit f une ppliction de C (R, R) vérifint f() =. Notons g l fonction f(x) x prolongée pr continuité en.. Que vut g()? Montrer que f (n+) est ornée sur [ ; ]. 2. Montrer que g(x) = f (xt)dt 3. Montrer que g est C sur [ ; ], puis sur R. 8

9 Exercice - intégrle de Guss. 7 Soit F l fonction définie sur [; [ pr : F (x) =. Montrer que F est dérivle et clculer F. e x(+t2 ) + t 2 dt 2. Clculer F () et x F (x). 3. Posons g(x) = F (x 2 ). Clculer g puis en déduire que : g(x) + ( x e t2dt 2 ) = π 4 4. En déduire que : e t2 dt = π 2.3/ Fonction Gmm d Euler. Exercice. 8 L fonction Gmm d Euler est définie pr : Γ(x) = e t t x dt On noter f(x, t) = e t t x. Montrer que Γ est définie sur R Soit [, ] un segment de R +. Pour n dns N, considérons l ppliction g n définie sur R + pr : g n (t) = e t t ln(t) n si t ], ] e t t ln(t) n si t ]; ] ) Montrer que g est intégrle sur R +. ) Montrer que pour tout x de [, ] et pour tout t de R +, on : c) Montrer que Γ est C sur R +. d) Montrer que Γ est C sur R +. δn f δx n (x, t) g n(t) 3. Montrer que Γ est C. Que vut Γ (n) pour n dns N? 4. Montrer que : x R +, Γ(x + ) = xγ(x). En déduire que l fonction Γ prolonge l fctorielle c est-à-dire que : n N, Γ(n) = (n + )!. 5. Montrer que Γ(x). Trcer l coure. x 9