Les tests de khi-deux

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1 S5 Getion - Management et Maketing Statitique appliquée Le tet de khi-deux Univeité de Picadie Jule Vene IAE Amien Licence mention Getion pacou Management et Maketing Vente - Semete 5 Statitique appliquée 1. Confomité à un modèle théoique Le tet de khi-deux Dan une population donnée, on étudie un caactèe X pouvant pende modalité et on cheche à avoi i on peut conidée que ce caactèe et d un type donné. Plu péciément, déignant pa p i la pobabilité d appaition dan la population de la i ème modalité du caactèe, on e demande i le p i coepondent à une cetaine loi de pobabilité. On choiit alo une loi théoique : pa exemple une ditibution paticulièe (valeu de p i choiie abitaiement avec p i 1) ou une loi uuelle (loi de Poion, loi Nomale,...). Dan ce denie ca, il faut i choii le() paamète() de la loi : on pocède alo pa etimation ponctuelle (moyenne ou vaiance pou le paamète de la loi de Poion, moyenne et écat-type pou le paamète de la loi Nomale,...). Effectuant pluieu échantillonnage de même taille n, on déigne pa N i la vaiable aléatoie égale à l effectif obevé de la i ème modalité du caactèe ; l effectif théoique étant égal à. Tet de H 0 : X uit la loi théoique conte H 1 : X ne uit pa la loi théoique Ce tet appuie u la ditance D ente le effectif obevé et théoique : N i N i n, d D En patique, pou un échantillon, on obeve un effectif n i pou la i ème modalité du caactèe et on calcule n i n i n. On ait que ou l hypothèe H 0, D uit appoximativement la loi de khi-deux à 1kdegé de libeté, où k et le nombe de paamète à etime de la loi théoique choiie. On détemine b tel que PD b (table 4), et on décide que : - i d b, alo on ne peut ejete H 0 ; - i d b, alo on ejette H 0 avec une pobabilité de e tompe. La qualité de l appoximation de la loi de D et atifaiante loque le effectif théoique véifient tou la condition 5. Si ce n et pa le ca, on peut egoupe cetain effectif de modalité voiine, déignant alo le nombe de modalité apè le() egoupement(). Cependant, on peut ne pa faie de egoupement i le effectif théoique véifient tou la condition 5, où et égal au nombe de modalité ayant un effectif théoique 5. Exemple 1 : tet de confomité à une ditibution théoique Dan une population de conommateu, on enegite la péence de 5 catégoie, noté A 1 à A 5, et auxquel une théoie attibue le pobabilité p 1 à p 5 donnée dan le tableau ci-deou. Su un échantillon de n 400 individu choii au haad dan la population, on déigne pa n i le nombe d individu de catégoie A i. Le n i ont donnée dan le tableau ci-deou. Peut-on die, au ique 0,05, que la épatition de catégoie dan l échantillon et confome à celle de la population? Population : celle qui et étudiée. Caactèe : la catégoie X, à 5 modalité de pobabilité théoique p i. EchantillonX 1,...,X n de taille n 400. Le p i étant donné, il n y a pa de paamète à etime : k 0. Stéphane Ducay 1

2 S5 Getion - Management et Maketing Statitique appliquée Le tet de khi-deux Tet de H 0 : X uit la loi théoique conte H 1 : X ne uit pa la loi théoique On calcule d x i n i p i n i n i A , A 40 0, A , , A , ,4 A 5 8 0, , , n i 37,. On ait que ou l hypothèe H 0, D uit appoximativement la loi de khi-deux à 1k 4 degé de libeté. On détemine b tel que PD b : pou 0,05, on touve b 9,49. Comme d b, on ejette l hypothèe H 0, i.e. la confomité à la loi théoique : la épatition de catégoie dan l échantillon n et pa confome à celle de la population. En penant cette déciion de ejet de H 0, on a une pobabilité 0,05 de e tompe. Exemple : tet de confomité à une loi de PoionP Une enquête effectuée aupè du comptoi de 150 coopéative agicole a pemi d étudie l aivée dan le temp de uage de ce coopéative. Pendant l unité de temp, oit une heue, on a obtenu le éultat uivant : nombe d uage aivé nombe de coopéative Peut-on admette que le nombe d uage aivé dan cette population uit une loi de Poion? Population : le coopéative. Caactèe : nombe d uage aivé X, à 7 modalité. Echantillon X 1,...,X n de taille n 150 de X.On cheche à ajute à la ditibution obevée une loi théoique uivie pa X (i.e. le pobabilité p i de modalité de X). Tet de H 0 : X uit une loi de Poion conte H 1 : X ne uit pa une loi de Poion k Rappel : X uit la loi de PoionP i X et à valeu dan et i, pou tout k, PX k e k!. On a EX VaX. Le p i devant ête calculé à l aide la loi de Poion, il y a un paamète à etime : k 1. On calcule x 1 n 7 n i x i 1,48, 1 n 7 n i x i x 1,57 et c n n1 1,58. Comme x et c ont tè poche, on pouvait effectivement pene à une loi de Poion. On peut alo etime le paamète à 1,5. Sou l hypothèe H 0, on a alo : p i PX i e 1,5 1,5 i. i! Voi le tableau en page uivante. On a, apè egoupement, 5. n i 0,85. On calcule d On ait que ou l hypothèe H 0, D uit appoximativement la loi de khi-deux à 1k 3 degé de libeté (apè egoupement). On détemine b tel que PD b (table 4) : pou 0,05, on touve b 7,81. Comme d b, on ne peut ejete l hypothèe H 0, i.e. la confomité à la loi théoique de Poion : la épatition du nombe d uage aivé et confome à une loi de Poion. En penant cette déciion de non-ejet de H 0, on ne connait pa la pobabilité de e tompe (eeu de deuxième epèce). Stéphane Ducay

3 S5 Getion - Management et Maketing Statitique appliquée Le tet de khi-deux x i n i p i n i n i , 31 33, 47 3, 53 0, , , 0 4, 0 0, , , 65 1, 35 0, , , 83 0, 17 0, et , , , , ,06,1 0,67 9,85,06 0,88 0,33 0,85 0, , 85 On a egoupé le effectif théoique inféieu à 5. On a maintenant 5. Exemple 3 : tet de confomité à une loi NomaleN, Lo d une étude biologique potant u une cetaine epèce de molluque, on a meué le taux de potéine de 36 individu appatenant à cette epèce. On a obtenu le éultat uivant. taux de potéine (en mg) 0; 1,5 1,5; 3 3; 4,5 4,5; 6 6; 7,5 7,5; 9 9; 10,5 nombe d individu Peut-on admette que le taux de potéine dan cette population uit une loi Nomale? Population : le molluque. Caactèe : taux de potéine X, à 7 modalité. EchantillonX 1,...,X n de taille n 36 de X. On cheche à ajute à la ditibution obevée une loi théoique uivie pa X (i.e. le pobabilité p i de modalité de X). Loque la epéentation gaphique (hitogamme) et plutôt ymétique et en cloche, on peut pene à une loi de Nomale. A note que ce n et pa tout à fait le ca ici! Tet de H 0 : X uit une loi Nomale conte H 1 : X ne uit pa une loi Nomale Le p i devant ête calculé à l aide la loi Nomale, il y a deux paamète à etime : k. Comme dan l exemple 1, on calcule x 4,1 et c,86. On peut alo etime le paamète et pa 4,1 et,86. Il agia donc de tete i X uit la loi NomaleN4,1;,86, i.e. i U X 4,1 uit la loi NomaleN0; 1.,86 Voi le tableau en page uivante. On a, apè egoupement, 5. n i,99. On calcule d On ait que ou l hypothèe H 0, D uit appoximativement la loi de khi-deux à 1k degé de libeté. On détemine b tel que PD b (table 4) : pou 0,05, on touve b 5,99. Comme d b, on ne peut ejete l hypothèe H 0, i.e. la confomité à la loi théoique Nomale : la épatition du taux de potéine et confome à une loi Nomale. En penant cette déciion de non-ejet de H 0, on ne connait pa la pobabilité de e tompe (eeu de deuxième epèce). Stéphane Ducay 3

4 S5 Getion - Management et Maketing Statitique appliquée Le tet de khi-deux Clae de X n i Clae de U : u i ; u u i p i u u i n i n i 0 ; 1,5 8 ;0,95 0,1711 6,16 1,84 0,55 0, 95 0, ,5; 3 7 0,95;0,4 0,1661 5,98 1,0 0,17 0, 4 0, 337 3; 4,5 4 0,4; 0,10 0,06 7,9 3,9 1,49 0,10 0,5398 4,5; 6 9 0,10; 0,63 0,1959 7,05 1,95 0,54 0,63 0,7357 6; 7,5 0,63; 1,15 0,139 5,01 3,01 1,15 0,8749 7,5; 9 3 1,15; 1,67 0,0776,79 0,1 0,4 1,67 0,955 9; 3 1, 67; 0, , 71 1, , 99 On a egoupé le effectif inféieu à 5, c et-à-die le toi denièe clae, ce qui donne : 6; 8 9,51 1,51 0,4. Indépendance de caactèe Dan une population donnée, on étudie deux caactèe X et Y pouvant pende epectivement et modalité. Effectuant pluieu échantillonnage de même taille n, on déigne pa N i,j la vaiable aléatoie égale à l effectif obevé du couple fomé de la i ème modalité du caactèe X et de la j ème modalité du caactèe Y. En patique, pou un échantillon, on obeve de effectif n i,j. Sou l hypothèe d indépendance de X et Y, l effectif théoique et égal à n i,n,j, avec n i, n i,j et n,j n i,j. Tet de H 0 : X et Y ont indépendante conte H 1 : X et Y ne ont pa indépendante Ce tet appuie u la ditance D ente le effectif obevé et théoique : N i,j N i,j n. On calcule d D n i,j n i,j n. On ait que ou l hypothèe H 0, D uit appoximativement la loi de khi deux à 11 degé de libeté. On détemine le éel b tel que PD b (table 4), et on décide que : - i d b, alo on ne peut ejete H 0 ; - i d b, alo on ejette H 0 avec une pobabilité de e tompe. La qualité de l appoximation de la loi de D et atifaiante loque le effectif théoique véifient tou la condition 5. Si ce n et pa le ca, on peut effectue de egoupement de ligne ou de colonne : et déignent alo le nombe de modalité apè le() egoupement(). Cependant, on peut ne pa faie de egoupement i le effectif théoique véifient tou la condition 5t, où t et égal au nombe de couple de modalité ayant un effectif théoique 5. Stéphane Ducay 4 n

5 S5 Getion - Management et Maketing Statitique appliquée Le tet de khi-deux Ca paticulie :. Dan ce ca, le tet d indépendance e confond tictement avec le tet (bilatéal) d égalité de deux popotion péenté dan le chapite pécédent. En effet, d et alo le caé de u et b le caé de u. Exemple 4 : tet d indépendance Une tatitique effectuée u 800 peonne donne la épatition uivante : n i,j go fumeu moyen fum. petit fum. non fum. n i hypetenion pa d hypet n j Tete au ique 10% l indépendance ente l hypetenion et la conommation de tabac. Le deux caactèe ont X : hypetenion et Y : conommation de tabac. On a et 4. Sou l hypothèe d indépendance de X et Y, le effectif théoique ont n i n j n. go fumeu moyen fum. petit fum. non fum. Pa exemple, np 1, n 1 n n On obtient : d hypetenion 85 13, 5 63, pa d hypet , 75 86, ,5. n ij go fumeu moyen fum. petit fum. non fum. hypetenion 1, 44 0, 46 0, 83, 88 pa d hypet. 1, 05 0, 315 0, 09, 130 n Pa exemple, 1 np 1, np 1, 11613,5 0,46. 13, 5 n i,j 8,71. On ait que ou l hypothèe H 0, D uit appoximativement la loi de khi deux à 11 3 degé de libeté. On détemine le éel b tel que PD b (table 4) : pou 0,10, on touve b 6,5. Comme d b, on ejette l hypothèe H 0 l indépendance de deux caactèe. avec une pobabilité de e tompe : on ejette donc Remaque. Si on tete au ique 0,05, on a b 7,81, et donc d b : même déciion qu avec 0,10, et on a diminué la pobabilité de e tompe. Si on tete au ique 0,05, on a b 9,35, et donc d b : on ne ejette pa H 0 mai on ne connait pa la pobabilité de e tompe (eeu de deuxième epèce). Exemple 5 : tet d indépendance de deux caactèe à et modalité Dan une même catégoie ociale, un échantillon de 40 homme a founi 8 fumeu et un échantillon de 60 femme a founi 18 fumeue. On e demande i la popotion de fumeu et la même pou le deux exe. On a déjà taité cette quetion dan le pécédent chapite pa un tet d homogénéité (compaaion de deux popotion). Stéphane Ducay 5

6 S5 Getion - Management et Maketing Statitique appliquée Le tet de khi-deux Population 1 : homme. Vaiable X 1 de loi de BenoulliBp 1, où p 1 et la popotion d homme fumeu. Echantillon de taille n 1 40 de X 1. Etimation de p 1 : f ,. Population : femme. Vaiable X de loi de Benoulli Bp, où p et la popotion de femme fumeue. Echantillon de taille n 60 de X. Etimation de p : f ,3. Le échantillon ont indépendant. Tet (bilatéal) de H 0 : p 1 p p conte H 1 : p 1 p. On a n 1 f 1 8 5, n 1 1f 1 3 5, n f 18 5, n 1f 4 5. Sou l hypothèe H 0, U F 1 F uit appoximativement la loi nomale N0; 1, et en n 1 p1p 1 n 1 egoupant le deux échantillon, on peut etime p pa f 1, n 1f 1 n f n 1 n 818 0,6. En 4060 emplaçant p pa f 1,, on ne modifie pa la loi appochée de U. f On calcule u 1 f 0,0,3 1,1. n 1 1 n 1 1 f 1, 1f 1, 1 0,610, On détemine u tel que Pu U u 1, i.e. u 1 1 (table ) : pou 0,05, on touve u 1,96. Comme u u,u, on ne peut ejete H 0 : la popotion de fumeu ne diffèe pa ignificativement ente le deux exe. Pou cette déciion de non-ejet, on ne connait pa la pobabilité de e tompe (eeu de deuxième epèce). On peut également taite cette quetion pa un tet d indépendance de deux caactèe X : exe, à modalité (homme, femme), et Y : ête fumeu, à modalité (fumeu, non fumeu). Tet de H 0 : X et Y ont indépendante conte H 1 : X et Y ne ont pa indépendante Ce tet appuie u la ditance D ente le effectif obevé et théoique : D Sou l hypothèe H 0 d indépendance de X et Y, le effectif théoique ont n i n j n. n i,j fumeu non fum n i homme femme n j On obtient : d fumeu non fum homme 10, 4 9, 6 40 femme 15, 6 44, 4 60 n ij 1, N i,j n ij fumeu non fum homme 0, 55 0, 19 femme 0, 37 0, 13 On ait que ou l hypothèe H 0, D uit appoximativement la loi de khi deux à 11 1 degé de libeté. On détemine le éel b tel que PD b (table 4) : pou 0,05, on touve b 3,84. Comme d b, on ne ejette pa l hypothèe H 0 d indépendance de X et Y : on peut donc conidée que le caactèe "exe" et "ête fumeu" ont indépendant, ce qui ignifie que le popotion de fumeu chez le homme et chez le femme ne diffèent pa ignificativement. Cela coepond aux éultat du tet d homogénéité pécédent. En penant cette déciion de non-ejet de H 0, on ne connait pa la pobabilité de e tompe (eeu de deuxième epèce). 1,4 Stéphane Ducay 6

7 S5 Getion - Management et Maketing Statitique appliquée Le tet de khi-deux 3. Homogénéité : compaaion de pluieu échantillon Dan une population donnée, on étudie un caactèe X pouvant pende modalité. On dipoe de échantillon pouvant poveni de cette population. Effectuant pluieu échantillonnage, on déigne pa N i,j la vaiable aléatoie égale à l effectif obevé de la j ème modalité du caactèe X dan le i ème échantillon. En patique, pou un échantillonnage, on obeve de effectif n i,j. Sou l hypothèe d homogénéité de échantillon, l effectif théoique et égal à n i,n,j, avec n i, n i,j et n,j n i,j. Tet de H 0 : le échantilllon ont iu de la même population conte H 1 H 0 Ce tet e déoule comme le tet d indépendance décit au paagaphe, même i le poblème poé et de natue difféente. Exemple 6 Dan deux échantillon de population de deux ville, d effectif epectif 100 et 400, on demande la adio péféée. Le éultat ont le uivant : n ij R 1 R R 3 R 4 e e Le deux population péentent-elle le même popotion de adio péféée? Autement dit, le deux population ont-elle identique en teme de épatition de adio péféée? Ce qui nou amène à tete i le deux échantillon poviennent de la même population. On a échantillon et 4 modalité pou le caactèe adio péféée. n n i,j R 1 R R 3 R 4 n i e e n j R 1 R R 3 R 4 n i e e n j n i,j R 1 R R 3 R 4 e 1 1,14 0 0,35 0 e 0,9 0 0,09 0 On obtient : d n i,j 1,87. On ait que ou l hypothèe H 0, D uit appoximativement la loi de khi deux à 11 3 degé de libeté. On détemine le éel b tel que PD b (table 4) : pou 0,05, on touve b 7,81. Comme d b, on ne peut ejete l hypothèe H 0 : le deux échantillon poviennent de la même population. 4. Execice Sauf mention explicite, le tet eont éalié au ique 5%. Execice 1. (d apè examen de janvie 016) 1) On a demandé à 160 étudiant(e) de l UPJV d etime le temp menuel en heue qu il paent à cuiine. On a obtenu le éultat uivant : Heue [0;5] ]5,10] ]10,15] ]15,30] Nombe d étudiant a) Repéente gaphiquement cette éie tatitique. b) Détemine la médiane de cette éie tatitique et intepéte le éultat obtenu. Stéphane Ducay 7

8 S5 Getion - Management et Maketing Statitique appliquée Le tet de khi-deux ) De étude antéieue u l enemble de la population fançaie ont pemi d établi la épatition uivante : Heue [0;5] ]5,10] ]10,15] ]15,30] Poucentage 40% 35% 15% 10% Effectue un tet tatitique au ique 5% pou éponde à la quetion uivante : agiant du temp paé à cuiine, l échantillon d étudiant(e) de l UPJV et-il epéentatif de la population fançaie? Execice. Dan une uine de poduction d un laboatoie phamaceutique, on a dénombé pendant deux moi, oit 50 jou d activité, le nombe de panne quotidienne. On a conigné le éultat dan le tableau uivant : x i et n i où n i et le nombe de jou où l on a obevé x i panne. 1) Calcule la moyenne et la vaiance de cette ditibution. ) Tete l ajutement à cette ditibution d une loi de Poion. Execice 3. A l aide d un pogamme infomatique, on imule 100 lance d un dé à 6 face numéotée de 1 à 6 On obtient le éultat uivant : Face Nombe de lance ) Pécie la(le) population() et le() caactèe() étudié(), aini que la(le) taille() d échantillon. ) Peut-on conidée, au ique 5%, que la imulation et bien celle d un dé équilibé? Execice 4. (d apè examen de janvie 016) Une chaîne d agence immobilièe a fixé un objectif de vente à e agent de 1,5 bien en moyenne pa moi. Pou avoi i cet objectif et atteint, elle a étudié le nombe de bien vendu pa agent et pa moi. 1) Elle a obevé 50 agent pendant un moi dan la moitié nod de la Fance et obtenu la épatition uivante : Nombe de bien vendu Nombe d agent a) Pécie la population et le caactèe étudié, la taille d échantillon, le() etimateu() mi en jeu et leu loi. b) Repéente gaphiquement cette éie tatitique. c) Donne une etimation ponctuelle de la moyenne et de la vaiance du nombe de bien vendu pa agent et pa moi. d) Effectue un tet tatitique au ique 5% pou éponde à la quetion uivante : peut-on conidée que le nombe de bien vendu pa agent pa moi uit une loi de Poion? Péente le détail de calcul pemettant d effectue ce tet. Execice 5. A la uite du même taitement, on a obevé 40 bon éultat chez 70 malade jeune et 50 bon éultat chez 100 malade agé. Peut-on die qu il y a indépendance ente l âge du malade et l effet du taitement? Execice 6. En novembe 004, beaucoup d étudiant ont déclaé ête teé pa le changement conécutif à la mie en place du LMD. C et pouquoi la Faculté leu a popoé de uive un tage de elaxation popoant pluieu méthode difféente : méthode "be cool", méthode "be awae", méthode "be zen". A l iue du tage, on leu a demandé comment il e entaient : moin, autant ou plu teé qu avant le tage. On a obtenu la épatition uivante de étudiant : Stéphane Ducay 8

9 S5 Getion - Management et Maketing Statitique appliquée Le tet de khi-deux moin autant plu be cool be awae be zen Effectue un tet tatitique adéquat pou éponde à la quetion uivante : peut-on conidée que la méthode de elaxation choiie a une influence u le niveau de te apè le tage? Stéphane Ducay 9